Adaptive IIR filter based on penalized spline

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

В последние годы возрос интерес научного и инженерного сообщества к нелинейным и адаптивным моделям, а также к прикладным задачам на их основе. Обоснован подобный интерес нелинейной природой многих процессов реальной жизни.

Нелинейные адаптивные модели и фильтры обладают хорошей гибкостью и высокой производительностью [1–3]. Нелинейность моделей отражает нестационарную природу процессов, а адаптивность моделей повышает эффективность их применения. Вычислительные затраты определяются, главным образом, принципами адаптации и обучения модели.

Одна из популярных идей при создании нелинейных фильтров основана на обновлении (адаптации) коэффициентов линейных фильтров. Наиболее популярные алгоритмы такой адаптации основаны на методе наименьших квадратов и его модификациях, а также методе аффинной проекции. Первая группа методов имеет небольшую вычислительную сложность, вторая – хорошую сходимость.

Другие идеи адаптивного обучения основаны на нейронных сетях [5], адаптивных фильтрах Вольтерра [4], ядра [7], функциональной связи [8], расширенном фильтре Калмана [6] и пр. Однако подобные фильтры эффективны только для объектов со слабой нелинейностью. А значительная нелинейность отрицательно сказывается на сходимости алгоритмов адаптации и усложняет вычисления, поскольку связана с увеличением порядка модели.

Системы реального времени наиболее требовательны к быстродействию алгоритмов обработки информации и, соответственно, к их вычислительной сложности. Поэтому в таких системах адаптивные модели с этапом обучения или с использованием численных методов мало пригодны.

В этой ситуации возможен подход с использованием адаптивных сплайнов, интерес к которым возрастает, как к инструменту нелинейного моделирования. Сама идея, а также термин “сплайн-адаптивный фильтр” (САФ) были введены в 2013 г. в работе [9] M. Scarpiniti. Концепция САФ включает последовательную комбинацию линейного фильтра и нелинейного алгоритма с функцией адаптации. Нелинейная часть в базовой конструкции представлена интерполяционным сплайном, структура которого остается неизменной. Для интерполяции используются базисные сплайны и сплайны Катмалла–Рома с фиксированной матрицей коэффициентов для локального звена сплайна.

Структурно модель САФ относится к блочно-ориентированному представлению и включает линейные и нелинейные блоки [10, 11]. Линейная часть модели является временно-инвариантной (динамической), а нелинейная модель – статической (рис. 1).

 

Рис. 1. Структура сплайн-адаптивного фильтра.

 

Топология блоков в САФ также может быть различной. Например, модель САФ [9], называемая моделью Винера, представляет собой линейно-нелинейную (ЛН) модель, включающую линейный фильтр и статическую нелинейную функцию адаптации. Другая популярная модель, известная как Хаммерштейн-модель, является нелинейно-линейной (НЛ) моделью, в которой динамический и нелинейный статический блок имеют обратный порядок [12]. Также существуют модели, которые комбинируют компоненты ЛН и НЛ, обеспечивая гибкость и разнообразие в работе с различными типами нелинейностей.

Концепция САФ оказалась довольно продуктивной и для теоретических исследований, и в прикладных задачах. Разными исследователями были разработаны и изучены различные варианты САФ, например, с использованием БИХ-фильтров [13, 14], для активного контроля и фильтрации разного типа помех [15, 16], для негауссовой среды [17, 18]. Ряд работ посвящен вопросам улучшения устойчивости, сходимости, анализу надежности и производительности [18–20].

Тем не менее, несмотря на большое количество работ по САФ, существуют определенные вопросы относительно его применения на практике.

САФ достаточно разработаны теоретически и опираются на априорную информацию о свойствах входных сигналов и помех. При адаптации параметров САФ используются градиентные методы оптимизации [11, 18]. Однако в реальной задаче желаемый сигнал часто неизвестен, а целевая функция обычно мультимодальна. Еще одна проблема САФ связана с длительностью машинного обучения, что затрудняет его использование в режиме реального времени.

Целью данной работы является развитие технологии САФ для реализации в реальном времени. Для этого использована модификация штрафного P-сплайна, названная здесь Р-САФ. В отличие от традиционных P-сплайнов, вместо одного параметра сглаживания, предлагаемый Р-САФ позволяет изменять этот параметр в пределах отдельного звена сплайна. А создание группы отсчетов ВР решает проблему выбора узлов сплайна.

Другая особенность P-САФ состоит в экономичной вычислительной схеме P-САФ в виде рекуррентных алгебраических выражений, что позволяет использовать его в реальном времени.

И наконец, модель P-САФ представляет собой аналитическое выражение, что повышает интерпретируемость моделей на его основе.

2. ОПИСАНИЕ И ТОПОЛОГИЯ Р-САФ

Для реализации САФ в реальном времени предлагается математическая модель в форме рекуррентной сплайн-функции. Именно рекуррентное математическое описание делает возможным использование САФ в РРВ.

Большинство известных САФ основаны на сглаживающих сплайнах, однако также возможно использование штрафных P-сплайнов и базисных B-сплайнов [21, 22]. При этом сглаживающие сплайны имеют большую вычислительную сложность, что становится проблемой при реализации в реальном времени [23]. А, например, впервые предложенная в [9] модель САФ использует базисные B-сплайны. Для базисных и штрафных сплайнов оптимальность выбора узлов оказывает значительное влияние на сложность их реализации [24]. И хотя адаптация в реальном времени является трудоемкой процедурой, эффективность САФ при этом существенно повышается.

В теории цифровой фильтрации можно выделить два подхода: цифровой фильтр (ЦФ) с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). В САФ, в основном, применяются КИХ-фильтры. Их достоинствами являются линейная фазовая характеристика и устойчивость. Эти и другие достоинства КИХ объясняются отсутствием обратной связи по выходным параметрам фильтра.

Структура БИХ-фильтров содержит обратную связь, что является причиной неустойчивости и, нередко, низкой сходимости. Однако БИХ-фильтры, в отличие от КИХ-фильтров, могут обеспечить резкость переходной зоны пропуска и подавления сигнала при одинаковом с КИХ-фильтрами порядке ЦФ [25].

Одним из способов описания ЦФ является разностное уравнение. В данной работе используется рекуррентная форма штрафного P-сплайна, полученная с применением вариационного подхода [26]. В классическом варианте сглаживающий кубический сплайн S(t) может быть получен как решение задачи минимизации на всем интервале наблюдения [a, b] по отсчетам $y_i,i=\overline{\mathrm{1,}n}$:

$S_{\lambda }=\underset{s\in W_2^2\left[a,b\right]}{\arg }\underset{\lambda }{\min }\left\{\lambda {||S^{\text{'}\text{'}}||}_{L_2\left[a,b\right]}^2+\sum _{i=1}^n{\left|\left.S\left(t_i\right)-y_i\right|\right.}^2\right\}$, (1)

где λ – сглаживающий множитель, ассоциирован с параметром регуляризации Тихонова. А сами слагаемые в (1) определяют соответственно минимальную кривизну сплайна и минимум невязок [27]. Кубический сплайн S(t) находится среди всех функций из пространства Соболева $s\in W_2^2[a,b]$. Степень гладкости или штраф за гладкость сплайна S(t) определяется параметром λ. Отсюда и название штрафной P-сплайн. Диапазон параметра λ неизвестен и обычно велик [10^–9, 10⁹], но при λ → 0 сплайн стремится к интерполяционному.

Для реализации P-сплайна в РРВ критерий (1) модифицирован нами и адаптирован отдельно для каждого i-го звена сплайна:

$S_{\rho ,h}=\underset{s\in W_2^2\left[\mathrm{0,}h\right]}{\arg }\underset{\rho ,h}{\min }\left\{\left(1-\rho \right){||S^{\text{'}\text{'}}||}_{L_2\left[\mathrm{0,}h\right]}^2+\rho \sum _{j=0}^h{\left|\left.S\left(t_j^i\right)-y_j^i\right|\right.}^2\right\}.$

$S_{\rho ,h}=\underset{s\in W_2^2\left[\mathrm{0,}h\right]}{\arg }\underset{\rho ,h}{\min }\left\{\left(1-\rho \right){||S^{\text{'}\text{'}}||}_{L_2\left[\mathrm{0,}h\right]}^2+\rho \sum _{j=0}^h{\left|\left.S\left(t_j^i\right)-y_j^i\right|\right.}^2\right\}.$ (2)

Входные данные в (2) собраны в группы по h значений $\left\{y_0^i,y_1^i,\mathrm{...,}{y}_h^i\right\}$ между крайними отсчетами группы $t_0^i,t_h^i$ для каждого i -го звена сплайна.

Предлагаемый Р-САФ позволяет изменять гладкость в пределах звена с помощью переменного параметра гладкости ρ, тем самым повышая гибкость нелинейных моделей отдельных звеньев. В отличие от традиционных P-сплайнов (1) с единым параметром сглаживания ρ.

Вид критерия (2) известен как блочная регуляризация Тихонова [28], которая в данном случае определяет блок, как группу из h отсчетов. Минимальный размер группы h = 3 (т. е. 4 отсчета ВР) определен порядком кубического сплайна. Но обычно h > 3 и это означает, что выборка избыточна и это положительно сказывается на равновесии данных для описания нелинейности [10].

Другой особенностью критерия (2) является адаптация штрафного параметра ρ в интервале . Нормирование сглаживающего сомножителя ρ уменьшает сложность его выбора в соответствии с физическим смыслом: от максимальной гладкости при ρ = 0 до интерполирующего сплайна при ρ = 1.

Переход от критерия (2) к функционалу J(S) упрощает получение неизвестных коэффициентов сплайна:

$\begin{array}{c}J\left(S\right)=\left(1-\rho \right){\left(h\Delta t\right)}^2\underset{t_0^i}{\overset{t_h^i}{\int }}{\left[S^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)\right]}^{2}dt+\\ +\rho \sum _{k=0}^h{\left[S\left(t_k^i\right)-y\left(t_k^i\right)\right]}^2.\end{array}$ (3)

Шаг дискретизации Δt уравновешивает размерности слагаемых, а сам функционал (3) становится безразмерным. Далее Δt = 1.

Для получения коэффициентов $a_0^i,a_1^i,a_2^i,a_3^i$ рекуррентного сплайна S_i(τ) на i-м звене

$S_i\left(\tau \right)=a_0^i+a_1^i\tau +a_2^i{\tau }^2+a_3^i{\tau }^3,-q\le \tau \le h-q$ (4)

использованы два типа условий:

1) условия равенства непрерывных производных для смежных звеньев сплайна $S^{\left(k\right)}{\left(t_{q+1}^{i-1}\right)}_{+}=S^{\left(k\right)}{\left(t_q^i\right)}_{-}$ $S^{\left(k\right)}{\left(t_{q+1}^{i-1}\right)}_{+}=S^{\left(k\right)}{\left(t_q^i\right)}_{-}$ позволяют найти рекуррентные соотношения для непрерывных коэффициентов $a_0^i,a_1^i$ (k = 0, 1) смежных (i – 1)-х и i-х звеньев;

2) из условия $\frac{\partial J\left(S\right)}{\partial a_2^i}=\mathrm{0,}\frac{\partial J\left(S\right)}{\partial a_3^i}=0$ найдены разрывные коэффициенты $a_2^i,a_3^i$.

Математические соотношения для коэффициентов Р-сплайна $a_0^i,a_1^i,a_2^i,a_3^i$ представляют собой алгебраические выражения [26] и не требуют дополнительных методов решения (аналитических или численных).

Отличительная особенность предлагаемого Р-сплайна (4) – это возможность сопряжения смежных звеньев в любой точке $q=t_k^i$ внутри i-го звена ($k=\overline{\mathrm{0,}h}$) (рис. 2а). Это особенность уникальна и для теории сплайнов с последовательным сопряжением звеньев, и для реализации в реальном времени со скользящим окном.

 

Рис. 2. Топология вычислительных схем Р-САФ.

 

Временные моменты сопряжения сплайна q и вычисления τ являются параметрами вычислительных схем Р-САФ. И на основе их взаимного расположения можно разработать несколько топологий для вычислительных схем сплайна [29], в том числе последовательной рис. 2б и многократной фильтрации рис. 2в. И все три схемы сочетают рекуррентность коэффициентов сплайна, что соответствует адаптации линейного КИХ-фильтра в традиционном САФ, и локальность к группе отсчетов внутри звена.

Наибольший интерес с позиции РРВ имеет универсальная вычислительная схема, показанная на рис. 2а. Для произвольных значений q и τ разностное уравнение ЦФ, соответствующего такой схеме, представляет собой уравнение с переменными параметрами, порядок уравнения соответствует значению τ [30]. И именно параметры q и τ, как параметры топологии, определяют структурную адаптацию Р-САФ.

Рассмотрим частный случай данной вычислительной схемы для $\tau =q+\mathrm{1,}q=\overline{\mathrm{0,}h-1}$. Для получения разностного уравнения требуется задание единого временного отсчета, определенного для каждого i-го звена сплайна. Принципиально таким моментом может быть любой отсчет i-го звена $t_j^i,j=\overline{\mathrm{0,}h}$. Здесь выбран момент времени  и далее для этого момента введено обозначение $i=t_{\tau }^i$.

Проанализируем компоненты функционала (3) относительно выбранного момента. Если введены обозначения $y_i=y\left(t_{\tau }^i\right),S_i=S\left(t_{\tau }^i\right)$, то последовательности $\left\{S_i\right\},\left\{y_i\right\},i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3...}$ можно рассматривать, как решетчатые функции с интервалом квантования Δt. И для введенных обозначений разностное уравнение Р-САФ имеет следующий вид:

$\begin{array}{c}{\gamma }_0{S}_i-{\gamma }_1{S}_{i-1}-{\gamma }_2{S^{\text{'}}}_{i-1}=\\ ={\gamma }_3\sum _{k=i}^{i+h}{y}_{k-1}{(k-1)}^2+{\gamma }_4\sum _{k=i}^{i+h}{y}_{k-1}{(k-1)}^3,\end{array}$ (5)

где

$\begin{array}{l}{\gamma }_0=BC-A^2;\\ {\gamma }_1={\alpha }_0+\rho \left(A{H}_3-C{H}_2\right)+\rho \left(A{H}_2-B{H}_3\right);\\ {\gamma }_2={\alpha }_0+\rho \left(A{H}_4-C{H}_3\right)+\rho \left(A{H}_3-B{H}_4\right);\\ {\gamma }_3=\rho \left(C-A\right);{\gamma }_4=\rho \left(B-A\right);\end{array}$

$\begin{array}{l}A=6(1-\rho )h^4+\rho H_5;\\ B=4(1-\rho )h^3+\rho H_4;\\ C=12(1-\rho )h^5+\rho H_6;\\ H_n=\sum _{k=0}^h{k}^n.\end{array}$

Разностное уравнение (5) – наиболее простой случай разностного уравнения для Р-САФ и соответствует значениям $\tau =q+\mathrm{1,}q=0$. Это уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами ${\gamma }_j,j=\overline{\mathrm{0,}4}$. Если $\tau >q+1$ и для всех звеньев сплайна τ = const, то разностное уравнение остается с постоянными параметрами, но порядок уравнения равен (τ – h). В данном случае коэффициенты ${\gamma }_j,j=\overline{\mathrm{0,}4}$ разностного уравнения (5) не зависят от параметров вычислительной схемы q и τ, а зависят только от параметров самого сплайна h и τ. Эти параметры и определяют адаптивные свойства Р-САФ, т. е. участвуют в процессе параметрической адаптации.

3. УСТОЙЧИВОСТЬ И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ P-САФ

Концепция САФ оказалась довольно популярной и это можно объяснить способностью цифровых фильтров моделировать нелинейные системы при невысокой сложности самих САФ. Однако скорость сходимости САФ остается по-прежнему недостаточно высокой [31].

Рекуррентный Р-САФ как математический инструмент обработки информации в РРВ должен соответствовать требованиям сходимости, устойчивости и точности [32]. Для оценки эффективности P-САФ в установившихся и переходных режимах целесообразно использовать методы линейных динамических систем. Как и в случае любого ЦФ для описания P-САФ используется математический аппарат, включающий аппаратную и системную функции фильтра.

В отличие от КИХ-фильтров, обладающих линейной фазой и устойчивостью, БИХ-фильтры могут оказаться неустойчивыми. Поэтому в обязательном порядке следует анализировать устойчивость рекуррентного сплайн-фильтра в области изменения его параметров.

На основе z-преобразования правой и левой частей разностного уравнения (5) аналитически получена системная функция сплайн-фильтра $W\left(z\right)=S\left(z\right)/Y\left(z\right)$ [31]:

$W\left(z\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{k=0}^h{z}^{k-1}\cdot \left({(k-1)}^2{\gamma }_3+{(k-1)}^3{\gamma }_4\right)}}{{\gamma }_0-{\gamma }_1{z}^{-1}-{\gamma }_2\ln \left(z\right)z^{-1}}$, (6)

которая является аналогом частотной передаточной функции (ПФ) непрерывных систем.

И несмотря на несложный вид системной функции, синтез P-САФ непосредственно на его основе довольно проблематичен. Альтернативным способом синтеза Р-САФ является представление ПФ в виде соединения элементарных звеньев САУ с прямыми, параллельными или каскадными связями [33]. Для этого представим системную функцию (6) в традиционном виде отношения полиномов:

$W\left(z\right)=\frac{{\beta }_0{z}^{-1}+{\beta }_1+{\beta }_2{z}^{}+{\beta }_3{z}^2+\mathrm{...}+{\beta }_h{z}^{h-1}}{1+{\alpha }_0{z}^{-1}+{\alpha }_1\ln \left(z\right)z^{-1}}$ (7)

с коэффициентами

${\alpha }_0=-\frac{{\gamma }_1}{{\gamma }_0};{\alpha }_1=-\frac{{\gamma }_2}{{\gamma }_0};{\beta }_k={\gamma }_3{(k-1)}^2+{\gamma }_4{(k-1)}^3.$

Тогда структурная схема прямой реализации Р-САФ будет выглядеть следующим образом (рис. 3).

 

Рис. 3. Структурная схема рекуррентного P-САФ.

 

Обратная связь в структуре Р-САФ, являясь достоинством рекурсивных ЦФ, может привести к его неустойчивости, т. е. наличию корней характеристического уравнения за пределами единичного круга $\left|z\right|<1$. Для оценки областей устойчивости запишем характеристический полином ПФ (6) с учетом билинейного w-преобразования. И, заменив $z=\frac{1+w}{1-w}$, получим

$u_0{w}^2+u_{1}w+u_2=0$, (8)

где

$\begin{array}{l}{u}_0=4{\gamma }_1;\\ u_1={\gamma }_0+{\gamma }_1-2{\gamma }_2;\\ u_2=2{\gamma }_0-{\gamma }_1-{\gamma }_2.\end{array}$

Для уравнения второго порядка (8) критерий Гурвица–Мизеса определяет условия устойчивости дискретных систем:

$\begin{array}{l}4{\gamma }_1>0;\\ {\gamma }_0+{\gamma }_1-2{\gamma }_2>0;\\ 2{\gamma }_0-{\gamma }_1-{\gamma }_2>0.\end{array}$

С учетом введенных в (5) обозначений для коэффициентов ${\gamma }_j,j=\overline{\mathrm{0,}2}$ разностного уравнения устойчивость Р-САФ полностью определяется параметрами сплайна h и τ. И для выбранной топологии вычислительной схемы q = 0, τ = 1 Р-САФ устойчив при любых значениях сглаживающего параметра $\rho \in \left[\mathrm{0,}1\right]$ при любом размере группы h.

На рис. 4 области неустойчивости не заштрихованы, области абсолютной устойчивости (т. е. при всех значениях $\rho \in \left[\mathrm{0,}1\right]$) заштрихованы полностью, а на областях частичной устойчивости приведена нижняя граница диапазона ρ при некоторых соотношениях h и q. Изменение параметра топологии q > 0 заметно сужает области устойчивости Р-САФ. Устойчивость наблюдается только при стремлении ρ → 1, и сами диапазоны ρ весьма малы: [0.99–1], [0.84–1]. И наконец при q → h Р-САФ всегда неустойчив.

 

Рис. 4. Области устойчивости P-САФ.

 

При сопряжении смежных звеньев в начале текущего звена (q = 0) Р-САФ всегда остается устойчив и при τ > 1. В практических приложениях сопряжении в начале звена и используется чаще всего.

Также целесообразно оценить сходимость Р-САФ на основе косвенных критериев, т. е. исследовать аппаратную функцию g(t). Известно, что аппаратная функция ЦФ является функцией веса компонент фильтра во времени. И по мере увеличения длины веса ЦФ резко возрастает вычислительная сложность процессов фильтрации и адаптации.

Аппаратная функция g(t) P-САФ была получена аналитически на основе системной функции Р-САФ (6) с использованием обратного преобразования Фурье.

Являясь аналогом импульсной весовой функции непрерывной системы, аппаратная функция выражает аналитическую зависимость сигналов между входными и выходными сигналами ЦФ на основе уравнения дискретной свертки. Визуально аппаратная функция Р-САФ несимметрична, что типично для БИХ-фильтров (рис. 5а). А затухающий характер подтверждает сходимость Р-САФ при изменении параметров сплайна ρ и h.

 

Рис. 5. Аппаратная функция P-САФ.

 

Однако условие каузальности ($g\left(t\right)=\mathrm{0,}t<0$) соблюдается только в случае, если Р-САФ работает в режиме без задержки, т. е. не имеет запаздывания по параметрам топологии вычислительной схемы. В других случаях аппаратная функция отлична от нуля, что характерно для систем с запаздыванием, например, при обработке данных группами.

Системную ошибку ЦФ определяет ширина аппаратной функции Δ (рис. 5в). Количественно ширина аппаратной функции может быть оценена следующим соотношением [34]:

$\Delta =\frac{{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left|g\left(t\right)\right|dt}}{g\left(0\right)}$. (9)

Как видно на геометрической иллюстрации ширина аппаратной функции зависит от параметров сплайна ρ и h. Причем ширина уменьшается и с ростом сглаживающего множителя ρ, и с ростом длины сплайна h. С увеличением числа отсчетов звена h полоса пропускания фильтра уменьшается. Соответственно уменьшается и ширина аппаратной функции, что видно из рисунка. Гладкость сплайна на выходе фильтра в таких случаях увеличивается, однако он становится значительно отдален от линии регрессии, что приводит к увеличению систематической ошибки. Таким образом, ширина амплитудной функции физически интерпретируется как фактор, влияющий на точность измерений.

Влияние сглаживающего множителя ρ много слабее, чем параметра h. И при h > 15 влияние параметра сглаживания практически нет.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Для оценки эффективности предлагаемого P-САФ выполнена серия вычислительных экспериментов с реализацией в режиме реального времени. Численные эксперименты предназначены для демонстрации сглаживающих и фильтрующих возможностей P-САФ, а также для сопоставления результатов с другими САФ.

Результаты предложенного P-САФ, основанного на штрафном сплайне реального времени, сравниваются с классическими вариантами САФ на основе SAF-LMS [9].

Для проведения исследований в качестве модельных и реальных данных целесообразно выбрать широко известные функции с выраженными нелинейностями, которые часто используются в подобных исследованиях алгоритмов САФ.

Для оценки эффективности САФ [18] используется показатель точности, основанный на среднеквадратическом отклонении и выраженный в децибелах:

$MSE\left[dB\right]=10{\log }_{10}E\left[e^2\left(n\right)\right]$, (10)

где E[*] – среднее значение; e(n) – разность полезного и восстановленного сигналов.

Модельные входные сигналы

Все результаты получены путем усреднения 20 испытаний Монте-Карло. Максимальный объем выборки для всех модельных сигналов – 30 000 отсчетов.

На рис. 6 представлены результаты эффективности предлагаемого Р-САФ для двух наиболее популярных примеров в теории САФ. Для рис. 6а входной полезный сигнал x_n представляет собой гауссовский случайный процесс и генерируется соотношением [9]

$x_n=r{x}_{n-1}+\sqrt{1-r^2}\cdot {\nu }_n$,

где ${\nu }_n$ – белый гауссовский шум с нулевым средним с единичной дисперсией; r ä [0, 1) – коэффициент, определяющий корреляцию между соседними входными отсчетами x_n.

 

Рис. 6. Эффективность алгоритма P-САФ в условиях гауссовского случайного процесса.

 

Кроме того, ко входным данным добавляется независимый белый гауссов шум ${\xi }_n$ с различными соотношениями сигнал/шум (SNR = 10, 20, 30, 40 dB).

Рис. 6б отражает эффективность фильтрации процесса, порожденного альфа-стабильным распределением, и для α ≠ 1 имеет следующий вид [17, 18]:

$f\left(t\right)=\exp \left\{j\rho t-\gamma {\left|t\right|}^{\alpha }\left[1+j\beta \text{\hspace{0.33em}sign}\left(t\right)\tan \left(\frac{\alpha \pi }{2}\right)\right]\right\}$,

где α ä (0, 2] – индекс стабильности, определяющий выраженность импульса; –1 ≤ β ≤ 1 – индекс симметрии; ρ – параметр положения; γ > 0 – параметр дисперсии. Очевидно, что при α = 2 имеет место гуссовский сигнал. И по аналогии для остальных значений α ä (0, 2] сигнал называют негауссовским. В эксперименте данный сигнал является полезным и для него заданы значения параметров α = 1.6, β = 0, ρ = 0, γ = 0.05. Аддитивная помеха – белый гауссов шум ${\xi }_n$ с различными соотношениями сигнал/шум (SNR = 10, 20, 30, 40 dB).

Кривые MSE [dB] позволяют оценить общую эффективность (MSE [dB] приближение к установившемуся значению MSE) и скорость сходимости алгоритмов.

Рис. 6б демонстрирует хорошую эффективность P-САФ в условиях негауссовского входного сигнала. Графики MSE [dB] подтверждают сходимость алгоритма к значению установившейся ошибки при различных соотношениях сигнал/шум. И в установившемся режиме графики MSE [dB] асимптотически стремятся к значению мощности шума [9]. При заданных уровнях сигнал/шум (SNR = 10, 20, 30, 40 dB) они теоретически равны (–10, –20, –30, –40 dB) соответственно.

Однако в случае гауссовского полезного сигнала (рис. 6а) графики MSE [dB] довольно далеки от теоретических значений поэтому и алгоритм P-САФ имеет значительную установившуюся ошибку. Для сравнения на рис. 6а пунктирной линией приведена кривая MSE [dB] для классического САФ [13] при SNR = 30 dB. Установившаяся ошибка согласуется с мощностью сигнала, но при довольно большом числе отсчетов n > 2000 (рис. 5 в [13]).

Следующим модельным сигналом, часто используемым при анализе ВР является Доплеровская функция, определенная на интервале [0, 1]:

$f\left(t\right)=5\sqrt{t(t-1)}\sin \left(\frac{2\pi (1+\mathrm{0,05})}{t+\mathrm{0,05}}\right)$.

Аддитивная помеха в данном случае также представлена белым гауссовским шумом ${\xi }_n$ с различными соотношениями сигнал/шум (SNR = 10, 20, 30, 40 dB). На графике (рис. 7а) показан полезный сигнал (серая линия), смесь сигнала и шума (черные точки) и результат обработки алгоритмом P-САФ (синяя линия) на интервале [0, 1] при SNR = 10 dB для 1000 отсчетов ВР. Параметры алгоритма P-САФ приведены на рисунке. В зумированной области представлен результат работы алгоритма (красная линия) на интервале [0, 0.3] при значениях параметров P-САФ h = 3, ρ = 0.5. Для подобных сигналов со значительным изменением и частоты, и амплитуды параметры P-САФ оказывают существенное влияние на эффективность его работы. На графике (рис. 7б) отображены кривые MSE [dB] для разных значений соотношения сигнал/шум при h = 3, ρ = 0.5. Сходимость алгоритма подтверждается приближением графиков MSE [dB] к установившемуся значению. Причем скорость сходимости для слабого шума с SNR = 40 dB на порядок ниже, чем с низким значением SNR = 10 dB.

 

Рис. 7. Эффективность алгоритма P-САФ для Доплеровской функции.

 

Реальные временные ряды

В качестве входных данных использованы два реальных набора данных из репозитория DaISy [11]. Эта БД содержит большое количество реальных статистических данных из разных отраслей: механические системы, биомедицинские, промышленные процессы, экологические и др.

Набор данных № 96-008 “Данные о флаттере крыла” содержит 1024 значения. На рис. 8а серым цветом показана информативная часть ВР – 512 значений. Флаттер крыла – это колебания крыла самолета во время полета. Характеризуется флаттер высокочастотными колебаниями и влияет на безопасность полета. На рисунке красной линией отображена работа алгоритма P-САФ при параметрах алгоритма h = 3, ρ = 0.8. При обработке подобных высокочастотных сигналов существенную роль имеют параметры настройки P-САФ. Влияние параметров сплайна взаимное и сочетанное. В предложенном алгоритме P-САФ параметр ρ в большей степени определяет амплитуду восстановленного сигнала, в то время как параметр h влияет на частоту. При значении h = 3 наблюдается полное совпадение сигналов по частоте во всем временном диапазоне: синяя линия в диапазоне отсчетов [60÷160], зеленая – [250÷350]. Кроме того, на рис. 8б отображено влияние размера группы отсчетов h на точность восстановления сигнала. Очевидно, что точность повышается при уменьшении параметра h.

 

Рис. 8. Эффективность алгоритма P-САФ для набора данных № 96-008 DaISy.

 

Еще один набор данных из репозитория DaISy № 96-004 “Данные шаровой установки SISTA (система оценки информационной безопасности)” содержит 1000 значений ВР. На рис. 9а исходный набор данных показан серой линией, а результат работы алгоритма – зеленой. Расширяя исследования [11], ВР здесь был дополнительно исследован в условиях аддитивной помехи в виде белого гауссовского шума с различными соотношениями сигнал/шум (SNR = 10, 20, 30, 40 dB). Рис. 9б показывает хорошую сходимость алгоритма P-САФ для всех заданных соотношений сигнал/шум.

 

Рис. 9. Эффективность алгоритма P-САФ для набора данных № 96-004 DaISy.

 

При отсутствии шума значение погрешности MSE [dB] варьируется в диапазоне (–55, –60) dB при различных соотношениях параметров h и ρ. И эти значения можно рассматривать как систематическую погрешность предложенного алгоритма P-САФ для заданного ВР.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИХ-фильтры привлекают внимание исследователей благодаря широкому спектру прикладных задач при обработке данных в реальном времени. Особую актуальность БИХ-фильтры на базе сплайнов приобрели, как инструмент нелинейной обработки, известный, как САФ.

Предложенный в работе P-САФ на основе рекуррентного P-сплайна по аналогии с классическим САФ M. Scarpiniti [9] состоит из линейной динамической и нелинейной статической компонент. Для адаптации P-САФ разработаны вычислительные схемы с различной топологией, что одновременно определяет способ адаптации узлов и вычисления коэффициентов сплайна. Это повышает эффективность P-САФ по сравнению с классическим САФ и сокращает вычислительные затраты.

Был проведен анализ частотных и временных характеристик рекурсивного P-САФ, а также изучены условия его сходимости. Установлено, что при изменении параметров P-САФ остается низкочастотным.

Сравнительный анализ предложенного P-САФ c другими САФ выполнен с использованием модельных и реальных данных из репозитария DAISY. Значения показателя MSE [dB] для P-САФ оказались на уровне и выше классического САФ в случае высокочастотных детерминированных или реальных сигналов. В этом и проявляется преимущество P-САФ: короткая рекурсивная часть и наличие аналитической модели.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00259).

About the authors

E. A. Kochegurova

National Research Tomsk Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: kocheg@mail.ru
Russian Federation, Lenina Prospekt 30, Tomsk, 634050

I. A. Martynova

National Research Tomsk Polytechnic University

Email: martynova@tpu.ru
Russian Federation, Lenina Prospekt 30, Tomsk, 634050

References

Supplementary files