Первеанс кубической цепи, содержащей в ребрах диоды Чайльда–Ленгмюра

Аннотация

Рассмотрена нелинейная электрическая цепь в форме куба, в ребрах которого установлены одинаковые диоды Чайльда–Ленгмюра. Проведена процедура декомпозиции цепи методом эквивалентных узлов. В результате выведена точная формула общего первеанса цепи. Формула может быть использована для оценки вольт-амперных характеристик тетрагональных цепей с кубическими элементарными ячейками, содержащими диоды Чайльда–Ленгмюра.

Полный текст

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Закон Чайльда–Ленгмюра (закон ЧЛ), который часто еще называют законом “3/2”, является базовым законом физической электроники. Открытый более века назад [1, 2], он описывает зависимость максимально большой стационарной плотности тока электронов в плоском вакуумном диоде от напряжения, когда начальная скорость электронов на катоде равна нулю. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) ЧЛ имеет простой вид

$I=P{U}^{3/2}=\frac{4}{9}{\epsilon }_0\frac{S}{d^2}\sqrt{\frac{2e}{m}}{U}_0^{3/2}$, (1)

где I – ток в диоде, U₀ – напряжение на диоде, 𝜀₀ – диэлектрическая постоянная, S – поперечная площадь диода, d – длина лиода, e – заряд электрона, m – его масса. Коэффициент пропорциональности P называется первеансом диода, первеанс измеряется в А/В^3/2.

Применения закона ЧЛ в физической электронике весьма разнообразны: расчет или оценка тока в межэлектродных промежутках электронных ламп [3], а также на некоторых участках в движении электронных пучков в СВЧ-генераторах различного типа [4–6], в ускорителях заряженных частиц прямого действия [7, 8]. Применим закон ЧЛ и при рассмотрении ряда нелинейных явлений в плазме, таких как двойные слои при расширении плазмы в вакуум [9], разрывы электронного течения в плазменно-эрозионных размыкателях [10], режимы магнитной изоляции [11], приповерхностные заряженные слои в плазме [12–16] и т. п. Обзор 100-летней истории развития теории закона ЧЛ и физических приложений диодов ЧЛ представлен в [17].

Известно, что некоторые приборы твердотельной фотоники [18], термоэмиссионные преобразователи [19], светоизлучающие диоды [20], солнечные элементы [21, 22] и т. п. также имеют ВАХ вида (1). Их тоже можно называть диодами ЧЛ.

В [17] рассмотрены только обособленные диоды ЧЛ, подключенные к источнику напряжения, однако диоды ЧЛ могут быть элементами сложной электрической цепи или даже большой сети. В связи с этим представляет интерес рассмотреть особенности их совместной работы при различных схемах подключения. В этом направлении можно назвать лишь три исследования: в [23] рассмотрен диод ЧЛ, последовательно подключенный к резистору, в [24] – двухслойный диод ЧЛ, являющийся упрощенной моделью двух последовательно соединенных диодов ЧЛ, а в [25] получены соотношения для общего первеанса простых участков цепи, содержащих последовательно или параллельно соединенные несколько диодов ЧЛ.

Твердотельные приборы фотоники, в том числе и имеющие ВАХ типа (1), входят в состав многоэлементных цепей, образующих в пространстве объемные сети. Как правило, сети имеют тетрагональную структуру с кубическими элементарными ячейками. Для оценки режимов питания всей сети важно знать, какова ВАХ большой цепи, в которых нелинейные диоды ЧЛ объединены в тетрагональную сеть, и, в частности, какова ВАХ каждой такой ячейки, т. е. каков их общий первеанс.

Цель данной работы – получение удобной формулы для расчета первеанса кубической ячейки с диодами ЧЛ, что является актуальной задачей.

Как отмечалось в [25], диоды ЧЛ, как правило, являются двусторонними, т. е. они могут пропускать ток в обоих направлениях. Тогда диод ЧЛ представляет собой двухполюсник, ВАХ которого подчиняется выражению

$I=P_{\pm }{\left|U\right|}^{3/2}\text{sign}U$, (2)

где P_± – ветви первеанса диода ЧЛ при положительном и отрицательном напряжении соответственно. Двухсторонний диод ЧЛ может быть симметричным при P₊ = P_– или асимметричным при P_– ≠ P₊. Если одна из ветвей первеанса равна нулю, то такой диод ЧЛ в [25] называют односторонним.

В данной работе получена точная явная формула для первеанса цепи постоянного тока в форме куба, в ребрах которого установлены одинаковые односторонние диоды ЧЛ, хотя несложно распространить полученную формулу и для двусторонних диодов ЧЛ. Для получения этой формулы была использована процедура декомпозиции сложных электрических цепей методом эквивалентных узлов.

Укажем, что решение задачи о ВАХ цепи в форме куба, в ребрах которого установлены одинаковые линейные омические элементы (резисторы) с сопротивлением R, хорошо известно: I = (6/5R)U₀ [26–29], и даже обобщено на n-мерный куб [26, 30, 31].

2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРЕХ ДИОДОВ ЧАЙЛЬДА–ЛЕНГМЮРА

Рассмотрим цепь постоянного тока в форме куба, в ребрах которого установлены одинаковые односторонние диоды ЧЛ, имеющие первеансы – P_{1, ... 12} = P (рис. 1). Необходимо вывести формулу для ВАХ цепи между узлами A и G, когда узел A заземлен, а на узел G подан потенциал U₀.

Рис. 1. Схема кубической цепи с диодами ЧЛ в ребрах: A, B… H ‒ обозначения узлов цепи, 1…12 – нумерация диодов ЧЛ, стрелки показывают направление тока.

Для решения поставленной задачи сначала выведем ВАХ участков цепи с параллельным и последовательным включениями трех, вообще говоря, различных диодов с первеансам P_{1, 2, 3} (рис. 2а, 2б).

Рис. 2. Схемы параллельного (а) и последовательного (б) соединения участков цепи с тремя диодами ЧЛ: 1…3 –диоды ЧЛ с первеансами P_{1, 2, 3}; U_x1, U_x2, U₀ – потенциалы узлов.

Несложно записать выражение для общего тока между заземленным контактом и контактом с потенциалом U₀ для параллельного соединения, представленного на рис. 2a:

$I=P_1{U}_0^{3/2}+P_2{U}_0^{3/2}+P_3{U}_0^{3/2}=\left(P_1+P_2+P_3\right)U_0^{3/2}$. (3)

Отсюда получаем, что первеанс параллельного соединения трех диодов ЧЛ равен сумме их первеансов:

P = P₁ + P₂ + P₃. (4)

Этот вывод справедлив и в случае любого количества параллельно соединенных диодов ЧЛ.

Ненамного сложнее найти ВАХ для последовательного соединения (рис. 2б). Для этого сначала нужно найти выражение для потенциалов U_x1 и U_x2 в узлах соединения диодов ЧЛ. Для этого воспользуемся первым законом Кирхгофа, применяемого к этим узлам, в результате получим систему уравнений

$P_1{U}_{x1}^{3/2}=P_2{\left(U_{x2}-U_{x1}\right)}^{3/2}=P_3{\left(U_0-U_{x2}\right)}^{3/2}.$ (5)

Если возвести в степень 2/3 эти уравнения, то они становятся линейными относительно неизвестных U_x1 и U_x2. В итоге система имеет единственное решение

$U_{x1}=\frac{{\left(P_2{P}_3\right)}^{2/3}}{{\left(P_1{P}_2+P_2{P}_3+P_3{P}_1\right)}^{2/3}}{U}_0;$ (6)

Тогда ВАХ последовательного соединения трех диодов ЧЛ запишется в виде

$I=P_1{U}_{x1}^{3/2}=\frac{P_1{P}_2{P}_3}{P_1{P}_2+P_2{P}_3+P_3{P}_1}{U}_0^{3/2}$. (7)

Отметим, что ВАХ (6) симметрична относительно перестановки индексов у коэффициентов P_i. Из этого следует, что при любой перестановке диодов ЧЛ в схеме рис. 2б выражение для ВАХ (6) не изменится.

3. КУБИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ

3.1. Декомпозиция кубической цепи

Объемная цепь на рис. 1 не может быть изображена на плоскости в виде схемы без пересечения контактных линий. Для ее упрощения проведем известную процедуру ее декомпозиции методом эквивалентных узлов [32].

Следует отметить, что узлы B, D и E на рис. 1 находятся в одинаковых условиях вследствие симметрии, так как первеансы всех элементов цепи одинаковы. Следовательно, электрические потенциалы этих узлов равны, и их без ущерба для работы всей цепи можно соединить общим проводником накоротко. Также можно соединить проводником и другую тройку узлов – C, F, H. В результате схему цепи, представленную на рис. 1, можно изобразить на плоскости (рис. 3).

Рис. 3. Схема – результат декомпозиции кубической цепи: I…III – фрагменты цепи; A, B… H – узлы цепи, 1…12 – диоды ЧЛ (исходная схема на рис. 1).

3.2. Вычисление ВАХ кубической цепи

Как видно, цепь состоит их трех последовательно соединенных фрагментов I…III. Во фрагментах I и III имеются по три параллельных диода ЧЛ, а в фрагменте II – шесть параллельных таких диодов. Следовательно, согласно (3) P_I = P_III = 3P и P_II = 6P. Подставив рассчитанные коэффициенты фрагментов в (7) и проведя несложные алгебраические вычисления, получим ВАХ кубической цепи, в ребрах которой установлены одинаковые нелинейные ЧЛ-элементы, в виде

$I=\frac{6}{5}P{U}_0^{3/2}=1.2P{U}_0^{3/2}.$ (8)

И окончательно получаем, что первеанс такого куба равен

$P_{\sum }=\frac{6}{5}P$.

Это значение – основной результат данной работы. Отметим, что формулы для первеанса (8) и для проводимости омической цепи из [26‒29] оказались с одинаковым коэффициентом (множитель 6/5). Данное обстоятельство указывает на то, что множитель является универсальным для одного и того же графа цепи и не зависит от вида нелинейности ВАХ каждого отдельного элемента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в работе выведена точная явная формула для ВАХ кубической цепи постоянного тока, в ребрах которого установлены одинаковые нелинейные диоды ЧЛ. Из формулы следует, что общий первеанс такого куба – 6/5 от первеансов диодов. Для получения этого значения использована процедура декомпозиции сложных электрических цепей методом эквивалентных узлов. Формула позволит легко оценивать электротехнические параметры (режимы электропитания) больших сетей, содержащих такие кубические ячейки с диодами ЧЛ любой другой природы. Для этого каждую кубическую ячейку в большой сети можно представлять эквивалентным нелинейным элементом, имеющим ВАХ (7).