Параметрическая устойчивость микромасштабного бесконтактного индукционного подвеса с электростатическим контуром управления жесткостью

Full Text

Электромагнитный подвес – устройство для бесконтактной стабилизации инерционного тела в поле тяжести, работающее на принципе электромагнитной индукции [1]. Технология производства бесконтактного подвеса обеспечивает низкую стоимость производства и обслуживания, точность управления, малые размеры. Применение электромагнитного подвеса в интересах разработки датчиков инерциальной информации представляется перспективным, поскольку позволяет реализовать архитектуры как высокоточных, так и более доступных акселерометров и гироскопов, обладающих преимуществами в долговечности, помехозащищенности и температурной стабильности [2, 3].

В настоящее время интенсивное развитие получает направление разработки электромагнитных подвесов с комбинированным использованием электростатического [4, 5] и индукционного [6–8] принципов воздействия на инерционное тело. Конструкция подвеса принципиально включает в себя как катушки индуктивности для создания переменного магнитного поля, так и электроды для создания электростатического поля. Функция катушки индуктивности состоит в создании силы Ампера, посредством которой обеспечивается стабилизация подвижного элемента. Функция конденсаторов заключается в управлении эффективной жесткостью подвеса посредством формируемых электростатических сил, величина которых зависит от перемещения инерционного тела. Такой подход позволяет использовать индукционный подвес как высокочувствительный акселерометр/гравиметр с квазинулевой жесткостью.

Вопросам экспериментального и аналитического исследований режимов работы электромагнитного подвеса посвящено большое число публикаций. В работах [9–14] представлены исследования экспериментального прототипа микромасштабного индукционного подвеса. Отмечается, что такое устройство можно использовать при создании микроакселерометров, микрогироскопов, микрозеркал. В работе [15] демонстрируется технология создания схемы формирования возбуждающего электрического сигнала катушки индуктивности, которая позволяет избежать использования высокочастотных усилителей тока и заменить их интегральной схемой управления, включающей генератор сигнала и усилитель. Показано, что предлагаемая схема имеет геометрические размеры, сравнимые с размерами чувствительного элемента устройства. В работах [16, 17] обсуждаются вопросы, посвященные построению систем снятия информации о положении ротора, используя для этого сигналы малой емкости при наличии большой зашумленности сигнала, вызванной электромагнитными помехами. В работах [18–20] исследуются аналитические модели акселерометра и гироскопа соответственно, основанные на принципе электромагнитной левитации. В [21, 22] рассмотрены вопросы, посвященные аналитическим расчетам собственных и взаимных индуктивностей проводов и контуров. В [23, 24] приводятся оценки сил и жесткостей чувствительного элемента индукционного подвеса. В [25] исследуются вопросы устойчивости индукционного подвеса. Работы [26, 27] посвящены экспериментальному и аналитическому исследованию эффекта схлопывания, заключающегося в прилипании инерционной массы электромагнитного подвеса к обкладкам конденсаторов при достижении на них критической величины напряжения как для дискообразной, так и для прямоугольной инерционных масс. Численные исследования режимов работы и силовых характеристик устройства электромагнитного подвеса на основе метода конечных элементов приведены в [28–31].

Основная цель настоящей статьи состоит в качественном аналитическом исследовании эффекта параметрического резонанса [32] в бесконтактном электромагнитном подвесе, проявляющегося в возникновении зон раскачки и затухания колебаний, на примере одномерных колебаний твердой дискообразной массы. Особое внимание уделяется задаче определения диапазона параметров системы, в котором наблюдается асимптотическая устойчивость инерционной массы при квазинулевой эффективной жесткости системы.

Математическая модель нелинейных колебаний чувствительного элемента электромагнитного подвеса. Рассмотрим одномерную модель колебаний инерционной массы (ИМ), выполненную в форме твердого диска и находящуюся в переменных электромагнитном и электрическом полях (рис. 1).

 

Рис. 1. Схематическое изображение электромагнитного подвеса.

 

Для создания устойчивого равновесия подвижного тела y₀ на катушку индуктивности срединного радиуса r_l толщины t_l подается переменный ток i₁ амплитуды i_a с частотой ω: i₁ = i_asinωt. Вследствие закона электромагнитной индукции [1] в дископодобной ИМ толщины t_pm радиуса r_pm возникает наведенный ток i₂, который при взаимодействии с током i₁ порождает силу Ампера, что приводит к левитации ИМ. Управляющая высотой левитации катушка, по которой течет ток i₁, называется левитационной (на рис. 1 она обозначена черными прямоугольниками). Стабилизирующая катушка, обозначенная на рис. 1 серым цветом, необходима для исключения возможности боковых смещений ИМ и, как следствие, обеспечения устойчивости положения равновесия y₀. Ток i_s, протекающий по стабилизирующей катушке срединного радиуса r_s толщины t_s, в общем случае может отличаться от тока i₁. В дальнейшем примем, что ток i_s с точностью до амплитуды и фазы равняется току i₁, т. е. i_s = i_a^ssinωt, где i_a^s – амплитуда тока стабилизирующей катушки. Подавая постоянные напряжения u₁, u₂ на электроды E₁, E₂ при заземленных электродах E₃, E₄ соответственно, генерируется постоянное электрическое поле [4]. При выборе определенных величин u₁, u₂ возможно добиться квазинулевой жесткости, что отвечает цели конструирования высокочувствительного датчика [18].

Применяя формализм Лагранжа – Максвелла, система уравнений колебаний ИМ запишется как [33]

$$\begin{gathered} L_2{i}_2+\left(\frac{d{M}_{12}\left(y\right)}{dy}{i}_a+\frac{d{M}_{s2}\left(y\right)}{dy}{i}_a^s\right)\dot{y}\sin \omega t+ \\ +\left(M_{12}\left(y\right)i_a+M_{s2}\left(y\right)i_a^s\right)\omega \cos \omega t+R_2{i}_2=\mathrm{0,} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \tilde{m}\ddot{y}+\mu \dot{y}-\left(\frac{d{M}_{12}\left(y\right)}{dy}{i}_a+\frac{d{M}_{s2}\left(y\right)}{dy}{i}_a^s\right)i_2\sin \omega t+\tilde{m}\left(g_0+\Delta g\right)- \\ -\frac{e_1^2}{2A}+\frac{e_2^2}{2A}+\frac{{\left(e_1+e_2\right)}^2}{2Ah}\left(h-y\right)=\mathrm{0,} \end{gathered}$$ (1)

$\frac{\left(2h-y\right)}{A}{e}_1+\frac{y\left(2h-y\right)}{2Ah}\left(e_1+e_2\right)=u_1,$

$\frac{y}{A}{e}_2+\frac{y\left(2h-y\right)}{2Ah}\left(e_1+e_2\right)=u_2,$

где L₂ – собственная индуктивность ИМ; M₁₂(y) – взаимная индуктивность между левитационной катушкой и ИМ; M_s2(y) – между стабилизирующей катушкой и ИМ; t – время; R₂ – электрическое сопротивление ИМ; $\tilde{m}$ – массы ИМ; μ – коэффициент вязкого трения между ИМ и окружающей средой; g₀ – постоянная величина ускорения свободного падения; Δg – переменная составляющая ускорения свободного падения; A = ε_eε₀A_e; ε₀ – относительная диэлектрическая проницаемость; ε_e – диэлектрическая постоянная; A_e – площадь электродов; 2h – зазор между верхними и нижними пластинами электродов; ε₁, ε₂, u₁, u₂ – заряды и напряжения пар электродов E₁, E₃ и E₂, E₄ соответственно; y – вертикальная координата движения ИМ.

Вводя безразмерные параметры

$$\begin{gathered} \alpha =\frac{L_1{i}_a^2}{2\tilde{m}{g}_{0}h}, \tau =\omega t, \epsilon =\frac{g_0}{2{\omega }^{2}h}, \lambda =\frac{\mathrm{\mu }}{\tilde{m}\omega },\xi =\frac{y}{2h}, j_2=\frac{i_2}{i_a}, {\hat{e}}_1=\frac{e_1}{e_0}, \\ {\hat{e}}_2=\frac{e_2}{e_0}, W_0=\frac{e_0^2}{2A}, l=\frac{L_2}{L_1}, r=\frac{R_2}{L_1\omega }, u_c=\frac{2h{e}_0}{A}, u_{01}=\frac{u_1}{u_c}, u_{02}=\frac{u_2}{u_c}, \zeta =\frac{W_0}{\tilde{m}{g}_0}, \end{gathered}$$

${\beta }_l=\frac{{\mu }_0{r}_l}{L_1}, {\beta }_s=\frac{{\mu }_0{r}_s}{L_1},a=\frac{r_{pm}}{h}, a_l=\frac{r_l}{h},a_s=\frac{r_s}{h},j_s=\frac{i_a^s}{i_a},\Gamma =\frac{\Delta g}{g_0},$

$m_{l2}=\frac{M_{l2}}{L_1}={\beta }_l\sqrt{\frac{a}{a_l}}\left[\left(\frac{2}{{\kappa }_{l2}}-{\kappa }_{l2}\right)K\left({\kappa }_{l2}\right)-\frac{2}{{\kappa }_{l2}}E\left({\kappa }_{l2}\right)\right],$

$\frac{d{m}_{l2}}{d\xi }=-\frac{8{\beta }_{l}a}{{\kappa }_{l2}^2}\left[\frac{\left(2-{\kappa }_{l2}^2\right)E\left({\kappa }_{l2}\right)}{1-{\kappa }_{l2}^2}-2K\left({\kappa }_{l2}\right)\right]\frac{\xi }{{\left({\left(a+a_l\right)}^2+4{\xi }^2\right)}^{\frac{3}{2}}},$

$m_{s2}=\frac{M_{s2}}{L_1}={\beta }_s\sqrt{\frac{a}{a_2}}\left[\left(\frac{2}{{\kappa }_{s2}}-{\kappa }_{s2}\right)K\left({\kappa }_{s2}\right)-\frac{2}{{\kappa }_{s2}}E\left({\kappa }_{s2}\right)\right],$

$\frac{d{m}_{s2}}{d\xi }=-\frac{8{\beta }_{s2}a}{{\kappa }_{s2}^2}\left[\frac{\left(2-{\kappa }_{s2}^2\right)E\left({\kappa }_{s2}\right)}{1-{\kappa }_{s2}^2}-2K\left({\kappa }_{s2}\right)\right]\frac{\xi }{{\left({\left(a+a_s\right)}^2+4{\xi }^2\right)}^{\frac{3}{2}}},$

${\kappa }_{l2}^2\left(y\right)=\frac{4a{a}_l}{{\left(a+a_l\right)}^2+4{\xi }^2}, {\kappa }_{s2}^2\left(y\right)=\frac{4a{a}_s}{{\left(a+a_s\right)}^2+4{\xi }^2},$

перепишем систему (1) в виде [33]

$l{j}_2^{\text{'}}+r{j}_2=-m^{\xi }\xi \text{'}\sin \tau - m\cos \tau ,$

$\xi \text{'}\text{'}+\lambda \xi \text{'}=\epsilon \left(\alpha m^{\xi }{j}_2\sin \tau -1-\mathrm{Г}+\mathrm{\zeta }{\hat{\mathrm{e}}}_1^2-\mathrm{\zeta }{\hat{\mathrm{e}}}_2^2+\mathrm{\zeta }{\left({\hat{\mathrm{e}}}_1+{\hat{\mathrm{e}}}_2\right)}^2\left(2\mathrm{\xi }-1\right)\right),$ (2)

$\left(1-\xi \right){\hat{e}}_1+\xi \left(1-\xi \right)\left({\hat{e}}_1+{\hat{e}}_2\right)=u_{01},\xi {\hat{e}}_2+\xi \left(1-\xi \right)\left({\hat{e}}_1+{\hat{e}}_2\right)=u_{02},$

где $m=m_{l2}+j_s{m}_{s2}$; $m^{\xi }=m_{l2}^{\xi }+j_s{m}_{s2}^{\xi }; {\left( \right)}^{\text{'}}=\frac{\partial }{\partial \tau }$; ${\left( \right)}^{\text{'}\text{'}}=\frac{{\partial }^2}{\partial {\tau }^2}$; ${\left( \right)}^{\xi }=\frac{\partial }{\partial \xi }$; ${\left( \right)}^{\xi \xi }=\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2 }$; L₁ – собственная индуктивность левитационной катушки; μ₀ – магнитная постоянная.

В выражении (2) в дальнейшем примем, что ζ = 1, т. е. $W_0=\tilde{m}{g}_0$, откуда

$e_0=\sqrt{2A\tilde{m}{g}_0},$

что определяет величину заряда e₀, накопленного на обкладках конденсаторов, при котором соблюдается баланс между электрической и потенциальной энергиями системы.

Динамика инерционной массы вблизи положения равновесия. Для исследования малых колебаний вблизи положения равновесия системы ξ₀, которая определяется как [33]

$\frac{u_{01}^2}{{\left({\xi }_0 - 1\right)}^2}-\frac{u_{02}^2}{{\xi }_0^2}- \frac{\alpha {\cos }^2\gamma }{l} m\left({\xi }_0\right)m^{\xi }\left({\xi }_0\right) -2\left(1+\mathrm{\Gamma }\right)=\mathrm{0,}$

введем переменную

$z\triangleq \xi -{\xi }_0$

и перепишем второе уравнение в (2) как

$$\begin{gathered} z^{\text{'}\text{'}}+\lambda z^{\text{'}}=\epsilon \left[\alpha m^z\left(z+{\xi }_0\right)j_2\left(z+{\xi }_0,\tau \right)\right.+ \\ +{\hat{e}}_1^2\left(z+{\xi }_0\right)-{\hat{e}}_2^2\left(z+{\xi }_0\right)+2\left(z+{\xi }_0\right){\left({\hat{e}}_1\left(z+{\xi }_0\right)+{\hat{e}}_2\left(z+{\xi }_0\right)\right)}^2], \end{gathered}$$ (3)

где ${\left( \right)}^z=\frac{\partial }{\partial z}$, ${\left( \right)}^{zz}=\frac{{\partial }^2}{\partial z^2 }.$

Предполагая малость смещений относительно положения равновесия, разложим правую часть в ряд Тейлора, удержав при этом только линейные по z члены:

$m\left(z+{\xi }_0\right)=m\left({\xi }_0\right)+z{m}^z\left({\xi }_0\right)+O\left(z^2\right)$; (4)

$m^z\left(z+{\xi }_0\right)=m^z\left({\xi }_0\right)+z{m}^{zz}\left({\xi }_0\right)+O\left(z^2\right)$; (5)

$j_2\left(z+{\xi }_0,\tau \right)=j_2\left({\xi }_0,\tau \right)-\frac{z{m}^z\left({\xi }_0\right)}{l}\cos \gamma \sin \left(\tau +\gamma \right)+O\left(z^2\right)$; (6)

$e_1\left(z+{\xi }_0\right)=e_1\left({\xi }_0\right)+\frac{u_1}{2{\left(1-{\xi }_0\right)}^2}z+O\left(z^2\right)$; (7)

$e_2\left(z+{\xi }_0\right)=e_2\left({\xi }_0\right)-\frac{u_2}{2{\xi }_0^2}z+O\left(z^2\right).$ (8)

Исходя из (4)–(8), выражение (3) примет вид

$z\text{'}\text{'}+ \lambda z\text{'}+ (\delta - \hat{\epsilon }\cos (2\tau + \gamma \left)\right)z = 0,$(9)

где

$\sigma =\frac{\alpha \cos \gamma }{l}\left[{\left(m^z\left({\xi }_0\right)\right)}^2+m\left({\xi }_0\right)m^{zz}\left({\xi }_0\right)\right], \delta =\epsilon {\omega }^2, \epsilon = \frac{\sigma \epsilon }{2},$

$\eta =\frac{u_{01}^2}{{\left({\xi }_0-1\right)}^3}-\frac{u_{02}^2}{{\xi }_0^3}, {\omega }^2=\frac{\sigma \cos \gamma }{2}+\eta .$

Уравнение (9) описывает линейную динамику чувствительного элемента вблизи его положения равновесия. Вследствие периодичности тока катушки магнитная жесткость системы имеет периодическую компоненту с удвоенной частотой тока возбуждения. Уравнение (9) представляет собой уравнение Матье. Для нахождения переходных кривых (кривых, разделяющих области устойчивости и неустойчивости параметрических колебаний) применим метод растянутых параметров [32].

Для этого ищется равномерно пригодное разложение вида

$z=\epsilon z_0+{\epsilon }^2{z}_1+{\epsilon }^3{z}_2,\delta =n^2+\epsilon {\delta }_1+{\epsilon }^2{\delta }_2$, (10)

определяя при этом коэффициенты δ_i (i = 1, 2, 3) из условия периодичности асимптотического решения.

Также предположим, что трение между подвижной частью прибора и окружающей средой мало, и примем λ как λ = εν, ν – положительная величина.

Подстановка разложений (10) в исходное уравнение (9) дает

$$\begin{gathered} {\left(\epsilon z_0+{\epsilon }^2{z}_1+{\epsilon }^3{z}_2\right)}^{\text{'}\text{'}}+\epsilon \nu {\left(\epsilon z_0+{\epsilon }^2{z}_1+{\epsilon }^3{z}_2\right)}^{\text{'}}+ \\ +\left(n^2+\epsilon {\delta }_1+{\epsilon }^2{\delta }_2-\epsilon \cos \left(2\tau +\gamma \right)\right)\left(\epsilon z_0+{\epsilon }^2{z}_1+{\epsilon }^3{z}_2\right)=0. \end{gathered}$$

Приравнивая к нулю коэффициенты при последовательных степенях å, получаем

$z_0^{\text{'}\text{'}}+n^2{z}_0=0$; (11)

$z_1^{\text{'}\text{'}}+n^2{z}_1=- z_0\left({\delta }_1 -\cos \left(2t+\gamma \right)\right)- \nu z_0^{\text{'}}$; (12)

$z_2^{\text{'}\text{'}}+n^2{z}_2=- z_1\left({\delta }_1 -\cos \left(2t+\gamma \right)\right)-\nu z_1^{\text{'}}- {\delta }_2{z}_0.$ (13)

Общее решение (11) можно представить в виде

$z_0=c_1\sin nt+c_2\cos nt$, (14)

где c₁, c₂ – константы.

Случай n = 0.

В этом случае уравнение (14) сводится к

z₀ = c₂

При этом уравнение (12) принимает вид

$z_1^{\text{'}\text{'}}=-c_2{\delta }_1+c_2\cos \left(2t+\gamma \right).$ (15)

Требование к отсутствию секулярного слагаемого в правой части (15), порождающего секулярный член в решении для z₁, приводит к условию

${\delta }_1=0.$

В результате этого частное решение уравнения (15) имеет вид

$z_1=-\frac{c_2}{4}\cos \left(2t+\gamma \right).$

При этом уравнение (13) представляется как

$z_2^{\text{'}\text{'}}=-c_2{\delta }_2-\frac{c_2}{8}-\frac{c_2\nu }{2}\sin \left(2t+\gamma \right)- \frac{c_2}{8}\cos 2\left(2t+\gamma \right).$ (16)

Для периодичности z₂ требуется выполнение условия

$c_2{\delta }_2-\frac{c_2}{8}=\mathrm{0,}$

откуда при c₂ ≠ 0 (нетривиальность решения) имеем

${\delta }_2=-\frac{1}{8}.$ (17)

Подставляя (17) в (16), частное решение уравнения (16) примет вид

$z_2=\frac{c_2\nu }{8}\sin \left(2t+\gamma \right)+\frac{c_2}{128}\cos 2\left(2t+\gamma \right).$

Используя полученные результаты, решение имеет вид

$z=\epsilon c_2-\frac{{\epsilon }^2{c}_2}{4}\cos \left(2t+\gamma \right)+\frac{{\epsilon }^3{c}_2}{8}\left(\nu \sin \left(2t+\gamma \right)+\frac{1}{8}\cos 2\left(2t+\gamma \right)\right),$ $\delta =-\frac{1}{8}{\epsilon }^2+\dots .$ (18)

Следовательно, переходная кривая, разделяющая области устойчивости и неустойчивости и выходящая из точки ε = 0, δ = 0 описывается уравнениями (18); при этом они показывают, что на этих ветвях решение z периодично с периодом π.

Случай n = 1.

Подставляя (14) в уравнение (11) и полагая n = 1, получим

$z_1^{\text{'}\text{'}}+z_1=\left[c_1\left(\nu +\frac{\sin \gamma }{2}\right)+c_2\left({\delta }_1-\frac{\cos \gamma }{2}\right)\right]\cos t+\frac{c_2}{2}\cos \left(3t+\gamma \right)+$

$+\left[c_1\left({\delta }_1+\frac{\cos \gamma }{2}\right)+c_2\left(\frac{\sin \gamma }{2}-\nu \right)\right]\sin t+\frac{c_1}{2}\sin \left(3t+\gamma \right).$ (19)

Требование к исключению слагаемых, порождающих секулярные члены в z₁, приводит к условиям

$c_1\left(\nu +\frac{\sin \gamma }{2}\right)+c_2\left({\delta }_1-\frac{\cos \gamma }{2}\right)=\mathrm{0,}$

$c_1\left({\delta }_1+\frac{\cos \gamma }{2}\right)+c_2\left(\frac{\sin \gamma }{2}-\nu \right)=0.$ (20)

В результате уравнение (28) принимает вид

$z_1^{\text{'}\text{'}}+z_1=\frac{c_1}{2}\sin \left(3t+\gamma \right)+\frac{c_2}{2}\cos \left(3t+\gamma \right).$ (21)

Нетривиальное решение системы (20) удовлетворяется при условии тривиальности ее определителя. Таким образом, условие на отсутствие секулярного слагаемого в (19) при нетривиальном решении (20) примет вид

${\delta }_1=\pm \frac{1}{2}\sqrt{1-4{\nu }^2}.$ (22)

При подстановке (22) в (20) получаем следующую связь между константами c₁, c₂:

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{\cos \gamma -2{\delta }_1}{2\nu +\sin \gamma }.$

Следовательно, частное решение уравнения (21) с учетом (22) имеет вид

$z_1=\frac{c_2{\pi }^{\mp }}{16}\sin \left(3t+\gamma \right)-\frac{c_2}{16}\cos \left(3t+\gamma \right),$ (23)

где ${\pi }^{\mp }=\frac{\cos \gamma \mp \sqrt{1-4{\nu }^2}}{2\nu +\sin \gamma }.$

Подставляя (23) в (13), получим

$z_2^{\text{'}\text{'}}+z_2= -c_2\left(\frac{1}{32}+{\delta }_2\right)\cos t-c_2{\pi }^{\mp }\left(\frac{1}{32}+{\delta }_2\right)\sin t+$

$+\frac{c_2}{16}\left(3{\pi }^{\mp }\nu \pm \frac{1}{2}\sqrt{1-4{\nu }^2}\right)\cos \left(3t+\gamma \right)+$

$+ \frac{c_2}{16}\left(-3\nu \pm \frac{1}{2}\sqrt{1-4{\nu }^2}{\pi }^{\mp }\right)\sin \left(3t+\gamma \right)-$ (24)

$-\frac{c_2\cos \left(5t+2\gamma \right)}{32}-\frac{c_2{\pi }^{\mp }\sin \left(5t+2\gamma \right)}{32}.$

Потребовав исключения секулярных членов из z₂, приходим к соотношениям

$c_2\left(\frac{1}{32}+{\delta }_2\right)=\mathrm{0,} c_2{\pi }^{\mp }\left(\frac{1}{32}+{\delta }_2\right)=\mathrm{0,}$

или в предположении о нетривиальности c₂

${\delta }_2=-\frac{1}{32}.$ (25)

После подстановки (25) в (24) частное решение уравнения (24) примет вид

$z_2=\frac{c_2}{768}\cos \left(5t+2\gamma \right) +\frac{c_2{\pi }^{\mp }}{768}\sin \left(5t+2\gamma \right)-\frac{c_2}{128}\left(3{\pi }^{\mp }\nu \pm \frac{1}{2}\sqrt{1-4{\nu }^2}\right)\cos \left(3t+\gamma \right)-$

$-\frac{c_2}{128}\left(-3\nu \pm \frac{{\pi }^{\mp }\sqrt{1-4{\nu }^2}}{2}\right) \sin \left(3t+\gamma \right).$

Итак, область раскачки колебаний и выражения для колебаний на ее границах имеют вид

$\delta =1\pm \frac{1}{2}\sqrt{{\epsilon }^2-4{\lambda }^2}-\frac{{\epsilon }^2}{32}+\dots ,$

$z=\epsilon c_2\left[{\pi }^{\mp }\sin t+\cos t\right]+\frac{{\epsilon }^2{c}_2}{16}\left[{\pi }^{\mp }\sin \left(3t+\gamma \right)-\cos \left(3t+\gamma \right)\right]+$

$+\frac{{\epsilon }^3{c}_2}{768 }\left[\cos \left(5t+2\gamma \right) +{\pi }^{\mp }\sin \left(5t+2\gamma \right)-\right.6\left(3{\pi }^{\mp }\nu \pm \frac{1}{2}\sqrt{1-4{\nu }^2}\right)\cos \left(3t+\gamma \right)-$

$-6\left(-3\nu \pm \frac{{\pi }^{\mp }\sqrt{1-4{\nu }^2}}{2}\right) \left.\sin \left(3t+\gamma \right)\right].$ (26)

Уравнения (26) описывают две ветви переходной кривой, выходящие из точки $\epsilon =2\lambda , \delta =1$. При этом они показывают, что на этих ветвях решение периодично с периодом 2π.

“Критическое” значение величины $\epsilon ={\epsilon }_{\lambda }$, больше которого подкоренное выражение в первом выражении (26) становится комплексным, равно

${\epsilon }_{\lambda }=2\lambda .$

На рис. 2 изображено сравнение выражений переходных кривых, задаваемых выражениями (18), (26), с численными результатами, полученными для выражения (9) согласно теории Флоке [32].

 

Рис. 2. Области устойчивости (окружности) и неустойчивости (черные точки) в плоскости параметров (ε, δ). Черные линии – переходные кривые, задаваемые выражениями (18), (26); ν = 0.15.

 

Аналитические выражения переходных ветвей (18), (26) (рис. 2) с хорошей точностью совпадают с численным решением задачи (9). В случае оценки колебаний вблизи положения равновесия рабочими областями являются области затуханий колебаний (область окружностей) вследствие потребности удержания колебаний вблизи положения равновесия ξ₀.

Особенно важной задачей в конструировании акселерометров данного типа является нахождение соотношений между параметрами системы, при которых жесткость системы становится нулевой или квазинулевой.

Исходя из (9) видно, что нулевой жесткости отвечает случай δ = 0. В этом случае следует (рис. 2), что область затуханий колебаний определяется следующим интервалом величины ε:

$0<\epsilon <{\epsilon }_0,$

где ${\epsilon }_0=4\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{24-{\lambda }^2}}$ – критическое значение величины ε, выше которого располагается зона неустойчивости уравнения (9) при δ = 0.

Таким образом, на основе анализа параметрических колебаний показана ограниченность допустимого диапазона параметров системы для стабильной реализации режима квазинулевой жесткости. Основные результаты и соотношения приведены ниже:

• уравнение для определения равновесия ξ₀:

$\frac{u_{01}^2}{{\left({\xi }_0 - 1\right)}^2}-\frac{u_{02}^2}{{\xi }_0^2}- \frac{\alpha {\cos }^2\gamma }{l} m\left({\xi }_0\right)m^{\xi }\left({\xi }_0\right) -2\left(1+\Gamma \right)=0;$

• неравенство для статической устойчивости равновесия ξ₀:

${\left(m^z\left({\xi }_0\right)\right)}^2+m\left({\xi }_0\right)m^{zz}\left({\xi }_0\right)>0;$

• уравнение для обеспечения квазинулевой жесткости подвеса:

$\frac{\alpha }{2}\frac{{\cos }^2\gamma }{l}\left[{\left(m^z\left({\xi }_0\right)\right)}^2+m\left({\xi }_0\right)m^{zz}\left({\xi }_0\right)\right]+\frac{u_{01}^2}{{\left({\xi }_0-1\right)}^3}-\frac{u_{02}^2}{{\xi }_0^3}=0;$

• неравенство для параметрической устойчивости:

$0<\frac{\epsilon \alpha \cos \gamma }{l}\left[{\left(m^z\left({\xi }_0\right)\right)}^2+m\left({\xi }_0\right)m^{zz}\left({\xi }_0\right)\right]<8\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{24-{\lambda }^2}}.$

Выводы. В статье рассмотрена аналитическая модель нелинейных колебаний чувствительного элемента электромагнитного подвеса, выполненного в виде недеформируемого дископодобного тела. Уравнение, описывающее линейную динамику чувствительного элемента бесконтактного подвеса вблизи его положения равновесия, представляет собой уравнение Матье. На основе асимптотических методов нелинейной динамики получены аналитические выражения для переходных кривых стационарного положения левитирующего тела в областях главного и вторичных параметрических резонансов. Получены оценки параметров системы, для которых бесконтактный подвес с квазинулевой электромагнитной жесткостью является асимптотически устойчивым. Отмечается, что для устойчивой работы предложенного устройства необходимо выбирать как геометрические (радиусы и толщины катушек индуктивности и ИМ), так и физические параметры (амплитуды и частоты питающих токов катушек, материал ИМ) таким образом, чтобы аналитически найденная величина положения равновесия ξ₀ удовлетворяла одновременно условиям на статическую и параметрическую устойчивость, сведенным в конце работы.

Финансирование работы. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 21-71-10009, https://rscf.ru/project/21-71-10009/.

Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

About the authors

П. П. Удалов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Author for correspondence.
Email: pp_udalov@mail.ru
Russian Federation, Санкт-Петербург

И. А. Попов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Email: pp_udalov@mail.ru
Russian Federation, Санкт-Петербург

А. В. Лукин

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Email: pp_udalov@mail.ru
Russian Federation, Санкт-Петербург

Л. В. Штукин

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Email: pp_udalov@mail.ru
Russian Federation, Санкт-Петербург

К. В. Полеткин

Университет Хэфэя

Email: pp_udalov@mail.ru
Taiwan, Province of China, Хэфэй

References

Supplementary files