Вещественно-нормированные дифференциалы: пределы на стабильных кривых
- Авторы: Грушевский С.1, Кричевер И.М.2,3,4,5,6, Нортон Х.7,8
-
Учреждения:
- Stony Brook University
- Columbia University
- Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"
- Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
- Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук
- Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук
- Concordia University
- Université de Montréal, Centre de Recherches Mathématiques
- Выпуск: Том 74, № 2 (2019)
- Страницы: 81-148
- Раздел: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/article/view/133554
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm9877
- ID: 133554
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
В работе исследуется поведение вещественно-нормированных (ВН) мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях при вырождении этих поверхностей. Мы описываем все возможные пределы ВН-дифференциалов на стабильной кривой, в частности, доказываем, что вычеты в нодальных точках даются решением соответствующей задачи Кирхгофа на двойственном графе кривой. Мы также доказываем, что пределы нулей ВН-дифференциалов образуют дивизор нулей подкрученного дифференциала, представляющего собой явно описанный набор ВН-дифференциалов на неприводимых компонентах стабильной кривой с полюсами порядка выше первого в некоторых нодальных точках. Основным техническим средством, используемым в работе, является новый метод построения дифференциалов на гладких римановых поверхностях (применяемый здесь для ВН-дифференциалов, но имеющий большую общность) в окрестности фиксированной стабильной кривой в координатах вклейки (plumbing coordinates). При этом гладкая риманова поверхность рассматривается как дополнение к окрестности нодальных точек на стабильной кривой, граничные окружности которых попарно отождествлены. Задача построения дифференциала на гладкой римановой поверхности с предписанными особенностями сводится к построению дифференциалов с заданными “скачкaми” на линиях склейки (швах). Этот аддитивный аналог задачи Римана–Гильберта решается новым методом, в котором вместо ядра Коши на гладкой римановой поверхности, полученной вклейкой, итеративно используются интегралы с ядрами Коши на неприводимых компонентах стабильной кривой. Поскольку стабильная кривая фиксирована, для построенного дифференциала можно получить явные оценки, что позволяет провести точный анализ вырождения. Библиография: 22 названия.
Ключевые слова
Об авторах
Самуил Грушевский
Stony Brook University
Email: sam@math.stonybrook.edu
Игорь Моисеевич Кричевер
Columbia University; Сколковский институт науки и технологий, территория Инновационного Центра "Сколково"; Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"; Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук; Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук
Email: krichev@math.columbia.edu
доктор физико-математических наук, профессор
Хая Нортон
Concordia University; Université de Montréal, Centre de Recherches Mathématiques
Email: nortonch@crm.umontreal.ca
Список литературы
- E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths, Geometry of algebraic curves, With a contribution by J. D. Harris, v. II, Grundlehren Math. Wiss., 268, Springer, Heidelberg, 2011, xxx+963 pp.
- M. Bainbridge, D. Chen, Q. Gendron, S. Grushevsky, M. Moeller, “Compactification of strata of Abelian differentials”, Duke Math. J., 167:12 (2018), 2347–2416
- L. Bers, “Spaces of degenerating Riemann surfaces”, Discontinuous groups and Riemann surfaces (Univ. Maryland, College Park, MD, 1973), Ann. of Math. Stud., 79, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974, 43–55
- D. Chen, “Degenerations of abelian differentials”, J. Differential Geom., 107:3 (2017), 395–453
- G. Farkas, R. Pandharipande, “The moduli space of twisted canonical differentials”, J. Inst. Math. Jussieu, 17:3 (2018), 615–672
- Q. Gendron, “The Deligne–Mumford and the incidence variety compactifications of the strata of $Omegamathcal{M}_g$”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 68:3 (2018), 1169–1240
- W. D. Gillam, Oriented real blowup, preprint, 21 pp., par
- S. Grushevsky, I. Krichever, “The universal Whitham hierarchy and the geometry of the moduli space of pointed Riemann surfaces”, Surveys in differential geometry, v. XIV, Surv. Differ. Geom., 14, Geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces, Int. Press, Somerville, MA, 2009, 111–129
- S. Grushevsky, I. Krichever, “Real-normalized differentials and the elliptic Calogero–Moser system”, Complex geometry and dynamics. The Abel symposium 2013, Abel Symp., 10, Springer, Cham, 2015, 123–137
- S. Grushevsky, I. Krichever, Real-normalized differentials and cusps of plane curves, in preparation
- X. Hu, C. Norton, “General variational formulas for Abelian differentials”, Int. Math. Res. Notices, 2018, rny106, Publ. online
- И. М. Кричевер, “Спектральная теория ‘конечнозонных’ нестационарных операторов Шрeдингера. Нестационарная модель Пайерлса”, Функц. анализ и его прил., 20:3 (1986), 42–54
- И. М. Кричевер, “Метод усреднения для двумерных ‘интегрируемых’ уравнений”, Функц. анализ и его прил., 22:3 (1988), 37–52
- И. М. Кричевер, “Вещественно-нормированные дифференциалы и гипотеза Арбарелло”, Функц. анализ и его прил., 46:2 (2012), 37–51
- И. М. Кричевер, С. П. Новиков, “Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и струны в пространстве Минковского”, Функц. анализ и его прил., 21:4 (1987), 47–61
- L. Lang, Harmonic tropical curves, 2015, 46 pp.
- C. R. Norton, Limits of real-normalized differentials on stable curves, Ph.D. Thesis, Stony Brook Univ., 2014, 115 pp.
- B. Osserman, “Limit linear series for curves not of compact type”, J. Reine Angew. Math., 2017, Publ. online
- Yu. L. Rodin, The Riemann boundary problem on Riemann surfaces, Math. Appl. (Soviet Ser.), 16, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1988, xiv+199 pp.
- М. Шиффер, Д. К. Спенсер, Функционалы на конечных римановых поверхностях, ИЛ, М., 1957, 347 с.
- S. A. Wolpert, “Infinitesimal deformations of nodal stable curves”, Adv. Math., 244 (2013), 413–440
- Э. И. Зверович, “Краевые задачи теории аналитических функций в гeльдеровских классах на римановых поверхностях”, УМН, 26:1(157) (1971), 113–179
Дополнительные файлы
