Том 80, № 1 (2025)

Множество корней конечной системы экспоненциальных сумм в пространстве ${\mathbb C}^n$ называется экспоненциальным многообразием. Мы определяем индекс пересечения экспоненциальных многообразий дополнительных размерностей, а также кольцо классов численной эквивалентности экспоненциальных циклов с операциями “сложение-объединение” и “умножение-пересечение”. Это кольцо аналогично кольцу условий тора $({\mathbb C}\setminus0)^n$ и называется кольцом условий пространства ${\mathbb C}^n$. Мы даем его описание в терминах выпуклой геометрии. Для этого мы сопоставляем экспоненциальному многообразию его ньютонизацию – элемент некоторого кольца, порожденного выпуклыми многогранниками в пространстве ${\mathbb C}^n$. Ньютонизацией экспоненциальной гиперповерхности является многогранник Ньютона ее уравнения. Отображение ньютонизации задает изоморфизм кольца условий на некоторое кольцо, порожденное выпуклыми многогранниками в ${\mathbb C}^n$. Отсюда, в частности, вытекает, что индекс пересечения $n$ экспоненциальных гиперповерхностей равен смешанному псевдообъему их многогранников Ньютона. Библиография: 32 названия.

Обсуждается задача о существовании предельного распределения нулей многочленов Эрмита–Паде для пары функций, образующих систему Никишина. Предлагаются два новых скалярных метода исследования этой задачи. Первый метод основан на теоретико-потенциальной задаче равновесия, поставленной на двулистной римановой поверхности, и дальнейшем использовании метода Гончара–Рахманова–Шталя ($\operatorname{GRS}$-метод). Второй метод основан на существовании трехлистной римановой поверхности с наттолловским разбиением на листы, ассоциированной с заданной парой функций $f$, $f^2$, и использует только принцип максимума для субгармонических функций. Обсуждается связь предложенных методов и полученных результатов с методами и результатами Г. Шталя 1987–1988 гг. Представлены результаты численных экспериментов. Библиография: 109 названий.