Determination of constants and construction of field dependences of parameters of metal-oxide-semiconductor structures with ultrathin layers of silicon oxide based on their experimental high-frequency voltage-capacitance-characteristics

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Структуры n⁺polySi–SiO₂–Si со сверхтонкими (с толщиной менее 5 нм) слоями окисла кремния являются в настоящее время и останутся в перспективе минимум одного-двух десятков лет основным элементом, используемым в производстве современных и новых объектов наноэлектроники [1]. Это утверждение основано на следующих обстоятельствах. По современной технологии высокотемпературного окисления кремния — радикальном термическом окислении с генерацией водяного пара у поверхности Si (in situ steam generation, ISSG) [2] — удается создавать структуры металл–окисел–полупроводник (МОП) высокого качества. Они практически бездефектные, концентрация содержащихся в них электронных ловушек (ЭЛ) невелика и позволяет развиваться эффекту поля. Реализованы структуры с толщинами пленок окисла кремния под затвором в несколько атомных слоев [3]. Материалы — кандидаты на замену SiO₂ несмотря на непрерывное развитие — таких свойств еще не достигли. Таким образом, массовый переход в наноэлектронной индустрии к изолирующим слоям из заменяющих SiO₂ диэлектриков или сегнетоэлектриков — это вопрос не ближайшего десятилетия.

Экспериментальные исследования физических явлений в МОП-структурах и контроль качества их изготовления требуют измерений потенциального и зарядового профилей в полупроводнике в окрестности его границы раздела (ГР) с окислом кремния. Информацию об изгибе зон в полупроводнике, падении внешнего напряжения на изоляторе, заряде пограничных ЭЛ и накоплении неосновных носителей заряда у поверхности Si получают из результатов измерений высокочастотной емкости МОП-структур с помощью построенных в рамках классической статистики формул [4]. Для обработки данных высокочастотных вольт-фарадных характеристик (ВЧ ВФХ) необходимо знать значения емкости изолирующего слоя C_из, площади полевого электрода S и концентрации легирующей примеси в полупроводнике непосредственно у его границы с диэлектриком N_Д. Реальное значение S устанавливается из оптических измерений. Однако с двумя оставшимися константами сложнее. Во-первых, для кремниевых МОП-структур известно [5], что в условиях высокотемпературного окисления поверхности Si за счет термостимуляции процессов диффузии легирующей примеси концентрация N_Д у ГР Si−SiО₂ изменяется по сравнению с ее значением в толще полупроводниковых подложек. Отклонения значений концентраций могут быть в разы, что не позволяет вычислять N_Д из значения удельного сопротивления подложки.

Во-вторых, в опытах при комнатной температуре локализованные на ГР Si−SiО₂ ЭЛ перезаряжаются практически во всей области обеднения полупроводника. Поэтому использование с целью определения N_Д в широкой области напряжений формул ВФХ для идеальной МОП-структуры (т.е. в отсутствие перезаряжающихся локализованных электронных состояний) приводит к значительным погрешностям [6].

В-третьих, для образцов с толщинами слоя окисла кремния более 10 нм величина C_из достаточно точно определяется как максимальное значение емкости на плато ВФХ в области глубокого обогащения полупроводника. У МОП-структур со сверхтонким окислом данный диапазон полевых напряжений лежит уже в области существенного повреждения или пробоя. Поэтому такой экспериментальный подход не применим. Вместе с тем на свойства сверхтонкого окисла существенно влияют переходные слои, где диэлектрическая проницаемость изменяется от значения в кремнии до величины в массивном окисле, доля этих слоев в общем объеме — десятки процентов. Строгая величина емкости изолятора определяется как $C_{\text{из}}=S/4\pi \underset{0}{\overset{H}{\int }}\frac{dz}{{\ae }_{\text{из}}\left(z\right)}$, где H — толщина пленки SiО₂, ${\ae }_{\text{из}}\left(z\right)$ — профиль диэлектрической проницаемости в окисле кремния, z — координата по нормали к ГР Si−SiО₂. Поэтому и расчет значения C_из без знания функции ${\ae }_{\text{из}}\left(z\right)$ невозможен. Таким образом, чтобы обработать данные ВЧ ВФХ, полученные для МОП-структур со сверхтонким окислом, необходимо найти из этих же характеристик значения C_из и N_Д.

Цель данной работы — развить и проверить на практике методику определения емкости изолирующего промежутка и концентрации легирующей примеси в полупроводнике непосредственно у его границы с диэлектриком из экспериментальных данных ВЧ ВФХ МОП-структур со сверхтонким окислом.

1. АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ЕМКОСТИ ИЗОЛИРУЮЩЕГО ПРОМЕЖУТКА И КОНЦЕНТРАЦИИ ЛЕГИРУЮЩЕЙ ПРИМЕСИ В ПОЛУПРОВОДНИКЕ МОП-СТРУКТУРЫ НЕПОСРЕДСТВЕННО У ГРАНИЦЫ С ДИЭЛЕКТРИКОМ

Для определенности будем считать, что структура выращена на кремнии n-типа. У образцов со сверхтонким окислом величина C_из настолько велика, что в области обогащения полупроводника сопротивление подложки существенно влияет на результаты высокочастотных вольт-емкостных измерений. Поэтому фиксируемая приборами емкость структуры С и емкость элемента n⁺polySi−SiO₂−заряженный поверхностный слой кремния $\overline{С}$ различаются, С зависит от частоты тестирующего сигнала, а $\overline{С}$ — нет. Независимо от перезарядки ЭЛ, значения высокочастотных емкостей подчиняются закону сложения:

$\frac{1}{\overline{C}}=\frac{1}{C_{\text{п}}}+\frac{1}{C_{\text{из}}}$, (1)

где C_п – емкость заряженной части полупроводниковой подложки у границы раздела с окислом. Падения внешнего напряжения V_g на изолирующем слое V_i и на полупроводнике V_s связаны соотношением

$V_g=V_i+V_s-\frac{E_{\text{F}}}{q}$, $\frac{E_{\text{F}}}{T}=\ln \frac{N_c}{N_{\text{Д}}}$. (2)

Здесь E_F — энергия Ферми электронов в кремнии, q — элементарный заряд, T — абсолютная температура в энергетических единицах, N_c — эффективная плотность состояний в зоне проводимости подложки. В выражениях (1) и (2) не учитываются емкость C_e и набег потенциала V_e на заряженной области полевого электрода из поликремния, а также в формуле (2) пренебрегается величиной энергии Ферми в затворе по сравнению со значением в полупроводнике.

Будем считать, что все перезаряжающиеся ЭЛ находятся на ГР Si–SiO₂. Тогда можно записать

$C_{\text{из}}{V}_i=qS\left(p_{sq}+n_s\right)$, (3)

где qn_s — заряд единицы площади поверхности полупроводника, связанный с перетеканием свободных электронов при изменении V_g. Для величин C_п и n_s в рамках больцмановского распределения свободных электронов получаются следующие выражения [4]:

$C_{\text{ï}}=\frac{\tilde{C}\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}{2^{1/2}{\left[\exp \left(-{\nu }_s\right)+{\nu }_s-1\right]}^{1/2}}$,

$\tilde{C}=S{\left(\frac{{\ae }_{\text{п}}{q}^2{N}_{\text{Д}}}{4\pi T}\right)}^{\left(1/2\right)}$, (4)

$n_s=\frac{2^{1/2}T\tilde{C}}{q^{2}S}{\left[\exp \left(-{\nu }_s\right)+{\nu }_s-1\right]}^{1/2}\text{sign}{\nu }_s$.. (5)

Здесь $\tilde{C}$ — емкость полупроводника в состоянии плоских зон ($V_s=0$), ${\nu }_s=-\left(q{V}_s/T\right)$ — безразмерный изгиб зон в кремнии (${\nu }_s>0$ при обеднении и ${\nu }_s<0$ при обогащении), ${\ae }_{\text{п}}$— диэлектрическая проницаемость подложки,

$\text{sign}{\nu }_s=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}{\nu }_s>\mathrm{0,}\\ -\mathrm{1,}{\nu }_s<0.\end{array}\right.$

Формулы (4), (5) получены для состояний обеднения или не слишком высокого обогащения поверхности полупроводника в отсутствие вырождения. Классическое распределение для электронов в состоянии обогащения кремния справедливо при условии $\left(E_{\text{F}}-E_d/T\right)+{\nu }_s>>1$ (E_d — энергия активации электрона с мелкого донора, ${\nu }_s<0$). Для концентраций легирования не более 10¹⁷ см^–3, это неравенство выполняется при комнатной температуре практически во всем диапазоне измерений, не повреждающих образец. Из равенства (3) с учетом выражений (2) и (5) получаем

$p_{sq}=-\frac{T}{S{q}^2}\left[\begin{array}{l}{С}_{\text{из}}\left(\frac{q{V}_g}{T}+{\nu }_s+\frac{E_{\text{F}}}{T}\right)+\\ +2^{1/2}\tilde{C}{\left[\exp \left(-{\nu }_s\right)+{\nu }_s-1\right]}^{1/2}\text{sign}{\nu }_s\end{array}\right]$. (6)

Полевой электрод из сильнолегированного (порядка 10²⁰…10²¹ см^–3) поликремния и подложка принципиально различаются. Сильнолегированные материалы относятся к неупорядоченным полупроводникам, для которых представления об отдельных заряженных и нейтральных атомах примеси не действуют. Поверхностный потенциал неупорядоченного полупроводника с помощью эффекта поля изменяется незначительно, также практически невозможно сколько-нибудь заметно уменьшить барьерную емкость на контакте, повышая обедняющий изгиб зон [7]. Таким образом, в условиях возможного проявления C_e в измерениях ВЧ ВФХ на участке, связанном с обогащением полупроводника, можно считать, что эта емкость постоянна и отвечает условиям плоских зон для затвора. Из линеаризованного уравнения, описывающего экранирование и изгиб зон в сильнолегированном полупроводнике [8], получаем, что $C_e=S{\ae }_{\text{п}}/4\pi r_0$, где

$r_0={\left[\frac{{\ae }_{\text{п}}{\hslash }^2}{4q^{2}m}{\left(\frac{\pi }{3n}\right)}^{1/3}\right]}^{1/2}$

– дебаевский радиус экранирования вырожденного электронного газа, ${\ae }_{\text{п}}$ и m — диэлектрическая проницаемость и эффективная масса электрона в зоне проводимости кремния, ℏ — постоянная Планка, n — средняя по объему концентрация электронов в полевом электроде. Оценим отношение

$\frac{C_e}{C_{\text{их}}}=\frac{{\ae }_{\text{п}}}{r_0}\underset{0}{\overset{h}{\int }}\frac{dz}{{\ae }_{\text{из}}\left(z\right)}$.

При значении n = 10²⁰ см^–3 составляет 1.2 нм. Если принять, что h = 4нм, зависимость ${\ae }_{\text{из}}\left(z\right)$ линейная в двух переходных слоях, каждый толщиной 0.8нм [9], то для отношения емкостей получим $C_e/C_{\text{из}}=8.4$. Следовательно, для МОП-структур с толщинами изолирующего промежутка более 2 нм (при толщинах меньше размера двух переходных слоев нельзя говорить о SiO₂ как о составе материала изолирующей пленки) обратная величина емкости полевого электрода играет роль малой добавки к $C_{\text{из}}^{-1}$, не изменяющейся с ростом напряжения.

При известных значениях емкостей C_из, $\tilde{C}$ и площади полевого электрода S система уравнений (1), (2), (4)–(6) позволяет из экспериментальной зависимости $\overline{C}\left(V_g\right)$ построить потенциальный и зарядовый рельефы, реализующиеся на опыте в МОП-структуре. Функция ${\nu }_s\left(V_g\right)$ вычисляется из соотношений (1) и (4), причем с учетом того, что $\overline{C}\left(V_g\right)$ монотонно растущая, а $C_{\text{п}}\left({\nu }_s\right)$ — падающая зависимости, связь изгиба зон с полевым напряжением получается однозначной. Неточности, обусловленные отбрасыванием $C_e^{-1}$, могут сказываться на функции ${\nu }_s\left(V_g\right)$ только при напряжениях, отвечающих сильному обогащению полупроводника. Но в этой области V_g искомая зависимость имеет вид

${\nu }_s\approx 2\ln \left\{\frac{\tilde{C}}{2^{1/2}}\left[\frac{1}{C_{\text{из}}}-\frac{1}{\overline{C}\left(V_g\right)}\right]\right\}$,

слабо чувствительный к погрешности C_из. Выражение для V_i получаем из формулы (2)

$V_i=V_g+\frac{E_{\text{F}}}{q}+\frac{T{\nu }_s\left(V_g\right)}{q}$,

величины n_s и p_sq вычисляются из равенств (5) и (6). Из-за того, что слагаемые в выражении (6), пропорциональные C_из и $\tilde{C}$, реально имеют разные знаки, даже малые ошибки в значении изгиба зон, обусловленные неучетом емкости C_e, могут фатально исказить функцию $p_{sq}\left(V_g\right)$ при напряжениях из области достаточно сильного обогащения полупроводника.

Перейдем непосредственно к алгоритму определения значений емкостей C_из и $\tilde{C}$ по экспериментальной зависимости $\overline{C}\left(V_g\right)$. Следует указать, что при произвольной связи p_sq и V_g данные построения невозможны. Реализация подхода требует существования на ВФХ участка, где характеристика образца практически «идеальна» [4], т.е. соблюдается условие $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}\approx 0$, точнее говоря, требуется выполнение неравенства

$\left|\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}\right|<<\frac{{С}_i}{Sq}$ (7а)

или в области обогащения полупроводника, эквивалентного ему соотношения

$\left|\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}\right|<<\left|\frac{d{n}_s}{d{V}_g}\right|$. (7б)

График типичной зависимости плотности ЭЛ в МОП-структурах от энергии имеет форму U-образной линии [9]. Поэтому для полевых напряжений, отвечающих положению уровня Ферми на ГР Si–SiO₂ в окрестности минимума спектральной кривой ЭЛ, условия (7а) и (7б), как правило, выполняются. Обозначим V_I и V_II нижнюю и верхнюю границы области V_g, где величина $\left|\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}\right|$ минимальна, а неравенства (7а) или (7б) справедливы. (Подробнее см. далее.)

Продифференцируем выражения (1) и (6) по V_g и исключим из них производную $\frac{d{\nu }_s}{d{V}_g}$. Получим

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\overline{C}}^2}\frac{d\overline{C}}{d{V}_g}-\frac{\frac{q\overline{C}}{T{\tilde{C}}^2}\left|1-2{\nu }_s\exp \left(-{\nu }_s\right)-\exp \left(-2{\nu }_s\right)\right|}{{\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}^3}=\\ =\frac{\frac{S{q}^2\overline{C}}{T{\tilde{C}}^2{С}_{\text{из}}}\left|1-2{\nu }_s\exp \left(-{\nu }_s\right)-\exp \left(-2{\nu }_s\right)\right|\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}}{{\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}^3}\end{array}$. (8а)

Если пренебречь $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}$, то уравнение (8а) переходит в приближенное равенство (данное соотношение использовалось в [6] для определения из измеренных ВФХ МОП-структур с известным значением C_из величины N_Д), справедливое в диапазоне полевых напряжений $V_I\le V_g\le V_{II}$, где ВФХ близка к идеальной:

$\frac{1}{{\overline{C}}^2}\frac{d\overline{C}}{d{V}_g}\cong \frac{q\overline{C}\left|1-2{\nu }_s\exp \left(-{\nu }_s\right)-\exp \left(-2{\nu }_s\right)\right|}{T{\tilde{C}}^2{\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}^3}$. (8б)

Отметим, что в условиях, когда интервал $\left(V_I,V_{II}\right)$ оказывается в области сильного обеднения полупроводника, т.е. ${\nu }_s>>1$, уравнение (8б) переходит в известную [4] связь между производной по V_g от ${\overline{C}}^{-2}$ и концентрацией легирования N_Д (см. выражение (4) для $\tilde{C}$).

Неточности, возникающие из-за пренебрежения $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}$ и отбрасывания $C_e^{-1}$ при построении ${\nu }_s\left(V_g\right)$,

препятствуют строгому выполнению равенства (8б). Поэтому для определения приближенных значений C_из и $\tilde{C}$ удобно перейти к минимизации функционала $\mathrm{\Omega }\left(C_{\text{из}},\tilde{C}\right)$:

$\begin{array}{c}\Omega \left(C_{\text{из}},\tilde{C}\right)=\frac{1}{\left(V_{II}-V_I\right)}\times \\ \times \underset{V_I}{\overset{V_{II}}{\int }}{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\overline{C}}^2}\frac{d\overline{C}}{d{V}_g}-\\ -\frac{q\overline{C}\left|1-2{\nu }_s\exp \left(-{\nu }_s\right)-\exp \left(-2{\nu }_s\right)\right|}{T{\tilde{C}}^2{\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}^3}\end{array}\right]}^{2}d{V}_g\end{array}$. (9)

Искомыми являются те значения емкостей C_из, $\tilde{C}$ при которых величина Ω минимальна. В выражении (9) безразмерный изгиб зон ν_s — это функция V_g, строящаяся из равенств (1) и (4) для каждой пары C_из, $\tilde{C}$. Процесс определения экстремума Ω удобно проводить итерациями, последовательно сужая рассматриваемые области C_из и $\tilde{C}$ вокруг точек минимума из предыдущего приближения. Начинать перебор значений C_из и $\tilde{C}$ разумно с интервалов $C_{\mathrm{из}*}<C_{\text{из}}<2C_{\mathrm{из}*}$, ${\tilde{C}}_{\ast }/2<\tilde{C}<2{\tilde{C}}_{\ast }$. Здесь C_из* — максимальная величина экспериментальной $\overline{C}$, ${\tilde{C}}_{\ast }$ — емкость в состоянии плоских зон, отвечающая концентрации N_Д, вычисленной из значения удельного сопротивления подложки. При этом, если после начальной итерации точка минимума Ω окажется на границе выбранного интервала, то область перебора необходимо расширить за эту границу.

Для реальной МОП-структуры найденные по экстремуму функционала (9) значения C_из и $\tilde{C}$ являются приближенными. Оценим точность получающихся результатов и применимость предлагаемого алгоритма. Приписывая величинам емкостей, минимизирующим Ω, индекс m, а точным значениям — ex, введем разности ${\Delta }_{\text{из}}={\left(C_{\text{из}}\right)}_m-{\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}$, $\tilde{\Delta }={\tilde{C}}_m-{\tilde{C}}_{ex}$. Полагая, что данные разности малы по сравнению с емкостями ${\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}$ и ${\tilde{C}}_{ex}$ соответственно, значение функционала Ω_ex при точных параметрах ${\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}$ и ${\tilde{C}}_{ex}$ можно выразить в виде квадратичного разложения Ω по Δ_из, $\tilde{\mathrm{\Delta }}$ в окрестности точки минимума:

${\mathrm{\Omega }}_{\text{ex}}={\mathrm{\Omega }}_{\min }+A\frac{{\mathrm{\Delta }}_{\text{из}}^2}{2}+B{\mathrm{\Delta }}_{\text{из}}\tilde{\mathrm{\Delta }}+D\frac{{\tilde{\mathrm{\Delta }}}^2}{2}$, (10)

где

$A={\left.\frac{{\partial }^2\Omega }{\partial C_{\text{из}}^2}\right|}_{C_{\text{из}}={\left(C_{\text{из}}\right)}_m,\tilde{C}={\tilde{C}}_m}$,

$B={\left.\frac{{\partial }^2\Omega }{\partial C_{\text{из}}\partial \tilde{C}}\right|}_{{}_{C_{\text{из}}={\left(C_{\text{из}}\right)}_m,\tilde{C}={\tilde{C}}_m}}$,

$D={\left.\frac{{\partial }^2\Omega }{\partial {\tilde{C}}^2}\right|}_{{}_{C_{\text{из}}={\left(C_{\text{из}}\right)}_m,\tilde{C}={\tilde{C}}_m}}$.

Величины Ω_min, A, B и D вычисляются в процессе построения экстремума функционала Ω. Квадратичная форма (10) должна быть не отрицательна при любых Δ_из и $\tilde{\mathrm{\Delta }}$,что накладывает на коэффициенты разложения условия: А > 0 , АD > В². Из уравнения (8а) получаем

$\begin{array}{c}{\Omega }_{ex}=\frac{1}{\left(V_{II}-V_I\right)}{\left(\frac{S{q}^2}{T{\tilde{C}}_m^2{\left({С}_{\text{из}}\right)}_m}\right)}^2\times \\ \times \underset{V_I}{\overset{V_{II}}{\int }}{\left[\frac{\overline{C}\left|1-2{\nu }_s\exp \left(-{\nu }_s\right)-\exp \left(-2{\nu }_s\right)\right|\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}}{{\left|1-\exp \left(-{\nu }_s\right)\right|}^3}\right]}^{2}d{V}_g\end{array}$. (11)

Функции ν_s(V_g) и p_sq(V_g), фигурирующие в (11), соответствуют емкостям ${\left(C_{\text{из}}\right)}_m$ и ${\tilde{C}}_m$. По смыслу минимума должно выполняться условие ${\mathrm{\Omega }}_{ex}\ge {\mathrm{\Omega }}_{\text{min}}$. Другое следствие разложения (10) — это выражения для максимально возможных отклонений емкостей, получающихся при минимизации функционала (9), от точного значения — фактически оценки предельной погрешности алгоритма:

$\left|{\left(C_{\text{из}}\right)}_m-{\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}\right|\le {\left[\frac{2\left({\Omega }_{ex}-{\Omega }_{\text{min}}\right)D}{АD-B^2}\right]}^{1/2}$,

$\left|{\tilde{C}}_m-{\tilde{C}}_{ex}\right|\le {\left[\frac{2\left({\Omega }_{ex}-{\Omega }_{\text{min}}\right)A}{АD-B^2}\right]}^{1/2}$. (12а)

Следует указать на трудности использования соотношений (12а) при обработке экспериментальных данных. Реально крутизна зависимостей функционала Ω от C_из и $\tilde{C}$ абсолютно разная: $D>>B>>A$. Надежно можно получить значения только коэффициентов A и D, для определения B требуется исключительно высокая точность измерений и вычислений (подробнее этот вопрос будет обсуждаться далее). Поэтому кроме формул (12а), приведем упрощенные соотношения, строго говоря, справедливые при $АD>>B^2$:

$\left|{\left(C_{\text{из}}\right)}_m-{\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}\right|\le {\left[\frac{2\left({\Omega }_{ex}-{\Omega }_{\text{min}}\right)}{А}\right]}^{1/2}$,

$\left|{\tilde{C}}_m-{\tilde{C}}_{ex}\right|\le {\left[\frac{2\left({\Omega }_{\text{ex}}-{\Omega }_{\text{min}}\right)}{D}\right]}^{1/2}$. (12б)

2. АПРОБАЦИЯ АЛГОРИТМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТАНТ И ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕВЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПАРАМЕТРОВ КРЕМНИЕВОЙ МОП-СТРУКТУРЫ СО СВЕРХТОНКИМ ОКИСЛОМ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ВЧ ВФХ

Для того чтобы применить на практике развитый в предыдущем разделе алгоритм определения емкостей C_из и $\tilde{C}$ по экспериментальным ВФХ, необходима высокая точность измерений и маленький шаг фиксации полевого напряжения. Для демонстрации разработанного алгоритма и иллюстрации полученных теоретических результатов нужно обработать ВФХ реального образца. По графикам, представленным в работах других авторов, без возможности доступа к цифровым значениям зависимости емкости от напряжения и величинам параметров структуры, выполнить необходимые расчеты невозможно. Поэтому нами были проведены собственные, вообще говоря, не имеющие научной новизны, высокочастотные измерения ВФХ Al–n-Si–МОП-структур. Измерения проводили при комнатной температуре, площадь полевого электрода была S = 1.6 × 10^–3 см². Слой SiО₂, толщина которого 4.2 нм (H определена по данным оптических измерений) был выращен при высокотемпературном окислении (100) кремния. Концентрация доноров в затворе составляла N_e ≈ 10²⁰см^–3, удельное сопротивление подложки n-типа было 4.5 Ом см, а толщина 0.07 см.

Особенностью МОП-структур со сверхтонким окислом является то, что на результаты измерений высокочастотного импеданса влияет сопротивление подложки R_b. Для определения искомой зависимости $\overline{C}\left(V_g\right)$ и величины R_b был использован так называемый метод двух частот [10, 11]:

$\overline{C}=\frac{C_1{C}_2\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)}{C_2{\omega }_2^2-C_1{\omega }_1^2}$,

$R_b=\frac{1}{C_1{C}_2}{\left[\frac{\left(C_2{\omega }_2^2-C_1{\omega }_1^2\right)\left(C_1-C_2\right)}{{\left({\omega }_2^2-{\omega }_1^2\right)}^2}\right]}^{1/2}$. (13)

Здесь C₁ и C₂ – емкости, зафиксированные в одном и том же состоянии МОП — структуры на циклических частотах тестирующего напряжения ω₁ и ω₂ соответственно. Измерения проводили на сигналах 1 мГц (С₁) и 0.5 мГц (С₂) в динамическом режиме: V_g изменялось со скоростью 1 мВ/с от –1.5 до +1.5 В, значения емкостей фиксировались через 0.01 В; использовался прецизионный измеритель LCR Agilent E4980A. Кривые ВФХ и функция R_b(V_g) показаны на рис. 1.

 

Рис. 1. Высокочастотные вольт-фарадные характеристики и сопротивление кремниевой подложки: емкостные кривые 1 — 1 МГц, 2 — 0.5 МГц, 3 — $\overline{\mathbf{С}}$. На вставке — зависимость сопротивления подложки от полевого напряжения, вычисленная по формуле (13).

 

Величину сопротивления подложки нужно определять в области максимального обогащения полупроводника. Дело в том, что с уменьшением полевого напряжения емкость структуры падает, графики $C_1\left(V_g\right)$, $C_2\left(V_g\right)$ сливаются (рис. 1) и значение модуля разности C₁ − C₂ выходит за пределы точности измерений. В результате плато на кривой $R_b\left(V_g\right)$ в области обогащения сменяется не физическими перепадами и ростом R_b (см. вставку на рис. 1). Сопротивление, определенное при V_g = 1.5 В, составило R_b = 48.2 Ом. Это значение меньше вычисленного из величины удельного сопротивления подложки по формулам для плоского прямоугольника более чем в 4 раза. Такое расхождение не удивительно, поскольку радиус полевого электрода 0.04 см почти в два раза меньше толщины подложки. Поэтому эффекты растекания существенно увеличивают проводимость подложки.

Поиск окна, где ВФХ близка к идеальной, проводили последовательным сужением интервала (V_I, V_II) в несколько итераций. В качестве первого приближения использовалась вся область измерений V_I = –1.5 B, V_II = 1.5 B. На каждой итерации находили значения C_i и C_sfb, при которых функционал (9) минимален, на их основе по формулам (1), (4)–(6) строили функции ν_s(V_g), p_sq(V_g). На зависимости p_sq(V_g) определяли отрезок с наименьшими значениями $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}$; после этого его границы принимались за новые величины V_I, V_II и происходил переход к следующей итерации. Было проведено три последовательных приближения и установлены окончательные значения V_I = –0.39 B, V_II = –0.19 B. Отметим, что в случае больших концентраций ЭЛ, когда величина $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}$ ни при каких V_g не удовлетворяет неравенству (7a), нужно переходить к измерениям при пониженных температурах. «Вымораживание» ловушек существенно замедляет их перезарядку и снижает модуль производной $\frac{d{p}_{sq}}{d{V}_g}$.

Процесс нахождения минимума функционала (9) строили также методом последовательных приближений. Значение максимальной измеренной емкости составило C_из* = 1164.9 пФ, а вычисленной из величины удельного сопротивления подложки емкости полупроводника в состоянии плоских зон — ${\tilde{C}}_{\ast }\text{=268.7}$ пФ. На первом этапе величины C_из задавались c шагом 20 пФ в интервале $\left(C_{\text{из}\ast },2C_{\text{из}\ast }\right)$, а  $\tilde{C}$— через 2 пФ на отрезке $\left[{\tilde{C}}_{\ast }/2,2{\tilde{C}}_{\ast }\right]$. По выражению (9) рассчитывали числа Ω для всех выбранных значений емкостей и фиксировали пару C_из, $\tilde{C}$ с минимальным Ω. После этого вокруг данной пары составлялась новая, более узкая по сравнению с предыдущей, область перебора величин C_из, $\tilde{C}$ и осуществлялся переход к следующей итерации, где минимизация функционала Ω повторялась. Всего было выполнено пять приближений, на последнем из них шаги перебора составили 0.1 пФ по C_из и 0.05 пФ по $\tilde{C}$.

Сформулируем окончательные результаты применения развитого алгоритма: область полевых напряжений, где ВФХ наиболее близка к идеальной, равна $-0.39\text{B}\le V_g\le -0.19\text{B}$; ${(C_{\text{из}}\text{)}}_m\text{=1248.7}$ пФ, ${\tilde{C}}_m=163.0$ пФ, Ω_min = 1.085 × 10¹⁸Ф^–2В^–2. Расхождение значений ${(C_{\text{из}}\text{)}}_m$ и C_из* составляет всего 7 %, а ${\tilde{C}}_m$ меньше ${\tilde{C}}_{\ast }$ в 1.6 раза. Таким образом, концентрация доноров непосредственно у ГР Si–SiO₂ в 2.56 раза меньше, чем в объеме кремниевой подложки, что подтверждает тезис [5], высказанный во Введении, о роли процессов диффузии легирующей примеси при высокотемпературном окислении. Графики ν_s(V_g) и p_sq(V_g) показаны на рис. 2 и 3.

 

Рис. 2. Зависимость безразмерного изгиба зон в полупроводнике от полевого напряжения.

 

Рис. 3. Зависимость суммарной концентрации встроенного заряда, зарядов электронных ловушек и неосновных носителей заряда на контакте Si−SiО₂ от полевого напряжения. На вставке — окно V_g, где характеристика наиболее близка к идеальной; кривая 1 — производная от p_sq по напряжению, кривая 2 — производная от n_s по напряжению.

 

Отметим хорошее выполнение неравенства (7a) в окне V_g, где ВФХ наиболее близка к идеальной (см. вставку к рис. 3). В данной области полевых напряжений величина ${\left({С}_{\text{из}}\right)}_m/Sq$ приближенно равна 5 × 10¹²см^–2В^–1, а безразмерный изгиб зон в кремнии уменьшается от 7 до 0. Вычисленное по формуле (11) значение Ω_ex составляет 1.254 × 10¹⁸Ф^–2В^–2. На рис. 4 приведены зависимости функционала (9) от C_из и $\tilde{C}$ вблизи точки минимума.

 

Рис. 4. Зависимость функционала Ω от C_из и $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{C}}$ вблизи точки минимума: $\mathit{\Omega }\left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m\right)$ (сплошная линия), $\mathit{\Omega }\left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m,{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)$ (точки), $\mathit{\Omega }\left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)$ (звездочки). Переменная является отклонением емкостей C_из и $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{C}}$ от значений в минимуме функционала Ω.

 

Показаны три функции Ω от переменной $\widehat{C}$, являющейся отклонением емкостей от значений в минимуме:

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m\right)$, $\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m,{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)$,

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)$.

Поскольку

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m\right)={\Omega }_{\text{min}}+A\frac{{\widehat{C}}^2}{2}$,

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m,{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)={\Omega }_{\text{min}}+D\frac{{\widehat{C}}^2}{2}$,

то из сопоставления кривых 1 и 2 на рис. 4 с данными формулами получаем

A = 4.9 × 10³⁷Ф^–4В^–2, D = 3.3 × 10⁴¹Ф^–4В^–2.

Отметим, что при одинаковых величинах $\widehat{C}$ разница значений функционала у кривых 3 и 2 мала — она на два порядка меньше, чем Ω. Для кривой 3 на рис. 4 справедливо равенство

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)={\Omega }_{\min }+\left(\frac{A+D}{2}+B\right){\widehat{C}}^2,$

но

$\Omega \left({\left(C_{\text{из}}\right)}_m+\widehat{C},{\tilde{C}}_m+\widehat{C}\right)\approx {\Omega }_{\text{min}}+D\frac{{\widehat{C}}^2}{2}$.

Поэтому для определения значения коэффициента B приходится вычитать одно большое число из другого, практически равного ему по величине. Эта некорректная операция приводит к выходу за пределы точности расчетов и невозможности нахождения надежного значения B. Таким образом, в соответствии с неравенствами (12б) отклонения значений емкостей, получающихся по развитому алгоритму, от точных не более следующих:

$\left|{\left(C_{\text{из}}\right)}_m-{\left(C_{\text{из}}\right)}_{ex}\right|\le \text{83 }$пФ, $\left|{\tilde{C}}_m-{\tilde{C}}_{ex}\right|\le \text{1}$ пФ.

Следовательно, для наших образцов точность определения емкости окисла составляет 6.6% (точнее говоря, речь идет о комбинации $C_{\text{из}}{C}_e/\left(C_{\text{из}}+C_e\right)$), а емкости полупроводника в состоянии плоских зон — 0.6 %.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирован алгоритм определения из экспериментальных высокочастотных ВФХ Si–МОП-структур со сверхтонким слоем окисла кремния емкости изолирующего промежутка и концентрации легирующей примеси непосредственно у ГР Si–SiО₂. Получены выражения для оценки предельной погрешности развитого подхода. Применение разработанного метода и иллюстрация теоретических результатов на экспериментальных характеристиках реальной Si–МОП-структуры показали его достаточно высокую точность и возможность использования при высокочастотных измерениях. Подчеркнем еще раз перспективность высокочастотных измерений при электрофизических исследованиях настоящих и будущих наноразмерных структур. Понятие «высокочастотные» накладывает определенные требования только на периоды тестирующего сигнала. Они должны быть много меньше характерных времен перезарядки ЭЛ и рождения дырок; успевать реагировать на тест должны только свободные электроны. Зато скорости изменения полевого напряжения и других внешних воздействий на образец могут быть произвольными. Это позволяет исследователям проводить высокочастотные эксперименты в самых разных физических условиях: от квазистационарных до измерений во времени после ступенчатого изменения внешнего фактора. Большой объем вычислений, необходимый для обработки данных ВФХ, компенсируется построением в зависимости от изменения внешних параметров таких важных характеристик структуры, как изгиб зон в полупроводнике, падение напряжения на изолирующем промежутке и суммарная плотность заряженных ЭЛ и неосновных носителей заряда.

Укажем также на возможности использования разработанного алгоритма для структур металл–диэлектрик–полупроводник с изолирующим слоем из заменяющих окисел кремния материалов. В связи с неизбежным уменьшением толщин новых изоляторов у исследователей и разработчиков возникнет необходимость учитывать влияние переходных слоев на величины емкостей диэлектрических промежутков. Методы определения по экспериментально полученным ВФХ подобных структур емкостей изолирующих слоев могут быть развиты на основе предложенного в данной работе подхода.

Авторы данной работы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена в рамках государственного задания ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН (№ 075-01110-23-01).

About the authors

D. A. Belorusov

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences

Email: gvc@ms.ire.rssi.ru

Fryazino branch

Russian Federation, Vvedensky sq. 1, Fryazino, Moscow region, 141190

E. I. Goldman

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences

Email: gvc@ms.ire.rssi.ru

Fryazino branch

Russian Federation, Vvedensky sq. 1, Fryazino, Moscow region, 141190

G. V. Chucheva

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: gvc@ms.ire.rssi.ru

Fryazino branch

Russian Federation, Vvedensky sq. 1, Fryazino, Moscow region, 141190

I. A. Shusharin

Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics of Russian Academy of Sciences

Email: gvc@ms.ire.rssi.ru

Fryazino branch

Russian Federation, Vvedensky sq. 1, Fryazino, Moscow region, 141190

References

Supplementary files