Другой взгляд на принцип максимума для задач оптимального управления с бесконечным горизонтом в экономике

Обложка
  • Авторы: Асеев С.М.1,2,3, Вельов В.М.4
  • Учреждения:
    1. Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
    2. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
    3. Международный институт прикладного системного анализа
    4. Institut für Stochastik und Wirtschaftsmathematik, Technische Universität Wien
  • Выпуск: Том 74, № 6 (2019)
  • Страницы: 3-54
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/article/view/133573
  • DOI: https://doi.org/10.4213/rm9915
  • ID: 133573

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В статье представлен недавно полученный авторами полный вариант принципа максимума Понтрягина для класса задач оптимального управления с бесконечным горизонтом, возникающих в экономике. Главной отличительной чертой данного результата является определение сопряженной переменной посредством явной формулы, аналогичной формуле Коши для решений линейных дифференциальных систем. В некоторых случаях эта формула влечет выполнение “стандартных” условий трансверсальности на бесконечности. Более того, она может использоваться в качестве их альтернативы. Приведены примеры, иллюстрирующие преимущества предлагаемого варианта принципа максимума. В частности, рассмотрено его применение к примеру Халкина, к модели оптимального экономического роста Рамсея, а также к базовой модели оптимальной эксплуатации невозобновляемого ресурса. Кроме того, дана экономическая интерпретация полученной характеризации сопряженной переменной. Библиография: 62 названия.

Об авторах

Сергей Миронович Асеев

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Международный институт прикладного системного анализа

Email: aseev@mi-ras.ru
доктор физико-математических наук, без звания

Владимир М.. Вельов

Institut für Stochastik und Wirtschaftsmathematik, Technische Universität Wien

Список литературы

  1. D. Acemoglu, Introduction to modern economic growth, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2009, xviii+990 pp.
  2. В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин, Оптимальное управление, Наука, М., 1979, 430 с.
  3. K. J. Arrow, M. Kurz, Public investment, the rate of return, and optimal fiscal policy, J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1970, 218 pp.
  4. С. М. Асеев, “О некоторых свойствах сопряженной переменной в соотношениях принципа максимума Понтрягина для задач оптимального экономического роста”, Тр. ИММ УрО РАН, 19, № 4, 2013, 15–24
  5. С. М. Асеев, “Сопряженные переменные и межвременные цены в задачах оптимального управления на бесконечном интервале времени”, Современные проблемы математики, механики и математической физики, Сборник статей, Тр. МИАН, 290, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 239–253
  6. С. М. Асеев, К. О. Бесов, С. Ю. Каниовский, “Оптимизация экономического роста в модели Дасгупты–Хила–Солоу–Стиглица при непостоянной отдаче от расширения масштабов производства”, Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 304, МИАН, М., 2019, 83–122
  7. С. М. Асеев, К. О. Бесов, А. В. Кряжимский, “Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике”, УМН, 67:2(404) (2012), 3–64
  8. S. M. Aseev, M. I. Krastanov, V. M. Veliov, “Optimality conditions for discrete-time optimal control on infinite horizon”, Pure Appl. Funct. Anal., 2:3 (2017), 395–409
  9. С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, “Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с функционалом, заданным несобственным интегралом”, Докл. РАН, 394:5 (2004), 583–585
  10. S. M. Aseev, A. V. Kryazhimskiy, “The Pontryagin maximum principle and transversality conditions for a class of optimal control problems with infinite time horizons”, SIAM J. Control Optim., 43:3 (2004), 1094–1119
  11. С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, “Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста”, Тр. МИАН, 257, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2007, 3–271
  12. С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, “Об одном классе задач оптимального управления, возникающих в математической экономике”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения профессора Виктора Ивановича Благодатских, Тр. МИАН, 262, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 16–31
  13. С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, А. М. Тарасьев, “Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале”, Дифференциальные уравнения. Некоторые математические задачи оптимального управления, Сборник статей, Тр. МИАН, 233, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2001, 71–88
  14. S. M. Aseev, V. M. Veliov, “Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems with dominating discount”, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B Appl. Algorithms, 19:1-2 (2012), 43–63
  15. S. M. Aseev, V. M. Veliov, “Needle variations in infinite-horizon optimal control”, Variational and optimal control problems on unbounded domains, Contemp. Math., 619, Israel Math. Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 1–17
  16. S. M. Aseev, V. M. Veliov, “Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems under weak regularity assumptions”, Тр. ИММ УрО РАН, 20, no. 3, 2014, 41–57
  17. J. P. Aubin, F. H. Clarke, “Shadow prices and duality for a class of optimal control problems”, SIAM J. Control Optim., 17:5 (1979), 567–586
  18. E. J. Balder, “An existence result for optimal economic growth problems”, J. Math. Anal. Appl., 95:1 (1983), 195–213
  19. R. J. Barro, X. Sala-i-Martin, Economic growth, McGraw Hill, New York, 1995, xviii+539 pp.
  20. Р. Беллман, Динамическое программирование, ИЛ, М., 1960, 400 с.
  21. H. Benchekroun, C. Withagen, “The optimal depletion of exhaustible resources: a complete characterization”, Resource and Energy Economics, 33:3 (2011), 612–636
  22. L. M. Benveniste, J. A. Scheinkman, “Duality theory for dynamic optimization models of economics: the continuous time case”, J. Econom. Theory, 27:1 (1982), 1–19
  23. К. О. Бесов, “О необходимых условиях оптимальности для задач экономического роста с бесконечным горизонтом и локально неограниченной функцией мгновенной полезности”, Функциональные пространства и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Олега Владимировича Бесова, Тр. МИАН, 284, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 56–88
  24. Ю. И. Бродский, “Необходимые условия слабого экстремума для задач оптимального управления на бесконечном интервале времени”, Матем. сб., 105(147):3 (1978), 371–388
  25. P. Cannarsa, H. Frankowska, “Value function, relaxation, and transversality conditions in infinite horizon optimal control”, J. Math. Anal. Appl., 457:2 (2018), 1188–1217
  26. D. A. Carlson, A. B. Haurie, A. Leizarowitz, Infinite horizon optimal control. Deterministic and stochastic systems, 2nd rev. and enl. ed., Springer-Verlag, Berlin, 1991, xvi+332 pp.
  27. D. Cass, “Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation”, Rev. Econom. Stud., 32:3 (1965), 233–240
  28. L. Cesari, Asymptotic behavior and stability problems in ordinary differential equations, Ergeb. Math. Grenzgeb. (N. F.), 16, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen– Heidelberg, 1959, vii+271 pp.
  29. A. C. Chiang, Elements of dynamic optimization, MacGraw-Hill, Singapore, 1992, xiii+327 pp.
  30. Ф. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988, 280 с.
  31. F. Clarke, Functional analysis, calculus of variations and optimal control, Grad. Texts in Math., 264, Springer, London, 2013, xiv+591 pp.
  32. P. Dasgupta, G. Heal, “The optimal depletion of exhaustible resources”, Rev. Econom. Stud., 41:5 (1974), 3–28
  33. Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости, Наука, М., 1967, 472 с.
  34. R. Dorfman, “An economic interpretation of optimal control theory”, Amer. Econom. Rev., 59:5 (1969), 817–831
  35. I. Ekeland, “Some variational problems arising from mathematical economics”, Mathematical economics (Montecatini Terme, 1986), Lecture Notes in Math., 1330, Springer, Berlin, 1988, 1–18
  36. А. Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, М., 1985, 224 с.
  37. H. Halkin, “Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons”, Econometrica, 42:2 (1974), 267–272
  38. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 720 с.
  39. H. Hotelling, “The economics of exhaustible resources”, J. Polit. Econom., 39:2 (1931), 137–175
  40. S. Hu, N. S. Papageorgiou, Handbook of multivalued analysis, v. I, Math. Appl., 419, Theory, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997, xvi+964 pp.
  41. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974, 479 с.
  42. T. Kamihigashi, “Necessity of transversality conditions for infinite horizon problems”, Econometrica, 69:4 (2001), 995–1012
  43. T. C. Koopmans, “On the concept of optimal economic growth”, The econometric approach to development planning, North Holland Publ. Co., Amsterdam; Rand McNally, Chicago, 1965
  44. P. Michel, “On the transversality condition in infinite horizon optimal problems”, Econometrica, 50:4 (1982), 975–985
  45. S. Pickenhain, “Hilbert space treatment of optimal control problems with infinite horizon”, Modeling, simulation and optimization of complex processes – 2012, Springer, Cham, 2014, 169–182
  46. S. Pickenhain, “Infinite horizon optimal control problems in the light of convex analysis in Hilbert spaces”, Set-Valued Var. Anal., 23:1 (2015), 169–189
  47. Л. С. Понтрягин, “Некоторые математические задачи, возникающие в связи с теорией оптимальных систем автоматического регулирования”, Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства (15–20.X 1956 г.), т. 2, Основные проблемы автоматического регулирования и управления, Изд-во АН СССР, М., 1957, 107–117
  48. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных поцессов, Физматлит, М., 1961, 391 с.
  49. F. P. Ramsey, “A mathematical theory of saving”, Econom. J., 38:152 (1928), 543–559
  50. N. Sagara, “Value functions and transversality conditions for infinite-horizon optimal control problems”, Set-Valued Var. Anal., 18:1 (2010), 1–28
  51. A. Seierstad, “Necessary conditions for nonsmooth, infinite-horizon optimal control problems”, J. Optim. Theory Appl., 103:1 (1999), 201–229
  52. A. Seierstad, “A maximum principle for smooth infinite horizon optimal control problems with state constraints and with terminal constraints at infinity”, Open J. Optim., 4:3 (2015), 100–130
  53. A. Seierstad, K. Sydsae{ter}, “Sufficient conditions in optimal control theory”, Internat. Econom. Rev., 18:2 (1977), 367–391
  54. A. Seierstad, K. Sydsae{ter}, Optimal control theory with economic applications, Adv. Textbooks Econom., North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1987, xvi+445 pp.
  55. A. Seierstad, K. Sydsae{ter}, “Conditions implying the vanishing of the Hamiltonian at infinity in optimal control problems”, Optim. Lett., 3:4 (2009), 507–512
  56. K. Shell, “Applications of Pontryagin's maximum principle to economics”, Mathematical systems theory and economics (Varenna, 1967), Lect. Notes Oper. Res. Math. Econom., I, Springer, Berlin, 1969, 241–292
  57. B. Skritek, V. M. Veliov, “On the infinite-horizon optimal control of age-structured systems”, J. Optim. Theory Appl., 167:1 (2015), 243–271
  58. G. V. Smirnov, “Transversality condition for infinite-horizon problems”, J. Optim. Theory Appl., 88:3 (1996), 671–688
  59. R. M. Solow, “Intergenerational equity and exhaustible resources”, Rev. Econom. Stud., 41:5 (1974), 29–45
  60. J. Stiglitz, “Growth with exhaustible natural resources: efficient and optimal growth paths”, Rev. Econom. Stud., 41:5 (1974), 123–137
  61. N. Tauchnitz, “The Pontryagin maximum principle for nonlinear optimal control problems with infinite horizon”, J. Optim. Theory Appl., 167:1 (2015), 27–48
  62. J. J. Ye, “Nonsmooth maximum principle for infinite-horizon problems”, J. Optim. Theory Appl., 76:3 (1993), 485–500

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Асеев С.М., Вельов В.М., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».