Deformation of an Elastic Rod under Conditions of a Sudden Longitudinal Force Application

Full Text

Введение

Современный этап развития науки и техники характеризуется быстрым совершенствованием технических параметров изделий, интенсификацией рабочих процессов, повышением надежности и ресурса машин и механизмов. Происходит быстрая смена конструкционных материалов, внедряются новые технологические процессы. Прогнозирование поведения материала в различных физических условиях – одна из главных задач материаловедения, сопротивления материалов и теории упругости.

В условиях внешних воздействий в механических системах и деталях механизмов может возникать установившееся стационарное напряженное состояние [1, 2]. В этом аспекте, например в работе [3], проведено теоретическое исследование поведения поперечных плоскостей в упругом стержне в условиях действия на него объемных сил – инерции и силы тяжести, получена функция y(x) зависимости линейной плотности поперечных плоскостей стержня от координаты x.

Периодический характер работы большинства машин и механизмов предопределяет периодичность нагружения и деформирования, как отдельных их звеньев, так и тех конструкций, которые служат опорами или фундаментами. Механические колебания сопутствуют, практически, работе каждой машины. В одних случаях они вредны, в других – приносят пользу и целенаправленно применяются в современной технике. Большинство современных технических сооружений, приборов, инструментов, механизмов представляют собой сложные системы, в основе которых колебательные конструкции, скомпонованные из стержневых и тонкостенных элементов, изготовленные из материалов, которые в пределах достаточно малых деформаций могут рассматриваться как упругие. При различных воздействиях на данные конструкции, например удар или внезапное приложение силы, в них могут возникать свободные и вынужденные колебания различного характера [1, 2]. Знание частоты и характера колебаний деталей, являющихся элементами колебательных конструкций, является теоретической основой изготовления таких механизмов, которые будут надежны в эксплуатации и долговечны.

Цель работы – теоретическое исследование поведения упругого стержня, в условиях внезапно приложенной постоянной силы, направленной вдоль его оси, установление функциональной зависимости его абсолютной деформации в зависимости от времени Δl(t) (не содержащей бесконечных сумм) и характера этой деформации в процессе движения стержня.

Результаты и обсуждение

Рассмотрим покоящийся стержень постоянного поперечного сечения цилиндрической формы, концы которого не закреплены. Материал стержня однородный и подчиняется закону Гука. Направим ось Х по оси стержня. Пусть на правый торец стержня внезапно начинает действовать постоянная сила F, равномерно распределенная по поверхности торца стержня и направленная вдоль оси X (рис. 1).

 

Рис. 1. Упругий стержень, движущийся в условиях внезапно приложенной силы, направленной вдоль его оси

 

Функция продольных перемещений поперечных плоскостей стержня u(x,t) в данных условиях удовлетворяет дифференциальному уравнению [4, 5]

$\frac{{\partial }^{2}u\left(x,t\right)}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^2}+\frac{F\delta \left(x-l\right)}{\rho s}$,

при этом начальные условия

$u\left(x,0\right)=\frac{\partial u\left(x,0\right)}{\partial t}=0$,

граничные условия

$\frac{\partial u\left(\mathrm{0,}t\right)}{\partial x}=\frac{\partial u\left(l,t\right)}{\partial x}=0$,

где ρ – плотность вещества стержня, кг/м³; s – площадь поперечного сечения, м²; l – длина недеформированного стержня, м; c – скорость звука в стержне, м/с; t ≥ 0 – текущее от начала воздействия силы время, с; x – координата точки на оси стержня; δ(x – 1) – дельта-функция.

Искомая функция u(x,t) выражается тригонометрическим рядом [4, 5]

$u\left(x,t\right)=\frac{F{t}^2}{2\rho sl}+\frac{2Fl}{\rho s{c}^2{\pi }^2}\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^m}{m^2}\text{cos }\left(\frac{m\pi x}{l}\right)\left(1-\text{cos}\frac{mc\pi t}{l}\right)$.                                (1)

Плоскость стержня с координатой x = 0 (левый торец стержня) к моменту времени t будет иметь координату u(0,t), правый торец стержня (x = l) к моменту времени t переместится в точку с координатой l + u(x,t). Очевидно,

$u\left(l,t\right)-u\left(\mathrm{0,}t\right)=\Delta l\left(t\right)$.

С учетом формулы (1),

$\Delta l\left(t\right)=\chi \sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^m}{m^2}\left(1-\text{cos }\beta mt\right)\left(\text{cos }m\pi -1\right)$,

где $\chi =\frac{2Fl}{\rho s{c}^2{\pi }^2}$, $\beta =\frac{c\pi }{l}$. Учитывая, что при $m=\mathrm{2,}\mathrm{4,}\mathrm{6,}\mathrm{8,}\mathrm{...}$ $\text{cos\hspace{0.17em}}m\pi =1$, получаем

$2\chi \left[\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\mathrm{...}\right)-\left(\text{cos }\beta t+\frac{\text{cos }3\beta t}{3^2}+\frac{\text{cos 5}\beta t}{5^2}+\frac{\text{cos }7\beta t}{7^2}+\mathrm{...}\right)\right]=\Delta l\left(t\right)$.

В компактной форме

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(2n-1\right)}^2}-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}=\frac{\Delta l\left(t\right)}{2\chi }$.                                                                   (2)

Чтобы упростить приведенное выражение, рассмотрим суммы слева:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(2n-1\right)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$;

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}=-\frac{\pi }{4}\beta t+\frac{{\pi }^2}{8}$,   $\beta t\in \left[0\text{;}\pi \right]$.

Сумма последнего ряда является 2π - периодической и четной функцией [6], следовательно, может быть представлена непрерывной функцией, состоящей из линейных функций по аргументу t на всей оси t так, что:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}=-\frac{\pi }{4}\beta t+\frac{{\pi }^2}{8}$, $t\in \left[0\text{;}\frac{\pi }{\beta }\right]$;

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}=\frac{\pi }{4}\beta t-\frac{3{\pi }^2}{8}$, $t\in \left[\frac{\pi }{\beta }\text{;}\frac{2\pi }{\beta }\right]$;

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}=-\frac{\pi }{4}\beta t+\frac{5{\pi }^2}{8}$, $t\in \left[\frac{2\pi }{\beta }\text{;}\frac{3\pi }{\beta }\right]$;

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\text{cos }\left(2n-1\right)\beta t}{{\left(2n-1\right)}^2}={\left(-1\right)}^k\frac{\pi }{4}\beta t+{\left(-1\right)}^{k+1}\left(2k-1\right)\frac{{\pi }^2}{8}$, $t\in \left[\frac{\left(k-1\right)\pi }{\beta }\text{;}\frac{k\pi }{\beta }\right]$, где $k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{...}$.

По смыслу задачи рассматриваем t ≥ 0. С учетом вышесказанного из уравнения (2) получаем

$\Delta l\left(t\right)={\left(-1\right)}^{k+1}\frac{\chi \pi \beta }{2}t+\frac{\chi {\pi }^2}{4}\left[1+{\left(-1\right)}^{k+2}\left(2k-1\right)\right]$.                                                        (3)

Графиком функции (3) является ломаная непрерывная кривая, состоящая из фрагментов линейных функций относительно времени t (рис. 2). Абсолютная деформация стержня изменяется по линейному закону.

 

Рис. 2. График функции Δl(t)

 

Максимальное удлинение стержня (с учетом, что $c=\sqrt{E/\rho }$)

$\mathrm{\Delta }{l}_{\max }=\frac{\chi {\pi }^2}{2}=\frac{Fl}{sE}$,

где E – модуль Юнга материала стержня, Па.

Очевидно, период изменения длины стержня

$T=\frac{2\pi }{\beta }=\frac{2l}{c}$,

частота

$\nu =\frac{1}{T}=\frac{c}{2l}$.

Раскрывая введенные выше сокращенные обозначения в функции (3), получим

$\mathrm{\Delta }l\left(t\right)={\left(-1\right)}^{k+1}\frac{Ft}{s\sqrt{\rho E}}+\frac{Fl}{2sE}\left[1+{\left(-1\right)}^{k+2}\left(2k-1\right)\right]$.                                                 (4)

То есть в процессе движения стержня в условиях действия на него внезапно приложенной постоянной силы F не произойдет установления некоторой постоянной абсолютной деформации стержня – длина стержня будет периодически линейно изменяться, а точное ее значение можно вычислить по формуле: l(t) = l + Δl(t).

Например, для стали E = 2×10¹¹ Па, с = 5000 м/с, если длина стержня l = 10 м, диаметр 2 см (то есть площадь поперечного сечения s = 3,14 × 10^–4 м²), а сила, действующая на стержень F = 4 × 10⁵ Н, то Δl_max = 6.4 × 10^-2 м, n = 250 Гц. Максимальная относительная деформация при этом ε_max = Δl_max /l = 6.4 × 10^-3 м. Тогда максимальное нормальное напряжение в стержне будет составлять σ_max = 1280 МПа, что близко к пределу текучести легированных качественных сталей.

 

Рис. 3. Поступательное движение стержня и его относительная деформация в условиях действия на него внезапно приложенной постоянной силы (cправа указаны интервалы времени, в течение которых стержень перемещался; ▭  – Δl_max – масштабность)

 

На рисунке 3 показано движение стержня за интервалы времени, кратные l/c, в условиях внезапно приложенной к стержню продольной силы. При поступательном движении стержня его длина периодически изменяется на одинаковую величину Δl_max. В ходе поступательного движения стержень периодически растягивается и сжимается до исходной длины. Очевидно, когда стержень приобретает исходную длину, в процессе своего движения, внутренняя динамика стержня, обусловленная силой инерции в данный момент, эквивалентна его внутренней динамике, соответствующей интервалу времени l/c.

Заключение

Таким образом, упругий стержень, движущийся под действием продольной внезапно приложенной силы, деформируется так, что периодически удлиняется и затем укорачивается до исходного размера, при этом максимальная абсолютная деформация его сохраняется. Величина абсолютной деформации пропорциональна приложенной внешней силе. Получена функция, выражающая зависимость абсолютной деформации стержня от времени (4). Частота изменения длины стержня, в общем случае, лежит в интервале от инфразвуковой до ультразвуковой. Очевидно, периодически изменяющаяся длина стержня может негативно сказаться на работе различных машин и механизмов (при соответствующих условиях), при большой силе, действующей на стержень, может проявляться остаточная деформация в стержневых системах, и это необходимо учитывать. Важно отметить и следующее, если такая стержневая система попадет в зону действия внешней частоты звуковых колебаний, совпадающей с собственной частотой некоторых элементов данной системы, то последние могут разрушиться в результате резонанса.

About the authors

L. G. Karyev

Derzhavin Tambov State University

Author for correspondence.
Email: karyev@list.ru

доктор физико-математических наук, профессор кафедры профильной довузовской подготовки

Russian Federation, Tambov

V. A. Fedorov

Derzhavin Tambov State University

Email: karyev@list.ru

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и экспериментальной физики

Russian Federation, Tambov

References

Supplementary files