Recognition of projectively transformed planar figures. XVII. Using plucker’s reciprocity theorem to describe ovals with an external fixed point

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Прежде чем перейти к обсуждению задачи проективно инвариантного описания сцен вида “о + ext-P”, где о – плоская выпуклая фигура семейства овалов, a ext-P – неким образом выделенная точка P во внешней ее окрестности, традиционно уведомим читателя, что данный текст адресован интересующимся вопросами автономного анализа формы и не подразумевает навыков профессиональной подготовки в этой сфере.

Уяснение сути обсуждаемых проблем и понимания модельных итогов работы может обеспечить осведомленность в общих вопросах естественнонаучного плана. Идеи автора донесены в образной геометрической форме. Точное понимание деталей в вводимых далее схемах и приемах численной обработки фигур не требует знакомства с миром образов и логикой обсуждаемых ее методов. Текст насыщен подробными иллюстрациями (графическими копиями продуктов компьютерного моделирования, полученных для разных сценариев с о), снабженных комментариями, что, возможно, удовлетворит и неспециалистов.

В статье рассмотрены и с привлечением численных моделей обсуждаются новые результаты (сценарии задач, методы и компьютерные схемы их решения) развития темы, отраженной в цикле авторских работ о распознавании овальной фигуры о по плоской центральной ее проекции инвариантно к группе проективных преобразований плоского контура о в 3D-пространстве сцены. Это дробно-линейное преобразование, включающее восемь независимых параметров, фигурирует еще и под именем “преобразование гомографии”.

Предмет нашего исследования – кривые семейства о – плоские гладко-замкнутые чисто выпуклые фигуры. Овал общего вида, как объект геометрии, не предполагает формулы аналитического описания, единой для семейства о (аналитический порядок кривой не фиксирован и может вообще отсутствовать), равно как и не имеет опорных элементов контура о, традиционно используемых в распознавании фигур по особенностям их геометрии, – наподобие точек излома, перегиба, спрямления, двойного касания и пр.).

Приведенное определение о, возможно, объясняет трудности получения устойчивого описания о, не зависящего от ракурса оптической регистрации о технической системой опознания: исключительно дифференциальные методы анализа, продуцирующие инвариантное описание о (эти приемы давно предложены в теории плоских кривых (Картан, 1933)), не пригодны для дискретного входного задания о в силу точностных требований при оценке локальных производных высокого порядка у “поточечно” описываемой кривой, каковые абсолютно нереализуемы практически (при любых технически возможных характеристиках разрешения камер и сканеров).

По упомянутым причинам для проективно инвариантной репрезентации о необходимо получить какие-то дополнительные данные о его структуре. Ресурсно экономные методы анализа и проективно инвариантного опознания о возможны в случае задания о совместно с линейным элементом (точкой либо прямой произвольной ориентации относительно о (Николаев, 2011; 2019)) в плоскости о. Если же об о априори известно, что ему присущи свойства симметрии, то таким дополнительным атрибутом его описания могут послужить позиции найденных (с применением предложенных нами переборных либо итерационных численных методов) осей либо центров симметрии C, а также и “линии горизонта” HL, имеющей c C однозначную позиционную связь для о неявной центральной симметрии разных типов (радиальной, поворотной либо совмещающей аксиальные и центральные ее аспекты, как это присуще кривым Ламе).

Схемы и быстрые алгоритмы поиска элементов симметрии (полного набора ее вариантов) разработаны, численно смоделированы и описаны (Николаев, 2014; 2016), следствием чего стал возможен общий подход к сценам вида “о + int-P” (P – внутренняя точка поля фигуры, теорема 1 (Савчик, Николаев, 2016)), а также композициям “о + ext-L” (внешняя по отношению к о прямая L, теорема 2 (Балицкий и др., 2017)).

Целью анализа в этой работе станут сцены типа “о + ext-P”, ранее нами не рассмотренные. Подобная композиция, с оглядкой на полюс-полярные отношения, исследованные Ю. Плюккером на материале коник, в части схем обработки полностью эквивалентна варианту вида “о + int-L”. Поскольку отправной точкой изложения (в качестве мотивационного бэкграунда) объявлена связь с теорией Плюккера, показавшего фундаментальным принципом двойственности (именуемым и симметрией обмена) позиционные отношения точки и прямой на плоскости, логичным представляется изложить основные положения этой теории.

Ее привлечение и дало для исследования более сложных, чем эллипс, овальных кривых, инструменты их анализа: прямолинейные плюккеровы поляры трансформированы в криволинейные (уходящие в бесконечность и возвращающиеся из нее) H- и T-поляры, в гармонические контуры, в состоящие из двух ветвей дуальные поляры, а плюккровы полюса обеспечили преемственность дуальных пар и эллиптических точек (Николаев, 2011, 2015, 2016). Всецело достаточный для анализа коник проективный инвариант – линейный вурф, сообразно возросшим запросам проективной геометрии увеличил размерность, став плоскостным вурфом (Депутатов, 1927; Глаголев, 1963).

1. ПОЛЮС-ПОЛЯРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ, ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ СЕМЕЙСТВА ОВАЛОВ О

Любая точка P плоскости кривой, ей не принадлежащая, по Плюккеру именуется полюсом, а всякая прямая L, находящаяся в проективном для полюса соответствии, – полярой. Правило соответствия наиболее просто формулируется для ext-P и int-L: полюс P, внешний по отношению ко всякому эллипсу э (т. е. э любого размера, расположения, ориентации и эксцентриситета), задает для него поляру L как прямую, проходящую через две точки прикосновения на э касательных из P к э (рис. 1).

Рис. 1. Полюс-полярные отношения для семейства квадратичных кривых (коник) на примере эллипса, формула вычисления вурфа (через длины трех отрезков) и основные положения теоремы взаимности Ю. Плюккера. Остальные пояснения в тексте

Так, на рис. 1 полюсу P соответствует поляра AB, полюсу D – поляра LR, а для T ею является прямая через MN. Здесь и на всех последующих рисунках значки →, t(n) и × следует понимать как “является результатом операции”, “касательная в точке n” и “касательная в пересечении” соответственно.

На том же рис. 1 уяснить, что такое вурф W, помогут чертеж и формула в верхней его части. Модуль вурфа W (т. е. абсолютное его значение, не зависящее от знака, который по более полному математическому определению W может быть и отрицательным, что в пределах данного рассмотрения нас интересовать не будет) вычисляется на прямой с выделенной четверкой точек, фиксирующих на ней три отрезка a, b и c между ними. Длины этой тройки отрезков и привлекаются для оценки W (как числа, не имеющего физической размерности) согласно формуле W = ac / b(a + b + c).

Среди множества композиций, задающих численную оценку W, есть особая, для нашего рассмотрения наиважнейшая: это та, что обеспечивает выполнение свойства W = 1. Именно такой вурф называется гармоническим. Он порождается, например, такой композицией: {a = 2, b = 1, c = 3} (см. чертеж на рис. 1). Но, что адекватно ситуациям для рассматриваемых нами ортоформ о с симметриями, гармонический вурф порождается и композициями вида {x, x, ∞}, т. е. соответствует случаю двух соседних отрезков произвольной конечной и равной длины, тогда как крайний имеет “бесконечную” длину (в математике эту настолько удаленную четвертую точку называют принадлежащей несобственной области).

Заметим, что этот “фантастический прыжок из бесконечности” к изобразимому в конечных координатах о как раз и описывается переходом композиции {x, x, ∞}, например, в {2, 1, 3}, что под силу (утверждение проективной геометрии) преобразованию гомографии.

Этот пример не только дает ясную математическую интерпретацию обстоятельств физической оптики (случай регистрации плоских кривых камерами под разными углами оптической их оси по отношению к плоскости фигур, ограниченных кривыми), но и имеет непосредственное отношение к визуальному миру человека: оптику человеческого глаза довольно точно приближает модель камеры обскуры, задающей зрительный образ в виде плоской центральной проекции. С проекциями такого рода как раз, и имеет дело преобразование гомографии.

Смена оптического ракурса от ортогонального к наклонному задает переход коллинеарных троек отрезков (в выделенной плоской сцене) от композиций вида {x, x, ∞} к {a, b, c} (со всеми тремя конечными длинами, выражающими оценку W), что знакомым нам (по зрительному опыту) образом сопровождается появлением в поле зрения линии горизонта в полном соответствии с законами линейной перспективы.

Накоплен инструментарий и дан список терминов, необходимый для внятного (не требующего гипотез интерпретации и математической спецподготовки) перехода к двум декларациям теоремы взаимности, которые мы вычленяем из нее (для успешной работы с семейством о), используя их уже независимым образом. Ими объявляются проективно инвариантные свойства касательных (назовем их тангенциальными, они эксплицируют свойства предложенных нами T-поляр) и свойства вурфов, как координатных оценок для прямых в сцене, измерительными эталонами которой по проективным законам уже не могут быть углы, длины, свойства параллельности (как инварианты аффинной геометрии), применимые в привычной геометрии Декарта. Эти свойства (а именно гармонические) определяют проективную инвариантность введенных и успешно используемых H-поляр.

Обратимся к рис. 1. Теорема гласит: “Для произвольного полюса P на его поляре AB можно задать в произвольной позиции некий второй полюс (для определенности на рисунке выбраны позиции D и T по разные стороны от отрезка поляры AB) и его поляра (в нашем примере это поляры LR и MN) пройдет через P”.

Так как в описании сцены к первой поляре добавилась вторая (это LR либо MN), в итоге ее графика включает две коллинеарных четверки точек, поскольку появилась позиция их пересечения (у нас это C1 либо C2 c образованием квартетов {P, R, C1, L} и {D, A, C1, B}, либо пары {P, N, C2, M} и {T, B, C2, A}).

Теперь можно сформулировать второй тезис теоремы: “Два появившихся коллинеарных квартета имеют неизменную особенность: они гармонические”. Формально это утверждение можно выразить через оценки: W(P, R, C1, L) = 1 и W(D, A, C1, B) = 1 (что в альтернативном варианте выглядит как W(P, N, C2, M) = 1 и W(T, B, C2, A) = 1). На рис. 1 эти соотношения приведены на врезках с правой стороны.

Напомним, что согласно теореме 2 об инвариантных свойствах прямой ext-L, внешней относительно о (Балицкий и др., 2017) на ext-L имеется не менее двух пар точек (в цикле наших работ именуемых дуальными парами, ДП), где каждая ДП в терминах Плюккерова полюс-полярного соответствия дуально симметрична по неким полюсам, инцидентным ext-L. На рис. 1 этот факт отражен в простейшей его реализации (не для о, а применительно к свойствам э): парами вида ДП являются P..D либо T..P, а их ext-L – это PD (либо PT).

Каждая ДП детерминирует на контуре о (у нас это кривая э) свой квартет проективно инвариантных вершин: здесь ими являются {A, R, B, L} либо {A, N, B, M}. Теорема 2 гарантирует наличие на ext-L для о общего вида не менее двух ДП, что на его контуре фиксирует октет стабильных вершин, эффективно используемых для проективно инвариантного описания о (Николаев, 2017; 2022).

Для излагаемого здесь подхода ситуация зеркально симметричная: стартовым условием является наличие в сцене не прямой ext-L, а плюккерова полюса ext-P, который для о детерминирует свою (плюккерову) поляру, и ее свойства можно привлечь для реализации инвариантных репрезентаций в новой постановке.

О проективно стабильных свойствах композиции “о + ext-P” теорем (аналогов теоремы 2) пока нет. Но на все еще не исчерпывающим образом изученные свойства ДП с новой точки зрения позволяет взглянуть тот же рис. 1.

Заявленная цель – предложить итоговое описание о в виде 2D вурф-отображения – с неизбежностью подводит к необходимости рассмотрения перспектив получения не менее двух независимых вурф-функций, вычисляемых по всем вершинам входной дискретной аппроксимации о для некой общей точки ext-P. Обобщенная инверсия свойств, нами заложенных в структурную организацию Н-поляр (“обобщение” состоит в игнорировании свойств гармонизма для лучей сканирования контура извне при неизменности вычисления вурф-оценок для них) дает метод получения первой W-функции. Назовем ее радиальной.

Поскольку для полюса P (см. рис. 1) поляра AB также однозначно фиксирована, для каждого сканирующего из P луча в угловом диапазоне от A до B повсеместно в наличии квартет точек (при пробеге через R это {P, R, C1, L}, тогда как для N это {P, N, C2, M}).

Тангенциальные свойства, заложенные в структуру T-поляры, при ее декомпозиции наталкивают на возможность получения двух W-функций, которым присвоим характер тангенциальных. Для коник это будет только одна функция, состоящая в вычислении W уже не на луче из P, а на его поляре AB (по обе стороны отрезка AB) – по тройке {A, C1, B}, к которой добавляется тангенциальная текущая (для пробегаемой R это D, а в N ею станет T). Только для э ближняя и дальняя (от P) касательные пересекаются в общей точке.

Набранная нами (на компьютерных моделях) обширная статистика показала, что пересечение касательных по обе стороны от поляры в общей точке на ней – событие уникальное, что дает запас универсальности (ведь для формирования W-отображения необходимы лишь две W-функции) для случаев специального вида симметрии о и позиционных свойств детерминируемой ею позиции P, когда радиальная функция может оказаться “константно гармонической” (в разд. 6 мы покажем как и при каких условиях такое “обеднение” W-функций возможно).

Упомянем вкратце о фундаментальной разнице свойств, согласно теореме взаимности имеющихся у э, и “необратимо теряемых” в сценах с о. Вращение поляры AB вокруг C1 порождает (за исключением единственного случая из бесконечного набора допустимых) целиком криволинейную траекторию точек пересечения касательных для концевых A и B, что и соответствует заданию T-поляры, тогда как (в итоге того же вращения хорды AB) для э траекторией всегда будет прямая – внешняя поляра DP для внутреннего полюса C1.

Та же потеря коллинеарности траектории при вращении хорды у о (в сравнении с обязательной коллинеарностью для э) происходит при формировании H-поляры, вычисляемой по правилу добавления концевой четвертой точки D (к триаде наличных {A, C1, B}) согласно требуемому (для каждой позиции дискретного вращения хорды) свойству гармоничности построенного квартета W(D, A, C1, B) = 1 (см. рис. 1).

Этот фрагментарный комментарий очертил “проективно инвариантную эффективность” введенных инструментов анализа – криволинейных (и проективно замкнутых) поляр типа T и H как конструктов декомпозиции теоремы взаимности, пригодных для анализа кривых семейства о. Именно о них доказана теорема 1: “Для произвольного внутреннего полюса P детерминируемые им Т- и Н-поляра пересекаются не менее чем в трех точках”, названных эллиптическими и за редким исключением (известной природы) являющихся коллинеарной триадой (Савчик, Николаев, 2016).

Рисунок 1 дал также наглядный пример того, что понятие ДП для интересующего нас случая постановки задачи (ext-P) целесообразно трактовать расширительно – полезно не пренебрегать свойством, по теореме взаимности обязательным для э и при обширном дата-сете модельных примеров выполняющимся для о: если для полюса P у э возможно указать (неограниченное) множество ДП по обе стороны от хорды AB (на рис. 1 фиксированы D и T произвольного расположения на поляре AB), то для о целесообразно искать (с целью полноты описания) для ext-P его ДП также по обе стороны от хорды AB, задающей его плюккерову поляру, что будет показано на модельном примере в следующем разделе данной работы.

Таким образом, ДП, являющиеся для ext-L действительно парами (что декларирует теорема 2), в случае ext-P, задающего свою хорду = поляру, могут стать конструкцией вида триады, когда для “входной” ext-P окажется возможным найти свою ДП по одну и другую сторону хорды AB.

На левой врезке рис. 1 имеется дополнительный структурный комментарий к правилам вычисления плоскостного вурфа (он нужен для вычисления иной, нежели W-отображение, формы проективного представления о, в виде названного нами дескриптором замкнутого циклического графа с числом вершин ≥ 5), что оставляется без разъяснений текстом – как повод для самостоятельного изучения любознательным читателем (для чего все необходимые предпосылки уже созданы на этой стадии описания базовых понятий и дефиниций, а роль дескрипторов заявленного вида рассмотрена с достаточной полнотой в предшествующих статьях цикла).

Добавим: тема – “как полюс-полярный дуализм коник и теорема взаимности помогают понять идеи и методы проективного анализа о” – доходчиво рассмотрена в статье (Акимова и др., 2014).

2. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ПОСТАНОВКУ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ В СЛУЧАЕ О ОБЩЕГО ВИДА

В границах данного раздела забудем о проблемах обработки о и задаче их описания инвариантно к преобразованию гомографии для той их “занимательной” разновидности, что предполагает шанс привлечения свойств симметрии, скрытых в их геометрии. Эта постановка делает безвариантным генезис композиции “о + ext-P”: внешний полюс введен в сцену без априорного привлечения каких-либо зависимостей от геометрии о для задания его локализации относительно о. Так что предстоящий анализ разумно связывать исключительно с моделированием схем вычисления пары W-функций независимой природы и поиском ДП нового формата (которые было бы адекватнее именовать дуальные триады), чтобы прояснить с их применением связанные возможности реализации описания о в двух других формах: в виде графов дескриптора и в форме эталонного перепроецирования – восьмивершинного эталона “квадрат+ромб” (Николаев, 2022).

Реализация вычисления радиальной и тангенциальных W-функций не встретила проблем ни в одной из опробованных моделей о общего вида при произвольных сменах положения ext-P (относительно фиксированного о). Десятки проб успешно завершились формированием W-отображений (менялась лишь их форма, что только на пользу для теста “распознавание в классе проективной эквивалентности о”).

На рисунках 2–4 показаны типовые примеры триад графиков W-функций и формы карт W-отображений, получаемых их парным сочетанием (для формирования 2D W-карты).

Рис. 2. Метод вычисления радиальной вурф-функции и типовой (двухфазный) ее вид на модельном численном примере о общего вида. Остальные пояснения в тексте

Рис. 3. Способ оптимизации пары тангенциальных W-функций посредством операции извлечения квадратного корня для ординат функции W3(n) с существенно более сильным экстремумом – в сравнении с максимумом у W2(n). Остальные пояснения в тексте

Рис. 4. Вид вурф-отображений W2(W1) и w3(W1) в функциональной зависимости рода “тангенциальные – от радиальной” (при единой для всех трех функций нумерации вершин аппроксимации о). На врезке: метод получения W-функций путем сканирования контура о лучом из полюса P (показана позиция совпадения тангенциальных функций для вершины i). Остальные пояснения в тексте

Типовой вид двухфазной радиальной W-функции демонстрирует рис. 2. На врезке схема вычисления всех трех ее форм, показывающая: W2(n) и W3(n) не обязаны быть тождественно неотличимыми, как это у э “предписано” теоремой взаимности). В других симуляциях (не включены для показа) W-функции имели как однофазную, так и (редко) трехфазную форму.

Вид о (из сета тестовых вариантов компьютерной реализации) был выбран в качестве носителя наибольшего числа особенностей, одна из которых – резкое отличие величины экстремумов у W2(n) и W3(n), что делало “сильно сплющенным” отображение W2(W3).

Для нивелировки этого свойства была предложена и тестирована операция сглаживания функции W3(n) извлечением квадратного корня для значений ее ординат (что корректно для инвариантности итоговой репрезентации по причинам отсутствия у вурфа какой-либо физической размерности), что и показано на рис. 3.

Рисунок 4 демонстрирует вид отображений W2(W1) и w3(W1), где w3(n) = √W3(n), причем на врезке изображена именно та позиция i (это текущий номер вершины аппроксимации о) лучом P-R(i) из полюса P, где выполняется условие W2(i) = W3(i), что является обязательным свойством э.

Перейдем теперь к изложению тех аспектов моделирования, которые затрагивают для ДП эволюцию от пар к триадам.

Для накопления репрезентативной статистики в задаче поиска позиций ДП было необходимо разработать три быстрых алгоритма оценки их дислокации. Первый – для работы в сценах, где ext-P изолирован, не принадлежа какой-либо из ext-L, как это присуще обширному списку вариантов сцен для о со скрытыми симметриями (разд. 4), там в роли ext-L фигурирует линия горизонта HL. Второй и третий – именно при условии принадлежности к HL полюса P.

Когда на HL лишь две ДП, эти четыре позиции без труда можно было найти подбором вручную, но для получения репрезентативной статистики на большом массиве модельных тестов процедуру поиска следовало сделать автоматической (а еще и быстрой, и точной). А когда таких ДП много (как, например, для овала типа R₃ с симметриями, что описано в разд. 6, 7), необходимо автоматизировать и кластеризацию полученных квартетов номеров для контура о, представляющих каждую ДП на HL.

Уже на этапе исследования о общего вида все требуемые процедуры были разработаны и программно реализованы, что сильно ускорило и облегчило анализ запланированных видов о со скрытыми симметриями. Каков же метод поиска ДП для сцен вида ext-P? Ответ прост: надо автоматизировать цепь проверок для касательных, следующих свойству симметрии внешних полюсов и их поляр на о – для воспроизведения соотношений, декларируемых теоремой взаимности (см. разд. 1).

Воспользуемся литерной разметкой точек на рис. 5, чтобы проиллюстрировать идею поиска ДП по калькам теоремы взаимности. Итогом автоматического анализа поведения касательных на о оказалась фиксация двух ДП для P по разные стороны от поляры AB (в позициях D и E), что и образовало триаду P..D и P..E. На примере луча P-I-R (давшего сигнал о наличии дуальной позиции D) проследим ход проверок для касательных, что привел именно к такому позиционному выводу.

Рис. 5. Постановка задачи для сцен вида “о + ext-P”, иллюстрирующая возможность получения триад ДП (в согласии с теоремой взаимности), вид гистограмм поиска ДП для полюсов P и D (на врезке справа) и использование триад P..D, P..E для вычисления дополнительных ДП M..S (синий цвет) и N..G на прямых PD и PE. Пояснения в тексте

Цепь вычислений выстроилась из таких шагов:

а) касательная в I задает точку D пересечения с полярой AB;

б) проверяемый полюс D детерминирует для о точку касания R (в итоге получена гипотеза о поляре IR);

в) наконец, прямая IR проверяется на близость прохождения от полюса P. Эта оценка близости d, как функция номера n вершины аппроксимации о, приведена на верхней (справа) врезке рис. 5. Под нею – результат проверки полученной позиционной гипотезы.

Теперь исходным внешним полюсом объявлена точка D для той же программы проверки (ее поляра – это хорда IR). Поиск дает позицию P, как удовлетворяющую единственным образом закону существования ДП. Итог исчерпывает разнообразие произведенных проверок: P образует триаду (его дуальные связи по обе стороны от AB), тогда как полюс D связывается в классическую ДП: D..P (по правую сторону от IR у него нет “дуального собрата”).

Осталось отметить, что для E (как второго партнера P в триаде) также не нашлось претендента на комплектацию триады: вниз от хорды ZL нет полюса, дуального E. Какую не обсужденную еще информацию содержит рис. 5? Ответ таков: показан возможный дальнейший путь анализа о, дающий новые его описания.

Цепь итеративного наращивания проективно инвариантных характеритстик о не имеет конца (фактический конец определяется скоростью нарастания координатного шума, влияние которого нами не моделируется, а потому и не обсуждается).

Рассмотрим следующую “волну” возможных оценок, связанную с тем, что два новых полюса D и E создали возможность применения теоремы 2, детерминировав для P позиции двух ext-L: PD и PE.

Ставший стандартным поиск ДП на ext-L, дал четыре новых точки: на PD найдена ДП M..S, на PE локализована N..G. Получившаяся картина с пятью внешними полюсами дает материал для локализации на контуре о 14 стабильных позиций (4 × 4 – 2). Этот ансамбль можно использовать двояко: либо сформировать замкнутую ломаную дескриптора в виде графа с 14 вершинами (ничуть не хуже – вычислить два восьмивершинных графа для каждого октета), либо построить два восьмиточечных проекционных эталона для сетов {B, K, I, T, A, J, R, Q} и {B, F, Z, H, A, U, L, F} (рис. 6).

Рис. 6. Вид объединенной эталонной проекции двух найденных октетов ({B, K, I, T, A, J, R, Q} и {B, F, Z, H, A, U, L, W}) на контуре о общего вида, задающей проективно стабильное описание о с учетом позиций 14 вершин его контура в сцене с полюсом P и плюккеровой полярой AB (два квартета спроецированы на квадрат, два – на ромб, диагональ поляры – общая для черной и коричневой проекций). Остальные пояснения в тексте

Осталось прокомментировать наличие на рис. 5 четырех меток вида ромб: u1, u2, u3 и более крупную u0. Они демонстрируют (не в первый раз, поскольку таким образом накапливается база примеров выполнения в эмуляциях сцен стабильно приблизительного свойства) эвристическую особенность: наличие тройных точек пересечения для двух ДП на ext-L, в качестве которой может фигурировать и HL (всегда – это пара касательных из разноименных ДП и прямая поляры, ведущая в альтернативный полюс).

Подобные свойства не стали предметом теорем, выполняются в подавляющем большинстве случаев с визуально наблюдаемыми погрешностями, потому и названы эвристиками. Эти регулярно воспроизводимые особенности очень хотелось бы каким-либо образом причинно истолковать, однако пока нет даже идеи подхода к такой задаче.

Погрешности выполнения тройного пересечения можно объяснять гипотезой об ошибках вычисления касательных, поведение которых в авторских численных схемах задается по правилам дискретного приближения дифференциальных свойств коник. Например, в точке Q (см. рис. 5) ориентация касательной определяется с ошибкой, поэтому зона u0 велика.

Описанием этой эвристической особенности завершим рассмотрение методов репрезентации овальных фигур о общего вида, переходя к анализу композиций “о + ext-P”, где объектом исследования избраны кривые со скрытыми свойствами симметрии: это центральные проекции кривых Ламе с их “аналитически исходными на ортоформах” двумя осями симметрии и центром; осесимметричные и радиально симметричные о, а также овалы типа R₃ (подсемейство о “ротационной симметрии индекса 3”).

Каждому из перечисленных типов о посвящается свой раздел, только теперь результаты решения поставленной задачи докладываются в двух версиях.

1. В стандартной постановке, когда позиция ext-P задается случайным выбором (рандомно), никак не эксплицируя свойств симметрии.
2. В виде эстафетной процедуры, для которой ранее разработанные приемы анализа о (их мы не будем описывать) становятся поставщиком данных предварительной обработки, видоизменяя постановку задачи до описания лишь завершающей фазы, – с уже найденными (либо однозначно избранными из наличного набора возможных) позициями ext-P, каковыми могут оказаться и позиции на HL, и уникальные координаты плюккерова полюса симметрии (для осесимметричных о).

Начнем с чисто выпуклых кривых Ламе, как наиболее близкому к э нелинейному его аналогу.

3. ПРОЕКЦИИ СУПЕРЭЛЛИПСОВ КАК ВЫПУКЛЫХ ОРТОФОРМ КРИВЫХ ЛАМЕ

Начиная изложение, следует уточнить терминологию. Кривая Ламе, в виде некого нелинейного обобщения э, была предложена и исследована Габриэлем Ламе в середине XIX в.; имеет аналитическое описание вида |x / a|ⁿ + |y / b|ⁿ = 1, где a и b по примеру э именуют полуосями, а n в диапазоне изменений от 0 до ∞ лишь при значениях ≥ 2 является чисто выпуклой фигурой, при стремлении к ∞ становясь все более похожей на прямоугольник со сглаженными углами.

В общем виде этот трехпараметрический комплекс не является алгебраической кривой (эта принадлежность ограничивается условием: лишь при n = p / q – в виде ненулевого рационального числа, с индексом аналитического порядка pq для положительных n и 2pq – для отрицательных значений).

При n = 2 это “наш” э в каноническом представлении, а при n < 2 кривая обретает вогнутости и сингулярности (в виде острия), фиксируя частные разновидности (астроида, ромб, крест, гипоциклоида, свиркл, кривая Ферма и иные ранее устоявшиеся названия, – уже вне принадлежности к о (Савелов, 1960; Gardner, 1977)).

Кривая была названа П. Хейном суперэллипсом (не будучи математиком, он не знал, что имя у кривой уже есть). Именно это, приведенное выше аналитическое выражение, корректно именовать кривой Ламе (или суперэллипсом).

В наших модельных экспериментах такой вид представления кривой мы предпочитаем называть ее ортоформой, как наипростейшей разновидностью описания, где свойства симметрии даны явно: оси симметрии взаимно перпендикулярны, деля параллельные хорды пополам, и пр. В школьной геометрии формулируемые особенности визуально очевидны, явны. В проективной геометрии подобного рода определения теряют смысл и применимость, там допустима лишь опора на проективно инвариантные “корни” измерительных понятий: это все те же вурфы и поведение касательных.

Модельные эксперименты проводятся с ортоформой, под воздействием преобразования гомографии явные признаки симметрии кривой становятся уже неявными (визуально скрытыми). Проективно преобразованную кривую суперэллипса некорректно называть кривой Ламе – теперь это ее проективный образ.

С учетом разъяснения для категорий “явная” и “скрытая” в дальнейших описаниях для их краткости нами допускается вольность: под суперэллипсом (и кривой Ламе) подразумевается проективный образ таковых (синоним – мир проекций оных, где уже нет замеряемых углов и длин).

“Сервисный” рис. 7 показывает результаты работы компьютерной программы, предназначенной для поиска на проекции суперэллипса тех его вершин, в которых касательные удовлетворяют закономерностям выбора на линии горизонта HL (ее положение считается найденным на предварительном этапе обработки контура) четырех проективно инвариантных позиций, соответствующих двум ДП. Этот набор из восьми особых вершин о найден и расклассифицирован программой на два квартета (коричневый и синий цвет объединений в два кластера), каждый из которых соответствует своей ДП. В итоге на HL теперь фиксированы пары D..P и G..N.

Рис. 7. Вид гистограммы поиска позиций ДП на HL по итогам работы программы, ведущей в последовательном переборе вершин аппроксимации на проекции суперэллипса отбор удовлетворяющих критерию “дуализма Плюккера”. Пояснения в тексте

Обратимся к рис. 8. Справа внизу изображена кривая Ламе, как она графически выглядит согласно аналитической формуле (т. е. это ее ортоформа). Показаны две ее оси симметрии, на их пересечении центр О. Поле рисунка занимает модельная проекция кривой с таким набором коэффициентов преобразования гомографии, что линия горизонта HL (синяя прямая от D до N) уже не в несобственной области (у ортоформы она удалена в бесконечность), а вблизи фигуры.

Рис. 8. Сводная картина свойств двухосевой скрытой симметрии проекции кривой Ламе, используемой для получения ее инвариантного описания в виде W-отображения для двух случаев выбора ext-P: в качестве рандомной позиции Z и в варианте точки пересечения V касательных, задающих карту двух ДП (D..P и G..N) на HL. На врезках – вид W-функций W-отображений, вычисленных для полюсов V и Z, и образ дескриптора (внизу слева) для циклической цепи октета {A, T, S, R, B, M, J, I}. Остальные пояснения в тексте

Посредством применения методов, предложенных и оптимизированных нами ранее, будем полагать найденным положение HL. Ее позицию можно локализовать несколькими независимыми методами: переборными алгоритмами поиска центра О с последующим вычислением координат HL либо через позиционную оценку неявных осей симметрии, плюккеровы полюса которых детерминируют HL.

Связь с осями тут такова: пара плюккеровых полюсов каждой оси образует ДП на HL. На рис. 8 это соответствует такой идентификации метками и литерами: неявные оси на проекции размечены как AB и JS, в качестве плюккеровых поляр они задают на HL полюсы G и N, являющиеся одной из двух ДП (эта композиция выполнена коричневыми отрезками).

Во врезках слева предъявлены гармонические свойства квартетов стабильных вершин, а также (ниже) структурные правила, которым подчиняется набор касательных, задающих на HL положение вершин D, G, P, N (и дополнительных полюсов Z и V).

Вторая ДП на HL (черный цвет) порождена двумя диагональными хордами IR и MT в их качестве поляр Плюккера. Две найденные (для HL) ДП на контуре о фиксируют инвариантный октет вершин {A, T, S, R, B, M, J, I}, каковой можно использовать для построения восьмивершинного графа дескриптора, линейно трансформированный вид которого показан на врезке рис. 8.

На роль уникальной (и однозначно выбираемой) ext-P можно было бы выбрать позицию полюса P, так как он расположен между полюсами G и N, принадлежащими осевой ДП (сам он – из диагональной ДП). Но для иллюстрации на роль стартового ext-P (для большей общности) выбрана позиция однозначного задания, не принадлежащая HL.

Положение стартовой точки V задается правилом V → t(A) × t(M). Как и ожидалось, вычисление для V (то же самое продемонстрировал в качестве стартового и полюс P) его тангенциальных вурф-функций не дало результата их совпадения. Они были различной формы, а радиальная W-функция не представляла собой точно горизонтального плато уровня 1 (как это понятным образом происходит у осесимметричных о, если стартовой точкой ext-P избран плюккеров полюс оси симметрии, “на ролях” его поляры, см. разд. 4). В правой части рис. 8 на врезках показаны: вид тройки вурф-функций W1(n), W2(n) и W3(n) (черный, коричневый и синий цвета кривых), а ниже – вид двух W-отображений W1(W2) и W1(W3) (коричневый и черный цвета соответственно), вычисленные для позиции V, представляющей стартовую ext-P.

Левее на двух врезках выведены итоги модельных симуляций в обработке той же самой проекции суперэллипса теперь уже для положения стартового полюса, позиция которого не является “вычислимым следствием свойств симметрии о”, а задана произвольным выбором (рандомно).

Аналогичным (для V) образом продемонстрирован вид трех кривых W1(n), W2(n) и W3(n) (черный, коричневый и синий цвет). Левее показан (коричневая кривая) вид вурф-отображения W1(W2). На этом завершается описание суперэллипсов. Далее – переход к рассмотрению сцен, в которых о имеет ортоформу с единственной осью симметрии.

4. ОВАЛЫ С ЕДИНСТВЕННОЙ (НЕЯВНОЙ) ОСЬЮ СИММЕТРИИ

Отличительной (и эмоционально – весьма досадной) особенностью о этого рода является принципиальная невозможность по итогам успешно локализованного положения неявной оси симметрии вычислить дислокацию HL (что как задача достижимо для всех прочих разновидностей о со скрытыми симметриями и рассмотрено процедурно в ряде предшествовавших публикаций текущего цикла).

Но этим обстоятельством (его следствие – невозможность опоры на теорему 2 со схемами быстрого поиска ДП, созданными для этого случая) не исчерпывается список требований новых подходов для оо (осевого овала): в методах получения W-функций для оо не пригоден алгоритм вычисления по радиальной схеме, если в качестве ext-P выбран плюккеров полюс симметрии S (рис. 9), а эффективные (при иных типах симметрии о) два тангенциальных метода получения W-функций в том же варианте задания ext-P порождают тождественные кривые (как это происходит для э). Рис. 9 объединяет результаты по теме разд. 4: тут и новые алгоритмы вычисления W-функций, и демонстрация их вида, а также все необходимые выкладки для случая, когда ext-P выбирается случайным образом, не коррелируя ни с правилами для S, ни с данными о положении неявной оси симметрии.

Прокомментируем полученные итоги более детально, используя литерную разметку опорных точек и новых поляр на рис. 9.

Рис. 9. Сводная картина по методам и результатам численной обработки овала скрытой осевой симметрии (оо). Две W-функции W1(n) и W2(n), вычисляемые для образа AB (как поляры Плюккера), нелинейно зависимы, поэтому требуется построить функцию W3(n), привлекающую в схему оценки дополнительную точку N. На врезке справа внизу даны формулы вычисления W-функций для плюккерова полюса S осевой симметрии (справа) и для рандомной позиции P (слева). На остальных врезках – структурные формулы и вид вурф-кривых для полюсов S и P. Остальные пояснения в тексте

Итак, в итоге предварительной обработки оо для него найдены плюккеров полюс S неявной оси симметрии (он принадлежит HL, но ориентация этой прямой – линия горизонта – вне данных оптической регистрации оо не вычислима в принципе!) и расположение AB самой этой оси (утолщенная коричневая прямая).

По причинам декларируемого теорией гармонического характера радиальной W-функции, вычисляемой для S по “старой схеме”, схему эту приходится существенным образом усложнить. Сканирующий луч SI дает при фиксированных позициях A и B возможность на каждом шаге дискретного сканирования перевычислять положения точек L, R, T, а также r, k и D. Точки L и R фиксируются на пересечениях касательной в I с касательными в A и B, т. е. в формальной записи для использованной нотации L → t(I) × t(A), R → t(I) × t(B).

Позиция T инцидентна точке пересечения касательной в I с осью AB. “Вспомогательная” точка r лежит в пересечении прямой AI с касательной в B, а схемно-симметричная ей k принадлежит пересечению BI с касательной в A. Их локализация достаточна для определения положения D в пересечении rk с осью AB.

Наконец, координаты С вычисляются для пересечения сканирующего луча SI с осью AB. Все эти структурные формулы внесены на рис. 9 во врезку слева. Массив вычисленных позиций образует подвижную конфигурацию, необходимую для получения ординат второй из двух W-функций.

Правило ее задания таково: W2(n) = W(T, D, A, C). Первая оставлена без изменений, с ее заданием в виде: W1(n) = W(T, A, C, B). В списке “пригодных” функций больше не фигурируют радиальные. Причина этого – гармонизм лучей из S. К примеру, W(S, k, L, A) ≡ 1, W(S, r, R, B) ≡ 1.

Описанное усложнение схемы позволяет вычислить пару W-функций, однако их привлечение для формирования вурф-отображения неэффективно по причинам их нелинейной зависимости. W-отображение с их помощью представляет собой однопараметрическую кривую двукратного покрытия. Ее вид изображен на рис. 9 во врезке вверху справа, где помечен как W1(W2).

Декларация теоретического анализа обсуждаемых условий такова: избежать подобного информативно бедного характера отображения можно лишь при введении в вычислительную схему еще одной точки контура оо (детерминируемой позицией I, но независимой от нее по положению). Эта дополнительная вершина оо выбрана в пересечении N его контура с прямой RC, а квартет вурфа дополняет позиция K на пересечении RC c BI. Получено: W3(n) = W(R, N, K, C) (см. нижнюю правую врезку на рис. 9).

Введение текущей точки N в схему обеспечило желательный характер отображений W1(W3) и W2(W3) (показаны на врезке рис. 9 справа вверху черным и синим цветом), а сама W3(n) изображена левее на врезке (коричневая кривая). Поставленную задачу (ext-P как итог анализа симметрий) удалось решить путем усложнения схемы вычислений, получив два приемлемых варианта W-отображений. Покажем и обсудим подход к решению задачи без опоры на симметрии.

Полюс ext-P выбран случайным образом в позиции P (см. рис. 9). Его плюккерова поляра: ab (хорда ab и все построения для решения согласно позиции P выполнены на рис. 9 в синем цвете). Поскольку ни полюс ext-P, ни его поляра ab более не связаны условиями отношений симметрии, ничто не мешает оставить схему вычислений той же, что была применена для суперэллипсов (в постановке для ext-P в позиции, не связанной с какими-либо симметриями).

Таким образом, сканирующий луч Pgd включает на пересечении с полярой ab четвертую точку c, создавая тем самым возможность вычисления радиальной W-функции вида W1(n) = W(P, g, c, d). Стандартная схема с использованием текущей касательной в g дает на пересечении с ab позиции t1 и t2. В итоге получена возможность выполнения правил вычисления тангенциальных вурф-функций: W2(n) = W(a, c, b, t1) и W3(n) = W(a, c, b, t2). Их вид (и вид W-отображения на врезке слева, синим цветом) по итогам модельной эмуляции показан на врезке рис. 9 (справа в середине, функция W1(n) изображена коричневым цветом). Изложение методов решения поставленной задачи и ее итогов при моделировании сцен, включающих проекции оо, на этом закончено.

5. РАДИАЛЬНО (ЦЕНТРАЛЬНО) СИММЕТРИЧНЫЕ ОВАЛЫ

Согласно введенной нами ранее нотификации ортоформ о с симметрией вращения R_n, различающихся индексом n, ортоформу радиально симметричных о логично включить в систему R_n, присвоив индекс 2.

Поясним сделанное утверждение, напомнив, что индекс n означает количество поворотов фрагмента дуги угловой меры 2p/n в полярной системе – вокруг ее центра, совершаемых с целью получить овальную кривую посредством операции гладкого сопряжения фрагментов. Этот процесс накладывает ограничения на кривизну терминальных участков дуги, которые мы здесь не будем детализировать (они потребуют задания в дифференциальной форме).

Достаточно принять, что процедура генерации дуги-фрагмента, дискретное вращение которой может задать о, реализуема. Действительно, разрезав ортоформу о радиальной симметрии по произвольной хорде, проходящей через центр, и получив дугу-половинку, можно этот фрагмент меры p радиан повернуть вокруг центра на угол p, чтобы произошло гладкое сопряжение исходного и повернутого фрагментов – с реконструкцией о стартовой формы. Описанная процедура разрезания показывает, что в итоге сопряжения созданная фигура оси симметрии иметь не будет (как не имел ее “овал-инкубатор”).

С овалами типа R₃ ситуации существенно сложнее. Результаты, полученных на этом пути. рассмотрены в работах (Николаев, 2015; 2017), где описан ряд универсальных процедур (тесты по индексам n “3” и “5”) поиска неявного центра O фигуры R_n, а для о R₃ был предложен и испытан метод реконструкции HL по данным позиции O у о. Об о вида R₃ пойдет речь в следующем разделе. Приступим к описанию предпринятых шагов обработки о радиальной симметрии.

Аналитически смоделированная (в дискретной аппроксимации на 1 200 вершин) ортоформа о радиальной симметрии трансформирована преобразованием гомографии, в результате чего несобственная прямая проективной модели плоскости переместилась из “бесконечных далей” в окрестность фигуры, став линией горизонта HL. Программа поиска ДП на HL (которая уже локализована на этапе предобработки) завершила работу, указав на ней позиции двух ДП с разметкой октета вершин, локализуемых этим квартетом (рис. 10).

Рис. 10. Вид гистограммы, осуществляющей поиск (на HL) ДП и их кластеризацию по квартетам (синий и коричневый сеты с метками “квадрат”) для о неявной радиальной симметрии. Численная модель на 1 200 вершин аппроксимации. Комментарии в тексте

Согласно теореме 2, гарантируемый ею минимум инвариантных позиций (квартет на HL, октет на о) стал полем выбора дальнейших шагов обработки о (рис. 11).

Рис. 11. Сводная картина дислокации двух ДП на HL в окрестности о неявной радиальной симметрии, детерминирующих позиции полюсов H и V, относительно которых вычислены все требуемые (для получения инвариантных отображений) W-функции. Вурф-продукты для H и V показаны на врезках (выше – для H, ниже – для V). Все комментарии в тексте

В качестве ext-P выбраны два плюккеровых полюса (однозначно задаваемых в получившейся конфигурации): V, не принадлежащий HL и локализуемый согласно структурной формуле V → f(M) × f(Q), и точка H на HL, задаваемая в пересечении H → OV × KP. Выбор V и H сделал возможным оценить позиции их поляр: у V ею стала MQ, а плюккерова поляра для H это LZ (см. рис. 11).

Заметим: луч из любой точки на HL, проходящий через О, формирует квартет вурфа, всегда гармонического, но это свойство не делает привлечение радиальной схемы для вычисления W-функции W1(n) сколько-нибудь малопригодным.

На врезке в верхней части рис. 11 показан вид радиальной функции W1(n) (синяя кривая). Она лишь единожды пересекает гармонический уровень W = 1, что и соответствует прохождению луча сканирования через центр О (т. е. и через V). Сканирование из V для W1(n) (черная кривая на врезке внизу справа) показывает двукратное прохождение луча через уровень W = 1.

Также никаких неприятных вырождений для W-функций не произошло в схеме тангенциальных вычислений. Набранная статистика (для других модельных форм о) не показала существенных отличий (по сложности рисунка и степени уплощения) для вида финальных W-отображений в альтернативе выбора “V или H”.

Перейдем к описанию итогов моделирования сцен “о + ext-P” при использовании для о случайной позиции P, не коррелирующей с позиционными атрибутами неявно радиальной симметрии. На рис. 11 эта позиция p показана, и пунктирными прямыми отмечена для нее локализация ab в роли плюккеровой поляры. Вид W-функций и W-отображений, полученный для полюса p, показан на рис. 12. Функции W2(n) и W3(n) примечательны взаимной квази-зеркальной симметрией, а W1(n) радует своей двуфазной гладкостью и аналогичной симметрией.

Рис. 12. Вид W-функций и W-отображений для рандомной позиции р, локализация которого относительно о и HL показана на рис. 11. Остальные пояснения в тексте

Предварительный вывод по материалам, включающим описание данного этапа исследований, можно сделать такой: подчеркиваемая в предшествовавших публикациях цикла разобщенность подходов к инвариантному описанию о с симметриями, особо контрастная для оо и центрально симметричных о (см. разд. 3 и 5 в сравнении с итогами разд. 4) в варианте “ext-P из внутреннего ресурса” исчезла по причинам сделанных (и успешно промоделированных в сериях тестов) структурных предложений по правилам однозначного выбора ext-P и добавления численно малозатратных приемов получения независимых W-функций для оо.

Переходим к анализу сцен с о типа R₃.

6. СВОЙСТВА ДП НА HL И ВЫБОР EXT-P ДЛЯ О ТИПА R₃ С ОСЕВЫМИ СИММЕТРИЯМИ

В предыдущих публикациях цикла (Николаев, 2015, 2016) описаны методы, с помощью которых для проективно трансформированной ортоформы о типа R₃ удается при выборе произвольной (случайным образом зафиксированной вершины о) указать два его проективных аналога на контуре с образованием триады одноименных вершин на порождающей 120-градусной дуге сопряжения (при генерации ортоформы о), названной ансамблем ротационной корреспонденции (АК). Успешное вычисление АК и привлечение ДАК (дополнительного ансамбля, формируемого из касательных к АК) позволяет оценить координаты неявного центра, что в свою очередь, создает возможность дислокации HL.

Перейдем к конкретным модельным постановкам и их практическим результатам. Численные тесты вели на моделях о типа R₃ с тремя осями симметрии при плотности представительства дискрет-аппроксимации в 1 800 вершин. Разработанная (к началу этого цикла исследований – для автоматизации и кластеризации в данном случае объемного массива данных) программа поиска ДП обнаружила 48 вершин контура, в которых касательные причастны к организации структуры для 12 ДП (по 4 на каждый период ротации) и расклассифицировала их (по квартету на каждую ДП, рис. 13).

Рис. 13. Вид гистограммы детекции 12 ДП на HL и их кластеризация на квартеты вершин (массив 1 800 дискретных позиций контура) для проекции о типа R₃, обладающего тремя осями скрытой симметрии (размечены и объединены 48 вершин). Комментарии в тексте

Такое обилие ДП было неожиданным по причине резкого несоответствия “переборно-ручному” итогу их обнаружения на фрагменте контура, ближайшего к HL. Результат кластеризации прояснил роль осей симметрии, дав возможность составить карту узлов (узлами именуются точки пересечения поляр, образующих ДП).

Согласно теоретическим прогнозам, в массиве 24 позиций (на HL), компонующих ДП, по причинам наличия трех осей симметрии у ортоформы какая-то часть дуальных плюккеровых поляр могла оказаться непригодной для вычисления W-функций, что и предстояло выяснить в первую очередь.

Картину попыток обнаружить среди зафиксированных поляр те, для которых W1(n) не образуют гармонические плато, а W2(n) и W3(n) не оказываются тождественно совпадающими, иллюстрирует рис. 14.

Рис. 14. Картина предварительного анализа сцены с HL в окрестности проекции о типа R₃, с показом ДП M..N и T..P, детерминирующих позицию полюса V, а по нему – и S, относительно которой вычислены требуемые вурф-продукты; их вид показан на врезках слева. На врезках справа структурные формулы (вверху) и вид ортоформы с дислокацией одной из осей симметрии и поляры RL для полюса N (внизу). Пояснения в тексте

Показан фрагмент HL с двумя ДП (M..N и P..T, полюс P – за пределами поля рисунка), поляры которых {LR, AB, IJ, DE} непригодны для получения W-отображений, и лишь прием задания вспомогательной позиции V в пересечении пары смежных касательных (вычисляемой согласно структурной формуле V → t(R) × t(I)) обеспечивает для точки S (где S → CV × MN, а ей самой отводится роль полюса ext-P) получение всех требуемых вурф-композиций на поляре KQ для формирования целевого W-отображения W1(W2) (вид W-функций и W-отображения вынесен во врезки рис. 14).

Требовалось прояснить всю картину отношений симметрии, характерных для этого вида сцен (рис. 15).

Рис. 15. Картина симметричной проективной организации 12 узлов полной карты ДП для о типа R₃, для его ортоформы проявляющаяся композицией трех параллельных пучков, объединяющих по пять прямых каждый, где прямые инцидентны регулярной структуре пар узлов (на врезке справа вверху показан пучок с проективным центром в D1, для которого d1 на HL образует ДП). На врезке слева вверху – вид трех W-функций и пары W-отображений, вычисленных для полюса d2 и поляры CD. Остальные пояснения в тексте

Список обнаруженных особенностей достаточно громоздок для их описания и комментирования непосредственно текстом, тем более что в нашу задачу не входит исследование симметрий и карты ее источников, а ровно, наоборот, – поиск возникающих в связи с симметриями путей обхода препятствий для решения задачи стабильной репрезентации сцены.

Следствием этих соображений стал материал, концентрирующий на рис. 15 (в компактной графической и формальной структурной форме) ряд наиболее интересных особенностей проявления симметрии (зафиксированных в модельных тестах).

Три потока параллельных попарных связей узлов (на рис. 15 показан один, на проекции сходящийся в D1) организуют для ортоформы картину тождественного повтора свойств (с поворотом на 120 град.). По этой причине кажущееся обилие возможных позиций для выбора ext-P является нацело иллюзорным.

Показ решения для полюса d2 (врезки слева вверху, с двумя видами W-отображения W2(W1) и W3(W1)) следует квалифицировать уникальным, поскольку решение для d1 является в точности тождественным продукту для d2. Полная картина (см. рис. 15 отражает лишь выборку ДП, что относятся к лежащим в окрестности о) включает в себя еще одну позицию полюса, дублирующего выкладки для d1 и d2.

Три эти позиции являются осевыми, и на ортоформе соответствуют хордам, идущим через центр и лежащим на осях. Врезка (справа вверху) на рис. 15 помогает прояснить эту картину графически: полюс d1 принадлежит хорде 5–11, d2 соответствует паре узлов 2–7, а третий полюс позиционирует пара 9–12.

Поясним “странный” сбой в нумерации узлов (между третьим и четвертым лежит маркированный номером 12). Он – следствие работы программы, детектирующей на HL положения ДП в последовательном переборе вершин о – в поиске удовлетворяющей плюккерову критерию дуальности. Однако этот анализ шел не на ортоформе о, а на ее проекции, с ее закономерностями нумерации.

Внимательное изучение гистограммы (см. рис. 13) поможет читателю убедиться в отсутствии “ошибки автора” (этот вклинившийся кластер маркирован красными ребрами, литерой m и метками “крупный квадрат”).

Еще один “авторский просчет” в потере шестой пары (а именно 9–12) среди перечисленных пар, для которых хорды проходят через центр О (справа в середине поля на рис. 15), – итог объяснимой логики: именно задаваемое парой 9–12 направление “не изобразимо” на рис. 15 позицией пересечения хорды 9–12 с HL ввиду своей почти параллельности оной.

Причина обеих “флуктуаций изложения” общая и продиктована сознательным авторским выбором – подчеркнуть проективный характер соседства на безграничной плоскости, которой принадлежит о: в процессе численной обработки позиционных данных, при прохождении бесконечно удаленных точек пересечения касательных, происходит смена отношения порядка левый–правый, что и порождает срыв в нумерации вершин.

Дополнить замечания следует и про точность выполнения эвристик пересечения центра О хордами парных узлов: осевые пересечения 2–7, 5–11, 9–12 являются аналитически точными, тогда как триада 1–6, 3–8, 4–10 образует в пересечении крошечный треугольник вокруг О (для ортоформы точка О находится в центре масс этого треугольника).

Целесообразно также развенчать усилия в поиске позиции ext-P приемом использования вспомогательной точки V (см. риc. 14), так как в итоге полного анализа карты скрытых симметрий, с найденной триадой позиций d1, d2, d3, c совпадающими функциями описания о, привлечение V не требуется.

Выводы по материалам раздела сформулируем таким образом.

1. Программа поиска на HL (в качестве ext-L) всех 12 ДП и последующей кластеризации квартетов вершин о позволила выявить сложный характер отношений осевой симметрии на проекции о (с их троекратным дублированием), ранее нами не исследованный.
2. В итоге проведенного анализа скрытых проективных симметрий о типа R₃ на основе модельных численных экспериментов выявлен и иллюстративно истолкован ряд новых аналитических и эвристических свойств сета узлов ДП во внутреннем поле фигуры.
3. Несмотря на наличие на HL большого числа ДП (задающих для о массив 48 проективно стабильных вершин), однозначный выбор уникальной позиции в качестве ext-P оказался реализуемым (благодаря анализу п. 2), что обеспечило получение необходимых вурф-отображений для проективно инвариантного описания о без привлечения ext-P извне.
4. Задание ext-P, как рандомной внешней позиции полюса, для серии тестовых модельных испытаний не встретило трудностей вычисления всех требуемых вурф-функций и вурф-отображений – по единой схеме формирования радиальной и тангенциальных функций.

ВЫБОР EXT-P ДЛЯ О ТИПА R₃ БЕЗ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ И ЕГО ИНВАРИАНТНОЕ ОПИСАНИЕ

Раздел посвящен обсуждению проективных свойств о типа R₃, ортоформа которого не обладает дополнительным свойством осевой симметрии (когда ортоформа имеет три оси; Николаев, 2015).

Вариант неосевой (хотя и периодической, с периодом 2p/3) структуры ортоформы о нами ранее не рассматривался, поскольку методы поиска неявного центра O симметрии использовали исключительно особенности АК (ансамбля корреспонденции, вычисляемого для произвольной триады вершин с тождественным поведением локальной кривизны), не привлекая осевых признаков. Фигуры трехосевого типа генерировались с помощью аналитического задания малочленами ряда Фурье со 120-градусным периодом его тригонометрических аргументов.

Для новой безосевой постановки те же малочлены привлекали в схеме усреднения координат двух овалов различающегося аналитического задания с относительным их поворотом в p/6 радиан вокруг общего центра. Априори этот метод гарантировал гладкость “синтетической” фигуры, что автоматически не следовало в случае ее генерации посредством би-сплайн-интерполяции (с “ручным” заданием узлов).

Модельная постановка задачи – та же, что и для осевого о типа R₃, т. е. полагаем найденными на этапе предобработки проекции о (с использованием АК и ДАК) позицию неявного центра O и расположение HL. Доступна для анализа (в целях выбора критерия, согласно которому задается позиция ext-P) и ортоформа о, поскольку ее образ может быть вычислен с помощью матрицы обратного преобразования, переводящей линию горизонта HL в несобственную прямую модели проективной плоскости о.

Для демонстрации полученных результатов выбран типовой пример о, численная модель которого, сгенерированная для 1 800 вершин аппроксимации, была обработана программой (той же, что использовалась при решении задач в разд. 3, 5 и 6) поиска на HL полного набора ДП и кластеризации проективно стабильных позиций контура о (типа R₃), соответствующих этим ДП (рис. 16). В итоге зафиксированы 6 ДП, карта узлов которых была обследована в целях задания однозначного критерия для выбора координат ext-P (рис. 17 и 18).

Рис. 16. Вид гистограммы поиска ДП на HL у о типа R₃, не имеющего трех скрытых осей симметрии, и их кластеризация на квартеты вершин для шести ДП. Пояснения в тексте

Рис. 17. Картина попарной регулярной организации узлов ДП у ортоформы о типа R₃, не имеющего трех скрытых осей симметрии, для которого в качестве плюккеровой поляры выбрана хорда AB, инцидентная узлам O1 и O2, относительно полюса P которой и вычислены необходимые W-функции и пара W-отображений (их вид показан на врезках слева), а уникальность выбора P основывается на тождественности вурф-продуктов, получаемых для поляр с парами узлов O3–O4 и O5–O6. Остальные пояснения в тексте

Рис. 18. Более подробная карта связей шести ДП на HL с регулярной композицией узлов в поле проекции о типа R₃ (не обладающего скрытой трехосевой симметрией) с показом на его контуре дислокации 24 стабильных вершин и демонстрацией (на врезке справа вверху) вида триад W-функции и W-отображений, вычисленных для поляры с парой узлов O3–O6. На нижней врезке (справа) дан вид графа 6 узлов с выбором пар для двух примеров вычисления вурф-продуктов по полярам с парами O1–O2 и O3–O6. Комментарии в тексте

Согласно избранному критерию 1, выбирается плюккерова поляра AB, инцидентная паре узлов O1–O2 с их максимальным расстоянием среди узлов соседей (на циклическом сете {O1÷O6}) ортоформы о, а ее плюккеров полюс P позволяет вычислить требуемые функции и отображения в роли позиции ext-P (см. рис. 17).

Заметим, что в силу тройного повтора проективно инвариантных свойств контура объявленный выбор поляры (по узлам O1–O2) идентичен своим финальным W-отображением, получаемым для поляр по парам O3–O4 и O5–O6, т. е. вариантов, различающихся по критерию 1, – нет.

На врезках рис. 17 показаны: триада W-функций (вверху: схема радиальной и двух тангенциальных) и двух W-отображений (ниже: W1(W2) и W1(W3)). По причинам той же периодичности свойств карты узлов на рис. 17 зафиксирована (текстом и графически – на сетке поляр для ортоформы) особенность: в узлах ДП O2, O4, O6 пересекаются три плюккеровых поляры, фиксируемых по итогам вычислительного поиска ДП.

Альтернативный однозначный выбор для позиции ext-P возможен по критерию 2 (критерий с выбором минимальных расстояний в парах соседних узлов не станем здесь рассматривать – он не привносит ничего принципиально нового): для задания поляры, детерминирующей положение ext-P, предлагается выбрать не одну из поляр, полученных в итоге поиска ДП, а прямую, на которой лежат два узла согласно топологической схеме N–(N+3), т. е. равно приемлемыми будут прямые, проходящие через пары O1–O4, O2–O5 и O3–O6 (заметим, что на ортоформе данный выбор соответствует максимально отстоящим парам узлов выпуклой оболочки {O1÷O6}).

На нижней врезке справа (см. рис. 18) показан вид выпуклой оболочки узлов{O1÷O6} с двумя выделенными направлениями поляр (O1–O2 и O3–O6), задающими согласно критериям 1 и 2 альтернативные позиции ext-P. Основное поле рис. 18 занимает проекция о (неосевой тип R₃) с близлежащим фрагментом HL, на котором размечены (со связями через узлы O1÷O6) позиции ДП.

Полным комплектом на рис. 18 представлены лишь ДП d1 (синие прямые) и d6 (пунктирные прямые), остальные – лишь одним из полюсов. Вид приведенных (на врезках справа вверху) трех W-функций и всех трех W-отображений соответствует выбору полюса ext-P согласно критерию 2, т. е. его полярой была прямая, проходящая через узлы O3 и O6. Относительно отображений уточним: черная кривая соответствует функциональной зависимости W2(W3), синяя – W1(W2), коричневая – W1(W3).

В качестве компромиссного варианта между постановкой со случайным заданием положения ext-P и его позицией, вычисляемой по избранному критерию для набора ДП на HL, на модельных тестах был исследован метод выбора ext-P, использующий декларации теоремы 1 о наличии в окрестности о не менее трех эллиптических точек (вычисляемых в пересечении T- и H-поляр), порождаемых неким произвольным полюсом int-P. В качестве int-P целесообразно избрать положение O неявного центра о (рис. 19).

Рис. 19. Сводная карта выбора позиции ext-P для вычисления необходимых инвариантных отображений для неосевого о типа R₃, не использующего аппарата ДП на HL, но задающего уникальные кординаты ext-P путем оценки дислокации эллиптических точек (теорема 1) с выбором одной из пяти (именно E2) согласно некому проективнму критерию. На врезках показан вид W-продуктов согласно единой схеме. Все пояснения в тексте

Таким образом, позиция ext-P детерминирована, но не связана с HL и с ДП, инцидентными ей. Критерий проективно однозначного выбора из пяти (в данном модельном случае) позиций {E1÷E5} был связан с экстремумом углового вурфа для E, поскольку для его оценки всегда доступен проективный пучок четырех лучей (с центром в E): пары внешних касательных к о и касательных к каждой из двух криволинейных поляр.

Для модельного случая рис. 19 в согласии с описанным критерием избрана позиция E2, для которой и были проведены (по стандартной схеме) требуемые вычисления, обеспечившие формирование финального отображения. На врезках показан вид триады W-функций и карта отображения W1(W2). В серии тестовых испытаний не возникло проблем с однозначностью выбора ext-P либо с необходимостью отойти от стандартной схемы привлечения W-функций.

Единообразие повестки отчетов (каждый раздел типизирует о с его целевой обработкой) требует коснуться итогов модельных испытаний на неосевом о типа R₃ для случая, когда позиция ext-P выбирается случайным образом. На рис. 20 изображена та же проекция моделируемого о, что и на рис. 19, только теперь получение целевого описания не требует этапов предварительной обработки о: сцена задана предельно лаконично, как “о + ext-P”.

Рис. 20. Итоги вычисления требуемых инвариантных описаний для неосевого о типа R₃ в случае, когда в сцене “о + ext-P” позиция P задается рандомно (без опоры на анализ скрытых симметрий). “Стартовая” позиция P (как и в рассмотренном случае о общего вида, см. рис. 5) обеспечивает триаду ДП: P..D и P..d, создавая возможность вычисления W-отображений не только для полюса P, но и относительно дополнительного дуального D, что и показано на врезках (справа – для P, слева – для D). Остальные пояснения в тексте

Поиск ДП для P дал триаду, описанную в разд. 2 (см. рис. 5): найдены позиции D и d по обе стороны от хорды = поляры AB, что и создало повод вычислить не только все требуемые оценки для полюса P (в качестве первичной позиции), но и дополнить их аналогичным инвариантным описанием теперь уже для вторичного полюса D, что и предъявлено на четырех врезках рис. 20 (для P справа, для D – слева).

Этим модельным примером, эмпирически показавшим работоспособность избранного метода вычисления W-отображений, в том числе и для эклектических постановок, не требующих изменений универсальной схемы вычисления W-функций, завершим раздел и преимущественно экспериментальную часть изложения итогов компьютерного моделирования задачи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Повторим: конструкт ДП имеет истоком теорию полюс-полярного соответствия квадратичных кривых (коник) и базовую теорему взаимности для них (Глаголев, 1963; Моденов, 1969).

Взаимосвязь полюса и поляры из мира коник такова: прямолинейная поляра соответствует прямой, проходящей через точки касания к эллипсу из внешнего полюса. В диспозиции “внешний полюс, внутренняя поляра” однозначная их связь для о общего вида неизменна при любых проективных трансформациях о, что теряет свою приложимость для о в ситуации “внешняя поляра, внутренний полюс”.

Тем не менее из идеи теоремы взаимности удается вычленить условное правило дуальности отношений. Связь позиций двух полюсов и двух плюккеровых поляр, гарантированная для коник, редуцируется в случае с о к связи уже уникальной: для некоторой позиции полюса P1 вне о можно искать такую позицию P2, что поляра p1 пройдет через ext-P2, а полюс P1 будет принадлежать поляре p2. Эти два полюса нефиксированного внешнего расположения стали носителем дуальных свойств в теореме 2: “На прямой extL произвольной дислокации по отношению ко всякому о имеется не менее двух проективно инвариантных ДП”.

Ведущиеся более четверти века попытки предложить методы и схемы дискретной обработки о общего вида, приемлемые (по устойчивости, точности и вычислительным затратам) в рамках проективно инвариантного их представления в задачах автономного распознавания, по мнению исследователей, не увенчались внушающим надежды успехом (Olver, 2001; Hann, Hickman, 2002; Musso, Nicolodi, 2009; Hoff, Olver, 2013). Громоздкость полнопереборных схем (с их неутешительной асимптотикой сложности алгоритмов), а главное – координатный шум оптической регистрации о лишают проблему перспектив разрешения. Процедурный тупик можно обойти приемом расширения сценария задачи – усложнением исходной композиции до вида “о + L”, “о + int-P” либо “о + ext-P”.

Востребованность задач автоматического опознания объектов типа о побуждает искать эффективные подходы с предложениями различных “полуинвариантов” (Olver, 2001; Hann, Hickman, 2002; Musso, Nicolodi, 2009; Hoff, Olver, 2013).

Например, С. Карлсон (Carlsson, 1996) предложил метод сопоставления о по пяти точкам касания вписанного в о эллипса либо по четырем точкам касания к о, образующим гармоническое отношение, которое можно доопределить для четырех точек на эллипсе. Однако в этих работах схемы и методы детекции проективно устойчивых свойств симметрии выпуклой гладкой кривой не рассматриваются.

Симметрии плоских фигур исследуются чаще всего применительно к кривым заданного аналитического порядка. Можно привести пример исследования аспектов симметрии алгебраических объектов шестого порядка (Itenberg, Itenberg, 2004) либо работу, описывающую свойства и особенности кривых седьмого порядка (Brugalle, 2007). Интересны работы по параметризации и нормализации кривых ротационной симметрии (Lebmeir, Jurgen, 2008). В цитированных работах представители семейства о не рассматриваются, а сам список дублирует таковой из работы (Николаев, 2022).

Сформулируем основные выводы по рассмотренной теме “Привлечение ДП в задаче проективно инвариантного описания сцен вида “о + ext-P” в форме вурф-отображений”.

1. Разработаны и испытаны в сериях модельных тестов численные методы решения задачи инвариантного описания о для двух версий ее реализации: (1) ext-P задается независимым образом, либо (2) его позиция является продуктом анализа скрытых свойств симметрии о.
2. Версия (1) успешно протестирована по единой схеме (радиальная W-функция и две тангенциальных) для о общего вида и имеющих скрытые симметрии.
3. Для анализа скрытых свойств симметрии предложены и успешно испытаны программы автоматического поиска ДП и их кластеризации для случаев ext-P и принадлежности HL.
4. Впервые исследованы кривые типа R₃, не имеющие дополнительной осевой симметрии, анализ (на HL) ДП которых показал наличие интересных проективных свойств узлов ДП.
5. Дополнительный анализ свойств W-функций оо осевой симметрии дал возможность (в задаче оценки W-отображений оо) включить обработку проекций этих о в общую схему.
6. Все рассмотренные варианты симметричных о не нарушили тезиса уникального ext-P.

Предложенные приемы обработки кривых семейства о с получением для них проективно инвариантных описаний (в виде вурф-отображений) оригинальны. Прямые и косвенные аналоги схем привлечения ДП (в варианте ext-P либо для ext-L) в задаче репрезентации о в классе проективной эквивалентности не обнаружены в доступных базах цитирования.

About the authors

P. P. Nikolaev

Author for correspondence.
Email: nikol@iitp.ru
Russian Federation, Moscow; Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Pole-pole relations for a family of quadratic curves (conics) on the example of an ellipse, the formula for calculating the Wurf (through the lengths of three segments) and the main points of J. Plücker's reciprocity theorem. Other explanations are in the text

Download (350KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Method of calculation of the radial Wurf function and its typical (two-phase) form on the model numerical example about the general form. Other explanations are in the text

Download (202KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Method for optimizing a pair of tangent W-functions by means of a square root extraction operation for the ordinates of the W3(n) function with a significantly stronger extremum - compared to the maximum at W2(n). Other explanations are in the text

Download (205KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. View of the Wurf images W2(W1) and w3(W1) in the functional dependence of the “tangential - on radial” kind (with the same numbering of the approximation vertices o for all three functions). On the inset: the method of obtaining W-functions by scanning the contour o with a ray from the pole P (the position of tangential functions coincidence for vertex i is shown). Other explanations are in the text

Download (221KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Problem formulation for scenes of the form “o + ext-P”, illustrating the possibility of obtaining triads of DPs (in agreement with the reciprocity theorem), a view of histograms of DP search for poles P and D (in the inset on the right) and the use of triads P..D, P..E to calculate additional DPs M..S (blue color) and N..G on lines PD and PE. Explanations are in the text

Download (532KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. View of the combined reference projection of the two found octets ({B, K, I, T, A, J, R, Q} and {B, F, Z, H, A, U, L, W}) on the contour o of the general view, giving a projectively stable description of o given the positions of the 14 vertices of its contour in the scene with pole P and pluperfect polar AB (two quartets are projected onto a square, two onto a rhombus, the diagonal of the polar is common to the black and brown projections). Other explanations are in the text

Download (444KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. Histogram view of the search for DP positions on HL based on the results of the program, leading in a sequential search of the approximation vertices on the projection of the superellipse to select those satisfying the criterion of “Plücker's duality”. Explanations are in the text

Download (94KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8. Summary picture of the properties of the two-axis hidden symmetry of the Lame curve projection used to obtain its invariant description in the form of a W-image for two cases of ext-P selection: as a random position Z and as a variant of the intersection point V of the tangents defining the map of two DPs (D..P and G..N) on HL. In the insets are views of the W-functions of the W-tangents computed for the poles V and Z, and a descriptor image (bottom left) for the cyclic octet chain {A, T, S, R, B, M, J, I}. Other explanations are in the text

Download (563KB)

Indexing metadata

10. Fig. 9. Summary of the methods and numerical results for the hidden axial symmetry oval (oo). The two W-functions W1(n) and W2(n) computed for image AB (as Plücker polars) are nonlinearly dependent, so it is required to construct a function W3(n) that attracts an additional point N into the estimation scheme. The box on the bottom right gives the formulas for computing the W-functions for the Plücker pole S of axial symmetry (right) and for the random position P (left). The remaining boxes show the structural formulas and the Wurf-curves for poles S and P. Other explanations are in the text

Download (506KB)

Indexing metadata

11. Fig. 10. Histogram view searching (on HL) for DPs and clustering them into quartets (blue and brown sets labeled “square”) for o implicit radial symmetry. Numerical model for 1,200 approximation vertices. Comments are in the text

Download (117KB)

Indexing metadata

12. Fig. 11. Summary picture of dislocation of two DPs on HL in the neighborhood of implicit radial symmetry, determining the positions of poles H and V, relative to which all required (to obtain invariant mappings) W-functions are calculated. The Wurf-products for H and V are shown in the insets (above for H, below for V). All comments are in the text

Download (443KB)

Indexing metadata

13. Fig. 12. View of W-functions and W-objections for a random position p, whose localization with respect to o and HL is shown in Fig. 11. Other explanations are in the text

Download (378KB)

Indexing metadata

14. Fig. 13. Histogram view of the detection of 12 DPs on HL and their clustering into quartets of vertices (array of 1,800 discrete contour positions) for a projection about type R3 possessing three axes of hidden symmetry (48 vertices are marked and merged). Comments are in the text

Download (430KB)

Indexing metadata

15. Fig. 14. A picture of the preliminary analysis of the scene with HL in the neighborhood of the projection about type R3, showing the DPs M..N and T..P, determining the position of the pole V, and by it - and S, relative to which the required Wurf products are calculated; their view is shown in the insets on the left. The insets on the right show the structural formulas (top) and a view of the orthoform with dislocation of one of the symmetry axes and the RL polar for the N pole (bottom). Explanations are in the text

Download (310KB)

Indexing metadata

16. Fig. 15. A picture of the symmetric projective organization of the 12 nodes of the complete DP map for the type R3, for its orthoform manifested by the composition of three parallel bundles combining five lines each, where the lines are incident to the regular structure of the pairs of nodes (the inset on the upper right shows a bundle with projective center in D1, for which d1 on HL forms a DP). The inset on the upper left shows the appearance of the three W-functions and a pair of W-reflections computed for the pole d2 and the polar CD. Other explanations are in the text

Download (438KB)

Indexing metadata

17. Fig. 16. Histogram view of the search histogram of DPs on HL at o type R3, which does not have three hidden symmetry axes, and their clustering into vertex quartets for six DPs. Explanations are in the text

Download (145KB)

Indexing metadata

18. Fig. 17. A picture of the pairwise regular organization of DP nodes in an orthoform of type R3 without three hidden axes of symmetry, for which the chord AB, incident to nodes O1 and O2, is chosen as the plukker polar, with respect to the pole P of which the necessary W-functions and a pair of W-objections are calculated (their appearance is shown in the insets on the left), and the uniqueness of the choice of P is based on the identity of the Wurf-products obtained for polars with pairs of nodes O3-O4 and O5-O6. Other explanations are in the text

Download (420KB)

Indexing metadata

19. Fig. 18. A more detailed map of the connections of six DPs on HL with a regular composition of nodes in the projection field of type R3 (which has no hidden three-axis symmetry), showing the dislocation of 24 stable nodes on its contour and showing (in the upper right inset) a view of the triads of the W-function and W-objections computed for a polara with a pair of nodes O3-O6. The bottom inset (right) gives a view of the 6-node graph with a choice of pairs for two examples of computing Wurf-products over polaras with O1-O2 and O3-O6 pairs. Comments are in the text

Download (499KB)

Indexing metadata

20. Fig. 19. A summary map of the choice of the ext-P position for the computation of the necessary invariant mappings for a non-axial o of type R3, which does not use the DP apparatus on HL, but sets the unique ext-P cordinates by evaluating the dislocation of elliptic points (Theorem 1) with the choice of one of five (namely E2) according to some design criterion. The insets show the view of the W-products according to the unified scheme. All explanations are in the text

Download (485KB)

Indexing metadata

21. Fig. 20. Results of the computation of the required invariant descriptions for a non-axial o of type R3 in the case when in the “o + ext-P” scene the position P is set randomly (without reliance on the analysis of hidden symmetries). “Starting” position P (as in the considered case of general-type o, see Fig. 5) provides a triad of DPs: P..D and P..d, creating the possibility of computing W-objections not only for the pole P, but also with respect to an additional dual D, as shown in the insets (on the right for P, on the left for D). Other explanations are in the text

Download (397KB)

Indexing metadata