Математическое моделирование аэроупругого отклика диска, имеющего нелинейно-упругий подвес и взаимодействующего со слоем вязкого газа

Полный текст

Разработка и исследование изделий современного машиностроения, во многих вопросах, тесно связаны с фундаментальными проблемами создания математических моделей, максимально приближенных к оригиналу. В частности, модели взаимодействия элементов конструкций со слоем жидкости или газа необходимы при разработке и исследовании газо- и гидроопор [1], чувствительных элементов датчиков давления, газо- и гидродемпфирования колебаний в приборах [2]. Например, в [3] разработана плоская модель упорного подшипника с абсолютно жесткими направляющей и ползуном, имеющим адаптированный профиль, при рассмотрении поддерживающего смазочного слоя как вязкой несжимаемой жидкости с учетом зависимости ее вязкости от давления и температуры. Упрощенный подход для оценки упругой деформации поверхности бесконечно протяженного подшипника под действием давления в смазочном слое газа предложен в [4]. Его суть состоит в рассмотрении кольцевой пленки смазочного слоя «развернутой» на плоскость, т. е. переходу к плоской задаче, и добавлении к толщине слоя линейного члена пропорционального давлению газа с коэффициентом пропорциональности, связанным с модулем упругости деформируемой поверхности подшипника. Строгий подход требует постановки и решения связанных задач гидро- и аэроупругости [5, 6]. Приведем краткий обзор таких исследований. В [7] исследовано взаимодействие штампа на линейно-упругом подвесе, являющимся частью дна бесконечно длинного канала, со слоем идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, находящейся в нем. Установлено, что вблизи штампа в жидкости возникают, наряду с бегущими, стоячие волны, и показана возможность сведения амплитуд последних к нулю варьированием частоты вибраций штампа. В [8] рассмотрено взаимодействие идеальной жидкости, находящейся в абсолютно жесткой трубе с чувствительным элементом датчика давления, установленного на ее торце. Получено и численно исследовано интегро-дифференциальное уравнение динамики чувствительного элемента датчика, связывающее его деформацию с давлением и температурой среды на входе в трубопровод. Собственные колебания и устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем идеальной сжимаемой жидкости численно изучены в [9] методом конечных элементов. Оценено влияния толщины слоя на собственные частоты колебаний пластины и критические скорости, при которых происходит потеря устойчивости. Установившиеся колебания стенок бесконечно длинного канала, образованного двумя параллельными пластинами, опирающимися на упругое основание Винклера, и взаимодействующими с пульсирующим слоем вязкой жидкости между ними, исследованы в [10]. Аналогичная задача для более общего случая канала конечной длины ранее решена в [11]. Численное моделирование взаимодействия сжимаемого газа, при учете и без учета его вязкости, с абсолютно жестким диском на линейно-упругом подвесе, проведено в [12, 13], в рамках исследования процесса срабатывания предохранительного клапана. Модель взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в узком канале с параллельными стенками, с его торцевой стенкой на нелинейно-упругом подвесе предложена в [14]. Рассмотрено применение модели для исследования гидроупругой реакции демпфера сильфонного типа. Модель плоского газового демпфера в рамках взаимодействия вязкого газа, заполняющего зазор между двумя параллельными жесткими стенками, и жесткой пластины, находящейся внутри зазора и перемещающейся с постоянной скоростью в направлении нормали к его стенкам, предложена в [15].

Однако в приведенных выше работах не рассмотрены аэроупругие колебания диска на нелинейно-упругом подвесе при его взаимодействии с пульсирующим слоем вязкого газа. Поэтому предлагаемое исследование нацелено на постановку и решение такой задачи.

Постановка задачи аэроупругости: основные положения и допущения. Рассмотрим узкий канал с параллельными стенками, схематично представленный на рис. 1. Стенки канала образованы двумя абсолютно жесткими дисками одинаковых радиусов R, оси симметрии которых совпадают с осью симметрии канала. Нижний диск закреплен и считается неподвижным. Верхний диск имеет нелинейно-упругий подвес, позволяющий ему совершать колебания в вертикальном направлении. Подвес будем рассматривать как нелинейно-упрочняющуюся пружину, восстанавливающая сила которой имеет линейную и нелинейную составляющие. Первая пропорциональна перемещению диска, а вторая – пропорциональна кубу его перемещения, т. е. рассмотрим случай жесткой кубической нелинейности подвеса [16, 17]. Канал заполнен вязким газом, а на контуре примыкает к торцевой полости, заполненной тем же газом. Полагаем, что в невозмущенном состоянии в газе, находящемся в канале и торцевой полости, постоянное давление p₀, которое принимаем за начало отсчета давления. В невозмущенном состоянии расстояние между дисками h₀ и, в силу узости канала, h₀ <<R. В торцевой полости, т. е. в торцевом сечении канала, возбуждается пульсация давления p₁ по гармоническому закону, накладываемая на постоянный уровень давления p₀. За счет этой пульсации верхний диск совершает нелинейные колебания с амплитудой z_m <<h₀. Действием силы тяжести, вследствие малой плотности газа, пренебрегаем. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат rjz, ось z которой совпадает с осью симметрии дисков, а ее центр находится в геометрическом центре канала. В силу осевой симметрии канала рассмотрим осесимметричную постановку. Далее исследуем установившиеся нелинейные колебания [16, 17] диска, взаимодействующего со слоем вязкого газа, полагая, аналогично гидродинамической теории смазки, что состояние газа и стенок канала изотермическое [1, 18]. Такое допущение позволяет принять динамическую вязкость газа постоянной, а закон изменения его плотности считать баротропным.

 

Рис. 1. Схема узкого канала, образованного двумя параллельными соосными дисками: 1 – верхний абсолютно жесткий диск, имеющий подвес 4 с жесткой кубической нелинейностью; 2 – нижний абсолютно жесткий неподвижный диск; 3 – вязкий газ, находящийся в канале и торцевой полости.

 

Гармонический закон пульсации давления газа на торце по контуру канала (в торцевой полости) считаем заданным в виде

$p_1=p_m\mathrm{sin\omega }t$, (1)

где p_m – амплитуда пульсации давления; ω – заданная частота пульсации; t – время.

Уравнение движения верхнего диска как массы на нелинейной пружине запишем как

$m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+F_r=F_d$, (2)

где z – закон движения диска; m – масса диска; F_r – восстанавливающая сила нелинейно-упругого подвеса; F_d – возмущающая сила, действующая со стороны пульсирующего вязкого газа в канале.

Принимая во внимание ангармоничность колебаний верхнего диска представим закон его движения в виде z = z_m f(θt). Здесь θ = 1/T – характерная частота нелинейных колебаний верхнего диска, а T – характерный период его нелинейных колебаний.

Восстанавливающая сила нелинейно-упругого подвеса как пружины с жесткой кубической нелинейностью запишем, согласно [17], как

$F_r=n_{1}z+n_3{z}^3$, (3)

где n₁ – линейный коэффициент жесткости подвеса; n₃ – коэффициент жесткости кубической составляющей восстанавливающей силы подвеса. Так как подвес нелинейно-упрочняющийся, то восстанавливающая сила нелинейно возрастает с ростом перемещений диска, т. е. имеет место жесткая нелинейность и полагается, что n₃ > 0 [16, 17].

Возмущающая сила F_d определяется нормальным напряжением q_zz вязкого газа на границе его контакта с поверхностью диска. В общем виде данное напряжение можно представить как [18]

$q_{zz}=-p+2\mathrm{\mu }\frac{\partial V_z}{\partial z}-\left(\frac{2}{3}\mathrm{\mu }-{\mathrm{\mu }}^{\text{'}}\right)\left(\frac{1}{r}\frac{\partial \left(r{V}_r\right)}{\partial r}+\frac{\partial V_z}{\partial z}\right)$ при $z=\frac{h_0}{2}+z_{m}f$, (4)

где p – давление газа (направлено внутрь объема газа); μ – коэффициент динамической вязкости газа, μʹ – вторая или объемная вязкость; V_z – проекция скорости газа на ось z; V_r – проекция скорости газа на ось r.

Принимая во внимание сказанное выше, запишем выражение для F_d в виде

$F_d=-\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{\left.q_{zz}\right|}_{z=\frac{h_0}{2}+z_{m}f}rdrd\theta =-2\pi \underset{0}{\overset{R}{\int }}{\left.q_{zz}\right|}_{z=\frac{h_0}{2}+z_{m}f}rdr.$ (5)

Совместно с уравнением движения диска (2) необходимо рассматривать уравнения движения вязкого газа в узком канале. Учтем, что в предлагаемой постановке движение газа можно принять как ползущее [1, 18]. Тогда уравнения его движения представляют собой уравнения Навье–Стокса для сжимаемой жидкости, локальное и конвективное ускорения из которых исключены

$\frac{\partial p}{\partial r}=\mathrm{\mu }\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial V_r}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2{V}_r}{\partial z^2}-\frac{V_r}{r^2}\right)+\left({\mathrm{\mu }}^{\text{'}}+\frac{1}{3}\mathrm{\mu }\right)\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{V}_r\right)+\frac{\partial V_z}{\partial z}\right)$, (6)

$\frac{\partial p}{\partial z}=\mathrm{\mu }\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial V_z}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2{V}_z}{\partial z^2}\right)+\left({\mathrm{\mu }}^{\text{'}}+\frac{1}{3}\mathrm{\mu }\right)\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r{V}_r\right)+\frac{\partial V_z}{\partial z}\right)$.

Уравнения (6) замыкаем уравнением неразрывности для сжимаемой среды

$\frac{\partial \mathrm{\rho }}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\mathrm{\rho }{V}_r\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(\mathrm{\rho }{V}_z\right)=0$, (7)

и баротропным законом изменения плотности вязкого газа

$\frac{p}{\mathrm{\rho }}=c^2$. (8)

Здесь ρ – плотность газа; с – изотермическая скорость звука в газе (при нормальных условиях).

Уравнения (6)–(8) дополним условиями на границах контакта вязкого газа со стенками канала. В качестве условий выбираем условия прилипания вязкого газа к стенкам канала [18]

$V_r=0$, $V_z=\frac{dz}{dt}$ при $z=\frac{h_0}{2}+z_{m}f\left(\mathrm{\theta }t\right)$, $V_r=0$, $V_z=0$ при $z=-\frac{h_0}{2}$. (9)

Кроме того, запишем условия для давления на торце канала и на оси симметрии. Эти условия представляют собой условие совпадения давления в торцевом сечении канала с давлением в торцевой полости и условие ограниченности давления на оси симметрии, которые запишем в виде

$p=p_1\left(\mathrm{\omega }t\right)$ при $r=R$, $r\frac{\partial p}{\partial r}=0$ при $r=0$. (10)

Здесь учтено, что за начало отсчета давления в канале и торцевой полости принят его постоянный уровень p₀, соответствующий невозмущенному состоянию. Кроме того, будем иметь в виду, что согласно [18] при изотермическом процессе, а также для случаев одноатомных газов, объемная вязкость μʹ может быть положена равной нулю. Поэтому далее считаем в (4), (6) μʹ = 0.

Асимптотический анализ сформулированной задачи аэроупругости. Для изучения аэроупругих колебаний диска – стенки канала перейдем к рассмотрению безразмерной задачи введя следующие характерные для нее малые параметры и безразмерные переменные

$\mathrm{\psi }=\frac{h_0}{R}<<1$, $\lambda =\frac{z_m}{h_0}<<1$, $\mathrm{\tau }=\theta t$, $\xi =\frac{r}{R}$, $\varsigma =\frac{z+h_0/2}{h_0}$, $V_z=z_m\mathrm{\theta }{U}_{\varsigma }$,

$V_r=\frac{z_m\mathrm{\theta }}{\mathrm{\psi }}{U}_{\xi }$, $p=P\frac{\mathrm{\mu }{z}_m\theta }{h_0{\mathrm{\psi }}^2}$. (11)

Плотность газа представляем как ρ = ρ₀ + ρ^*, где ρ₀ – плотность газа в невозмущенном состоянии, ρ^* – плотность газа в возмущенном состоянии, изменяющаяся по баротропному закону p/ρ = с² (здесь и далее в уравнениях верхний индекс *, обозначающий возмущенное состояние газа, будем опускать и учитывать, что $p_1\left(\mathrm{\omega }t\right)=\mathrm{\mu }{z}_m\mathrm{\theta }{\left(\delta {\mathrm{\psi }}^2\right)}^{-1}{P}_1(\mathrm{\tau \omega }/\mathrm{\theta })$. Тогда, подставляя (11) в (6)–(10), получим следующие безразмерные уравнения динамики вязкого газа в узком канале

$\frac{\partial P}{\partial \xi }=\frac{{\partial }^2{U}_{\xi }}{\partial {\xi }^2}+{\mathrm{\psi }}^2\left(\frac{4}{3}\frac{{\partial }^2{U}_{\xi }}{\partial {\xi }^2}+\frac{4}{3}\frac{1}{\xi }\frac{\partial U_{\xi }}{\partial \xi }-\frac{4}{3}\frac{U_{\xi }}{{\xi }^2}+\frac{1}{3}\frac{{\partial }^2{U}_{\zeta }}{\partial \xi \partial \zeta }\right)$, (12)

$\frac{\partial P}{\partial \zeta }={\mathrm{\psi }}^2\left[{\mathrm{\psi }}^2\left(\frac{{\partial }^2{U}_{\zeta }}{\partial {\xi }^2}+\frac{1}{\xi }\frac{\partial U_{\zeta }}{\partial \xi }\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{{\partial }^2{U}_{\xi }}{\partial \xi \partial \zeta }+\frac{1}{\xi }\frac{\partial U_{\xi }}{\partial \zeta }\right)+\frac{4}{3}\frac{{\partial }^2{U}_{\zeta }}{\partial {\zeta }^2}\right]$,

$\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{{}^2}\frac{\partial P}{\partial \tau }+\mathrm{\lambda }\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{{}^2}\left(U_{\xi }\frac{\partial P}{\partial \xi }+U_{\zeta }\frac{\partial P}{\partial \zeta }\right)+\left(\frac{{\delta }^2\mathrm{\theta }}{\mathrm{\mu }/{\mathrm{\rho }}_0^{}}+\mathrm{\lambda }\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{{}^2}P\right)\left(\frac{\partial U_{\xi }}{\partial \xi }+\frac{1}{\xi }{U}_{\xi }+\frac{\partial U_{\zeta }}{\partial \zeta }\right)=0$,

и дополняющие их граничные условия

$U_{\xi }=0$, $U_{\zeta }=\frac{df\left(\mathrm{\tau }\right)}{d\tau }$ при $\zeta =1+\lambda f\left(\mathrm{\tau }\right)$, $U_{\xi }=\mathrm{0,}{U}_{\zeta }=0$ при $\zeta =0$, (13)

$P=P_1(\mathrm{\tau \omega }/\mathrm{\theta })$ при $\xi =1$, $\xi \frac{\partial P}{\partial \xi }=0$ при $\xi =0$.

Как принято в гидродинамической теории смазки [18], перейдем к рассмотрению тонкого слоя газа, исключая из рассмотрения в (12) члены порядка ψ². Затем, применим к упрощенным уравнениям тонкого слоя и граничным условиям (13) метод возмущений [19], рассматривая асимптотические разложения по малому параметру λ искомых гидродинамических параметров. Ограничиваясь первым членом разложения, в результате получим безразмерную задачу гидромеханики для тонкого слоя вязкого газа:

$\frac{\partial P}{\partial \xi }=\frac{{\partial }^2{U}_{\xi }}{\partial {\zeta }^2}$, $\frac{\partial P}{\partial \zeta }=0$, $\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{c^2}\frac{\mathrm{\mu }/{\mathrm{\rho }}_0}{h_0^2\mathrm{\theta }}\frac{\partial P}{\partial \tau }+\frac{\partial U_{\xi }}{\partial \xi }+\frac{1}{\xi }{U}_{\xi }+\frac{\partial U_{\zeta }}{\partial \zeta }=0$, (14)

с граничными условиями

$U_{\xi }=0$, $U_{\zeta }=\frac{df\left(\tau \right)}{d\tau }$ при ζ = 1, $U_{\xi }=\mathrm{0,}{U}_{\zeta }=0$ при ζ = 0, (15)

$P=P_1(\mathrm{\tau \omega }/\mathrm{\theta })$ при ξ = 1, $\xi \frac{\partial P}{\partial \xi }=0$ при ξ = 0.

Подставляя (11) в нормальное напряжение (4) и исключая из него члены порядка ψ², а также учитывая, что согласно второго уравнения (14) P не зависит от ζ, выражение для возмущающей силы (5), запишем в виде

$F_d=2\pi R^2\frac{\mathrm{\mu }{z}_m\theta }{h_0{\mathrm{\psi }}^2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}P\xi d\xi$. (16)

Используем метод итераций для решения (14) с граничными условиями (15). На первой итерации полагаем газ несжимаемым, т. е. считаем с² → ∞, что позволяет исключить из рассмотрения первый член, учитывающий сжимаемость газа, в последнем уравнении (14). На второй итерации учитываем сжимаемость газа, т. е. принимаем во внимание исключенный член, подставляя в него давление, найденное на первом шаге итерации. Тогда на первой итерации находим

$U_{\xi }=\frac{{\zeta }^2-\zeta }{2}\frac{\partial P}{\partial \xi }$, $U_{\zeta }=\frac{3{\zeta }^2-2{\zeta }^3}{12}\left(\frac{1}{\xi }\frac{\partial P}{\partial \xi }+\frac{{\partial }^{2}P}{\partial {\xi }^2}\right)$, $P=P_1(\mathrm{\tau \omega }/\mathrm{\theta })+3({\xi }^2-1)\frac{df\left(\mathrm{\tau }\right)}{d\mathrm{\tau }}$. (17)

Выполняя вторую итерацию подставляем давление (17) в третье уравнение системы (14), а затем решая ее с условиями (15) нашли закон изменения давления в канале в виде

$P=P_1+3({\xi }^2-1)\frac{df}{d\mathrm{\tau }}+3({\xi }^2-1)\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{{с}^2}\frac{\mathrm{\mu }/{\mathrm{\rho }}_0}{h_0^2\mathrm{\theta }}\frac{d{P}_1}{d\tau }+\frac{9}{14}({\xi }^4-4{\xi }^2+3)\frac{{\mathrm{\theta }}^2{\mathcal{l}}^2}{{с}^2}\frac{\mathrm{\mu }/{\mathrm{\rho }}_0}{h_0^2\mathrm{\theta }}\frac{d^{2}f}{d{\mathrm{\tau }}^2}$. (18)

Осуществляя подстановку (18) в (16) и проводя интегрирование, а затем переходя к размерным переменным определяем возмущающую силу

$F_d=\pi R^2{p}_1-\pi R^2{T}_g\frac{d{p}_1}{dt}-K_g\frac{dz}{dt}+M_g\frac{d^{2}z}{d{t}^2}$, (19)

где $K_g=\frac{3\pi }{2}\frac{R^4\mathrm{\mu }}{{h_0}^3}$, $T_g=\frac{3}{2}\frac{\mathrm{\mu }{R}^2}{{с}^2{\mathrm{\rho }}_0{h}_0^2}$, $M_g=\frac{15\pi }{8}\frac{{\mathrm{\mu }}^2{R}^6}{{с}^2{\mathrm{\rho }}_0{h}_0^5}$.

С учетом (1), (3), (19) запишем уравнение движения диска (2) в виде

$\begin{array}{c}(m-M_g)\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+K_g\frac{dz}{dt}+n_{1}z+n_3{z}^3=2\pi R^2\left(p_1-T_g\frac{d{p}_1}{dt}\right)=\\ =\pi R^2{p}_{m}A\left(\omega \right)\sin (\omega t-\gamma (\omega \left)\right).\end{array}$ (20)

Здесь $A\left(\mathrm{\omega }\right)=\sqrt{\text{1}+{\text{(}{T}_g\mathrm{\omega }\text{)}}^{\text{2}}}$, $\text{tg}\gamma \left(\mathrm{\omega }\right)=T_g\mathrm{\omega }$.

Уравнение (20) является обобщением уравнения осциллятора Дуффинга. Оно позволяет исследовать частные случаи: вязкой несжимаемой жидкости при с² → ∞ (M_g = 0, T_g = 0) и линейного упругого подвеса диска, если считать n₃ = 0. Заметим, что в правой части (20), в общем случае, две составляющих: первая определяется законом пульсации давления в торцевой полости, вторая – производной по времени от данного закона. Из (20) следует, что сжимаемость газа приводит к появлению дополнительного фазового сдвига γ, а также к уменьшению инерционных свойств колебательной системы по сравнению со случаем несжимаемой жидкости (T_g = 0 и M_g = 0). Вязкость газа и геометрические размеры канала определяют демпфирующие свойства колебательной системы (коэффициент K_g).

Основной аэроупругий отклик диска и его фазовый сдвиг. Для решения (20) используем метод гармонического баланса [17, 20]. Примем во внимание, что при изучении колебаний механических систем главное внимание уделяется основным колебаниям на частоте вынуждающей силы [17]. Поэтому при проведении метода cчитаем частоту колебаний диска близкой к частоте пульсации давления в торцевой полости θ ≈ ω и ищем решение в виде z = z_msin(ωt – γ) (т. е., применяя метод, рассматриваем одночленное разложение в ряд Фурье на основной частоте). Правую часть (20) представляем как πR²p_mA(ω)sin(ωt – γ + φ), учитывая фазовый сдвиг φ за счет сил вязкого трения газа [17]. В результате получаем следующую алгебраическую систему:

$\left[n_1+\frac{3}{4}{n}_3{z}_m^2-(m-M_g){\omega }^2\right]z_m=\pi R^2{p}_{m}A\left(\omega \right)\mathrm{cos\varphi },$ $K_g\omega z_m=\pi R^2{p}_{m}A\left(\omega \right)\mathrm{sin\varphi }.$ (21)

Разрешая (21), находим основной нелинейный аэроупругий отклик диска

$z_m=\frac{\pi R^2{p}_m\sqrt{\text{1}+{\text{(}{T}_{\text{g}}\omega \text{)}}^{\text{2}}}/(m-M_g)}{\sqrt{{\left({\omega }_{*}^2-{\omega }^2\right)}^2+{\left(K_g\omega /(m-M_g)\right)}^2}}$ (22)

и его фазовый сдвиг

$\text{tg}\mathrm{\varphi }=\frac{K_g\omega /(m-M_g)}{{\omega }_{*}^2-{\omega }^2}.$ (23)

Здесь ${\omega }_{*}^2=(n_1+(3/4\left)n_3{z}_m^2\right)/(m-M_g)$ – скелетная кривая, определяющая изменение собственной частоты консервативной нелинейной системы, соответствующей рассматриваемой нами при K_g = 0, т. е. при исключении вязкости газа.

Заметим, при n₃ = 0 скелетная характеристика совпадает с собственной частотой линейного консервативного осциллятора. Переходя к безразмерной частоте $\mathrm{\eta }=\sqrt{{\omega }^2(m-M_g)/n_1}$ запишем (22), (23) в виде

$z_m=\frac{\pi R^2{p}_m\sqrt{1+{\left(T_{\text{g}}\mathrm{\eta }\right)}^2{n}_1/(m-M_g)}/n_1}{\sqrt{{({\mathrm{\eta }}_{*}^2-{\mathrm{\eta }}^2)}^2+S^2{\mathrm{\eta }}^2}}$, (24)

$\text{tg}\phi =\frac{S\mathrm{\eta }}{{\mathrm{\eta }}_{*}^2-{\mathrm{\eta }}^2}$, (25)

где ${\mathrm{\eta }}_{*}^2=1+(3/4)n_3{z}_m^2/n_1$ – безразмерная скелетная характеристика, $S^2=K_g^2/\left(\right(m-M_g)n_1)$.

Найденные основной аэроупругий отклик и фазовый сдвиг (22)–(25) при n₃ ≠ 0 являются неявными функциями, однако, их исследование можно провести численно. Приведем пример такого исследования для следующих исходных данных: R = 0.2 м, h₀ = 5∙10^–4 м, ρ₀ = 1.2 кг/м³, μ = 18.1∙10^–6 кг/(м∙с), с = 290 м/с, n₁ = 6∙10⁸ Н/м, n₃ = 2∙10¹⁶ Н/м³, m = 3 кг, p_m = 10⁴ Па.

На рис. 2–4 представлены результаты расчетов нелинейного и линейного (n₃ = 0) аэроупругих откликов диска и соответствующих им фазовых сдвигов по (24), (25) для амплитуд пульсации давления в торцевой полости p_m = 10⁴ Па; p_m = 2∙10⁴ Па. Графики на рис. 2 соответствуют случаю вязкого сжимаемого газа, а на рис. 3 – случаю вязкого несжимаемого газа (жидкости, т. е. при M_g = 0 и T_g = 0). На рис. 4 приведены графики для вязкого сжимаемого газа при уменьшенном зазоре между дисками h₀ = 3.5∙10^–4 м.

 

Рис. 2. Аэроупругий отклик (а) и фазовый сдвиг (б) диска при учете сжимаемости газа (h₀ = 5∙10^–4 м, η = 1 соответствует ω = 14235.35 рад/с): 1 – нелинейно-упругий подвес диска p_m = 10⁴ Па; 2 – нелинейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 3 – линейно-упругий подвес диска p_m = 10⁴ Па; 4 – линейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 5 – скелетная кривая η_*.

 

Рис. 3. Аэроупругий отклик (а) и фазовый сдвиг (б) диска без учета сжимаемости газа (h₀ = 5∙10^–4 м, η = 1 соответствует ω = 14142.13 рад/с): 1 – нелинейно-упругий подвес диска p_m 10⁴ Па; 2 – нелинейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 3 – линейно-упругий подвес диска p_m = 10⁴ Па; 4 – линейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 5 – скелетная кривая η_*.

 

Рис. 4. Аэроупругий отклик (а) и фазовый сдвиг (б) диска при учете сжимаемости газа (h₀ = 3.5∙10^–4 м, η = 1 соответствует ω = 14725.56 рад/с): 1 – нелинейно-упругий подвес диска p_m = 10⁴ Па; 2 – нелинейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 3 – линейно-упругий подвес диска p_m = 10⁴ Па; 4 – линейно-упругий подвес диска p_m = 2∙10⁴ Па; 5 – скелетная кривая η_*.

 

Выводы и заключение. Проведенное исследование позволило установить, что изменение плотности газа в канале приводит к дополнительному фазовому сдвигу в заданном на торцах законе пульсации давления. Численное исследование нелинейного и линейного аэроупругого отклика диска и его фазового сдвига показало, что сжимаемость газа приводит, в сравнении с несжимаемый случаем, к возрастанию значений амплитуд колебаний диска и незначительному уменьшению инерционных свойств рассматриваемой колебательной системы, что проявляется в небольшом увеличении значений резонансных частот диска. Жесткая кубическая нелинейность подвеса ведет к изгибу характеристик вправо и росту значений резонансных частот с ростом амплитуд пульсации давления в торцевой полости в сравнении с линейным случаем. Изгиб кривых аэроупругого отклика, как известно [16, 17], может приводить к неустойчивым колебаниям диска со скачкообразным изменением амплитуд в частотном диапазоне данного изгиба. Расчеты, представленные на рис. 2, 3, показали возможность данных колебаний. С другой стороны, показано, что уменьшение зазора между дисками ведет к подавлению амплитуд колебаний и интенсивности изгиба характеристик (рис. 4), и, как следствие, к подавлению возможности неустойчивых колебаний. В случае линейно-упругого подвеса диска изгиба кривых аэроупругого отклика и фазового сдвига вправо нет, т. е. резонансная частота не завит от амплитуды пульсации давления в торцевой полости и отсутствует зона неустойчивых колебаний. При этом кривые фазового сдвига для разных амплитуд пульсации давления совпадают (рис. 2–4, кривые фазового сдвига 3, 4).

Предложенная в статье модель нелинейных аэроупругих колебаний диска и полученные на ее основе аэроупругий отклик и фазовый сдвиг, а также результаты исследования данных характеристик можно использовать для изучения динамики газовых и жидкостных демпферов и опор с нелинейно- и линейно-упругими связями, а также для упругих чувствительных элементов датчиков давления, имеющих нелинейно-упругий подвес.

Финансирование работы. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-29-00159.

Конфликт интересов. Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Об авторах

В. С. Попов

Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.; Институт проблем точной механики и управления – обособленное структурное подразделение ФГБУН Федерального исследовательского центра “Саратовский научный центр Российской академии наук”

Автор, ответственный за переписку.
Email: vic_p@bk.ru
Россия, Саратов; Саратов

А. А. Попова

Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.

Email: vic_p@bk.ru
Россия, Саратов

Список литературы

Дополнительные файлы