Analysis of a passive frequency mixer with current control by using protective intervals of heterodyne signals

Full Text

Введение

Благодаря высокой линейности и низким шумам пассивные смесители с управлением по току применяются в многофункциональных и многодиапазонных приемо-передающих устройствах [1–4]. В гомодинном приемнике с преобразованием сигнала в основной полосе частот после усиления на радиочастоте на постоянный ток шум смесителя ухудшает отношение сигнал/шум и, как следствие, общий коэффициент шума приемника также ухудшается. Пассивные смесители имеют низкие фликкерные шумы, поскольку постоянный ток через ключи не протекает. Однако белый и фликкерный шумы транскондуктивного усилителя преселектора, который усиливает сигнал в основной полосе частот, могут появляться на выходе смесителя во время перекрытия импульсов сигнала гетеродина. Кроме того, ключи (транзисторы в ключевом режиме) вносят белый шум в выходной сигнал смесителя также во время перекрытия импульсов сигналов гетеродина, когда ключи закрыты [5, 6]. Определенным недостатком схемы пассивного смесителя при использовании в гомодинном приемнике является появление интермодуляционных искажений второго порядка. Хотя использование балансных схем позволяет устранить нелинейные гармоники четного порядка, рассогласование параметров между транзисторами в ключах по-прежнему вызываeт просачивание интермодуляционных составляющих на выход. В [7] показано, что просачивание входного сигнала в цепь гетеродина и рассогласование между ключами создают интермодуляционную гармонику второго порядка на выходе смесителя только во время перекрытия импульсов сигналов гетеродина. На практике импульсы сигналов гетеродина не могут следовать без перекрытий, как теоретически предположено в работе [8], из-за рассогласования параметров элементов в цепи гетеродина. В данной работе предлагается ввести защитные интервалы, т.е. промежутки времени, в течение которых сигналы отсутствуют, между соседними импульсами сигналов гетеродина для устранения возможного перекрытия.

Цель работы – анализ схемы пассивного смесителя с управлением по току с защитными интервалами сигналов гетеродина.

1. Анализ схемы смесителя с защитными интервалами

1.1. Система уравнений для расчета входного тока I_вх1(jω)

Структурная схема переключаемой части пассивного смесителя частот с управлением по току с защитными интервалами представлена на рис. 1.

В отличие от идеализированной схемы, рассмотренной в [8], введены защитные интервалы между соседними импульсами сигналов гетеродина V_0k(t). Относительная длительность интервалов составляет τ = t₀N/T_г, где t₀ – абсолютная длительность защитного интервала, N – число плеч, T_г – период сигнала гетеродина. На рис. 2 представлена нормированная управляющая функция k-го ключа V_k(t) = V_0k(t)/V₀, где V₀ – максимальное значение сигнала гетеродина, причем

$\begin{array}{c}{V}_k\left(t\right)=\mathrm{1,}t\in \left[\left(v+(k-1)/N\right)T_{Г},\left(v+(k-1+\tau )/N\right)T_{{}_{Г}}\right],\\ V_k\left(t\right)=\mathrm{0,}t\notin \left[\left(v+(k-1)/N\right)T_{{}_{Г}},\left(v+(k-1+\tau )/N\right)T_{Г}\right],\\ v\in Z.\end{array}$

Разложим функцию V_k(t) в ряд Фурье

$V_k\left(t\right)=\frac{a_{\mathrm{0,}k}}{2}+\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_{n,k}\cos \left(\frac{2n\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right)+\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_{n,k}\sin \left(\frac{2n\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right),$

где коэффициенты определены как

$a_{\mathrm{0,}k}=\frac{2}{T_{{}_{Г}}}{\int }_0^{T_{{}_{Г}}}{V}_k\left(t\right)dt=\frac{2\tau }{N},$

$\begin{array}{l}{a}_{n,k}=\frac{2}{T_{{}_{Г}}}{\int }_0^{T_{{}_{Г}}}{V}_k\left(t\right)\cos \left(\frac{2n\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right)dt=\\ =\frac{2}{n\pi }\sin \left(\frac{n\pi \tau }{N}\right)\cos \left(\frac{n\pi (\left(2k-2+\tau \right)}{N}\right),\end{array}$

$\begin{array}{l}{b}_{n,k}=\frac{2}{T_{{}_{Г}}}{\int }_0^{T_{{}_{Г}}}{V}_k\left(t\right)\sin \left(\frac{2n\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right)dt=\\ =\frac{2}{n\pi }\sin \left(\frac{n\pi \tau }{N}\right)\sin \left(\frac{n\pi \left(2k-2+\tau \right)}{N}\right).\end{array}$

Тогда функция V_k(t) может быть представлена в виде

$\begin{array}{l}{V}_k\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2}\left(a_{n,k}+j{b}_{n,k}\right)\exp \left(-jn{\omega }_{{}_{Г}}t\right)=\\ =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{A}_n\exp \left(j{\phi }_{n,k}\right)\exp \left(-jn{\omega }_{{}_{Г}}t\right),\end{array}$

где

$A_n=\frac{\tau }{N}\sin c\left(\frac{n\pi \tau }{N}\right),{\phi }_{n,k}=\frac{n\pi \left(2k-2+\tau \right)}{N}.$

Используя методику анализа и расчета передаточного импеданса пассивного смесителя частот с управлением по току [8], получим преобразование Фурье для тока i_k(t):

$I_k\left(j\omega \right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{A}_n\exp \left(j{\phi }_{n,k}\right){I_{вх}}_1\left(j\omega +nj{\omega }_{Г}\right).$

Номер коэффициента n показывает, во сколько раз по сравнению с I_вх1(jω) частотный сдвиг для тока I_вх1(jω + nω_г) превышает ω_г. Таким образом, преобразование Фурье для i_k(t) является суммой преобразований Фурье для i_вх1(t) с частотными сдвигами nω_г и соответствующими весовыми коэффициентами. При этом преобразование Фурье U_k(jω) напряжения k-го плеча u_k(t) определяется выражением

$\begin{array}{c}{U}_k\left(j\omega \right)=Z_{Н}\left(j\omega \right)I_k\left(j\omega \right)=\\ =Z_{Н}\left(j\omega \right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{A}_n\exp \left(j{\phi }_{n,k}\right)I_{вх1}\left(j\omega +nj{\omega }_{{}_{Г}}\right).\end{array}$ (1)

В течение защитных интервалов все ключи разомкнуты. Следовательно, в этих отрезках времени напряжение u_вх1(t) равно входному напряжению u_вх(t). Это значит, что u_вх1(t) = u_k(t) при V_k(t) = 1, u_вх1(t) = u_вх(t) при V_k(t) = 0 для всех k. Таким образом, напряжение u_вх1(t) составляет

$u_{вх1}\left(t\right)=u_{вх}\left(t\right)V_{вх}\left(t\right)+\sum _{k=1}^N{u}_k\left(t\right)V_k\left(t\right),$ (2)

где V_вх(t) – нормированная управляющая функция входного напряжения u_вх1(t), причем

$\begin{array}{c}{V}_{вх}\left(t\right)=\mathrm{1,}t\in \left[(h+\tau )T_{{}_{Г}}/N,(h+1)T_{{}_{Г}}/N\right],\\ V_{вх}\left(t\right)=\mathrm{0,}t\notin \left[(h+\tau )T_{{}_{Г}}/N,(h+1)T_{{}_{Г}}/N\right],h\in Z.\end{array}$

Нормировочная функция V_вх(t) представлена на рис. 3.

Разложим функцию V_вх(t) в ряд Фурье:

$V_{вх}\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{p=1}^{+\infty }{a}_p\cos \left(\frac{2pN\pi t}{T_{Г}}\right)+\sum _{p=1}^{+\infty }{b}_p\sin \left(\frac{2pN\pi t}{T_{Г}}\right),$

где коэффициенты определены как

$a_0=\frac{2}{T_{Г}/N}{\int }_0^{T_{Г}/N}{V}_{вх}\left(t\right)dt=2\left(1-\tau \right),$

$\begin{array}{c}{a}_p=\frac{2}{T_{{}_{Г}}/N}{\int }_0^{T_{{}_{Г}}/N}{V}_{вх}\left(t\right)\cos \left(\frac{2pN\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right)dt=\\ =-\frac{2}{p\pi }\sin \left(p\pi \tau \right)\cos \left(p\pi \tau \right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{b}_p=\frac{2}{T_{{}_{Г}}/N}{\int }_0^{T_{{}_{Г}}/N}{V}_{вх}\left(t\right)\sin \left(\frac{2pN\pi t}{T_{{}_{Г}}}\right)dt=\\ =-\frac{2}{p\pi }\sin \left(p\pi \tau \right)\sin \left(p\pi \tau \right).\end{array}$

Функция V_вх(t) в более общем виде представляется в виде

$\begin{array}{c}{V}_{вх}\left(t\right)=\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2}\left(a_p+j{b}_p\right)\exp \left(-jpN{\omega }_{{}_{Г}}t\right)=\\ =\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p\exp \left(-jpN{\omega }_{{}_{Г}}t\right),\end{array}$

где

$B_p=-\tau \sin c\left(p\pi \tau \right)\exp \left(jp\pi \tau \right),p\ne \mathrm{0,}{B}_p=1-\tau ,p=0.$

Применив преобразование Фурье для выражения (2), получим

$\begin{array}{c}{U}_{вх1}\left(j\omega \right)=\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p{U}_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{{}_{Г}}\right)+\\ +\sum _{k=1}^N\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m\exp \left(j{\phi }_{m,k}\right)U_k\left(j\omega +mj{\omega }_{{}_{Г}}\right).\end{array}$ (3)

Номер коэффициента m показывает, во сколько раз по сравнению с U_k(jω) частотный сдвиг для напряжения U_k(jω + mjω_г) превышает ω_г, номер коэффициента p показывает, во сколько раз по сравнению с U_вх(jω) и I_вх1(jω) частотный сдвиг для тока U_вх(jω + pNjω_г) и I_вх1(jω + pNjω_г) больше, чем для Nω_г соответственно. Согласно схеме рис. 1 входные токи и напряжения связаны соотношением

$U_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)=\left[I_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)-I_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)\right]Z_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right).$

Вместе с тем в соответствии с [8] получим

$\sum _{k=1}^N\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m\exp \left(j{\phi }_{m,k}\right)U_k\left(j\omega +mj{\omega }_{{}_{Г}}\right)=\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\left[N\exp \left(jp\pi \tau \right)I_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{{}_{Г}}\right)\times \sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m{A}_{pN-m}{Z}_{Н}\left(j\omega +mj{\omega }_{{}_{Г}}\right)\right].$

Откуда следует, что выражение (3) представляется в виде

$\begin{array}{c}{U}_{вх1}\left(j\omega \right)=\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p\left[I_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)-I_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)\right]Z_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)+\\ +\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\left[N\exp \left(jp\pi \tau \right)I_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m{A}_{pN-m}{Z}_{Н}\left(j\omega +mj{\omega }_{Г}\right)\right].\end{array}$ (4)

Учитывая, что

$U_{вх1}\left(j\omega \right)=\left[I_{вх}\left(j\omega \right)-I_{вх1}\left(j\omega \right)\right]Z_{вх}\left(j\omega \right)-I_{вх1}\left(j\omega \right)\left(R_{Т}+Z_C\left(j\omega \right)\right),$ (5)

из (4) и (5) следует

$\begin{array}{c}{I}_{вх1}\left(j\omega \right)\left[Z_{вх}\left(j\omega \right)+R_{Т}+Z_C\left(j\omega \right)\right]+\\ +\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\left[N\exp \left(jp\pi \tau \right)I_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m{A}_{pN-m}{Z}_{Н}\left(j\omega +mj{\omega }_{Г}\right)\right]-\\ -\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p{I}_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)Z_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)=\\ =I_{вх}\left(j\omega \right)Z_{вх}\left(j\omega \right)-\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p{I}_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)Z_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right).\end{array}$ (6)

Если входной ток представлен как комплексный экспоненциальный сигнал i_вх(t) = I_вхexp(jω_вхt) с амплитудой I_вх и частотой ω_вх, то ток I_вх1(jω) описывается составляющими на частотах ω_вх + rNω_г, где целое число r характеризует частотный сдвиг rNω_г данных составляющих по сравнению с основной составляющей на частоте ω_вх. Тогда для всего множества значений r имеем систему уравнений матричного вида относительно комплексного сигнала входного тока:

$\left(M_1+M_2-M_3\right)I_{вх1}=\left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ -B_{-1}\\ 1-B_0\\ -B_1\\ \mathrm{...}\end{array}\right|Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right),$ (7)

$M_1=\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Z_1(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г})& 0& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Z_1\left(j{\omega }_{вх}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& 0& Z_1(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|,$

 

$M_2=\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_1(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_1(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_1(-\mathrm{2,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_1\left(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}\right)& Q_1\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& Q_1(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_1(\mathrm{2,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_1(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_1(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|,$

$M_3=\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_2(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{{Г}_{}})& Q_2(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{{Г}_{}})& Q_2(-\mathrm{2,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_2\left(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}\right)& Q_2\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& Q_2(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_2(\mathrm{2,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_2(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г{}_{}})& Q_2(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{{Г}_{}})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|,I_{вх1}=\left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ I_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г}\right)\\ \hspace{0.33em}{I}_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}\right)\\ I_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г}\right)\\ \mathrm{...}\end{array}\right|,$

$Q_1(p,\omega )=\left\{\frac{N\exp \left(jp\pi \tau \right)\sin \left[(a-pN)\pi \tau /N\right]\sin \left[\left(1-\tau /N\right)\pi a\right]}{\pi (pN-a)\sin \left(\pi a\right)}+\tau \sin c\left(p\pi \tau \right)\exp \left(jp\pi \tau \right)\right\}{Z}_{Н}\left(j\omega \right),$

$a=-\frac{1+j\omega C_{Н}{R}_{Н}}{j{\omega }_{Г}{C}_{Н}{R}_{Н}},Z_1\left(j\omega \right)=Z_{вх}\left(j\omega \right)+R_{Т}+Z_C\left(j\omega \right),Q_2(p,\omega )=B_p{Z}_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right).$

Из (7) видно, что если нет защитных интервалов, т.е. τ = 1, то B_p = 0 и Q₂(p,ω) = 0 для всех p и ω. При этом система (7) совпадает с системой уравнений (11) в [8].

1.2. Расчет передаточного импеданса смесителя при входном импедансе как RLC-контуре

Решим систему уравнений (7) для случая, когда входной импеданс Z_вх(jω) является параллельным RLC-контуром. Значения элементов контура L_вх и C_вх выбираются так, чтобы контур был настроен на входную частоту ω_вх. Это значит, что jω_вхC_вх + 1/(jω_вхL_вх) = 0 и, следовательно, Z_вх(jω_вх) = R_вх. При этом |Z_вх(jω_вх)| много больше, чем |Z_вх(jω_вх + pNjω_г)|, где p ≠ 0, который рассчитан по следующей формуле:

$\left|Z_{вх}\left(j\omega \right)\right|=\left|\frac{1}{1/R_{вх}+j\omega C_{вх}+1/\left(j\omega L_{вх}\right)}\right|.$

В этом случае пренебрежем в матрице M₃ импедансом Z_вх(jω_вх + pNjω_г), где p ≠ 0. Таким образом,

$M_3\approx \left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_2\left(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{г}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_2\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_2(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& B_{-1}& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& B_0& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& B_1& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right).$

Рассмотрим случай, когда нагрузка является параллельной RC-цепью (резистор R_н и конденсатор C_н соединены параллельно). Тогда, если учесть, что |Z_н(jω_вх + rNjω_г)| много меньше, чем |Z_вх(jω_вх)|, то матрица M₂ примет вид

$M_2\approx \left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_1(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_1(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_1\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_1(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_1(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ & & & & \\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|.$

При этих приближениях система уравнений (7) преобразуется к выражению

$\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Z_2(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г})& Z_3(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-B_0{Z}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Z_3(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Z_2(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|I_{вх1}=\left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ -B_{-1}\\ 1-B_0\\ -B_1\\ \mathrm{...}\end{array}\right|Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right),$

где

$\begin{array}{c}{Z}_2\left(j\omega \right)=Z_1\left(j\omega \right)+Q_1\left(\mathrm{0,}\omega \right),Z_3(p,\omega )=\\ =-B_p{Z}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)+Q_1(p,\omega ).\end{array}$

Решение этой системы уравнений получаем по формуле

$I_{вх1}=\frac{Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-B_0{Z}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}\times \left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \frac{-B_{-1}\left[Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)\right]-\left(1-B_0\right)Q_1(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})}{Z_2(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г})}\\ 1-B_0\\ \frac{-B_1\left[Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)\right]-\left(1-B_0\right)Q_1(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})}{Z_2(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г})}\\ \mathrm{...}\end{array}\right|,$ (8)

Если нет защитных интервалов, т.е. τ = 1, то B_r = 0 для всех r. Тогда решение (8) упрощается:

$I_{вх1}=\frac{Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)}\times \left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \frac{-Q_1(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})}{Z_2(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г})}\\ 1\\ \frac{-Q_1(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})}{Z_2(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г})}\\ \mathrm{...}\end{array}\right|=\frac{Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)}\times \left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ \frac{-c}{(b+N)Z_2(j{\omega }_{вх}+Nj{\omega }_{Г})}\\ 1\\ \frac{-c}{(b-N)Z_2(j{\omega }_{вх}-Nj{\omega }_{Г})}\\ \mathrm{...}\end{array}\right|,$ (9)

где

$c=\frac{jN\sin \left(b(\pi -\pi /N)\right)\sin \left(b\pi /N\right)}{\pi {\omega }_{Г}{C}_{Н}\sin \left(b\pi \right)}.$

Поскольку параметры |g| << 1 и b ≈ 1, то 1 + g ≈ ≈ 1, b + pN ≈ 1 + pN. При этих приближениях решение (9) совпадает с решением системы уравнений (11) в [8].

Из (1) выходное напряжение на первом плече при k = 1 на промежуточной частоте ω_пч = ω_вх – ω_г определяется выражением

$U_1\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)=Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{A}_n\exp \left(j\frac{n\pi \tau }{N}\right)I_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}+(n-1)j{\omega }_{Г}\right).$

Ток I_вх1(jω) состоит из составляющих на частотах ω = ω_вх + rNjω_г, поэтому n – 1 = rN. Следовательно,

$U_1\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)=Z_{Н}\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)\sum _{r=-\infty }^{+\infty }{A}_{rN+1}\exp \left(j\frac{(rN+1)\pi \tau }{N}\right)I_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г}\right).$ (10)

Для подавления комбинационных гармоник на выходе используется цепь компенсации гармоник на основе сумматора и фазовращателей, показанная в [8]. На сумматор выходное напряжение в k-м плече добавляется с весовым коэффициентом K_в и с фазой φ_k = φ₀ – 2πk/N, где φ₀ – начальный сдвиг фазы. Из (9) и (10) получим выражение для передаточного импеданса смесителя:

$\begin{array}{c}{Z}_{см}=\frac{U_1\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)N{K}_{Г}\exp \left(j{\phi }_0\right)}{I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}=\frac{Z_{Н}\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)N{K}_{Г}\exp \left(j{\phi }_0\right)}{Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-B_0{Z}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}\times \\ \times \left[\left(1-B_0+\frac{B_0\left[Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)\right]+\left(1-B_0\right)Q_1\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)}{Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)}\right)\right.A_1\exp \left(j\frac{\pi \tau }{N}\right)-\\ -\left.\sum _{r=-\infty }^{+\infty }{A}_{rN+1}\exp \left(j\frac{(rN+1)\pi \tau }{N}\right)\frac{B_{-r}\left(Z_2\left(j{\omega }_{вх}\right)-Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)\right)+\left(1-B_0\right)Q_1(-r,{\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г})}{Z_2(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г})}\right].\end{array}$

1.3. Расчет передаточного импеданса смесителя при входном импедансе как RC-цепи

Решим систему уравнений (7) для случая, когда входной импеданс Z_вх(jω) является параллельной RC-цепью. Входные токи и напряжения связаны соотношением

$\begin{array}{l}{U}_{вх}\left(j\omega \right)=I_{вх2}\left(j\omega \right)Z_{вх}\left(j\omega \right)=\\ =\left(I_{вх}\left(j\omega \right)-I_{вх1}\left(j\omega \right)\right)Z_{вх}\left(j\omega \right).\end{array}$ (11)

Как правило, внутреннее сопротивление ключа в открытом состоянии R_т составляет сотни ом. Вместе с тем, модуль импеданса RC-цепи на входе смесителя, настроенной на частоту f_вх в диапазоне гигагерц, имеет модуль импеданса менее 10 Ом. Поэтому сопротивление R_т много больше, чем модуль импеданса входной RC-цепи. Следовательно, даже в случае достаточно большой емкости разделительного конденсатора С ток I_вх(jω_вх) много больше, чем I_вх1(jω_вх + rNjω_г). Тогда входное напряжение U_вх(jω) считается неизменным при незначительном изменении защитного интервала. Однако RC-цепь является частотно-избирательной, поэтому будем считать, что входное напряжение U_вх(jω) состоит из одной составляющей на входной частоте ω_вх.

Выражение (6) с учетом (11) представляется следующим образом:

$\begin{array}{c}{I}_{вх1}\left(j\omega \right)\left[Z_{вх}\left(j\omega \right)+R_{Т}+Z_C\left(j\omega \right)\right]+\sum _{p=-\infty }^{+\infty }\left[N{e}^{jp\pi \tau }{I}_{вх1}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right)\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{A}_m{A}_{pN-m}{Z}_{Н}\left(j\omega +mj{\omega }_{Г}\right)\right]=\\ =I_{вх}\left(j\omega \right)Z_{вх}\left(j\omega \right)-\sum _{p=-\infty }^{+\infty }{B}_p{U}_{вх}\left(j\omega +pNj{\omega }_{Г}\right).\end{array}$

При этом для всего множества значений r имеем систему уравнений матричного вида

$\left(M_1+M_2\right)I_{вх1}=\left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ 0\\ Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)\\ 0\\ \mathrm{...}\end{array}\right|-\left|\begin{array}{c}\mathrm{...}\\ B_{-1}\\ B_0\\ B_1\\ \mathrm{...}\end{array}\right|\times U_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)$ (12)

Для решения уравнения (12) следует найти обратную матрицу суммы матриц (M₁ + M₂). По теореме, приведенной в [9], для обращения необходимо преобразовать матрицу M₁ + M₂ к виду суммы M₄ + M₅, где M₄ – диагональная матрица, M₅ – матрица, ранг которой равен 1. Для этого представим M₄ и M₅ как

$\begin{array}{c}{M}_4=M_1+\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_3(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_3(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_3(-\mathrm{2,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_3\left(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}\right)& Q_3\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& Q_3(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_3(\mathrm{2,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_3(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_3(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|\approx \\ \approx \left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_4({\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& 0& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& Q_4\left({\omega }_{вх}\right)& 0& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& 0& 0& Q_4({\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|,\end{array}$

 

$Q_3(p,\omega )=\tau \sin c\left(p\pi \tau \right)\exp \left(jp\pi \tau \right)Z_{í}\left(j\omega \right),Q_4\left(\omega \right)=Q_3\left(\mathrm{0,}\omega \right)+Z_1\left(j\omega \right),$

$M_5=\left|\begin{array}{ccccc}\mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_5(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_5(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& Q_5(-\mathrm{2,}{\omega }_{вх}+N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_5\left(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}\right)& Q_5\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)& Q_5(-\mathrm{1,}{\omega }_{вх})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& Q_5(\mathrm{2,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_5(\mathrm{1,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& Q_5(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}-N{\omega }_{Г})& \mathrm{...}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\end{array}\right|,$

$Q_5(p,\omega )=\frac{N\exp \left(jp\pi \tau \right)\sin \left[(a-pN)\pi \tau /N\right]\sin \left[\left(1-\tau /N\right)\pi a\right]}{\pi (pN-a)\sin \left(\pi a\right)}{Z}_{Н}\left(j\omega \right).$

Применив теорему из [9], найдем обратную матрицу (M₄ + M₅) и получим решение системы уравнений (12):

$\begin{array}{c}{I}_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}\right)=\frac{I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)-B_0{U}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{Q_4\left({\omega }_{вх}\right)}-\\ -\frac{Q_5\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{(1+g_1)Q_4^2\left({\omega }_{вх}\right)}+\frac{U_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{1+g_1}\sum _{w=-\infty }^{+\infty }\frac{B_{-w}{Q}_5\left(w,{\omega }_{вх}\right)}{Q_4\left({\omega }_{вх}+wN{\omega }_{Г}\right)Q_4\left({\omega }_{вх}\right)},\end{array}$ (13)

$\begin{array}{c}{I}_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г}\right)=\frac{-B_{-r}{U}_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{Q_4\left({\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)}-\\ -\frac{Q_5\left(-r,{\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{\left(1+g_1\right)Q_4\left({\omega }_{вх}\right)Q_4\left({\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)}+\frac{U_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}{1+g_1}\sum _{w=-\infty }^{+\infty }\frac{B_{-w}{Q}_5\left(w-r,{\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)}{Q_4\left({\omega }_{вх}+wN{\omega }_{Г}\right)Q_4\left({\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)},\end{array}$ (14)

где

$g_1=\sum _{w=-\infty }^{+\infty }\frac{Q_5\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+wN{\omega }_{Г}\right)}{Q_4\left({\omega }_{вх}+wN{\omega }_{Г}\right)}.$

Входное напряжение U_вх(jω_вх) рассчитано по методике, изложенной в [8]. Рассмотрим полученное решение для случая, когда нет защитных интервалов, т.е. при τ = 1. Тогда B_p = 0 для всех p. Причем

$\begin{array}{c}{Q}_5(-r,{\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г})=\frac{c}{rN+b},\\ Q_5\left(\mathrm{0,}{\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г}\right)=\frac{c}{{(rN+b)}^2},\end{array}$

$\begin{array}{c}{Q}_4({\omega }_{вх}+rN{\omega }_{Г})=Z_{вх}\left(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г}\right)+R_{Т}+\\ +Z_C(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г})+Z_{Н}\left(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г}\right),\end{array}$

где

$b=\left(1+j{\omega }_{вх}{R}_{Н}{C}_{Н}\right)/\left(j{\omega }_{Г}{R}_{Н}{C}_{Н}\right).$

При этом выражения (13) и (14) совпадают с решением системы уравнений (11) в [8].

Для подавления комбинационных гармоник на выходе смесителя также используется схема компенсации, рассмотренная в разд. 1.1. Выражение для передаточного импеданса смесителя в данном случае рассчитывается по формуле

$\begin{array}{c}{Z}_{см}=\frac{U_1\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)N{K}_{Г}\exp \left(j{\phi }_0\right)}{I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}=\\ =Z_{Н}\left(j{\omega }_{вх}-j{\omega }_{Г}\right)N{K}_{Г}\exp \left(j{\phi }_0\right)\times \\ \times \sum _{r=-\infty }^{+\infty }{A}_{rN+1}\exp \left(j\frac{\left(rN+1\right)\pi \tau }{N}\right)\frac{I_{вх1}\left(j{\omega }_{вх}+rNj{\omega }_{Г}\right)}{I_{вх}\left(j{\omega }_{вх}\right)}.\end{array}$

2. Результаты расчета и моделирования

При моделировании схемы пассивного смесителя с RLC-контуром входного импеданса задаются следующие параметры: амплитуда входного тока i_вх(t) 1 мА с частотой f_вх = 2.1 ГГц; нагрузкой в каждом плече является параллельная RC-цепь, причем R_н = 500 Ом, C_н = 10 пФ; входной импеданс также является параллельной RLC-цепью, причем R_вх = 500 Ом, C_вх = 2.87 пФ, L_вх = 2 нГ; сопротивление ключа в открытом состоянии R_т = 100 Ом; число плеч N = 4; разделительный конденсатор C = 10 пФ. Частота гетеродина составляет f_г = 2.0 ГГц. Результат моделирования и расчета модуля передаточного импеданса смесителя для различных значений τ показан на рис. 4. Ошибка между моделированием и расчетом составляет менее 0.8 %. По результатам исследования влияния защитного интервала на значения |Z_см| рекомендуется выбирать значение τ от 0.7 до 1.0. При этом |Z_см| изменяется не более 0.02 дБ от его значения при τ = 1.

При моделировании схемы пассивного смесителя с входным импедансом в виде параллельной RC-цепи используются значения R_вх = 500 Ом, C_вх = 10 пФ. Остальные элементы и параметры схемы соответствуют случаю RLC-контура. Результат моделирования и расчета модуля передаточного импеданса смесителя для различных значений τ показан на рис. 5.

Ошибка между моделированием и расчетом для данного случая составляет менее 5 %. По результатам исследования влияния защитного интервала на значения |Z_см| рекомендуется выбирать значение τ от 0.8 до 1.0. При этом |Z_см| изменяется не более 1.2 дБ от его значения при τ = 1. Однако |Z_см| для случая RC-цепи входного импеданса в 13…15 раз меньше, чем для случая RLC-контура в данном диапазоне τ.

Заключение

Таким образом, исследована схема пассивного смесителя с управлением по току при использовании защитных интервалов τ между соседними импульсами сигнала гетеродина для двух случаев входного импеданса: RLC-контур, RC-цепь. Моделирование схемы смесителя в среде Micro-Cap подтвердило справедливость полученных результатов. По результатам исследования рекомендуется выбирать значения τ = 0.7…1.0 для случая RLC-контура и 0.8…1.0 для случая RC-цепи. При этих значениях функция |Z_см| уменьшается от значения при τ = 1 не более 0.02 и 1.2 дБ соответственно. Значение неравномерности функции |Z_см| при изменении защитного интервала τ в рекомендованных диапазонах меньше для случая RLC-контура, чем для случая RC-цепи, и составляет 1 % и 13 % соответственно.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Финансирование работ

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках программы Научного центра мирового уровня “Передовые цифровые технологии” (соглашение от 20.04.2022 № 075-15-2022-311).

About the authors

T. D. Tran

Peter the Great St-Petersburg Polytechnic University

Email: korotkov@spbstu.ru
Russian Federation, Polytechnicheskaya Str., 29, St-Petersburgh, 195251

A. S. Korotkov

Peter the Great St-Petersburg Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: korotkov@spbstu.ru
Russian Federation, Polytechnicheskaya Str., 29, St-Petersburgh

References

Supplementary files