Random ensembles of particles with pentagonal symmetry: densification and properties

Толық мәтін

ВВЕДЕНИЕ

Случайные двухмерные и трехмерные упаковки одинаковых частиц представляют интерес как упрощенные модели дисперсных сред, коллоидов, жидких кристаллов, расплавов, металлических стекол, порошковых смесей и композитов [1–7]. Многие закономерности, характерные для трехмерных ансамблей, присутствуют и в двухмерных — сжатие последних используется как физико-химическая модель уплотнения и фазовых переходов в системах жидкость (расплав)-аморфная среда-кристаллическая фаза. Исследованию уплотнения и статистико-геометрических свойств ансамблей жестких дисков (hard disks, HD) посвящены многие работы [8–10]. Детально исследованы предельные плотности упаковки, корреляционные функции, координационные числа и их распределения [8], а также физико-химические свойства таких систем (при молекулярно-динамическом моделировании). Двухмерные ансамбли одинаковых частиц (фигур) несферической формы также были предметом многих исследований, начиная, видимо, с работы Онзагера [11]. В последние годы интерес к таким системам не уменьшается [12].

Свойства случайных ансамблей дисков и правильных многоугольников, полученных методом случайной последовательной адсорбции (RSA), были достаточно подробно изучены — например, в работах [13–20]. Алгоритм RSA включает размещение неперекрывающихся частиц со случайными координатами до «насыщения» поверхности. Этот алгоритм интуитивно понятен, хорошо запротоколирован и дает воспроизводимые результаты. Максимальные плотности упаковки для правильных пентагонов, полученные таким образом, составляют приблизительно 0.5413 [15] и практически не зависят от соотношения линейных размеров частиц и квадратного «бокса», в котором они размещаются, если это соотношение составляет менее 0.01 (что соответствует количеству частиц > 10⁴).

Дальнейшее уплотнение «начальных» ансамблей частиц, полученных методом RSA, требует использования других алгоритмов. Наиболее распространенными являются модификации способа Любашевского—Стиллинджера [17], включающие пошаговое увеличение линейных размеров всех частиц упаковки с «релаксацией» на каждом шаге. Используется также моделирование «осаждения» частиц под действием направленной силы [18]. Вместе с тем до настоящего времени применяются и «натурные» эксперименты, при которых исследуются статистико-геометрические свойства случайных ансамблей реальных частиц, размещенных на плоском пластиковом столе и уплотняемых путем смещения границ упаковки [19, 20].

Автором [21–23] были определены предельные плотности случайных ансамблей жестких дисков и 3D-сфер, найдены координационные распределения для упаковок частиц произвольной формы (в частности, дисков) [24]. В работе [25] проведено сравнение функций радиального распределения и координационных чисел для всего ансамбля частиц и малой группы фиксированных (pinned) 2D- и 3D-сфер внутри него, найдены закономерности изменения среднего исключенного объема и уточнены предельные плотности случайных упаковок сфер.

Пентагон, возможно, является одним из наиболее интересных правильных многоугольников. Это связано с «золотым сечением» и другими его замечательными особенностями. Пентагональная симметрия в материалах, как правило, связана со структурой квазикристаллов [26] и металлических стекол [27, 28]. Частицы-кристаллы с пентагональной симметрией могут быть получены путем электрохимического осаждения ряда металлов на плоской поверхности [29, 30]. В данной работе изучены статистико-геометрические свойства (предельные плотности, корреляционные функции) случайных ансамблей жестких правильных пентагонов при различных плотностях упаковки на плоскости. При этом начальные ансамбли получали методом RSA, а более плотные — с использованием модификации алгоритма Любашевского—Стиллинджера (LS). Свойства упаковок пентагонов сравнивались с таковыми для ансамблей жестких дисков, полученных аналогичным способом.

АЛГОРИТМЫ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Размещение частиц (с радиусом описанной окружности R, радиусом вписанной окружности r и площадью s) производили в квадратном боксе, при соотношении диаметра D и стороны бокса (L), равном 0.01 (общее число частиц N порядка 10⁴). Статистико-геометрические свойства исследовали во «внутренней» области, достаточно удаленной от границ бокса, чтобы избежать «граничных эффектов». Практически такая реализация отвечает периодическим граничным условиям для «внутреннего» бокса. При таком (или большем) общем количестве частиц N (вплоть до 10⁵–10⁶) статистико-геометрические свойства (в пределах статистического разброса) практически не изменяются для различных соотношений D/L. Так, предельные плотности упаковки η = Ns / L² для случайной последовательной адсорбции (осаждения) правильных пентагонов на плоскости составляют [15], соответственно, при D/L = 0.01; 0.003; 0.001 – 0.541319; 0.541241; 0.541344. Похожие закономерности были выявлены и в настоящей работе. Поэтому в данном исследовании использовали фиксированное соотношение D / L для частиц, равное 0.01.

Алгоритм RSA был реализован следующим образом. Частицы размещали последовательно, со случайными координатами, при этом количество «неудачных» попыток (итераций) для последней размещенной частицы было ограничено величиной K, которую изменяли в пределах 1 · 10²—15 · 10⁷. Зависимость достигнутого значения плотности упаковки от максимального числа итераций (на одну частицу) η (K) хорошо описывается степенным законом, аналогичным описанному в [14] для общего числа итераций (с несколько другими значениями параметров):

$\eta \left(K\right)=A–B·K^{(–1/C)}$, (1)

где величина A определяет максимально достижимую плотность упаковки при RSA, величины B и C – коэффициенты. Кривая зависимости (1) для ансамбля пентагонов показана на рис. 1. Она описывается уравнением (1) с высоким коэффициентом детерминации (r² = 0.9989). Величина наибольшей плотности для RSA, полученная нами, оказалась равной 0.54306 ± 0.00220. Значения коэффициентов: B = 0.64136 ± 0.05760; C=3.85916 ± 0.21890. Можно видеть, что данная плотность упаковки (в пределах статистического разброса) совпадает с литературным значением [15] – 0.541319.

Рис. 1. Зависимость плотности упаковки η от максимального заданного числа итераций (K) на последнюю размещенную частицу.

«Стартовые» упаковки пентагональных частиц для дальнейшего уплотнения генерировали, не достигая предельных плотностей для алгоритма RSA. Как правило, ограничивались максимально заданным числом итераций (для последней размещенной частицы) от 1000 до 100000. При соотношении D/L = 0.01 это отвечало количеству пентагонов приблизительно 7000–8000. Как отмечено выше, дальнейшее уменьшение D/L (и увеличение количества частиц до 10⁵ и более) практически не сказывалось на результатах исследования статистико-геометрических свойств во «внутренней» области ансамбля. Последнюю выбирали обычно, отступая по 10% от длины L с каждой стороны бокса.

«Стартовую» упаковку со случайным расположением частиц уплотняли с помощью алгоритма, аналогичного способу LS [17]. Радиусы вписанной окружности r (и линейные размеры частиц) увеличивали пошагово, на каждом шаге умножая их на 1.001. После этого частицам задавали потенциальное перемещение в случайном направлении на малое случайное расстояние (с одновременным поворотом на малый случайный угол). Эти действия повторяли для всех частиц упаковки до достижения максимально заданного количества попыток M (обычно – не более 1000). Если при этом удавалось получить конфигурацию, при которой ни один из многоугольников не перекрывался с другим, а также не выходил за границу упаковки – эта новая конфигурация сохранялась в виде списка координат центров и ориентационных углов. После этого линейный размер частиц вновь увеличивался и все операции повторялись.

Подобный (в геометрическом отношении) способ уплотнения эффективен для случайных упаковок частиц различной формы в двухмерном и трехмерном пространстве (в частности, жестких дисков, жестких сфер, платоновых многогранников и др. [23, 25, 31, 32]). В случае правильных пентагонов такой алгоритм позволяет «уплотнить» исходный RSA-ансамбль от начальных плотностей упаковки η ≈ 0.45–0.50 до конечных значений η ≈ 0.80–0.84. В результате расчетов получали до нескольких сотен файлов-списков координат (для каждой промежуточной плотности упаковки), которые в дальнейшем использовали для визуализации, генерации кинематограмм уплотнения, исследования корреляционных функций и других свойств упаковок. На рис. 2 в качестве примера показана исходная (а) и конечная (б) упаковки пентагонов для относительно большого (в целях визуализации) размера частиц (D / L = 0.1). На рис. 3 дана зависимость величины количества попыток смещения M от достигнутой плотности упаковки.

Рис. 2. Исходный (а) и финальный (б) ансамбли одинаковых правильных пентагонов в квадратном боксе при начальном соотношении D / L ≈ 0.1.

Рис. 3. Зависимость числа попыток смещения M от достигнутой плотности упаковки η.

Это количество попыток практически не изменяется и составляет в среднем 2–5 на интервале плотностей от стартовой вплоть до ≈ 0.75–0.77. После этого величина M резко возрастает и увеличивается асимптотически с приближением к максимально достигнутой. Дальнейшее увеличение количества попыток практически не дает роста плотности упаковки. Иногда вблизи максимальной плотности встречаются локальные «выбросы» числа M с приближением к асимптоте (см. рис. 3).

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Применение описанного выше алгоритма уплотнения позволяет получить случайные ансамбли жестких одинаковых пентагонов в квадратном боксе при плотности упаковки от стартовой (RSA) до максимально сжатой (близкой к так называемому maximally random jammed state, MRJ [2]). При заданном соотношении начального диаметра описанной вокруг частицы окружности и линейного размера ящика (D / L = 0.01) нами при каждом «запуске» программы были получены последовательности файлов-списков координат и углов ориентации частиц для различных плотностей упаковки с относительно малым «шагом».

На рис. 4 приведены результаты применения описанного выше алгоритма уплотнения при разных «стартовых» плотностях RSA-упаковки. Можно видеть, что при соотношении D / L = 0.01 финальная плотность (η_max) практически не зависит от «стартовой». В линейной аппроксимации она составляет 0.8381 ± 0.0020. Данное значение соответствует плотности упаковки для второго «фазового перехода» в системе жестких пентагонов, изученной методом Монте-Карло [33].

Рис. 4. Зависимость максимальной достигнутой плотности упаковки η_max в стартовой и финальной (jammed) упаковке от заданного наибольшего числа итераций (K_RSA) на размещенную частицу в стартовом RSA-ансамбле.

Для каждой из упаковок находили парную корреляционную функцию G (x / d) = ρ / ρ₀, где x – расстояние между центрами соседних частиц; d = 2r – диаметр вписанной в пентагон окружности; ρ – числовая плотность, равная количеству центров соседних частиц на единицу площади в слое [x; x + Δx] вокруг заданной частицы; ρ₀ – средняя числовая плотность (число частиц на единицу площади). Интервал Δx для расчетов выбирали равным 0.01d. Статистико-геометрические свойства определяли методом Монте-Карло во «внутренней» области бокса со стороной (L – 10D) и центром, совпадающим с центром бокса. На рис. 5 показаны функции G(x/d) для исходной, двух промежуточных и близкой к финальной плотностей упаковки.

Рис. 5. Парные корреляционные функции ансамбля пентагонов для плотностей упаковки η = 0.445 (а), 0.650 (б), 0.751 (в) и 0.839 (г).

На рис. 6 для сравнения представлены радиальные функции распределения для ансамбля жестких дисков с размерными характеристиками (D / L = 0.002, N ~ 10⁵), полученными в настоящей работе по аналогичному алгоритму уплотнения. Отметим, что финальная плотность упаковки для ансамбля жестких частиц зависит от параметров алгоритма уплотнения. Так, для дисков достигнутая финальная плотность упаковки [34] варьировалась в пределах 0.852–0.895. При этом в ансамбле возрастает доля «кристаллической» фазы, что можно наблюдать как на его 2D-изображениях[34], так и по росту соответствующих пиков корреляционной функции.

Рис. 6. Радиальные функции распределения для ансамбля жестких дисков при плотности упаковки η = 0.518 (а), 0.650 (б), 0.750 (в) и 0.836 (г).

На рис. 7 приведены визуализированные массивы корреляционной функции G (x / d) для уплотняемого ансамбля правильных пентагонов (в виде трехмерного графика для различных плотностей упаковки).

Рис. 7. Корреляционная функция G (x / d) для случайного ансамбля правильных пентагонов при различных плотностях упаковки η.

Рис. 8. Зависимость максимальной достигнутой плотности упаковки от соотношения радиусов вписанной и описанной окружности для звездообразных фигур с пентагональной симметрией.

Для других частиц с пентагональной симметрией (пятиконечные звезды) нам не удалось с помощью описанного алгоритма получить финальные упаковки с плотностью η_max, близкой к таковой для дисков и правильных пентагонов. В табл. 1 приведены максимальные плотности ансамблей пятиконечных звездообразных частиц, полученные в рамках описанного выше алгоритма уплотнения, в зависимости от радиуса вписанной окружности. При радиусе описанной окружности R = 1 и радиусе вписанной окружности r ≈ 0.809017 звезда «вырождается» в правильный пятиугольник. При R = r = 1 многоугольник «вырождается» в диск.

Таблица 1. Максимальные плотности упаковки, достигнутые для ансамблей частиц с пентагональной симметрией

Можно наблюдать, что использованный в работе алгоритм уплотнения «стартовой» RSA упаковки частиц позволяет получить достаточно высокие плотности для пентагонов. Звездообразные частицы с пентагональной симметрией (в зависимости от радиуса вписанной окружности) демонстрируют существенно меньшие плотности упаковки.

На графиках корреляционных функций (рис. 5, 6) можно видеть сравнительно близкое поведение ансамблей пентагонов и жестких дисков. В том и другом случае наблюдается появление выраженных множественных пиков G (x / d) уже после достижения плотности упаковки η ≈ 0.7 и более. В то же время высота пиков в процессе частичной «кристаллизации» ансамбля существенно больше в случае жестких дисков. При этом первый пик G (x / d) для пентагонов разделяется на два «подпика», а второй – на два «подпика», каждый из которых имеет боковое «плечо» (при достаточно высокой плотности упаковки). Для дисков пики, связанные с наличием «упорядоченной» фазы, выражены более четко.

В целом если рассматривать совокупность частиц с пентагональной симметрией, достаточно высоких плотностей удается достигнуть только для выпуклых частиц (правильных пятиугольников). Относительно простой механизм уплотнения, принятый в данной работе, для невыпуклых частиц (таких, как пентаграмма) работает менее эффективно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследованы плотности и статистико-геометрические характеристики случайных упаковок правильных пятиугольников на плоскости. Начальный ансамбль генерировали методом случайной последовательной адсорбции (RSA). Конечный ансамбль получали путем поэтапного увеличения линейных размеров двухмерных частиц при фиксированной плотности квадратного «бокса». Такой способ уплотнения упаковки является модификацией известного алгоритма Любашевского—Стиллинджера (Lubachevsky-Stillinger, LS). Показано, что плотность упаковки финального ансамбля для данного алгоритма практически не зависит от начальной плотности (при общем числе частиц порядка 10⁴ и более). При этом плотности упаковки η > 0.75–0.80, при которых наблюдается частичная «кристаллизация» ансамбля, достигаются только для выпуклых (convex) многоугольников. Случайные ансамбли других частиц с пентагональной симметрией (звезд) с различным соотношением радиусов вписанной и описанной окружностей не уплотняются до состояния, при котором могло бы начаться частичное упорядочение упаковки.

Максимальная плотность упаковки стартового ансамбля правильных пентагонов, полученная методом RSA, составила 0.54306 ± 0.00220, что хорошо согласуется с литературным значением [15]. Наибольшая (финальная) плотность, достигнутая после уплотнения стартового ансамбля, составила для пентагонов 0.8381 ± 0.0020. Это значение близко к величине, найденной по аналогичному алгоритму для упаковки жестких дисков (0.84—0.86).

Корреляционные функции жестких дисков и пентагонов демонстрируют ряд общих закономерностей. В то же время «кристаллизация» ансамбля жестких дисков при относительно высоких плотностях, близких к максимально достигнутым, выражена более резко. При этом «пики» G (x / d) для пентагонов ожидаемо имеют меньшую высоту и большую ширину, более сложное строение, связанное с различием радиусов вписанной и описанной окружностей.

Отметим, что относительно несложный алгоритм уплотнения «стартовых» случайных упаковок многоугольников, примененный в работе, позволяет «уплотнять» двухмерные ансамбли любых выпуклых и невыпуклых многоугольников (без самопересечений). Однако частичное упорядочение и достаточно высокие плотности (отвечающие началу «кристаллизации» ансамбля) достигаются при его использовании только для выпуклых частиц.

Работа выполнена по Государственному заданию ИМЕТ УрО РАН.

Авторлар туралы

A. Shubin

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: fortran@list.ru
Ресей, Ekaterinburg

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар

Әрекет

1. JATS XML

Жүктеу

2. Fig. 1. Dependence of the packing density η on the maximum given number of iterations (K) on the last placed particle.

Жүктеу (47KB)

Метадеректер

3. Fig. 2. Initial (a) and final (b) ensembles of identical regular pentagons in a square box at initial ratio D / L ≈ 0.1.

Жүктеу (217KB)

Метадеректер

4. Fig. 3. Dependence of the number of displacement attempts M on the achieved packing density η.

Жүктеу (43KB)

Метадеректер

5. Fig. 4. Dependence of the maximum achieved packing density ηmax in the starting and final (jammed) packing on the given largest number of iterations (KRSA) per placed particle in the starting RSA ensemble.

Жүктеу (62KB)

Метадеректер

6. Fig. 5. Pairwise correlation functions of the pentagon ensemble for packing densities η = 0.445 (a), 0.650 (b), 0.751 (c), and 0.839 (d).

Жүктеу (144KB)

Метадеректер

7. Fig. 6. Radial distribution functions for the ensemble of hard discs at packing densities η = 0.518 (a), 0.650 (b), 0.750 (c) and 0.836 (d).

Жүктеу (147KB)

Метадеректер

8. Fig. 7. Correlation function G (x / d) for a random ensemble of regular pentagons at different packing densities η.

Жүктеу (140KB)

Метадеректер

9. Fig. 8. Dependence of the maximum achieved packing density on the ratio of the radii of the incircle and circumcircle for star-shaped figures with pentagonal symmetry.

Жүктеу (49KB)

Метадеректер