Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 75, № 1 (2020)
- Год: 2020
- Статей: 6
- URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/7514
Аттракторы нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных
Аннотация
Приводится обзор теории аттракторов для нелинейных гамильтоновых уравнений с частными производными начиная с момента ее возникновения в 1990 г. Данный обзор включает результаты по глобальному притяжению к стационарным состояниям, солитонам и стационарным орбитам, а также результаты по адиабатической эффективной динамике солитонов и их асимптотической устойчивости. Кроме того, дан обзор результатов по численному моделированию. Формулируется новая общая гипотеза об аттракторах $G$-инвариантных нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных, обобщающая полученные результаты. Эта гипотеза приводит к новой динамической интерпретации основных квантовых феноменов: боровских переходов между квантовыми стационарными состояниями, корпускулярно-волновой двойственности де Бройля и вероятностной интерпретации Борна. Библиография: 212 названий.
Успехи математических наук. 2020;75(1):3-94
3-94
Экстремальные задачи в раскрасках гиперграфов
Аннотация
Экстремальные задачи в раскрасках гиперграфов неявно берут свое начало в теоремах Гильберта об одноцветных аффинных кубах (1892) и ван дер Вардена об одноцветных арифметических прогрессиях (1927). В дальнейшем, с появлением и развитием теории Рамсея, число задач о раскраске явно заданных гиперграфов росло. Однако систематическое изучение экстремальных задач о раскрасках гиперграфов началось с работ П. Эрдёша и А. Хайнала 60-х годов XX в. Данный обзор посвящен задачам о поиске гиперграфа с минимальным числом ребер, лежащего в некотором классе гиперграфов, их вариациям и приложениям. Центральной задачей такого типа является задача Эрдёша–Хайнала о нахождении минимального числа ребер в $n$-однородном гиперграфе с хроматическим числом не менее трех. Основная цель обзора – осветить обширные продвижения в этой области за последние несколько лет. Библиография: 168 названий.
Успехи математических наук. 2020;75(1):95-154
95-154
Этюды о резольвенте
Аннотация
Основываясь на понятии резольвенты и тождествах Гильберта, мы излагаем с единой точки зрения ряд классических результатов теории дифференциальных операторов и некоторые их приложения к теории автоморфных функций и теории чисел. Так, для оператора Штурма–Лиувилля приведен вывод формулы следов Гельфанда–Левитана, а для одномерного оператора Шрёдингера – вывод формулы Л. Д. Фаддеева для характеристического определителя и тождеств следов Захарова–Фаддеева. Далее излагаются недавно полученные результаты из спектральной теории одного функционально-разностного оператора, возникающего в конформной теории поля. Последний раздел обзора посвящен оператору Лапласа на фундаментальной области фуксовой группы первого рода на плоскости Лобачевского. Приводится алгебраическая схема доказательства аналитического продолжения ядра резольвенты оператора Лапласа и рядов Эйзенштейна–Мааса. В заключение обсуждается связь значений рядов Эйзенштейна–Мааса в точках Хегнера с дзета-функциями Дедекинда мнимых квадратичных полей и объясняется, почему использование псевдопараболических форм для случая модулярной группы не дает никакой информации о нулях дзета-функции Римана. Библиография: 50 названий.
Успехи математических наук. 2020;75(1):155-194
155-194
Диффеоморфизмы, сохраняющие объем, как отображения Пуанкаре для сохраняющих объем потоков
Успехи математических наук. 2020;75(1):195-196
195-196
О строении критической группы циркулянтного графас непостоянными скачками
Успехи математических наук. 2020;75(1):197-198
197-198
Об условиях принадлежности оператора классу $\mathscr{S}_{p}$
Успехи математических наук. 2020;75(1):199-200
199-200