Elastic-Plastic Calculation of a Frame for the Action of Horizontal Forces Using the Displacement Method

Full Text

Введение

В последние десятилетия появилось много работ, посвященных изучению напряженно-деформированного состояния каркасных зданий с учетом пластических зон (ПЗ), возникающих в концевых частях ригелей и колонн. Данная проблема особенно актуальна для сейсмических районов, где здания подвергаются значительным динамическим воздействиям. Ввиду сложности моделирования такой задачи подавляющее большинство исследований носит экспериментальный характер.

В научной литературе понятие «пластическая зона» (Plastic Hinge Length) впервые введено в работе [1] при расчете железобетонных (ЖБ) сейсмостойких каркасов, где отмечалось, что появление пластических деформаций оказывает положительный эффект в конструкции, вследствие повышения ее деформативности. Способность нагруженных конструктивных элементов к поглощению и диссипации энергии в целом обеспечивает снижение сейсмического воздействия на каркас. Конструкция, таким образом, помимо своего основного назначения, работает еще как энергопоглотитель.

В ряде работ изучаются вопросы, связанные с параметрами ПЗ, такими как длина зоны l_p, место ее расположения в конструкции, количество ПЗ и др. Большая часть этих исследований посвящена особенностями проектирования ПЗ в железобетоне [2–7] и металлических [8–12] конструкциях, в основном, применительно к циклическим нагружениям конструкций, моделирующих сейсмические воздействия. Разработки, связанные с использованием ПЗ, получили закрепление в нормативных документах (кодах) США и других стран [13–15].

Для того чтобы преодолеть такие слабые стороны бетонных зданий, как хрупкое разрушение и отсутствие пластичности материала, ведутся разработки для создания новых материалов. В работе [2] показано использование армированного волокнистого цементного композита HPFRCC с повышенной пластичностью материала и высокой способностью к поглощению энергии.

В статье [3] для изгибаемых элементов конструкции проведен численный анализ поведения пластических шарниров с использованием вычислительного программного обеспечения DIANA. Построена калиброванная модель FEM (Finite Element Method), исследованы протяженность зоны текучести арматуры, зоны разрушения бетона, зоны локализации кривизны и реальная длина пластического шарнира (ПШ).

В статьях [4–7] обсуждались вопросы исследования длины пластического шарнира ЖБ-колонн. В работе [4] для четырех- и семиэтажных плоских каркасов приведены результаты по исследованию в нелинейной версии программы SAP2000 8, где свойства ПШ задаются по умолчанию в соответствии с документом ATC-40 [14]. Пластические зоны определялись на обоих концах балок и колонн. На примере численного эксперимента показано, что длина ПЗ оказывает большое влияние на относительные горизонтальные перемещения верха каркаса и зависит от расчетной формулы для длины l_p. В статье [5] исследована длина ПШ при циклическом и монотонном нагружении ЖБ-колонн на основе 3D-метода конечных элементов. Длины зон ПШ включают зоны текучести арматуры, дробления бетона и эквивалентный ПШ колонн. Показано, что для циклически нагруженных колонн эта длина больше, чем при монотонных нагружениях. Отмечено, что существенное влияние оказывает схема нагружения, определяемая числом циклов, отношение длины колонны к ее ширине и модуль упрочнения арматуры.

В статье [6] рассмотрены аналогичные проблемы, что и в [5], но с учетом использования полимера, усиленного волокном FRP (Fiber Reinforced Plastic). Для откалибрированной модели FEM сначала проведены параметрические исследования длины ПШ, затем предложена улучшенная модель для FRP в ЖБ-колоннах. В работе [7] обсуждается проблема назначения длины ПЗ в колонне при циклическом действии боковой силы и осевой нагрузки. Учтено влияние на длину ПЗ геометрических размеров колонны, физико-механических свойств арматуры и бетона, количество и диаметр продольных арматуры и других параметров. Отмечена роль главной арматуры и особенно той ее части, которая деформируется за пределом текучести в области упрочнения.

При проектировании ПЗ в металлических конструкциях в [8] разработан двухузловой суперэлемент с обобщенными ПШ для статического и циклического анализа каркасных конструкций. Используется модель с двумя обобщенными ПШ, расположенными по концам упругого балочного элемента и моделируемыми набором осевых и вращательных упругопластических пружин, воспроизводящих пластические свойства в продольном и угловом направлении элемента. Изменение длины ПШ вдоль продольной оси стержня и угла поворота элемента создает условия для взаимодействия между продольными силами и изгибающими моментами в зоне ПШ. В статье [9] эти идеи использованы при анализе ударной нагрузки.

Для анализа каркасных трубчатых конструкций разработан ряд пластических механизмов, которые позволяют использовать один и тот же циклический формат пластичности [10]. Каждый пластический механизм определен функцией энергии и поверхностью текучести. Это позволяет создавать набор функций, регламентирующий упругие и пластические характеристики модели пластического механизма.

При анализе стальных каркасов, изготовленных по принципу проектирования «сильные колонны – слабые балки», после землетрясения, как отмечено в статье [11], наблюдаются большие зоны текучести и, как следствие, разрушения концов стальных балок. В связи с этим предложено устройство для соединения композитной балки со стальной колонной, включающее демпфер трения. Композитная балка состоит из стальной основы и расположенного в верхней части слоя сверхвысокопрочного бетона (Ultra High Performance Concrete (UHPC)). Ожидаемая область ПШ ограничена в пределах допустимого уровня, регламентируемого конструктивными особенностями соединения (l_p = 120, 240 мм). Выходная сила, создающая текучесть в композитном UHPC-слое фиксировалась на пяти экспериментальных моделях в момент проскальзывания демпфера трения. Авторами статьи [12] продолжены экспериментальные и аналитические исследования сейсмических характеристик предложенного устройства, в частности, отмечалось устойчивость устройства к повреждениям при длине ПЗ на концах балки, равной l_p = 120 мм. Для обозначенной области ПЗ рекомендуется слой UHPC толщиной 100 мм и стальной лист толщиной 20 мм.

Метод исследования

В статье предложен аналитический подход к упругопластическому расчету статически неопределимых рам с линейным упрочнением материала на основе метода перемещений (МП) при статическом действии горизонтальных сил [16], моделирующих сейсмическое воздействие.

Реализация подхода требует решения ряда теоретических проблем:

• разработки модели НДС стержня в зоне упругопластических деформаций на основе введения упрощающих предпосылок;
• выполнения расчетов стандартных статически неопределимых балок на единичные воздействия с учетом специальных зон (ПЗ, упругопластической зоны (УПЗ) и зоны усиления) и построения балочных пластических функций (БПФ);
• построения расчетной схемы нелинейного анализа статически неопределимых рам МП с использованием процедуры метода последовательных нагружений [17].

Для области нелинейных деформаций стержня длиной l с кривой 1 (пунктир) [16], отделяющей упругие деформации от пластических, приняты две предпосылки, по которым данная область разбита на две зоны – УПЗ длиной d и ПЗ длиной l_p (фрагмент стержня с нелинейным участком деформирования показан на рис. 1). Согласно первой предпосылке в УПЗ, содержащей малый процент волокон текучести, принят закон деформирования материала по теории идеально-упругопластического тела с переменным модулем упругости E_x. Так как в этом случае кривая 2 имеет вид параболы [18], где x₁ ∈ [0, d], то величину E_x удобно назначить изменяющейся по квадратичной зависимости, то есть пропорциональной отношению упругого ядра сечения 2y к высоте h. По второй предпосылке для ПЗ, где преобладает большой процент волокон текучести, напряжения во всей области приняты σ ≥ σ_т с законом деформирования материала по билинейной диаграмме с постоянным модулем упрочнения Е₀. В результате такого моделирования в области, помеченной желтым цветом (см. рис. 1), проведена замена упругих деформаций (с напряжениями σ < σ_т) на пластические.

 

Рис. 1. Преобразование нелинейного участка деформирования стержня в две самостоятельные зоны: УПЗ длиной d и ПЗ длиной l_p

 

Кроме того, в целях преобразования ПЗ в зону равного сопротивления закон для момента инерции сечения в ПЗ принят по линейной зависимости, согласованной с характером эпюры моментов.

Результаты и обсуждение

Введенные зависимости для модуля упругости в УПЗ и момента инерции в ПЗ позволили в аналитическом виде выполнить расчеты стандартных балок на единичные воздействия и получить безразмерные БПФ , учитывающие поправки к линейному расчету, где α = l_p/l – относительная длина ПЗ, l – длина балки.

В таблице 1 приведены схемы однопролетных статически неопределимых балок с одной пластической зоной и эпюры изгибающих моментов.

Балочные пластические функции, учитывающие влияние пластических зон:

– балочные пластические функции:

$f_1\left(\alpha \right)=\frac{1}{{\psi }_{11}^0};$ $f_2\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }\left(3{\psi }_{22}+{\psi }_{11}-3{\psi }_{12}\right);$

$f_3\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }\left(3{\psi }_{21}-2{\psi }_{11}\right);$ $f_4\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }\left(2{\psi }_{22}-{\psi }_{12}\right);$

$f_5\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }{\psi }_{12};$ $f_6\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }{\psi }_{11};$ $f_7\left(\alpha \right)=\frac{1}{\Delta }{\psi }_{22};$

– вспомогательные нелинейные функции:

 ${\psi }_{11}^0=\frac{\left(1-v^3\right)}{\xi }+\frac{3\alpha }{k_0}\left(v-\alpha \right)\left(v-\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(v-\alpha \right)}^3\left[1+3m-m^2+\frac{1}{5}{m}^3\right];$

 

Таблица 1

Расчетные схемы однопролетных статически неопределимых балок с одной пластической зоной

Расчетные схемы балок и эпюры изгибающих моментов	Расчетные формулы усилий в балках с учетом БПФ
	$M_A=\frac{3EI}{l}{f}_1\left(\alpha \right)$; $R_A=R_B=\frac{3EI}{l^2}{f}_1\left(\alpha \right)$
	$M_A=\frac{3EI}{l^2}{f}_1\left(\alpha \right)$; $R_A=R_B=\frac{3EI}{l^3}{f}_1\left(\alpha \right)$
	$M_A=\frac{4EI}{l}{f}_2\left(\alpha \right)$; $M_B=\frac{2EI}{l}{f}_3\left(\alpha \right)$; $R_A=R_B=\frac{6EI}{l^2}{f}_4\left(\alpha \right)$
	$M_A=\frac{2EI}{l}{f}_3\left(\alpha \right)$; $M_B=\frac{4EI}{l}{f}_6\left(\alpha \right)$; $R_A=R_B=\frac{6EI}{l^2}{f}_5\left(\alpha \right)$
	$M_A=\frac{6EI}{l^2}{f}_4\left(\alpha \right)$; $M_B=\frac{6EI}{l^2}{f}_5\left(\alpha \right)$; $R_A=R_B=\frac{12EI}{l^3}{f}_7\left(\alpha \right)$

 

${\psi }_{11}^{}=\frac{\left(1-v^3\right)}{\xi }+\frac{3{\left(v-\alpha \right)}^3}{8k_0}\left[\frac{1}{2}{\mu }^2+2\mu -\mathrm{2,5}+\ln \mu \right]+n{\left(v-\alpha \right)}^3\left[6-4n+\frac{6}{5}{n}^2\right]+{\left(v-\alpha \right)}^3{\left(1-n\right)}^3;$

${\psi }_{12}^{}={\psi }_{21}=\frac{\left(1-v^2\right)}{\xi }+\frac{\left(v-\alpha \right)}{k_0}\left[\alpha +\frac{\left(v-\alpha \right)}{2}\ln \mu \right]+{\left(v-\alpha \right)}^2\left(1+2n-\frac{1}{3}{n}^2\right);$

${\psi }_{22}=\frac{1-v}{\xi }+\frac{\left(v-\alpha \right)}{2k_0}\ln \mu +\left(v-\alpha \right)\left(1+n\right);$

$\Delta =4{\psi }_{11}{\psi }_{22}-3{\psi }_{12}{\psi }_{21}$

где a = l_p / l – относительная длина ПЗ; n = m / (1 + M_B / M₀); m = 1 – M_e / M₀; k₀ = E₀ / E; m = (v + a)/(v – a); v = 1 – u, где ul £ 1,5h (h – высота поперечного сечения); M_e, M₀ – предельно-упругий и предельный пластический моменты соответственно; M_B – изгибающий момент на правом конце жестко защемленной балки (см. табл. 1); x – коэффициент жесткости в зоне усиления.

Далее приведены некоторые свойства и частные случаи функций ${\psi }_{kl}$ и БПФ $f_j\left(\alpha \right)$. Балочные пластические функции учитывают нелинейные свойства системы и зависят от коэффициентов k₀ (0 < k₀ < 1), n (0 £ n < 1) и x > 1. Первые два коэффициента оказывают свое влияние на развитие пластических деформаций в ПЗ (коэффициент k₀) и в УПЗ (коэффициент n); коэффициент x обеспечивает безопасный уровень напряжений в зоне усиления.

Вспомогательные функции ${\psi }_{kl}$ всегда положительны (${\psi }_{kl}$ > 0) при любых состояниях однопролетных статически неопределимых балок, независимо от наличия / отсутствия тех или иных специальных зон и вида единичного воздействия.

При x = k₀ = 1 (a = n = 0) следует чисто упругое решение, при котором все специальные зоны отсутствуют. В этом случае все вспомогательные функции и БПФ равны единице: ${\psi }_{kl}=f_j\left(0\right)$ = 1 (k, l = 1, 2; j = 1, …, 7), и тогда опорные реакции (силы и моменты) будут такими же, как в стандартных балках, используемых в основной системе метода перемещений при упругом расчете.

При k₀ = 1 (a = n = 0) и x > 1 в системе отсутствуют пластические деформации. Функции  сформированы для упругой системы с учетом зон усиления:

${\psi }_{11}^0={\psi }_{11}=\frac{\left(1-v^3\right)}{\xi }+v^3;$ ${\psi }_{12}^{}={\psi }_{21}=\frac{\left(1-v^2\right)}{\xi }+v^2;$ ${\psi }_{22}=\frac{\left(1-v\right)}{\xi }+v.$

Такие функции удобно использовать на предварительном этапе нелинейного расчета, когда внешние силы еще не вызывают пластических деформаций.

При k₀ < 1, a = 0 внешняя нагрузка достигает такого уровня, когда на границе зоны усиления и УПЗ нормальные напряжения становятся равными предельным пластическим напряжениям, то есть пластические деформации уже появились в УПЗ, но ПЗ еще не образовалась (l_p = 0). Вспомогательные функции ${\psi }_{kl}$ имеют вид:

${\psi }_{11}^0=\frac{\left(1-v^3\right)}{\xi }+v^3\left(1+3m-m^2+\frac{1}{5}{m}^3\right);$

${\psi }_{11}^{}=\frac{\left(1-v^3\right)}{\xi }+v^3\left(1+3n-n^2+\frac{1}{5}{n}^3\right);$

${\psi }_{11}^{}={\psi }_{21}=\frac{\left(1-v^2\right)}{\xi }+v^2\left(1+2n-\frac{1}{3}{n}^2\right);$

${\psi }_{22}=\frac{\left(1-v\right)}{\xi }+v\left(1+n\right).$

В расчетной схеме нелинейного анализа использована пошаговая процедура метода последовательных нагружений, позволяющая в итерационном процессе разбить сложную задачу на ряд последовательных линейных задач [17]. На каждой i-й ступени проводится упругий анализ для системы канонических уравнений МП, записанных в приращениях с учетом фиксированных значений БПФ. С ростом длины ПЗ l_pi, переходя от одной ступени к другой, проводится корректировка поправочных БПФ f_j(a). Процесс нагружений продолжается до тех пор, пока найденная величина l_pi не достигнет расчетной l_p в пределах заданной точности вычислений ε: (l_p – l_pi) £ ε, после чего определяются предельные усилия M_p и нагрузка F_p.

 

Рис. 2. Расчетная схема стальной двухэтажной рамы

 

Для иллюстрации предложенного подхода приведен пример расчета стальной двухэтажной рамы на действие горизонтальных сил, моделирующих сейсмическое воздействие (рис. 2).

Исходные данные: ригели первого и второго этажей – двутавры № 40 (I_x = 19062 см⁴) и № 36 (I_x = 13380 см⁴); стойки первого и второго этажей –сдвоенные швеллеры № 33 (I_x = 15 960 см⁴) и № 30 (I_x = 11 620 см⁴). Материал – С345 (R_yn = 34,5 кН/см²; R_B = 49 кН/см²), E = 2,1×10⁴ кН/см², d₀₂ = 1,643×10^–3, d_B = 0,21; модуль упрочнения E₀ = 69,592 кН/см²; k₀ = E₀/E = 0,0033.

Отношение пластического момента со­противления к осевому принято равным W₀/W_x = 1,17. Предельный пластический и предельно-упругий моменты для ригелей первого этажа равны соответственно M₀ = 381,43 кН×м, M_e = 328,82 кН×м, для стоек первого этажа – M₀₁ = 387,39 кН×м, M_e1 = 333,96 кН×м.

Эпюра предельных моментов M_p и со­ответствующая ей нагрузка F_p = 119,7 кН получены для заданной длины ПЗ, равной l_p = 20 см (рис. 3).

Первые пластические деформации появились при предельном пластическом значении силы F_p0 = 104,9 кН в правой стойке нижнего этажа. Они характеризовались интенсивным развитием ПЗ вплоть до длины l_pi = 10,14 см (при F_pi = 115,5 кН), пока не появилась ПЗ в левой стойке, после чего скорость развития пластических деформаций в правой стойке снизилась и в обеих зонах скорости стали одинаковыми (рис. 4).

 

Рис. 3. Эпюра предельных моментов M_p в раме с ПЗ длиной l_p = 20 см (в правой стойке) и l_p = 16,73 см (в левой стойке)

 

Рис. 4. Зависимости предельной нагрузки от длины пластических зон, возникающих в нижних стойках каркаса

 

Максимальные напряжения в наиболее нагруженных элементах конструкции не превосходят величину предела текучести, так как в этих элементах создаются регулируемые по длине пластические зоны равного сопротивления, задаваемые до расчета. Для сравнения приведена разрушающая нагрузка F₀ по методу предельного равновесия (пунктир, см рис. 4). Пластический механизм бокового смещения строился для двух пластических шарниров, расположенных в стойках первого этажа между УПЗ, в которой появилось предельное пластическое напряжение,
и зоной усиления длиной uh₁ = 0,42 м (u = 0,1, коэффициент жесткости x = 1,5).

Заключение

Предложен новый аналитический подход к статическому расчету стержневых каркасов с учетом пластических зон на основе метода перемещений при действии горизонтальных сил. Разработаны модели напряженно-деформированного состояния стержня в зоне упругопластических деформаций в рамках линейной теории упрочнения материала. Решены задачи расчета стандартных статически неопределимых балок на единичные воздействия, учитывающие наличие специальных зон, включая ПЗ. Построен расчетный алгоритм нелинейного анализа с пошаговой процедурой метода последовательных нагружений.

При моделировании НДС стержня введены две упрощающие предпосылки, согласно которым область физически-нелинейных деформаций стержня разбивается на две зоны (УПЗ и ПЗ). В результате получены зависимости для модуля упругости материала в УПЗ и момента инерции сечения в ПЗ. При выполнении расчетов статически неопределимых балок на единичные воздействия выведены безразмерные БПФ, учитывающие влияние специальных зон.

Сложная нелинейная задача разбита на ряд последовательных линейных задач. На каждой i-й ступени нагружения проводится анализ как для упругой системы с каноническими уравнениями метода перемещений, записанными в приращениях с учетом фиксированных значений БПФ.

Представленная схема статического нелинейного расчета рам с учетом упрочнения материала, базирующаяся на построении БПФ, может быть использована в сейсмическом расчете путем встраивания данной схемы в алгоритм математических моделей по расчету и колебаний сейсмостойких каркасов, в концевых элементах которых (ригелях и колоннах) возникают ПЗ.

Разработанная методика упругопластического расчета рам, вычислительные алгоритмы и программы могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплины «Нелинейные задачи строительной механики».

About the authors

A. N. Potapov

South Ural State University (National Research University)

Author for correspondence.
Email: ziambaevna@susu.ru

доктор технических наук, член-корреспондент Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН), профессор кафедры строительного производства и теории сооружений

Russian Federation, Chelyabinsk

N. A. Zyambaev

South Ural State University (National Research University)

Email: ziambaevna@susu.ru

старший преподаватель кафедры строительного производства и теории сооружений

Russian Federation, Chelyabinsk

References

Supplementary files