Frequency up-conversion of an even coherent state

Abstract

The problem of transferring the state of even coherent states from a low frequency to a high frequency is theoretically considered using a periodically-poled nonlinear crystal. With the help of the Wigner quasi-probability distribution function, a parallel implementation of two nonlinear processes is studied: parametric and sum frequency generation.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы регулярно-доменные структуры (РДС) кристаллов все чаще используются для генерации неклассических состояний света и реализации квантовых информационных процессов [1–4]. Основные преимущества их использования по сравнению с обычными нелинейными оптическими кристаллами [3–5] в возможности квазисинхронизма между взаимодействующими волнами, высоком коэффициенте восприимчивости и реализации многомодового взаимодействия оптических пучков.

Ранее исследованы квантовые характеристики мод с помощью квантовых фазовых портретов в случае использования оптических монокристаллов с квадратичной и кубической нелинейностями. Такие фазовые портреты дают более полное описание квантовых состояний по сравнению, например, с простым вычислением шумовых характеристик квадратурных компонент мод [6, 7]. Ранее теоретически и экспериментально исследовано приготовление суперпозиции когерентных состояний (кота Шредингера) в нелинейных средах с квадратичной и кубической нелинейностью [8–11], причем возможность формирования суперпозиции четных и нечетных когерентных состояний была предложена в [12].

В данной работе теоретически исследуется перенос суперпозиции когерентных состояний с моды низкой частоты ω_e (e – необыкновенная волна) на моду с частотой вверх. Качество формирования суперпозиции четных когерентных состояний изучается с использованием квантовых фазовых портретов с помощью функции квазираспределения Вигнера в случае, когда в РДС-кристалле эффективно реализуются как параметрический процесс $\left(2{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\to {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}+{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\right),$ так и генерация суммарных частот $\left(2{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}+{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\to 3{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}\right).$ При этом мода накачки ${\widehat{a}}_2$ частоты $2{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}$ предполагается неистощимой, основная мода ${\widehat{a}}_1$ частоты ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}$ находится в состоянии квантовой суперпозиции, а мода ${\widehat{a}}_3$ частоты $3{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{e}}$ — в вакуумном состоянии.

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Гамильтониан, который описывает взаимодействия трех вырожденных мод ${\widehat{a}}_1, {\widehat{a}}_2 \mathrm{и} {\widehat{a}}_3$ двух преобразований, имеет следующий вид [3, 4]:

${\widehat{H}}_{\text{int}}=\hslash \left(g_1{\widehat{a}}_1^2{\widehat{a}}_2^{+}+g_2{\widehat{a}}_1{\widehat{a}}_2{\widehat{a}}_3^{+}\right)+H.c\mathrm{.,}$ (1)

где $\hslash$ — постоянная Планка, g₁ и g₂ — коэффициенты связи параметрического процесса и генерации суммарных частот, H.с. — эрмитово сопряжение. Выражение (1) является приближением плоских монохроматических мод при коллинеарном взаимодействии. Поперечная пространственная структура пучков при этом полагается однородной.

Операторные уравнения движения внутри РДС-кристалла в представлении Гейзенберга описываются уравнением:

$\frac{d{\widehat{a}}_j}{d\xi }=\frac{i}{\hslash }\left[{\widehat{H}}_{int},{\widehat{a}}_j\right]\left(j=\mathrm{1,2,3}\right).$ (2)

Система операторных уравнений (2) линеаризуется в случае, когда мода${\widehat{a}}_2$ накачки является неистощимой $\left(\frac{d{\widehat{a}}_2}{dt}=\mathrm{0,}{\widehat{a}}_2\to A_2\right)$, тогда

$\frac{d{\widehat{a}}_1}{d\xi }=-i\left({\widehat{a}}_3+2\gamma {\widehat{a}}_1^{+}\right), \frac{d{\widehat{a}}_3}{d\xi }=-i{\widehat{a}}_1,$ (3)

где $\xi =g_2{A}_{2}t$— приведенная длина взаимодействия и $\gamma =g_1/g_2$. Решение системы операторных уравнений (3) можно найти с помощью преобразования Лапласа:

$\begin{array}{c}{a}_1\left(\xi \right)=-i\left(q_1+\gamma q_2\right)a_1^{+}\left(0\right)+\\ +\left(q_3+\gamma q_4\right)a_1\left(0\right)+q_4{a}_3^{+}\left(0\right)-i{q}_2{a}_3\left(0\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{a}_3\left(\xi \right)=-q_4{a}_1^{+}\left(0\right)-i{q}_2{a}_1\left(0\right)+\\ +\text{i}\left(q_1-\gamma q_2\right)a_3^{+}\left(0\right)+\left(q_3-\gamma q_4\right)a_3\left(0\right),\end{array}$(4)

$\begin{array}{c}{a}_3\left(\xi \right)=-q_4{a}_1^{+}\left(0\right)-i{q}_2{a}_1\left(0\right)+\\ +\text{i}\left(q_1-\gamma q_2\right)a_3^{+}\left(0\right)+\left(q_3-\gamma q_4\right)a_3\left(0\right),\end{array}$

где $q_1=\text{cosh}\left(\xi \sqrt{-1+{\gamma }^2}\right)s\text{inh}\left(\xi \gamma \right),$ $q_2={\left(-1+{\gamma }^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\text{cosh}\left(\xi \gamma \right)\text{sinh}\left(\xi \sqrt{-1+{\gamma }^2}\right),$ $q_3=\text{cosh}\left(\xi \gamma \right)\text{cosh}\left(\xi \sqrt{-1+{\gamma }^2}\right),$ $q_4={\left(-1+{\gamma }^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\text{sinh}\left(\xi \gamma \right)\text{sinh}\left(\xi \sqrt{-1+{\gamma }^2}\right).$

Корректность решения (4) проверена выполнением коммутационных соотношений:

$\left[a_j^{}\left(\xi \right),a_j^{+}\left(\xi \right)\right]={\delta }_{j,j}\left(j=\mathrm{1,3}\right).$

ФУНКЦИЯ ВИГНЕРА

Обычно для нахождения фазового портрета состояния мод применяются функции квазираспределения Хусими, Глаубера-Сударшана и Вигнера [8–11]. Здесь мы используем функцию Вигнера, поскольку она не сингулярна и визуализирует тонкие квантовые эффекты, например, интерференцию макроскопических когерентных состояний, четных и нечетных. Для вычисления функции Вигнера найдем среднее значение квантовой характеристической функции [6, 7] в случае, когда моды ${\widehat{a}}_1$ и ${\widehat{a}}_3$ находятся в суперпозиции когерентных состояний $|{\alpha }_{+}>$ и вакуумном состоянии $\text{|0>}$ при x = 0:

$\begin{array}{c}C\left({\beta }_1,{\beta }_3,\xi \right)=\\ =Tr\left[\widehat{\rho }\left(0\right)e^{{\beta }_1{\widehat{a}}_1^{+}\left(\xi \right)-{\beta }_1^{*}{\widehat{a}}_1\left(\xi \right)}{e}^{{\beta }_1{\widehat{a}}_3^{+}\left(\xi \right)-{\beta }_1^{*}{\widehat{a}}_3\left(\xi \right)}\right],\end{array}$(5)

где $\widehat{\rho }\left(0\right)=|{\alpha }_{+}>|0><0|<{\alpha }_{+}|,$ $|{\alpha }_{+}>={\eta }^{-1}(|{\alpha }_{10}>+|-{\alpha }_{10}>),$ $\eta =\sqrt{2\left(1+e^{-2{\left|{\alpha }_{10}\right|}^2}\right)}.$

Квазираспределение функции Вигнера моды имеет вид

$\begin{array}{c}W\left({\alpha }_3,\xi \right)=\frac{1}{{\pi }^4}\times \\ \times \iiint C\left({\beta }_1,{\beta }_2,\xi \right)e^{{\beta }_1^{*}{\alpha }_1-{\beta }_1{\alpha }_1^{*}+{\beta }_3^{*}{\alpha }_3-{\beta }_3{\alpha }_3^{*}}{d}^2{\beta }_1{d}^2{\beta }_3{d}^2{\alpha }_1.\end{array}$(6)

На рис. 1 показан квантовый фазовый портрет суперпозиции когерентных состояний моды ${\widehat{a}}_1$ при среднем числе фотонов ${\left|{\alpha }_{10}\right|}^2=12$ и x = 0. На рис. 2 и рис. 3 представлены графики квантовых фазовых портретов состояния моды ${\widehat{a}}_3$ с использованием (6). Для сравнения на рис. 3 взята приведенная длина взаимодействия ξ = 0.9

Рис. 1. Фазовый портрет состояния моды ${\widehat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{1}}\mathbf{.}$ Среднее число фотонов в моде ${\widehat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{1}}$находится в суперпозиции когерентных состояний (кот Шредингера) и равно ${\left|{\alpha }_{10}\right|}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{,}$ ${\mathit{\phi }}_{\mathbf{10}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$ при ξ = 0. Здесь и далее накачка моды ${\widehat{a}}_2$ предполагается неистощимой.

Рис. 2. Фазовый портрет состояния моды ${\widehat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{3}}\mathbf{,}$ среднее число фотонов ${\left|{\alpha }_{10}\right|}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{10}}\mathbf{=}\mathbf{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$ в моде находится  в суперпозиции когерентных состояний, и мода ${\widehat{\mathbf{a}}}_{\mathbf{3}}$ — в вакуумном состоянии. При этом приведенная длина взаимодействия x = 0.

Рис. 3. Фазовый портрет состояния моды ${\widehat{\mathbf{a}}}_1\mathbf{,}$ среднее число фотонов ${\mathbf{\left|}{\mathbf{\alpha }}_{\mathbf{10}}\mathbf{\right|}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{10}}\mathbf{=}\mathbf{\pi }\mathbf{/}\mathbf{3}$ в моде ${\widehat{\mathbf{a}}}_1\mathbf{,}$ находится в суперпозиции когерентных состояний, и мода — в вакуумном состоянии. При этом приведенная длина взаимодействия ξ = 1.2, а коэффициент связи y= 0.9.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ фазовых портретов показывает, что формирование суперпозиции квантовых когерентных состояний при приведенной длине взаимодействия x = 1.2 действительно происходит. Связанные нелинейные процессы дают возможность переноса свойств суперпозиции квантовых когерентных состояний с низкой частоты w_e на частоту вверх 3w_e в РДС-кристалле. Такая схема может стать хорошим кандидатом переноса четных состояний (кота Шредингера) и реализации интересных квантовых алгоритмов.