Том 79, № 5 (2024)

В работе дан обзор недавних исследований по нелинейным уравнениям Фоккера–Планка–Колмогорова эллиптического и параболического типа и приведен ряд новых результатов. Подробно обсуждаются проблемы существования и единственности решений, различные оценки решений, связи с линейными уравнениями, сходимость решений параболических уравнений к стационарным решениям. Библиография: 116 названий.

В настоящем обзоре обсуждаются результаты, полученные за последние 12 лет авторами обзора и их соавторами. Основное достижение за этот период состоит в том, что установлены емкостные критерии типа Витушкина для $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами на компактах в $\mathbb R^N$ во всех размерностях $N\in\{2,3,…\}$ и для всех параметров гладкости $m\in[0,2)$. Эти критерии даются в индивидуальной форме. Из них непосредственно вытекают соответствующие критерии для классов функций, установленные ранее Д. Вердерой, Д. Матеу, Д. Оробичем и Ю. Нетрусовым (1996 г., за исключением случаев $m=0$ и $m=1$). Вторым существенным достижением за это время было получение интегрально-геометрического описания всех используемых в указанных критериях емкостей при $m=0$ (М. Я. Мазалов, 2024 г.) и $m=1$ (К. Толса, 2021 г.). В частности, установлена их субаддитивность. Библиография: 69 названий.