Multiparameter quantum metrology with bright solitons

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая метрология и сенсорика на сегодняшний день являются важным прикладным результатом современных квантовых технологий [1, 2]. Они охватывают фундаментальные научные исследования, связанные с Землей и космосом, мониторингом окружающей среды, поиском природных ископаемых, технологий спутникового позиционирования и навигации (ГЛОНАСС, GPS, Galileo, Beidou) и т. д. [3, 4]. О навигации здесь стоит упомянуть отдельно в связи с объективными ограничениями тех же GPS, ГЛОНАСС и др. систем позиционирования и навигации. А именно, сигналы от этих систем могут быть недоступны под водой, под землей, в густых лесах, они чувствительны к помехам; технологии обеспечивают положение, но не ориентацию в пространстве. Альтернативная инерциальная навигация, основанная на автономных навигационных системах, может стать как подспорьем для существующих уже систем навигации, так и их заменой на определенном этапе своего развития [5]. С фундаментальной (физической) точки зрения альтернативная навигация также нацелена на измерение времени, ускорения и вращения, гравитационных полей и гравитационных градиентов, а также магнитных полей. В этом отношении существующие методы и подходы квантовой метрологии, применяемые для разработки квантовых стандартов частоты и времени [6], квантовых сенсоров магнитного поля — магнетометров [7], акселерометров [8] должны быть усовершенствованы с учетом новых возможностей, предоставляемых альтернативной навигацией. Эти возможности главным образом связаны с проведением метрологических измерений в космосе, в условиях микрогравитации. Идея таких измерений достаточно проста и основана на использовании ультрахолодных атомных ансамблей, помещенных в оптические решетки и управляемых электромагнитными импульсами [9], ср. с [10]. В мире развиваются технологии изготовления атомных чипов, содержащих бозе-эйнштейновские конденсаты (БЭК) атомов, которые могут быть задействованы для квантовой метрологии и сенсорики, использующие эффекты гравитации [11, 12]. Соответствующие метрологические схемы, по сути, представляют собой хорошо известные в оптике интерферометры Маха-Цендера, длины плеч которого определяют характерное время (interrogation time), за которое двухуровневые атомы приобретают фазовые набеги, являющиеся объектом тех или иных метрологических измерений [4], ср. с [13, 14]. В частности, по оценкам работы [5] конденсат атомов рубидия в космосе позволит достичь метрологической точности ускорения в ${10}^{-12}g/\sqrt{Гц}$ (g — константа свободного падения на Земле), что, в свою очередь, позволит проверить слабый принцип эквивалентности для квантовых объектов [15].

В общефизическом плане актуальной задачей является исследование ультрахолодных атомных систем за рамками эффективно двухмодового приближения [16], ср. с [17]. Такие задачи в альтернативной навигации могут возникнуть в силу ее специфики, например, при необходимости одновременного измерения и оценки сразу нескольких параметров, синхронизации результатов измерений распределенных в пространстве сенсоров и т. д. В данной работе будут выявлены основные фундаментальные ограничения точности измерений, которые возникают в результате использования эффективно многомодовых систем в задачах многопараметрических распределенных квантовых измерений. При этом мы не будем ограничиваться только проблемой линейной метрологи, но также обсудим и нелинейную метрологию, которая с недавних пор вызывает повышенный интерес в связи с использованием квантовых состояний ультрахолодных ансамблей атомов [18].

КВАНТОВЫЕ ПРЕДЕЛЫ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МЕТРОЛОГИИ

В рамках линейной квантовой метрологии измеряемый фазовый сдвиг φ линейно зависит от среднего числа частиц N, т. е. φ = χN, где χ — некоторый неизвестный параметр, значение которого необходимо измерить. В случае же нелинейной метрологии речь идет уже о неизвестном нелинейном фазовом сдвиге (определяемом параметром χ) φ = χN^k, где k = 2, 3, ... В обоих случаях можно ввести обобщенный предел Гейзенберга (ОПГ)

${\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}\ge \frac{1}{N^k}$. (1)

При k = 1 (1) совпадает с известным пределом Гейзенберга (ПГ), который может быть достигнут с помощью NооN-состояний в двухмодовом интерферометре Маха‒Цендера (см. например [19]). Процедура измерения, обеспечивающая точность на уровне ПГ, может быть осуществлена в рамках схем детектирования четности [20, 21]. При k ≥ 2 выражение (1) определяет супергейзенберговский предел (СПГ), который устанавливает предельную точность измерения и оценки неизвестных параметров в рамках нелинейной квантовой метрологии. В этом случае ПГ может быть преодолен даже с помощью пробных глауберовских когерентных состояний за счет кубичной нелинейности среды [22, 23]. В работе [24] было показано, что квантовые светлые солитоны, образующиеся в атомной среде конденсата с отрицательной длиной рассеяния обеспечивают максимальное значение степени k = 3. Нами также была предложена модель солитонных джозефсоновских контактов (СДК), позволяющая приготовить суперпозицию фоковских состояний, близких к NооN-состоянию, но защищенных от потерь небольшого числа частиц [25]. Эти работы могут стать основой для многопараметрической сенсорики и метрологии, которые рассмотрены ниже [26, 27].

Рассмотрим процедуру измерения и оценки d неизвестных фазовых параметров χ_j (см. рис. 1а), выполняемую на основе пробного n-модового (n = d + 1) запутанного по пространству NооN-состояния, которое имеет следующий вид:

$\overline{){\psi }_{in}>}=\epsilon \left(\overline{)\mathrm{0,}N\mathrm{,0,}\dots 0>}+\cdots +\overline{)\mathrm{0,0,0,}\dots ,N>}\right)+{\epsilon }_0\overline{)N\mathrm{,0,0,}\dots \mathrm{,0}>}$, (2)

 

Рис. 1. Схема многопараметрической квантовой метрологии с солитонами. |ψ_in> — пробное многочастичное состояние квантовых солитонов, которое эволюционирует с накоплением фаз φ_j, содержащих информацию об измеряемых параметрах χ_j (j = 1, …, d). Оператор ${\hat{\mathit{U}}}_{\mathit{L}}$ обозначает линейные преобразования, которые позволяют построить процедуру измерения и оценки неизвестных параметров. Подробности приведены в тексте

 

где параметры ε ≠ 0, ${\epsilon }_0=\sqrt{1-{\epsilon }^{2}d}$ удовлетворяют условию нормировки состояния |ψ_in>, которое является пробным для d неизвестных фазовых сдвигов φ ≡ χN^k, где χ ≡ {χ_j} — вектор неизвестных измеряемых параметров, см. рис. 1. В результате (2) преобразуется в состояние

$\overline{){\psi }_{\chi }>}=\epsilon \left(e^{i{\chi }_1{N}^k}\right.\overline{)\mathrm{0,}N\mathrm{,0,}\dots 0>}+\cdots +e^{i{\chi }_d{N}^k}\left.\overline{)\mathrm{0,0,0,}\dots ,N>}\right)+{\epsilon }_0\overline{)N\mathrm{,0,0,}\dots \mathrm{,0}>}$, (3)

В работе показано, что как пробное состояние (2), так и состояние (3) могут быть получены на основе квантовых светлых солитонов, о которых речь пойдет ниже. В рамках многопараметрической квантовой метрологии интерес вызывает минимизация полной погрешности измерения

${\sigma }_{\chi }^2=\sum _{i=1}^d{\sigma }_{{\chi }_j}^2$, (4)

где ${\sigma }_{{\chi }_j}$ — погрешность измерения и оценки параметра χ_j в условиях многопараметрической метрологии, которая характеризуется квантовой информацией Фишера (КИФ). В общем случае измерения d параметров с помощью чистых пробных состояний КИФ представляет собой матрицу размера d × d, элементы которой имеют следующий вид:

$F_{ij}=4\mathrm{Re}\left[<{\partial }_{{\chi }_i}{\psi }_{\chi }|{\partial }_{{\chi }_j}{\psi }_{\chi }>-<{\partial }_{{\chi }_i}{\psi }_{\chi }|{\psi }_{\chi }><{\psi }_{\chi }|{\partial }_{{\chi }_j}{\psi }_{\chi }>\right]$, (5)

где |ψ_χ> — некоторое n-модовое состояние (3) с n ≥ d + 1; $\overline{){\partial }_{{\chi }_i}{\psi }_{\chi }>}\equiv \frac{\partial }{{\partial }_{{\chi }_i}}\overline{){\psi }_{\chi }}>$. Общая точность измерения ограничена квантовой границей Крамера‒Рао, которая для $\hat{F}=\left\{F_{ij}\right\}$ имеет вид ${\sigma }_{\chi }\ge \sqrt{Tr\left({\hat{F}}^{-1}\right)}$. Подставив (3) в (5), получим $F_{ij}=4N^{2k}{\epsilon }^2\left({\delta }_{ij}-{\epsilon }^2\right)$, что дает

${\sigma }_{\chi }\ge \frac{1}{N^k}\frac{\sqrt{d\left(1+{\epsilon }^2-d{\epsilon }^2\right)}}{2\epsilon \sqrt{1-d{\epsilon }^2}}$. (6)

Таким образом для симметричного NооN-состояния с $\epsilon =1/\sqrt{d+1}$ получим:

${\sigma }_{\chi }\ge \frac{1}{N^k}\sqrt{\frac{d\left(d+1\right)}{2}}$. (7)

Так, в пределе двухмодовой метрологии, при d = 1 выражение (7) сводится к ОПГ (1). В случае, когда d > 1 общая точность измерения падает, т. е. ${\sigma }_{\chi }>{\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}$. Предел (7) можно преодолеть с помощью несимметричных NооN-состояний, если положить в (3) $\epsilon =1/\sqrt{d+\sqrt{d}}$, см. [28], что приводит к оценке

${\sigma }_{\chi }\ge \frac{1}{N^k}\frac{\sqrt{d}\left(\sqrt{d}+1\right)}{2}$. (8)

Например, для задач трехмодовой метрологии d = 2, так что предельная погрешность составляет $\sqrt{3}{\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}$, в случае симметричного NооN-состояния (3) с $\epsilon =1/\sqrt{3}$. Формула (8) при этом дает оценку ${\sigma }_{\chi }\ge \left(1+1/\sqrt{2}\right){\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}\simeq \sqrt{2.914}{\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}$, что предоставляет собой небольшое преимущество точности по сравнению с симметричным NооN-состоянием. В дальнейшем нами используется обозначение ${\sigma }_{ОС}^{\left(k\right)}=\sqrt{2.914}{\sigma }_{ОПГ}^{\left(k\right)}$, что соответствует предельной точности на основе оптимального состояния (ОС).

Реальный физический эксперимент по квантовой метрологии неизбежно сопряжен с потерями частиц и сопутствующей декогеренцией. Для моделирования этих процессов мы рассматриваем метод фиктивных делителей пучков (ФДП), согласно которому в каждом плече интерферометра «помещается» по ФДП, отбирающему частицы из системы и обеспечивающему взаимодействие солитонов с окружающей средой. Для простоты будем описывать три ФДП одинаковыми коэффициентами пропускания 0 < η ≤ 1, где η = 1 соответствует идеальному случаю квантовой метрологии, когда потери отсутствуют вообще. Предполагается, что каждый ФДП действует на отдельный канал интерферометра, преобразуя соответствующее фоковское состояние следующим образом (см. [29]):

$\overline{)m>}\to \sum _{l=0}^m\sqrt{C_m^l{\eta }^m{\left({\eta }^{-1}-1\right)}^l}\overline{)m-l>}\otimes \overline{)l>}$, (9)

где m — исходная населенность моды; l — число потерянных частиц; $C_m^l=\frac{m!}{l!\left(m-l\right)!}$. Для определенности остановимся на трехмодовой квантовой метрологии, принимая третью моду за опорную. Начальное трехмодовое N-частичное состояние в общем случае можно записать в фоковском базисе в виде

$\overline{){\psi }_{in}>}=\sum _{N_1=0}^N\sum _{N_2=0}^{N-N_1}{A}_{N_1,N_2}\overline{)N_1,N_2,N_3>}$, (10)

где $A_{N_1,N_2}$ — амплитуды фоковских мод такие, что ${\sum }_{N_1=0}^N{\sum }_{N_2=0}^{N-N_1}{\left|A_{N_1,N_2}\right|}^2=1$; N₃ = N – N₁ – N₂. Эволюция состояния (10) в интерферометре Маха‒Цендера приведет к набегам фаз χ₁ и χ₂ в двух плечах интерферометра относительно третьего, что описывается оператором, ${\hat{U}}_{\chi }=exp\left[i{\chi }_1{\left({\hat{a}}_1^{+}{\hat{a}}_1\right)}^k+i{\chi }_2{\left({\hat{a}}_2^{+}{\hat{a}}_2\right)}^k\right]$, который коммутирует с оператором Крауса, описывающим преобразование (9), [29]. Следовательно, не имеет значения, когда происходит потеря частиц: до, во время или после набега фаз; для удобства будем полагать, что потери имеют место после фазового сдвига, хотя в реальном эксперименте можно ожидать, что именно набег фаз является основным источником потерь. Поскольку нас не интересуют потерянные частицы, мы можем рассмотреть смешанное выходное квантовое состояние, описываемое матрицей плотности

$\rho =\sum _{l_1=0}^N\sum _{l_2=0}^{N-l_1}\sum _{l_3=0}^{N-l_1-l_2}{p}_{l_1,l_2,l_3}\overline{){\xi }_{l_1,l_2,l_3}>}<\overline{){\xi }_{l_1,l_2,l_3}}$; (11)

где $\overline{){\xi }_{l_1,l_2,l_3}>}=\frac{1}{\sqrt{p_{l_1,l_2.l_3}}}\times \sum _{N_1=l_1}^{N-l_2-l_3}\sum _{N_2=l_2}^{N-N_1-l_3}{A}_{N_1,N_2}\sqrt{B_{l_1,l_2,l_3}^{N_1,N_2}}{e}^{i_{\chi 1}{N}_1^k+i{\chi }_2{N}_2^k}\overline{)N_1-l_1,N_2-l_2,N_3-l_3>}$. (12)

В (12) $B_{l_1,l_2,l_3}^{N_1,N_2}=C_{N_1}^{l_1}{C}_{N_2}^{l_2}{C}_{N_3}^{l_3}{\eta }^N{\left({\eta }^{-1}-1\right)}^l$; l = l₁ + l₂ + l₃ — полное число потерянных частиц; $p_{l_1,l_2,l_3}={\sum }_{N_1=l_1}^{N-l_2-l_3}{\sum }_{N_2=l_2}^{N-N_1-l_3}{\left|A_{N_1,N_2}\right|}^2{B}_{l_1,l_2,l_3}^{N_1,N_2}$ — вероятность потерять ровно l₁, l₂ и l₃ частиц из каждого из трех каналов интерферометра.

ПРИГОТОВЛЕНИЕ NооN-СОСТОЯНИЙ И ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ МЕТРОЛОГИЯ НА ОСНОВЕ СВЕТЛЫХ СОЛИТОНОВ

Приготовление NооN-состояний (2) с d > 1 представляет собой нетривиальную задачу. Мы рассмотрим ее на примере трехмодовых солитонных джозефсоновских контактов (ТМСДК) (d = 2), являющихся обобщением модели СДК, разработанной нами в двухмодовом пределе, см. [21, 24]. ТМСДК представляет собой три светлых солитона, расположенных в трех потенциальных ямах и соединенных эффектом Джозефсона по принципу каждый с каждым. Такая система может быть реализована в атомтронике с помощью конденсатов Бозе‒Эйнштейна, помещенных в три симметрично расположенные сигарообразные ловушки. Гамильтониан рассматриваемой системы в формализме вторичного квантования имеет вид [24]

$\hat{H}=\sum _{i=1}^3\left\{{\hat{a}}_i^{†}\left(x\right)\left(-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{u}{2}{\hat{a}}_i^{†}\left(x\right){\hat{a}}_i\left(x\right)\right){\hat{a}}_i\left(x\right)-\kappa \sum _{j\ne i}{\hat{a}}_i^{†}\left(x\right){\hat{a}}_j\left(x\right)\right\}$, (13)

где ${\hat{a}}_i^{†}\left(x\right)$ — бозонный оператор рождения частицы в i-й ловушке, подчиняющийся правилу коммутации $\left[{\hat{a}}_i^{†}\left(x\right), {\hat{a}}_j^{†}\left(x\right)\right]={\delta }_{i,j}\delta \left(x-x\text{'}\right)$. Параметр $u=2\pi \left|a_{sc}\right|/a_{\perp }$ описывает нелинейное (керровское) взаимодействие частиц в пределах одной ловушки атомов конденсата [30]; $a_{\perp }=\sqrt{\hslash /m{\omega }_{\perp }}$ — характерный линейный размер ловушки в поперечном направлении, определяемый массой частиц m и гармонической частотой ловушки ω_⊥ [21, 24, 25]; κ — параметр туннельного взаимодействия частиц между соседними ловушками. Здесь и далее u, κ > 0, поскольку знаки взаимодействия были учтены в (13) явным образом. Наконец, отметим, что все величины в (13) безразмерны: пространственные переменные нормированы на a_⊥, время на ${\omega }_{\perp }^{-1}$, а энергия — на ħω_⊥.

Переход от (13) к эффективно трехмодовому гамильтониану может быть выполнен по процедуре, предложенной нами в [31]. Опуская громоздкие выкладки приведем лишь окончательный гамильтониан ТМСДК:

${\hat{H}}_{ТМСДК}=-\frac{\Lambda }{3N^3}\sum _i{\left({\hat{a}}_i^{†}{a}_i\right)}^3-\frac{1}{8N}\sum _{i\ne j}\left\{\sqrt{1-{\hat{z}}_{ij}}\left(1-0.21{\hat{z}}_{ij}^2\right)\left({\hat{a}}_i^{+}{a}_j+{\hat{a}}_j^{+}{a}_i\right)+э.с.\right\}$, (14)

соответствующий трем бозонным модам, ${\hat{a}}_i{\hat{a}}_i={\hat{N}}_i$ — оператор населенности i-го солитона; ${\hat{z}}_{ij}=\left({\hat{a}}_j{\hat{a}}_j-{\hat{a}}_i{\hat{a}}_i\right)/\left({\hat{a}}_j{\hat{a}}_j+{\hat{a}}_i{\hat{a}}_i\right)$ — оператор разности населенностей i-го и j-го солитонов; $\Lambda =u^2{N}^2/16\kappa$ — основной параметр, определяющий режимы взаимодействующих солитонов ТМСДК; э. с. обозначает эрмитово-сопряженное слагаемое. Отметим, гамильтониан (14) описывает энергию системы, приходящуюся на одну частицу.

В отсутствие потерь квантовое состояние трех туннельно-связанных солитонов можно записать в фоковском базисе в виде состояния (10) с коэффициентами $A_{N_1,N_2}$, зависящими от безразмерного времени  [21, 24, 30]. Эти коэффициенты подчиняются уравнению Шредингера $i\frac{\partial }{\partial \tau }{A}_{N_1,N_2}\left(\tau \right)=<N_1,N_2,N_3\left|{\hat{H}}_{ТМСДК}\right|{\psi }_{in}\left(\tau \right)>$, что с учетом (14) дает

$i{\dot{A}}_{N_1,N_2}={\alpha }_{N_1,N_2}\left(\Lambda \right)A_{N_1,N_2}+{\beta }_{N_1,N_2}{A}_{N_1-\mathrm{1,}{N}_2+1}+{\beta }_{N_2,N_1}{A}_{N_1+\mathrm{1,}{N}_2-1}+{\beta }_{N_2,N_3}{A}_{N_1,N_2-1}++{\beta }_{N_3,N_2}{A}_{N_1,N_2+1}+{\beta }_{N_3,N_1}{A}_{N_1+\mathrm{1,}{N}_2}+{\beta }_{N_1,N_3}{A}_{N_1-\mathrm{1,}{N}_2}$, (15)

${\alpha }_{N_i,N_j}=-\frac{\Lambda }{3}\frac{N_i^3+N_j^3+{\left(N-N_i-N_j\right)}^3}{N^3}$; (16)

${\beta }_{N_i,N_j}=-\frac{1}{2N}\frac{1}{N_i+N_j}\times \left(\left(N_j+1\right)\sqrt{N_i\left(N_i-1\right)}\left[1-0.21{\left(\frac{N_j-N_i}{N_j+N_i}\right)}^2\right]\right.+\left.N_i\sqrt{N_j\left(N_j+1\right)}{\left[1-0.21\left(\frac{N_j-N_i+2}{N_j+N_i}\right)\right]}^2\right)$, (17)

Коэффициент ${\alpha }_{N_i,N_j}\left(\Lambda \right)$ в (16) соответствует внутриямной энергии взаимодействия частиц ТМСДК с квантовыми числами заполнения N₁ = N_i, N₂ = N_j и N₃ = N − N_i − N_j при заданном Λ. Коэффициент ${\beta }_{N_i,N_j}$ в (17) характеризует межъямное взаимодействие, которое представляет собой туннелирование атома из i-го солитона в j-й.

Численное решение уравнений (15)—(17) выявило наличие квантового фазового перехода при критическом значении управляющего параметра Λ_кр ≈ 3.3. При этом происходит переход системы от (атомно) когерентного состояния к когерентной суперпозиции фоковских состояний, близких к NооN-состоянию [31]. На рисунке 2 представлены распределения амплитуд ${\left|A_{N_1,N_2}\right|}^2$ основного состояния ТМСДК (10) вблизи критической точки Λ_кр. Для лучшей визуализации моделирование производилось при N = 40, все результаты экстраполируемы и на большее число частиц. Можно видеть, что при Λ < Λ_кр распределение гауссообразное, что характерно для когерентного состояния, см. рис. 2а. При Λ = Λ_кр происходит переход в трехмодовое запутанное фоковское состояние, когда все N частиц стремятся заселить состояния |N₁, 0, 0>, |0, N₂, 0> и |0, 0, N₃>. В этом пределе как гауссоподобное, так и NооN-состояние ТМСДК обладают одинаковой энергией и сосуществуют в когерентной суперпозиции, см. рис. 2б. Наконец, при Λ > Λ_кр реализуется основное состояние ТМСДК — трехмодовое NооN-состояние, см. рис. 2в. Отметим, что с ростом N значение Λ_кр несколько увеличивается: для N = 20 было получено Λ = 3.30272 [32], тогда как для N = 40 Λ = 3.34087496. Кроме того, с ростом N фазовый переход становится более резким.

 

Рис. 2. Распределения основного состояния ТМСДК при (а) Λ = 0; (б) Λ = Λ_кр = 3.34087496; (в) Λ = 3.345. N = 40

 

Оценим точность квантовой метрологии с состояниями ТМСДК в присутствии потерь небольшого числа частиц. В таком случае КИФ представляет собой матрицу 2×2, однако вычисление ее элементов не тривиально в случае смешанного состояния (11). Тем не менее, как показано в [33] и что уже использовалось нами в [25], можно вычислить приближенные значения элементов КИФ ${\tilde{F}}_{ij}$:

$F_{ij}\le {\tilde{F}}_{ij}=4\sum _{l_1=0}^N\sum _{l_2=0}^{N-l_1}\sum _{l_3=0}^{N-l_1-l_2}{p}_{l_1,l_2,l_3}\left[<{\partial }_{{\chi }_i}{\xi }_{l_1,l_2.l_3}|{\partial }_{{\chi }_j}{\xi }_{l_1,l_2.l_3}>-<{\partial }_{{\chi }_i}{\xi }_{l_1,l_2.l_3}|{\xi }_{l_1,l_2.l_3}><{\xi }_{l_1,l_2.l_3}|{\partial }_{{\chi }_j}{\xi }_{l_1,l_2.l_3}>\right]$. (18)

Оценки, приведенные в нашей работе [25] для модели СДК показывают, что $\tilde{F}$ и F полностью совпадают в случае NооN-состояния при Λ > Λ_кр, совпадают с точностью 0.5 % при Λ < Λ_кр, но существенно расходятся (до 60 %) вблизи точки фазового перехода Λ ≈ Λ_кр. Таким образом, вдали от Λ_кр мы можем положить $F\approx \tilde{F}$. Отметим также, что при η = 1 (в случае отсутствия потерь частиц) $B_{\mathrm{0,0,0}}^{N_1,N_2}=1$ и $B_{l_1,l_2,l_3}^{N_1,N_2}=0$ для любых l_1,2,3 > 0; в таком случае . При η < 1 мы полагаем  лишь приближенно.

Подставив (11) и (12) в (18), легко получить выражение для ${\tilde{F}}_{ij}$, которое, однако мы не будем приводить здесь ввиду его громоздкости (см. подробности в [32]). Наконец, вычислив КИФ $\widehat{\tilde{F}}$, можно оценить квантовую границу Крамера‒Рао

${\sigma }^{\left(k\right)}\ge \sqrt{Tr\left({\widehat{\tilde{F}}}^{-1}\right)}$ (19)

для различных k и η. Выражение (19) зависит от коэффициентов $A_{N_1,N_2}$, описывающих начальное трехмодовое N-частичное состояние. Так, для NооN-состояния все $A_{N_1,N_2}=0$, кроме $A_{\mathrm{0,0}}=A_{N\mathrm{,0}}=A_{\mathrm{0,}N}=1/\sqrt{3}$ и в отсутствие потерь, при η = 1 (19) сводится к ОПГ (1), а при η < 1 это выражение стремительно деградирует, так что

${\sigma }^{\left(k\right)}\ge \frac{\sqrt{3}}{{\eta }^{N/2}{N}^k}$. (20)

С другой стороны, мы можем оценить точность классической метрологии, используя когерентные состояния |ψ_in> с гауссовым распределением $A_{N_1,N_2}$:

$A_{N_1,N_2}=\frac{9}{2\sqrt{3}\pi N}\exp \left[-\frac{9}{4N}{\left(N_1+N_2-\frac{2N}{3}\right)}^2-\frac{3}{4N}{\left(N_1-N_2\right)}^2\right]$, (21)

при этом (19) сводится к т. н. стандартному интерферометрическому пределу (СИП) при k = 1 и нелинейному интерферометрическому пределу (НИП) при k ≥ 2 соответственно:

${\sigma }^{\left(1\right)}\ge {\sigma }_{СИП}=\sqrt{\frac{3}{\eta N}}; {\sigma }^{\left(3\right)}\ge {\sigma }_{НИП}\approx \sqrt{\frac{27}{\eta N^5}}$. (22)

Отметим, что при η = 1, т. е. в отсутствие потерь, (21) сводятся к стандартному квантовому пределу (СКП) ${\sigma }_{СКП}=\sqrt{3/N}$ и нелинейному квантовому пределу (НКП) ${\sigma }_{НКП}\approx \sqrt{27/N^5}$, соответственно.

На рис. 3 изображены оценки предельной точности квантовой метрологии с состояниями ТМСДК при k = 1 и разных значениях  в зависимости от Λ непосредственно вблизи точки фазового перехода Λ_кр = 3.30272. Наиболее жирные линии на рис. 3 соответствуют пределу η = 1, характеризующему максимальную точность квантовой метрологии, достигаемую в отсутствие потерь. В частности, жирная пунктирная линия характеризует СКП; тонкая сплошная линия — ПГ [34]. В отсутствие потерь точность σ⁽¹⁾ приближается к точности с использованием оптимального состояния. Как можно видеть из рис. 3, точность σ⁽¹⁾ превосходит СИП (21) при Λ > Λ_кр, т. е. когда ТМСДК приготавливается в состоянии, близком к NооN-, даже при наличии умеренных потерь.

 

Рис. 3. Зависимость предельной погрешности измерения σ⁽¹⁾ от управляющего параметра Λ в окрестности критической точки Λ = Λ_кр для линейной квантовой метрологии с использованием солитонов. Потери частиц характеризуются отклонением коэффициента прозрачности ФДП η от единицы. Число частиц N = 40. Предельная линейная квантовая метрология характеризуется СКП (${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{С}\mathbf{К}\mathbf{П}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{/}\mathit{N}}$) и СИП (${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{С}\mathbf{И}\mathbf{П}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{3}\mathbf{/}\mathbf{\eta }\mathit{N}}$), которые обозначены пунктирными линиями. Черная точечно-пунктирная линия обозначает точность линейной метрологии, достигаемую с помощью оптимальных состояний ${\mathit{\sigma }}_{\mathbf{О}\mathbf{С}}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{9}}\mathbf{/}\mathit{N}$, а тонкая сплошная черная линия соответствует ПГ σ_ПГ = 1 / N

 

Важно иметь в виду, что в реальной ситуации нас интересует, разумеется, не сама область фазового перехода, а значения управляющего параметра Λ > Λ_кр. Оценим вкратце возможность достижения Λ_кр на основе экспериментальных данных с солитонами БЭК [31, 35]. Для этого рассмотрим конденсат ${}_3{}^7\mathrm{Li}$, содержащий мезоскопическое число N ≈ 10³ притягивающихся атомов с длинной рассеяния a_sc = –0.21 нм. В эксперименте [35] использовалась магнитооптическая ловушка с гармонической частотой ω_⊥ = 2π · 710 Гц, обеспечивающая характерный поперечный размер ловушки a_⊥ = 1.4 мкм. При этом плотность конденсата в центре ловушки $n=N{a}_{\perp }^{-3}$ составит около 3.6⋅10¹⁴ см⁻³, а энергия внутриямного взаимодействия частиц $uN=2\pi \left|a_{sc}\right|N/a_{\perp }\approx 1$, либо с учетом нормировки гамильтониана (13) в единицах температуры $UN=uN\cdot \frac{\hslash {\omega }_{\perp }}{k_b}\approx 34$ нК. Соответственно, для достижения Λ ≈ 3.3 необходимо обеспечить энергию джозефсоновского взаимодействия между ловушками κ ≈ 0.02 или в единицах температуры ${\rm K}=\kappa \cdot \frac{\hslash {\omega }_{\perp }}{k_b}\approx 0.68$ нК. Можно видеть, что характерные температуры (энергии) элементов ТМСДК оказываются порядка 10^–11—10^–8 К, что вполне достижимо в современном эксперименте.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрена проблема многопараметрической квантовой метрологии на основе светлых атомных солитонов. Определен ОПГ (1) для случая как линейной, так и нелинейной квантовой метрологии. Впервые рассмотрено получение многомодового NооN-состояния на основе таких связанных солитонов. Примечательно, что симметричные многомодовые NооN-состояния даже в идеальном случае без потерь демонстрируют ухудшение точности измерения и оценки d > 1 фазовых параметров (7). Однако при небольших значениях d метрологическая точность близка к фундаментальному пределу ОПГ, установленному в данной работе. Предложена модель трехмодовых солитонных джозефсоновских контактов (ТМСДК), позволяющая получить трехмодовое NооN-состояние, подходящее для задачи двухпараметрической метрологии. Показано, что модель ТМСДК демонстрирует квантовый фазовый переход в суперпозицию запутанных фоковских состояний, способных в результате образовывать трехмодовое NооN-состояние с мезоскопическим числом частиц. Фазовый переход происходит при некотором критическом значении Λ_кр безразмерного параметра Λ, которое достижимо в рамках современных экспериментов со слабосвязанными атомными конденсатами. Показано, что в условиях, близких к критическому значению параметра Λ, точность σ⁽¹⁾ приближается к точности метрологии на основе оптимального состояния даже при наличии небольших потерь частиц. Полученные нами результаты открывают новые возможности для решения задач пространственно-распределенной квантовой сенсорики, метрологии, которые могут быть использованы в задачах альтернативной навигации.

Авторы выражают признательность за поддержку, оказанную Министерством науки и высшего образования Российской Федерации и Южно-Уральского государственного университета (соглашение № 075-15-2022-1116).

About the authors

A. P. Alodjants

ITMO National Research University; Southern Ural State University

Author for correspondence.
Email: alexander_ap@list.ru
Russian Federation, Saint Petersburg; Chelyabinsk

D. V. Tsarev

ITMO National Research University; Southern Ural State University

Email: alexander_ap@list.ru
Russian Federation, Saint Petersburg; Chelyabinsk

S. V. Osipov

Cherepovets State University

Email: alexander_ap@list.ru
Russian Federation, Cherepovets

M. S. Podoshvedov

Southern Ural State University; Kazan National Research Technical University

Email: alexander_ap@list.ru
Russian Federation, Chelyabinsk; Kazan

S. P. Kulik

Southern Ural State University; Lomonosov Moscow State University

Email: alexander_ap@list.ru
Russian Federation, Chelyabinsk; Moscow

References

Supplementary files