Методы групповой классификации релаксирующей газовой динамики

Полный текст

1. Введение. Групповой анализ дифференциальных уравнений газовой динамики со стационарным уравнением состояния (произвольный элемент) развит в наибольшей мере [1, 2]. Найдена группа преобразований, оставляющих инвариантной систему уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния (ядро допускаемых групп). Найдена бесконечная псевдогруппа преобразований эквивалентности, не изменяющие вид системы уравнений газовой динамики, но меняющие лишь уравнение состояния [3]. С точностью до преобразований эквивалентности перечислены классы уравнений состояния, для которых допускаемая системой группа будет шире ядра (групповая классификация). В процессе вычисления алгебры Ли допускаемой группы [4], возникает линейное определяющее соотношение для функции, задающей уравнение состояния, с неопределенными коэффициентами. Некоторым коэффициентам можно придать явные значения с помощью преобразований эквивалентности. Перебор возможностей такого упрощения составляет метод групповой классификации.

Другой метод групповой классификации предложил Ю.А. Чиркунов [5]. Алгебра ядра допускаемых групп является идеалом для всех расширений. Дополнение алгебры ядра любого расширения является подалгеброй расширения. Эти подалгебры содержатся в алгебре преобразований эквивалентности. Для групповой классификации достаточно перечислить все подалгебры алгебры преобразований эквивалентности без ядра с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры (оптимальная система подалгебр).

Для каждого расширения ядра построены оптимальные системы подалгебр. При этом можно указать цепочки вложенных друг в друга подалгебр с точностью до внутренних автоморфизмов [6]. Далее рассматривают подмодели, порождаемые подалгебрами: инвариантные, частично инвариантные и дифференциально инвариантные [2, 7]. Подмодели подвергают групповому анализу с целью получить возможно большее количество точных решений. Вложенным подалгебрам соответствуют вложенные подмодели. Решения одних подмоделей будут решениями других при выборе согласованных инвариантов [8]. Цель группового анализа – получение возможно большего числа точных решений и их аналитическое исследование. Исчерпание всех возможностей далеко от завершения.

Основная задача группового анализа – групповая классификация. Имеется прямой функциональный метод решение этой задачи: нахождение преобразований, изменяющих только произвольный элемент. В работе [9] излагается общая теория групповой классификации прямого и алгебраических методов с приложением к нелинейным волновым уравнениям с двумя независимыми переменными. Прямой метод возможен для дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными, порядок уравнений должен быть небольшой. В этом случае дополнительно находят дискретные преобразования эквивалентности, не входящие в однопараметрические группы.

Обобщение классической газовой динамики дает уравнение состояния, зависящее от времени в силу реологии [10] или в результате энергетического усреднения физико-химических процессов в элементарном объеме многофазной среды [11]. Газовая динамика с уравнением состояния, зависящим от времени, задает движение многофазной среды в целом с измеренным изменением внутренней энергии в результате физико-химических превращений в среде при внутренним и (или) внешнем воздействии. Решение задачи групповой классификации релаксирующей газовой динамики приводит к бесконечной группе преобразований эквивалентности и сводится к изучению совместности двух определяющих соотношений для функции, задающей уравнение состояния, одно из которых нелинейно. Групповая классификация уравнений состояния по преобразованиям эквивалентности выполнена алгебраическим методом в работе [12]. Возникает множество возможностей упрощения переопределенной системы определяющих соотношений. Нелинейное уравнение определяющих соотношений преобразуется преобразованиями эквивалентности к более простому виду в четырех взаимно исключающихся случаях в зависимости от значений коэффициентов. Групповая классификация одного такого случая рассмотрена в работе [13] методом перебора возможных упрощений линейного определяющего соотношения. Другой случай рассмотрен в работе [14] с помощью комбинаций метода перебора упрощений определяющих соотношений и метода построения оптимальной системы подалгебр алгебры расширений ядра. В настоящей работе рассматриваются два оставшихся случая упрощения переопределенной системы определяющих соотношений, тем самым окончательно решается задача групповой классификации релаксирующей газовой динамики. Совершенствуются методы решения основной задачи группового анализа – групповой классификации дифференциальных уравнений с произвольным элементом.

2. Уравнения газовой динамики с релаксирующим уравнением состояния

Дифференциальные уравнения газовой динамики есть следствие законов сохранения массы, импульса и энергии [1]

$V_t+\overrightarrow{u}\cdot \nabla V=V\nabla \cdot \overrightarrow{u}$ (2.1)

${\overrightarrow{u}}_t+\left(\overrightarrow{u}\cdot \nabla \right)\overrightarrow{u}+V\nabla p=0$ (2.2)

${\epsilon }_t+\left(\overrightarrow{u}\cdot \nabla \right)\epsilon +Vp\nabla \cdot \overrightarrow{u}=\mathrm{0,}$

где V – удельный объем ($\mathrm{\rho }=V^{-1}$ – плотность), $\overrightarrow{u}$ – скорость частицы, ε – удельная внутренняя энергия, p – давление, $\nabla ={\partial }_{\overrightarrow{x}}$ – градиент. Уравнение состояния среды меняется со временем $\mathrm{\epsilon }=e\left(t,V,S\right)$.

В частице выполняется термодинамическое тождество

$TdS=d\epsilon +pdV+\mathrm{\mu }dt$

Здесь S – энтропия, $T=e_S>0$– температура, $\mathrm{\mu }=-e_t$ – мощность выделенной или поглощенной энергии, $p=-e_V$, d – дифференциал. Вычисляя дифференциал вдоль мировой линии частицы $D={\partial }_t+\overrightarrow{u}\cdot \nabla$, получим уравнение для энтропии

$e_{S}DS+e_t=0$ (2.3)

Групповую классификацию проводим для замкнутой системы уравнений (2.1)–(2.3), где $\nabla p=-e_{VV}\nabla V-e_{VS}\nabla S.$ Произвольный элемент системы задан уравнением состояния с условиями

$e_t\ne \mathrm{0,} e_S\ne \mathrm{0,} e_{VV}\ne 0$

$e_{x^j}=\mathrm{0,} e_{u^k}=0; j, k=\mathrm{1,2,3,}$ (2.4)

где $x^j,u^k$ – декартовы координаты векторов $\overrightarrow{x},\overrightarrow{u}$. Преобразования эквивалентности разыскиваются по правилам работы [4].

Уравнения (2.1)–(2.4) и уравнения на функцию e, возникающие в процессе вычисления, должны быть инвариантными. Для произвольного уравнения состояния алгебра Ли преобразований эквивалентности задается базисными операторами [12]

$\left\{X_i\right\}={\partial }_{\overrightarrow{x}}, \left\{X_{3+i}\right\}=t{\partial }_{\overrightarrow{x}}+{\partial }_{\overrightarrow{u}}, \left\{X_{6+i}\right\}=\overrightarrow{x}\times {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\overrightarrow{u}\times {\partial }_{\overrightarrow{u}}; i=\mathrm{1,2,3}$

$X_{10}={\partial }_t\Rightarrow {П}_1: \tilde{t}=t+a, \tilde{e}\left(\tilde{t},V,S\right)=e\left(t,V,S\right)$

$X_{11}=t{\partial }_t+\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}\Rightarrow {П}_2: \tilde{t}=bt, \overrightarrow{\tilde{x}}=b\overrightarrow{x}, \tilde{e}\left(\tilde{t},V,S\right)=e\left(t,V,S\right)$

$X_{12}=V:{\partial }_V\Rightarrow {П}_3:\tilde{V}=d_{1}V\text{},\tilde{e}\left(t, \tilde{V},S\right)=e\left(t,V,S\right)$

$X_{13}=t{\partial }_t-\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}-2e{\partial }_e\Rightarrow {П}_4:\tilde{t}=ct,\overrightarrow{\widetilde{ u}}=c^{-1}\overrightarrow{u},\widetilde{ e}=c^{-2}e$

$X_{14}=V{\partial }_e\Rightarrow {П}_5:\tilde{e}=V{b}_1+e;$ $X_{15}={\partial }_e\Rightarrow {П}_6:\tilde{e}=e+c_1$

$〈\mathrm{\eta }〉=\mathrm{\eta }\left(t,S\right){\partial }_S\Rightarrow П:\tilde{S}=h\left(t,S\right)$

Здесь $a,b\ne \mathrm{0,}c\ne \mathrm{0,}{d}_1,b_1,c_1$ – произвольные постоянные; $\mathrm{\eta }\left(t,S\right), h\left(t,S\right)$ – произвольные функции.

Операторы $X_i\text{; }i=1÷\mathrm{9,}$ образуют 9-мерную алгебру Ли $L_9$, которой соответствует допускаемая системой (2.1) – (2.3) группа преобразований с произвольным уравнением состояния (ядро допускаемых групп). Для специальных классов уравнений состояния преобразования эквивалентности меняются [12], как и допускаемая группа преобразований.

3. Определяющие соотношения групповой классификации

Координаты оператора алгебры Ли, допускаемой системой (2.1)–(2.3)

$X={\xi }^t{\partial }_t+\overrightarrow{\xi }\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\overrightarrow{\mathrm{\eta }}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}+{\mathrm{\eta }}^V{\partial }_V+{\mathrm{\eta }}^S{\partial }_S$

зависят от переменных $t,\overrightarrow{x},\overrightarrow{u},V\text{},S$. Продолжая оператор на производные $\tilde{X}$ [5], действуем оператором на каждое уравнение системы в силу этих уравнений. Получим условия инвариантности, которые содержат некоторые производные в качестве свободных параметров. Приравнивая нулю коэффициенты при свободных параметрах (расщепление), получим переопределенную систему уравнений для координат оператора $X$. Интегрирование приводит к представлению для координат [13]

${\xi }^t=N{t}^2+Bt+B_0,\overrightarrow{\xi }=t\left(N\overrightarrow{x}+\overrightarrow{A}\right)+N_0\overrightarrow{x}+A_0+\overrightarrow{\Omega }\times \overrightarrow{x}$ (3.1)

$\overrightarrow{\mathrm{\eta }}=N\overrightarrow{x}+\overrightarrow{A}-\overrightarrow{u}\left(Nt+B-N_0\right)+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\times \overrightarrow{u},{\mathrm{\eta }}^V=V\left(3Nt+E\right), {\mathrm{\eta }}^S=\mathrm{\eta }\left(t,S\right),$

где $N,B,B_0,\overrightarrow{A},N_0,{\overrightarrow{A}}_0,\overrightarrow{\mathrm{\Omega }},E$ – произвольные постоянные, $\mathrm{\eta }\left(t,S\right)$ – произвольная функция, и к двум определяющим соотношениям

${\gamma }_S{e}_t=e_S\left({\gamma }_t+\mathrm{\beta }\text{'}V+N\left(2e+3V{e}_V\right)\right)$ (3.2)

$e_t\left(N{t}^2+Bt+B_0\right)+V{e}_V\left(3Nt+E\right)+e_S\eta \left(t,S\right)=$ (3.3)

$=2e\left(N_0-B-Nt\right)-V\mathrm{\beta }\left(t\right)-\gamma \left(t,S\right),$

где $\gamma \left(t,S\right),\mathrm{\beta }\left(t\right)$ – произвольные функции.

Если функция $e\left(t,V,S\right)$ произвольная, то из (3.2), (3.3) следует, что функции $\mathrm{\beta },\gamma$ и все постоянные равны нулю. Представление (3.1) определяет допускаемую алгебру $L_9$. Система (2.1)–(2.3) может допускать более широкую алгебру, если функция e удовлетворяет уравнениям типа (3.2) и (3.3) с некоторыми коэффициентами $\tilde{\gamma }\left(t,S\right),\tilde{\mathrm{\beta }}\left(t\right),\tilde{N},{\tilde{N}}_0,\tilde{B},{\tilde{B}}_0,\tilde{E}$. В зависимости от коэффициентов уравнения типа (3.2) рассмотрим следующие случаи.

1°. ${\tilde{\gamma }}_S=\mathrm{0,}\tilde{N}\ne 0$. Уравнение типа (3.2) принимает специальный вид

$3V{e}_V+2e=-\tilde{\mathrm{\beta }}\text{'}\left(t\right)V+\tilde{\gamma }\text{'}\left(t\right)$

Групповая классификация этого случая поведена в работе [13].

2°. ${\tilde{\gamma }}_S\ne \mathrm{0,}\tilde{N}=0$. Преобразование эквивалентности П преобразует уравнение типа (3.2) к виду

$e_t=e_S\tilde{\mathrm{\beta }}\text{'}\left(t\right)V$

Групповая классификация этого случая поведена в работе [14] методом построения оптимальной системы подалгебр алгебры расширения ядра.

3°. ${\tilde{\gamma }}_S\ne \mathrm{0,}\tilde{N}\ne 0$. Уравнения типа (3.2), (3.3) преобразованиями эквивалентности приводятся к переопределенной системе вида

$e_t=e_S\left(\tilde{\mathrm{\beta }}\text{'}V+2e+3V{e}_V\right)$ (3.4)

$e_t\left(t^2+k\right)+V{e}_V\left(3t+n\right)+e_S\tilde{\mathrm{\eta }}\left(t,S\right)=2e\left(m-t\right)-V\tilde{\mathrm{\beta }}\left(t\right)-S,$ (3.5)

где $\tilde{\mathrm{\beta }}\left(t\right),\tilde{\mathrm{\eta }}\left(t,S\right)$ – произвольные функции; $k,n,m$ – произвольные постоянные.

4°. ${\tilde{\gamma }}_S=\mathrm{0,}\tilde{N}=0\Rightarrow \tilde{\gamma }=Г,\tilde{\mathrm{\beta }}=B_1$ – постоянные. Определяющее соотношение (3.2) выполняется тождественно: $N=\mathrm{0,}\gamma =Г,\mathrm{\beta }=B_1.$

Остается определяющее соотношение (3.3)

$\left(Bt+B_0\right)e_t+EV{e}_V+\mathrm{\eta }\left(t,S\right)e_S=2e\left(N_0-B\right)-V{B}_1-Г$ (3.6)

Далее рассмотрим случаи 3° и 4°.

4. Случай ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\gamma }}}_{\mathbf{S}}\mathbf{\ne }\mathbf{0,}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{N}}\mathbf{\ne }\mathbf{0}$

Найдем условие совместности системы (3.4), (3.5). Сделаем замену $e=V^{-\frac{2}{3}}{e}_1\left(t,V,S\right)$ и исключим производную $e_{1t}$ из второго уравнения

$e_{1t}=e_{1S}\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right)$

${\mathrm{\eta }}_1{e}_{1S}=-\left(3t+n\right)V{e}_{1V}+m_1{e}_1-V^{\frac{2}{3}}\left(V\tilde{\mathrm{\beta }}+S\right),$

где $m_1=2\left(m+\frac{1}{3}n\right), {\mathrm{\eta }}_1=\tilde{\mathrm{\eta }}+\left(t^2+k\right)\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right).$

Дифференцируем второе линейное уравнение в силу нелинейного первого по $t,S$ и V:

$\left[{\tilde{\mathrm{\eta }}}_t+2t\left(\tilde{\mathrm{\beta }}{V}^{\text{'}}+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right)+\left(t^2+k\right)\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1tV}\right)\right]e_{1S}+$

${\mathrm{\eta }}_1\left[e_{1SS}\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right)+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1S}{e}_{1SV}\right]=-3V{e}_{1V}-\left(3t+n\right)V{e}_{1tV}+$

$+m_1{e}_{1S}\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right)-V^{\frac{5}{3}}{\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}$

${\mathrm{\eta }}_1{e}_{1SS}=-e_{1VS}\left(\left(3t+n\right)V+3\left(t^2+k\right)V^{\frac{1}{3}}{e}_{1S}\right)+e_{1S}\left(m_1-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_S\right)-V^{\frac{2}{3}}$

${\mathrm{\eta }}_1{e}_{1SV}=-e_{1VV}\left(\left(3t+n\right)V+3\left(t^2+k\right)V^{\frac{1}{3}}{e}_{1S}\right)+$

$+e_{1V}\left(m_1-\left(t^2+k\right)V^{-\frac{2}{3}}{e}_{1S}-3t-n\right)-\left(t^2+k\right){\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}{e}_{1S}-\frac{5}{3}{V}^{\frac{2}{3}}\tilde{\mathrm{\beta }}-\frac{2}{3}{V}^{-\frac{1}{3}}S$

$e_{1tV}=e_{1VS}\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}V+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\right)+e_{1S}\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}+V^{-\frac{2}{3}}{e}_{1V}+3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1VV}\right)$

Исключая производные $e_{1tV},e_{1SV},e_{1SS},$ получим условие совместности

$3V^{\frac{1}{3}}{e}_{1V}\left(2m-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_S\right)+V\left(\mathrm{\mu }\left(t\right)-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_S{\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}\right)+{\tilde{\mathrm{\eta }}}_t=2S,$

где $\mathrm{\mu }=\left(t^2+k\right){\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}\text{'}}+\left(5t+n\right){\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}-5\tilde{\mathrm{\beta }}$.

Если ${\tilde{\mathrm{\eta }}}_S=2m$, то $\mathrm{\mu }=2m{\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}},{\tilde{\mathrm{\eta }}}_t=2S\Rightarrow$ противоречие.

Значит, ${\tilde{\mathrm{\eta }}}_S\ne 2m, e_{1V}=\frac{1}{3}a\left(t,S\right)V^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}b\left(t,S\right)V^{-\frac{1}{3}}$,

$a\left(2m-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_S\right)={\tilde{\mathrm{\eta }}}_S{\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}-\mathrm{\mu }, b\left(2m-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_S\right)=2S-{\tilde{\mathrm{\eta }}}_t$ (4.1)

Возвращаясь к функции e, получим представление для уравнения состояния

$e=\frac{1}{2}b+\frac{1}{5}aV+c\left(t,S\right)V^{-\frac{2}{3}}; c\ne 0$

Подстановка в (3.4) и в (3.5), расщепление по V приводит к равенствам

$c_t=b{c}_S, c_S\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}+a\right)=\mathrm{0,} a_S\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}+a\right)=\mathrm{0,} b_t=b{b}_S$

$a_t=b{a}_S+\frac{5}{2}{b}_S\left({\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}+a\right),\left(t^2+k\right)c_t+\tilde{\mathrm{\eta }}{c}_S=m_{1}c$ (4.2)

$\left(t^2+k\right)a_t+\tilde{\mathrm{\eta }}{a}_S=\left(2m-n-5t\right)a-5\tilde{\mathrm{\beta }}$

$\left(t^2+k\right)b_t+\tilde{\mathrm{\eta }}{b}_S=2\left(m-t\right)b-2S$

Рассмотрим два случая:

Случай ${\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}+a\ne 0$.

Из (4.2) следует $c=C=\text{const}\ne 0$, $n=-3m, a\left(t\right)(a^{\text{'}}\ne 0)$

$b=(S+S_0){(t_0-t)}^{-1}$

$\tilde{\mathrm{\eta }}=\left(S+S_0\right)\left[\left(t^2+k\right){(t-t_0)}^{-1}-2t_0+2m\right]+2S_0\left(t_0-t\right)$

$\tilde{\mathrm{\beta }}=\left(m-t\right)a-\frac{1}{5}\left(t^2+k\right)a^{\text{'}},\left(t^2+k\right)a^{\text{'}\text{'}}+a^{\text{'}}\left(5t-5m+2t_0\right)=0$

При этом равенства (4.1) выполнены. Уравнение состояния принимает вид

$e=C{V}^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{5}a\left(t\right)V-\frac{1}{2}\frac{S+S_0}{t-t_0}, a^{\text{'}}=D{\left|t^2+k\right|}^{-\frac{5}{2}}{e}^{\left(5m-2t_0\right)I}, I=\int \frac{dt}{t^2+k}$ (4.3)

Допускаемая алгебра находится из определяющих соотношений (3.2) и (3.3). Из (3.2) следует

$\gamma ={\mathrm{\Gamma }}_0+\left(S+S_0\right)(N+{\mathrm{\Gamma }}_1\left(t-t_0{)}^{-1}\right), {\mathrm{\beta }}^{\text{'}}=-Na-\frac{2}{3}{a}^{\text{'}}\left(N\left(t-t_0\right)+{\mathrm{\Gamma }}_1\right)$

Из (3.3) следуют равенства $E=3\left(B-N_0\right),$

$\mathrm{\beta }=a\left(N_0-B-Nt\right)-\frac{1}{5}{a}^{\text{'}}\left(N{t}^2+Bt+B_0\right)$

$\mathrm{\eta }=2\left(N_0-B\right)\left(S+S_0\right)+\left(N{t}^2+Bt+B_0\right)\left(S+S_0\right){(t-t_0)}^{-1}+$

$+2{Г}_0\left(t-t_0\right)+2\left(S+S_0\right)\left({Г}_1-N{t}_0\right)$

Исключая функцию $\text{β}\left(t\right)$, получим

$a^{\text{'}\text{'}}\left(N{t}^2+Bt+B_0\right)+a^{\text{'}}\left(5Nt-5N_0+6B+2t_{0}N-2{Г}_1\right)=0$

Сравнение $a"/a\text{'}$ из двух уравнений для функции $a\left(t\right)$ дает

${Г}_1=\frac{5}{2}\left(Nm-N_0\right)+\frac{1}{2}B,B_0=Nk+B\left(m-\frac{2}{5}{t}_0\right),B\left(k+{\left(m-\frac{2}{5}{t}_0\right)}^2\right)=0$

Если $k+{\left(m-\frac{2}{5}{t}_0\right)}^2\ne 0$, то $B=\mathrm{0,} B_0=Nk, E=-3N_0,$

$\mathrm{\eta }=2{Г}_0\left(t-t_0\right)+\left(S+S_0\right)\left[N\left(5m+\frac{t^2+k}{t-t_0}\right)-3N_0\right]$

Свободным параметрам $N,N_0,{Г}_0$ соответствуют операторы

$\left(t^2+k\right){\partial }_t+t\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\left(\overrightarrow{x}-t\overrightarrow{u}\right)\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}+3tV{\partial }_V+\left(5m+\frac{t^2+k}{t-t_0}\right)\left(S+S_0\right){\partial }_S$

$\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}-3V{\partial }_V-3\left(S+S_0\right){\partial }_S,\left(t-t_0\right){\partial }_S$ (4.4)

Если $k=-{\left(m-\frac{2}{5}{t}_0\right)}^2$, то добавляется свободный параметр B и появляется дополнительный оператор

$t{\partial }_t-\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}+3V{\partial }_V+\frac{m+\frac{3}{5}{t}_0}{t-t_0}\left(S+S_0\right){\partial }_S$ (4.5)

Случай $a=-{\tilde{\mathrm{\beta }}}^{\text{'}}$. Из (4.2) следует $a~\mathrm{0,} \widetilde{ \mathrm{\beta }}=\mathrm{0,} c=g\left(b\right),$

$2g^{\text{'}}\left(mb-h\right)=m_{1}g, S+bt=h\left(b\right), \widetilde{ \mathrm{\eta }}=-\left(t^2+k\right)b+2\left(mb-h\right)\left(h^{\text{'}}-t\right)$

Здесь $g\left(b\right)$ – произвольная функция.

При этом равенства (4.1) выполняются. Для уравнения состояния

$e=\frac{1}{2}b+g\left(b\right)V^{-\frac{2}{3}}$ (4.6)

допускаемые операторы определяются из определяющих соотношений (3.2), (3.3). Из (3.2) находим $\mathrm{\beta }=B_1$ – постоянная, $\gamma =-Ntb+\mathrm{\sigma }\left(b\right).$

Из (3.3) определяются функции

$\mathrm{\sigma }=b\left(N_0-B\right)-\left(N_0-B+\frac{1}{3}E\right)g{g^{\text{'}}}^{-1}$

$\mathrm{\eta }=-b\left(N{t}^2+Bt+B_0\right)+2g{g^{\text{'}}}^{-1}\left(h^{\text{'}}-t\right)\left(N_0-B+\frac{1}{3}E\right)$

Свободным параметрам $N,B,B_0,N_0,E$ соответствуют операторы, согласно формулам (3.1),

$t^2{\partial }_t+t\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\left(\overrightarrow{x}-t\overrightarrow{u}\right)\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}+3tV{\partial }_V-b{t}^2{\partial }_S$

$t{\partial }_t-\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}-\left(tb+2g{g^{\text{'}}}^{-1}\left(h^{\text{'}}-t\right)\right){\partial }_S$ (4.7)

${\partial }_t-b{\partial }_S,\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}}+2g{g}^{\text{'}}\left(h^{\text{'}}-t\right){\partial }_S,V{\partial }_V+\frac{2}{3}g{g^{\text{'}}}^{-1}\left(h^{\text{'}}-t\right){\partial }_S$

Теорема. Если уравнение состояния удовлетворяет переопределенной системе (3.4), (3.5), то оно может быть двух типов. Либо оно задается формулой (4.3) и тогда система (2.1)–(2.3) допускает операторы (4.4) и дополнительный оператор (4.5) при $k=-{\left(m-\frac{2}{5}{t}_0\right)}^2$; либо уравнение состояния имеет вид (4.6), и тогда допускаются операторы (4.7).

5. Случай ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\gamma }}}_{\mathbf{S}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{N}}\mathbf{=}\mathbf{0}$.

Определяющее соотношение (3.2) выполняется: $N=\mathrm{0,}\gamma =Г,\beta =B_1$ – постоянные. Преобразование эквивалентности П не изменяют вид системы (2.1)–(2.3), но изменяют уравнение состояния и допускаемые операторы. Таким образом, в равенствах (3.1) можно сделать функцию $\eta \left(t,S\right)~\eta \left(S\right)=1$ или S. Равенство (3.6) принимает вид

$\left(Bt+B_0\right)e_t+EV{e}_V+C_0\mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2e\left(N_0-B\right)-V{B}_1-Г$ (5.1)

Параметрам $B_0,N_0,E,B,C_0$ соответствуют базисные операторы алгебры Ли $L_5$

$X_{10}={\partial }_t,{\tilde{X}}_{11}=X_{11}-X_{13}=\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}+\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{u}},X_{12}=V{\partial }_V,X_{13}=t{\partial }_t-\overrightarrow{u}\cdot {\partial }_{\stackrel{\rightharpoonup }{u}},$ $X_0=\eta \left(S\right){\partial }_S$

Оператор $X_{11}=t{\partial }_t+\overrightarrow{x}\cdot {\partial }_{\overrightarrow{x}}$ допускается уравнениями газовой динамики со стационарным уравнением состояния [1]. Есть только один не нулевой коммутатор $\left[X_{10},X_{13}\right]=X_{10}, Z=\left\{X_0,{\tilde{X}}_{11},X_{12}\right\}$ – абелев центр, $X_{10}$ – идеал идеала $J_2=\left\{X_{10},X_{13}\right\}$, $L_5=J_2\oplus Z$ – прямая сумма идеалов. Внутренние автоморфизмы алгебры вычисляются по правилу [4]

${\overline{X}}_a=\left[Y,\overline{X}\right],{\left.\overline{X}\right|}_{a=0}=X=x^{10}{X}_{10}+x^{11}{\tilde{X}}_{11}+x^{12}{X}_{12}+x^{13}{X}_{13}+x^0{X}_0$

Имеем два автоморфизма

$A_1:{\overline{x}}^{10}=x^{10}+a{x}^{13},A_2:{\overline{x}}^{10}=b{x}^{10}$

С точностью до внутренних автоморфизмов все подалгебры различных размерностей (оптимальная система) приведены в Приложении.

Заключение. Задача групповой классификации уравнений газовой динамики с уравнением состояния, зависящим от времени, решена. Алгоритм решения этой задачи заключается в следующем. Алгебра Ли преобразования эквивалентности, изменяющих только уравнение состояния, вычислены в работе [12]. Условия инвариантности уравнений газовой динамики с уравнением состояния зависящем от времени задают представление для координат допускаемых операторов (3.1) и два определяющих соотношения нелинейное типа (3.2) и линейное типа (3.3) для функции, задающей уравнение состояния. Преобразованиями эквивалентности приводим нелинейное определяющее соотношение к простейшему виду. Возможны четыре случая упрощений 1°÷4°. В случае 1° уравнение типа (3.2) интегрируется, а из уравнения типа (3.3) следуют определяющие соотношения на коэффициенты. Групповая классификация проведена в работе [13] методом упрощений определяющих соотношений. В случае 2° уравнение типа (3.2) интегрируется. Уравнение типа (3.3) определяет функцию, задающую уравнение состояния, методом составления оптимальной системы подалгебр алгебры расширений ядра. Групповая классификация этого случая проведена в работе [14].

Последние два случая рассмотрены в настоящей статье. В случае 3° определяющие соотношения преобразованиями эквивалентности приводятся к переопределенной системе (3.4), (3.5). Изучение совместности приводит к представлению уравнения состояния по переменной V. Коэффициенты представления удовлетворяют переопределенной системе (4.2). Изучение совместности дает два случая уравнения состояния (4.3) и (4.6). Допускаемые алгебры находятся из соотношений (3.2) и (3.3) в виде (4.4), (4.5) и (4.7). В случае 4° нелинейное определяющее соотношение выполнено тождественно. Линейное соотношение преобразованиями эквивалентности приводится к виду (5.1) с коэффициентами, которым отвечают базисные операторы алгебры Ли преобразований эквивалентности. Строится оптимальная система подалгебр этой алгебры. Для каждой подалгебры определяются функции, задающие уравнения состояния, с которыми уравнения газовой динамики допускают подалгебру. Получено множество расширений ядра допускаемых уравнениями газовой динамики со специальными релаксирующими уравнениями состояния. Это позволит находить множество точных решений и подмоделей для уравнений движения многофазной среды с реагирующими компонентами. Предъявленные работы [12, 13, 14] развивают методы решения задачи групповой классификации – основной задачи группового анализа дифференциальных уравнений с произвольным элементом в случае четырех независимых переменных и произвольного элемента, зависящего от трех переменных. Применяются комбинации двух методов: метода упрощения определяющих соотношений и метода построения оптимальной системы подалгебр, расширяющих ядро допускаемых алгебр.

Приложение. Оптимальная система подалгебр в случае ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\gamma }}}_{\mathbf{S}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{ }\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{N}}\mathbf{=}\mathbf{0}$

П1. Одномерные подалгебры

1.1. $X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0$, 1.2. $X_{10}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0$

1.3. ${\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0$, 1.4. $X_{12}+\alpha X_0$, 1.5. $X_0$

П2. Двухмерные подалгебры

2.1. $\left\{X_{10},X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0\right\}$

2.2. $.\left\{X_{10}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0,{\tilde{X}}_{11}+{\mathrm{\beta }}_1{X}_{12}+{\gamma }_1{X}_0\right\}$

2.3. $\left\{X_{10}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_0,X_{12}+\gamma X_0\right\}$, 2.4. $\left\{X_{10}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12},X_0\right\}$

2.5. $\left\{X_{13}+\alpha X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0,{\tilde{X}}_{11}+{\alpha }_1{X}_{12}+{\mathrm{\beta }}_1{X}_0\right\}$

2.6. $\left\{X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\gamma X_0,X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0\right\}$, 2.7. $\left\{X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_4+\mathrm{\beta }{\tilde{X}}_{12},X_0\right\}$

2.8. $\left\{{\tilde{X}}_{11}+\alpha X_0,X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0\right\}$, 2.9. $\left\{X_{12},X_0\right\}$, 2.10. $\left\{{\tilde{X}}_{11},X_0\right\}$

П3. Трехмерные подалгебры

3.1. $\left\{X_{10},X_{13}+\alpha X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0,{\tilde{X}}_{11}+{\alpha }_1{X}_{12}+{\mathrm{\beta }}_1{X}_0\right\}$

3.2. $\left\{X_{10},X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\gamma X_0,X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0\right\}$

3.3. $\left\{X_{10},X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12},X_0\right\}$, 3.4. $\left\{X_{10}+\mathrm{\delta }{X}_0,{\tilde{X}}_{11}+\alpha X_0,X_{12}+\mathrm{\beta }{X}_0\right\}$

3.5. $\left\{X_{10}+\mathrm{\delta }{X}_{12},{\tilde{X}}_{11},X_0\right\}$, 3.6. $\left\{X_{10}+\mathrm{\delta }{\tilde{X}}_{11},X_{12},X_0\right\}$

3.7. $\left\{X_{13}+\alpha X_0,{\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{10},X_{12}+\gamma X_0\right\}$, 3.8. $\left\{X_{13}+\alpha X_{12},{\tilde{X}}_{11},X_0\right\}$

3.9. $\left\{X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11},X_{12},X_0\right\}$, 3.10. $\left\{{\tilde{X}}_{11},X_{12},X_0\right\}$

П4. Четырехмерные подалгебры

4.1. $\left\{X_{10},X_{13}+\alpha X_0,{\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_0,X_{12}+\gamma X_0\right\}$

4.2. $\left\{X_{10},{\tilde{X}}_{11},X_{12},X_0\right\}$, 4.3. $\left\{X_{13},{\tilde{X}}_{11},X_{12},X_0\right\}$

Здесь α, β, γ – постоянные, δ=0 или 1. Для любой подалгебры произвольный оператор  $X=B_0{X}_{10}+N_0{\tilde{X}}_{11}+E{X}_{12}+B{X}_{13}+C_0{X}_0$ алгебры $L_5$ равен линейной комбинации базисных операторов подалгебры с произвольными коэффициентами λ, µ, ν, σ. Постоянные B₁, Г в равенстве (5.1) линейно выражаются через произвольные коэффициенты. Их нет в выражениях для оператора X. Они определяются уравнением состояния. Каждая подалгебра определяет с помощью соотношения (5.1) уравнения состояния, с которыми система (2.1) – (2.3) допускает эту подалгебру.

Подалгебра 1.1 $X=\lambda \left(X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0\right)\Rightarrow B_0=\lambda \gamma ,N_0=\lambda \alpha ,E=\lambda \mathrm{\beta },$

$B=\lambda ,C_0=\lambda \gamma ,B_1=\lambda b_1,Г=\lambda b_0$. Равенство (5.1) после сокращения на l определяет уравнение для функции, задающей уравнение состояния, чтобы подалгебра допускалась уравнениями газовой динамики (2.1)–(2.3),

$t{e}_t+\mathrm{\beta }V{e}_V+\gamma \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2e\left(\alpha -1\right)-V{b}_1-b_0$

Аналогичные вычисления для других подалгебр из оптимальной системы определяют уравнения для функций, задающих уравнения состояния.

Подалгебра 1.2. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\lambda \alpha ,E=\lambda \mathrm{\beta },B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda \gamma$

$e_t+\mathrm{\beta }V{e}_V+\gamma \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2\alpha e-V{b}_1-b_0$

Подалгебра 1.3. $\Rightarrow B_0=\mathrm{0,}{N}_0=\lambda ,E=\lambda \mathrm{\beta },B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda \gamma$

$\mathrm{\beta }V{e}_V+\gamma r\left(S\right)e_S=2e-V{b}_1-b_0$

Подалгебра 1.4. $\Rightarrow B_0=N_0=B=\mathrm{0,}E=\lambda ,C_0=\lambda \alpha$

$V{e}_V+\alpha r\left(S\right)e_S=-V{b}_1-b_0$

Подалгебра 1.5. $\Rightarrow B_0=N_0=E=B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda$

$e=g\left(t,V\right)-\left(V{b}_1+b_0\right)\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

Подалгебра 2.1. $X=\lambda X_{10}+\mathrm{\mu }\left(X_{13}+\alpha {\tilde{X}}_{11}+\mathrm{\beta }{X}_{12}+\gamma X_0\right)\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\mathrm{\mu }\alpha$, $E=\mathrm{\mu \beta },B=\mathrm{\mu },C_0=\mathrm{\mu }\gamma ,B_1=\lambda b_1+\mathrm{\mu }{b}_2, Г=\lambda b_{01}+\mathrm{\mu }{b}_{02}$.

Равенство (5.1) после расщепляется по λ и µ дает 2 уравнения для функции e

$e_t=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow e=-\left(b_{1}V+b_{01}\right)t+e_1\left(V,S\right)$

$t{e}_t+\mathrm{\beta }V{e}_V+\gamma r\left(S\right)e_S=2\left(\alpha -1\right)e-V{b}_2-b_{02}\Rightarrow \left(2\alpha -3\right)b_{01}=0$

$\left(2\alpha -\mathrm{\beta }-3\right) b_1=\mathrm{0,} \mathrm{\beta }V{e}_{1V}+\gamma r\left(S\right)e_{1S}=2\left(\alpha -1\right)e_1-V{b}_2-b_{02}$

Подалгебра 2.2. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\mathrm{\mu },E=\lambda \mathrm{\beta }+{\mathrm{\mu \beta }}_1,B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda \gamma +\mathrm{\mu }{\gamma }_1$

(5.1) $\Rightarrow$$e_t+\mathrm{\beta }V{e}_V+\gamma r\left(S\right)e_S=-b_{1}V-b_{01}$

${\mathrm{\beta }}_{1}V{e}_V+{\gamma }_{1}r\left(S\right)e_S=2e-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_{02}~0$

Если $\mathrm{\beta }\ne 0$, то $e=-\frac{b_1}{\mathrm{\beta }}V-\frac{b_{01}}{\mathrm{\beta }}\ln V+e_1\left(V_1,S_1\right), V_1=V{e}^{-\mathrm{\beta }t}$

$S_1=-\gamma t+\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right);b_{01}=\mathrm{0,}{b}_2=\left({\mathrm{\beta }}_1-2\right)b_1{\mathrm{\beta }}^{-1}$

${\mathrm{\beta }}_1{V}_1{e}_{1V_1}+{\gamma }_1{e}_{1S_1}=2e$

Если $\mathrm{\beta }=0$, то $e=-t\left(b_{1}V+b_{01}\right)+e_1\left(V,S_1\right); b_{01}=0$

$b_1\left({\mathrm{\beta }}_1-2\right)=\mathrm{0,} {\mathrm{\beta }}_{1}V{e}_{1V}+{\gamma }_1{e}_{1S_1}=2e_1-b_{2}V$

Подалгебра 2.3. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\alpha \lambda ,E=\mathrm{\mu },B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda \mathrm{\beta }+\mathrm{\mu }\gamma$

(5.1) $\Rightarrow$ $e_t+\mathrm{\beta }r\left(S\right)e_S=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow e=-t\left(b_{1}V+b_{01}\right)+e_1\left(V,S_1\right)$

$S_1=-\mathrm{\beta }t+\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right);V{e}_V+\gamma r\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_1=\mathrm{0,} b_2~0$

$V{e}_{1V}+\gamma e_{1S_1}=-b_{02}$

Подалгебра 2.4. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\lambda \alpha ,E=\lambda \mathrm{\beta },B=\mathrm{0,}{C}_0=\mathrm{\mu }$

(5.1) $\Rightarrow$ $\mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow e=e_1\left(t,V\right)-\left(b_{2}V+b_{02}\right)\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

$e_t+\mathrm{\beta }V{e}_V=2\alpha e-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow \alpha b_{02}=\mathrm{0,}\left(\mathrm{\beta }-2\alpha \right)b_2=0$

$e_{1t}+\mathrm{\beta }V{e}_{1V}=2\alpha e_1-b_{1}V-b_{01}$

Подалгебра 2.5. $\Rightarrow B_0=\mathrm{0,}{N}_0=\mathrm{\mu },E=\lambda \alpha +\mathrm{\mu }{\alpha }_1,B=\lambda ,C_0=\lambda \mathrm{\beta }+{\mathrm{\mu \beta }}_1$

(5.1) $\Rightarrow$ $t{e}_t+\alpha V{e}_V+\mathrm{\beta \eta }\left(S\right)e_S=-2e-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow b_1~0;b_{01}~0$

$e=t^{-2}g\left(V_1,S_1\right),V_1=V{t}^{-\alpha },S_1=-\mathrm{\beta ln}\left|t\right|+\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

${\alpha }_{1}V{e}_V+{\mathrm{\beta }}_1\eta \left(S\right)e_S=2e-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_{02}=0$

${\alpha }_1{V}_1{g}_{V_1}+{\mathrm{\beta }}_1{g}_{S_1}=2g-b_2{V}_1,b_2=0$ при $\alpha \ne -2$ или ${\alpha }_1\ne 2$

Подалгебра 2.6. $\Rightarrow B_0=\mathrm{0,}{N}_0=\lambda \alpha ,E=\mathrm{\mu },B=\lambda ,C_0=\lambda \gamma +\mathrm{\mu \beta }$

(5.1) $\Rightarrow$$t{e}_t+\gamma \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2\left(\alpha -1\right)e-b_{1}V-b_{01},V{e}_V+\beta \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}$

Если $\alpha \ne 1$, то $b_1~\mathrm{0,} b_{01}~\mathrm{0,}e=2\left(\alpha -1\right)\ln \left|t\right|+e_1\left(V,S_1\right)$

$S_1=t^{-\gamma }\left(e^S\mathrm{или}S\right)$, $e_{1V}+\mathrm{\beta }{S}_1{e}_{1S_1}=-b_{02},b_2~0$

Если $\alpha =1$, то $e=-b_{01}\ln \left|t\right|+e_1\left(V,S_1\right), V{e}_{1V}+\mathrm{\beta }{S}_1{e}_{1S_1}=-b_{02}$

$b_1=\mathrm{0,}{b}_2~0$

Подалгебра 2.7. $\Rightarrow B_0=\mathrm{0,}{N}_0=\lambda \alpha ,E=\lambda \mathrm{\beta },C_0=\mathrm{\mu },B=\lambda$

(5.1) $\Rightarrow$$\mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow e=e_1\left(t,V\right)-\left(b_{2}V+b_{02}\right)\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

$t{e}_t+\mathrm{\beta }V{e}_V=2\left(\alpha -1\right)-V{b}_1-b_{01}\Rightarrow \left(\alpha -1\right)b_{02}=\mathrm{0,}\left(\mathrm{\beta }-2\alpha -2\right)b_2=0$

$t{e}_{1t}+\mathrm{\beta }V{e}_{1V}=2\left(\alpha -1\right)e_1-V{b}_1-b_{01}$

Подалгебра 2.8. $\Rightarrow B_0=\mathrm{0,}{N}_0=\lambda ,E=\mathrm{\mu },B=\mathrm{0,}{C}_0=\lambda \alpha +\mathrm{\mu \beta }$

(5.1) $\Rightarrow$$\alpha \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2e-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow b_1~\mathrm{0,}{b}_{01}~\mathrm{0,}\alpha \ne 0$

$e=e_1\left(t,V\right){\left(e^S\mathrm{или}S\right)}^{\frac{2}{\alpha }}$

$V{e}_V+\mathrm{\beta \eta }\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_2=b_{02}=\mathrm{0,} e_1=V^{-\frac{2\beta }{\alpha }}g\left(t\right)$

Подалгебра 2.9. $\Rightarrow B_0=B=N_0=\mathrm{0,}E=\lambda ,C_0=\mathrm{\mu }$

(5.1) $\Rightarrow$$V{e}_V=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow b_1~0;b_{01}\ne \mathrm{0,}e=-b_{01}\ln V+e_1\left(t,S\right)$

$\mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_2=0;b_{02}\ne \mathrm{0,}{e}_1=g\left(t\right)-b_{02}\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

Подалгебра 3.1. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\nu ,E=\alpha \mathrm{\mu }+{\alpha }_1\nu ,B=\mathrm{\mu },C_0=\mathrm{\beta \mu }+{\mathrm{\beta }}_1\nu$

(5.1) $\Rightarrow$ $e_t=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow e=-\left(b_{1}V+b_{01}\right)t+e_1\left(V,S\right)$

$t{e}_t+\alpha V{e}_V+\mathrm{\beta \eta }\left(S\right)e_S=-2e-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow$ $b_{02}~0;b_{01}=\mathrm{0,}{b}_1\ne 0$

$\alpha =-\mathrm{3,}{b}_2~0$

${\alpha }_{1}V{e}_V+{\mathrm{\beta }}_{1}r\left(S\right)e_S=2e-b_{3}V-b_{03}\Rightarrow {\alpha }_1=\mathrm{2,}{b}_3=b_{03}=0;{\mathrm{\beta }}_1\ne 0$.

Изучая совместность последних двух уравнений раздельно при $\mathrm{\beta }\ne 0$ и при $\mathrm{\beta }=0$, получим единую формулу

$e=-b_{1}tV+G{V}^{\frac{2}{3}+\frac{\mathrm{\beta }}{9{\beta }_1}}{\left(e^S\mathrm{или}\left|S\right|\right)}^{\frac{1}{3{\mathrm{\beta }}_1}}$

Подалгебра 3.2. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\alpha \mathrm{\mu },E=\nu ,B=\mathrm{\mu },C_0=\gamma \mathrm{\mu }+\mathrm{\beta }\nu$

(5.1) $\Rightarrow$ $e_t=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow e=-t\left(b_{1}V+b_{01}\right)+e_1\left(V,S\right)$

$t{e}_t+\gamma \mathrm{\eta }\left(S\right)e_S=2\left(\alpha -1\right)e-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow \alpha =\frac{3}{2},\gamma \ne \mathrm{0,}{e}_1=g\left(V\right){\left(e^{S }\mathrm{или}\left|S\right|\right)}^{\frac{1}{\gamma }}$

$V{e}_V+\mathrm{\beta \eta }\left(S\right)e_S=-b_{3}V-b_{03}\Rightarrow b_3=b_{03}=\mathrm{0,}{b}_1=\mathrm{0,}{b}_{01}\ne \mathrm{0,}g=G{V}^{\frac{\mathrm{\beta }}{\gamma }}$

Уравнение состояния имеет вид

$e=-b_{01}t+G{V}^{\frac{\mathrm{\beta }}{\gamma }}{\left(e^S\mathrm{или}\left|S\right|\right)}^{\frac{1}{\gamma }}$ при $\alpha =\frac{3}{2},\gamma \ne 0$

Подалгебра 3.3. $\Rightarrow B_0=\lambda ,N_0=\mathrm{\mu }\alpha ,E=\mathrm{\mu \beta },B=\mathrm{\mu },C_0=\nu$

(5.1) $\Rightarrow$ $e_t=-b_{1}V-b_{01}\Rightarrow e=-t\left(b_{1}V+b_{01}\right)+e_1\left(V,S\right)$

$t{e}_t+\mathrm{\beta }V{e}_V=\left(\alpha -1\right)e-b_{2}V-b_{02}\Rightarrow b_{01}\left(\alpha -2\right)=\mathrm{0,}{b}_1\left(\mathrm{\beta }-\alpha +2\right)=0$

$\mathrm{\eta }{e}_S=-V{b}_3-b_{03}\Rightarrow e_1=g\left(V\right)-\left(V{b}_3+b_{03}\right)\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$

$b_{03}\left(\alpha -1\right)=\mathrm{0,}{b}_3\left(\mathrm{\beta }-\alpha +1\right)=\mathrm{0,}\mathrm{\beta }V{g}^{\text{'}}=\left(\alpha -1\right)g-V{b}_2-b_{02}$

Если $b_1\ne \mathrm{0,} b_{01}\ne 0$, то $\alpha =\mathrm{2,} \mathrm{\beta }=\mathrm{0,} b_{03}=\mathrm{0,} b_3=0\Rightarrow e_S=0$ противоречие.

Если $b_1\ne \mathrm{0,} b_{01}=0$, то $\mathrm{\beta }=\alpha -\mathrm{2,} b_3=\mathrm{0,} b_{03}\ne \mathrm{0,} \alpha =\mathrm{1,} \mathrm{\beta }=-1$

$g~b_{02}\ln V$, $e=-b_{1}Vt+b_{02}\ln V-b_{03}\left(S\mathrm{или}\ln \left|S\right|\right)$