Том 78, № 5 (2023)

Работа содержит обзор известных и доказательства новых результатов об условиях на множество $M$ в банаховом пространстве $X$, необходимых или достаточных для того, чтобы порождаемая им аддитивная полугруппа $R(M)=\{x_1+…+x_n\colon x_k\in M, n\in {\mathbb N}\}$ была плотна в $X$. Доказывается, в частности, что если $M$ – спрямляемая кривая в равномерно гладком действительном пространстве $X$, не лежащая целиком ни в каком замкнутом полупространстве, то $R(M)$ плотна в $X$. Приводятся известные и новые результаты о приближении наипростейшими дробями (логарифмическими производными многочленов) в различных пространствах функций комплексного переменного. При этом некоторые из известных теорем, в частности, теорема Кореваара, выводятся из новых общих результатов о плотности полугруппы. Исследуются также приближения естественным обобщением наипростейших дробей – суммами сдвигов одной функции. Библиография: 79 названий.

Обзор посвящен классу интегрируемых гамильтоновых систем и классу интегрируемых биллиардов, а также недавним результатам авторов и их учеников по задаче сравнения этих классов с точки зрения послойной гомеоморфности их слоений Лиувилля. Ключевым инструментом здесь оказались введенные В. В. Ведюшкиной биллиарды на кусочно-плоских CW-комплексах – топологические биллиарды и биллиардные книжки. Приведено построение класса эволюционных (силовых) биллиардов, введенных недавно А. Т. Фоменко и позволяющих моделировать систему сразу в нескольких неособых зонах энергии при помощи одного биллиарда, а также его применение для геодезических потоков на двумерных поверхностях и систем механики. Обсуждаются другие интегрируемые обобщения классического биллиарда, включая биллиарды с потенциалами, биллиарды в магнитном поле, биллиарды с проскальзыванием. Биллиардные книжки с потенциалом Гука, склеенные из плоских софокусных или круговых столов, моделируют четырехмерные полулокальные особенности слоений интегрируемых систем, содержащие невырожденные положения равновесия. Рассмотрение пересечения нескольких софокусных квадрик в $\mathbb{R}^n$ приводит к обобщению теоремы Якоби–Шаля. Библиография: 144 названия.