Том 78, № 6 (2023)

Год: 2023
Статей: 8
URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/8813

Весь выпуск

Открытый доступ
Доступ закрыт

Доступ предоставлен
Доступ закрыт

Только для подписчиков

Ренормализация в одномерной динамике

Скрипченко А.С.

Аннотация

Изучение динамических и топологических свойств перекладываний отрезков и их естественных обобщений является важной задачей, находящейся на стыке нескольких разделов математики: теории динамических систем, маломерной топологии, алгебраической геометрии, теории чисел и геометрической теории групп. Целью настоящего обзора является систематическое изложение результатов, касающихся эргодических и геометрических характеристик орбит рассматриваемых одномерных отображений, а также ассоциированных с ними измеримых слоений на поверхностях и двумерных комплексах. Эти результаты опираются на изучение свойств процесса ренормализации – алгоритма, строящего по исходной динамической системе последовательность эквивалентных ей с меньшим множеством-носителем. Эти алгоритмы для всех рассмотренных в работе классов динамических систем являются многомерными цепными дробями. Библиография: 74 названия.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2023;78(6):3-46

3-46

(Rus)

(JATS XML)

Теоретико-операторный подход к усреднению уравнений типа Шрёдингера с периодическими коэффициентами

Суслина Т.А.

Аннотация

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор ${\mathcal A}_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора ${\mathcal A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от ${\mathbf x}/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-i{\mathcal A}_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau \in \mathbb{R}$. Результаты применяются к усреднению решений задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера $i\partial_\tau{\mathbf u}_\varepsilon({\mathbf x},\tau)= ({\mathcal A}_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)({\mathbf x},\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon \to 0$ решение сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. При фиксированном $\tau$ получена аппроксимация решения ${\mathbf u}_\varepsilon( \cdot ,\tau)$ по норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$, а также аппроксимация решения по норме в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от параметра $\tau$. Библиография: 113 названий.

Показать

Скрыть

Успехи математических наук. 2023;78(6):47-178

47-178