Body Waves Induced by a Concentrated Force

Abstract

Body waves in an isotropic elastic space propagating along the line of action of a concentrated force singularity are analyzed. It is shown that along the line of action of the force singularity, in addition to the P-wave, the S-wave also propagates. The erroneous statements found in a number of publications about the absence of S-waves on the line of action of the force singularity are noted.

Full Text

1. Введение. Ниже дается краткий обзор исследований по волнам в изотропном упругом пространстве, в которых исследуются объемные акустические волны, появляющиеся на линии действия силовой особенности.

В одной из первых работ по объемным волнам в изотропной упругой среде [1, 2], где анализировались сейсмограммы, вызванные точечным δ-образным (по временной переменной) силовым воздействием, расположенным в изотропном упругом полупространстве, был отмечен феномен появления всплеска на сейсмограмме, характерного по времени прихода для S-волны (рис. 1).

Рис. 1. а) Схема внутренней задачи Лэмба для вертикального силового воздействия в виде временного δ-образного импульса; б) Сейсмограмма на линии действия силовой особенности [25], показывающая наличие пика на сейсмограмме вертикальной компоненты перемещений, отвечающего приходу S-волны

Факт присутствия на сейсмограммах пика, характерного для прихода S-волны, в дальнейшем неоднократно отмечался как в экспериментальных [3–5], так и в теоретических [6–20] исследованиях волновых процессов, связанных с решением внутренней задачи Лэмба [21], аналогичный эффект наблюдался и при численных исследованиях внутренней задачи Лэмба [22–27]. На рис. 1, б, показана сейсмограмма вертикальной компоненты смещения (в точке на линии действия сосредоточенной силовой особенности), имеющая пик, отвечающий приходу S-волны. Надо отметить, что горизонтальная компонента смещений на линии действия силы нулевая, см. рис. 1, б. В большинстве теоретических исследований [6–9, 16] появление этого пика, объясняется наличием соответствующего полюса в несобственных интегралах, описывающих решение для объемных волн, появляющихся при решении внутренней задачи Лэмба. В этой связи особый интерес представляют работы [28–30], в которых отмечено, что на линии действия силовой особенности, являющейся осью симметрии, поперечные волны не могут возникать, поскольку последние из-за присутствия касательных компонент напряжений и деформаций необходимо кососимметричны в окрестности линии действия силы.

Ниже показано, что во внутренней задаче Лэмба для изотропного упругого полупространства или полуплоскости, см. рис. 1,а, на оси симметрии, определяемой линией действия силовой особенности, (i) S-волна существует; (ii) эта волна не содержит касательных компонент тензора напряжений, нормальных к оси симметрии; и (iii) горизонтальные компоненты смещения равны нулю. Решение рассматриваемой задачи связано с представлением Гельмгольца для поля смещений [31] и разложением тензорных полей на девиаторные и шаровые тензоры [32].

2. Уравнения движения. Линейные уравнения движения для изотропной упругой среды могут быть записаны в виде [31]

$\left(c_P^2{\nabla }_{x}di{v}_x-c_S^{2}ro{t}_{x}ro{t}_x-I{\partial }_{tt}^2\right)u(x, t)=0$, (2.1)

где u – поле смещений, x – пространственные координаты, t – время, I – единичный тенор второго ранга, c_P и c_S – скорости объемных P- и S-волн соответственно

$c_P=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }}, c_S=\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}$ (2.2)

В этих соотношениях ρ – плотность среды, а λ и μ – параметры Ламе, связанные с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν соотношениями

$\lambda =\frac{E\nu }{(1-2\nu )(1+\nu )}, \mu =\frac{E}{2(1+\nu )}$ (2.3)

Представление Гельмгольца для поля смещений имеет вид [31]

$u(x, t)={\nabla }_x\phi (x, t)+ro{t}_x\psi (x, t)$, (2.4)

где φ – скалярный, а ψ – векторный потенциал. Подстановка представления (2.4) в уравнения движения (2.1) и исключение из рассмотрения линейных (по пространственным координатам) составляющих, дает [32]

$\left(c_P^2{\Delta }_x-{\partial }_{tt}^2\right){\nabla }_x\phi (x, t)=\mathrm{0,} \left(c_S^2{\Delta }_x-{\partial }_{tt}^2\right)ro{t}_x\psi (x, t)=0$ (2.5)

Уравнения (2.5) показывают, что скалярным потенциалом φ определяется объемная P волна, а векторным потенциалом ψ – объемная S волна [32].

3. Разложение тензорных полей на девиаторный и шаровой тензоры. Инфинитезимальное поле деформаций определяется по полю смещений соотношениями Коши [32]

$\epsilon (x, t)=\frac{1}{2}\left({\nabla }_{x}u(x, t)+{\nabla }_{x}u{(x, t)}^T\right)$ (3.1)

Шаровой тензор, определяемый тензором деформаций, представим в виде [32]

$\theta I\equiv tr\left(\epsilon \right)I=\left(di{v}_{x}u\right)I$, (3.2)

где θ – объемная деформация. Аналогичным образом определяется девиатор деформаций e [32]

$e=\epsilon -\frac{1}{3}\theta I$ (3.3)

Подстановка представления Гельмгольца (2.4) в выражение (3.2), дает [33]

$\theta (x, t)={\Delta }_x\phi (x, t)$ (3.4)

Таким образом, объемная деформация однозначно определяется скалярным потенциалом, однако, девиатор (3.3) определяется как скалярным, так и векторным потенциалом [33, 34]

$e(x, t)=\left({\nabla }_x{\nabla }_x-\frac{1}{3}I{\Delta }_x\right)\phi (x, t)+\frac{1}{2}\left({\nabla }_{x}ro{t}_x\psi (x, t)+{\nabla }_{x}ro{t}_x\psi {(x, t)}^T\right)$ (3.5)

Рассматривая закон Гука для изотропной среды в форме соотношений между девиаторными и шаровыми компонентами [32]

$p(x, t)=-K\theta (x, t), s(x, t)=\mu e(x, t)$, (3.6)

где p – давление, s – девиатор напряжений, а K – объемный модуль,

$K=\lambda +\frac{2}{3}\mu$, (3.7)

получим следующие выражения для объемной и девиаторной составляющей тензора напряжений в терминах соответствующих потенциалов [11]

$p(x, t)=-K{\Delta }_x\phi (x, t), s(x, t)=\mu \left(A_1({\partial }_x, {\partial }_x)\phi (x, t)+A_2({\partial }_x, {\partial }_x)\psi (x, t)\right)$, (3.8)

где

$A_1({\partial }_x, {\partial }_x)={\nabla }_x{\nabla }_x-\frac{1}{3}I{\Delta }_x, A_2({\partial }_x, {\partial }_x)=\frac{1}{2}\left({\nabla }_{x}ro{t}_x+{\nabla }_{x}ro{t}_x^T\right)$ (3.9)

Из (3.8), (3.9) следует, что в динамических задачах возмущение, связанное с девиатором напряжений, может распространяться либо со скоростью P-волны, если выполнены условия

$A_1({\partial }_x, {\partial }_x)\phi (x, t)\ne 0 и A_2({\partial }_x, {\partial }_x)\psi (x, t)=0$, (3.10)

либо со скоростью S-волны, если

$A_1({\partial }_x, {\partial }_x)\phi (x, t)=0 и A_2({\partial }_x, {\partial }_x)\psi (x, t)\ne 0$, (3.11)

либо часть девиатора может двигаться со скоростью P-волны, а другая со скоростью S-волны, если

$A_1({\partial }_x, {\partial }_x)\phi (x, t)\ne 0 и A_2({\partial }_x, {\partial }_x)\psi (x, t)=0$ (3.12)

4. Динамические поля на линии действия силы. В случае пространственной внутренней задачи Лэмба поле напряжений на линии действия силы представимо в виде [14]

${\overline{)\sigma (x,t)}}_{x\in l}=f(x, t)n\otimes n+g(x, t)\left(I-n\otimes n\right)$, (4.1)

где l – линия действия силы, n – единичный вектор, совпадающий с направлением действия силы, x = x × n – координата вдоль линии действия силы, f (x, t) – функция, описывающая распространение волнового фронта компоненты напряжений σ_nn вдоль оси x, g (x, t) – функция, описывающая распространение волнового фронта, связанного с компонентами, ортогональными к σ_nn. Заметим, что в силу осевой симметрии, тензор σ (x, t)|_{x ∈ l} в выбранной системе координат не содержит касательных компонент.

Разложение поля напряжений (4.1) на шаровой и девиаторный тензор дает

$p(x, t)=-\frac{2g(x, t)+f(x, t)}{3}, s(x, t)=\left(f(x, t)-g(x, t)\right)\left(3n\otimes n-I\right)$ (4.2)

Последнее выражение для девиатора показывает, что условие s (x, t) = 0 возможно только при выполнении условия

$\forall x, t: f(x, t)=g(x, t)$ (4.3)

Однако, как показывает анализ аналитических выражений для усилий во внутренней задаче Лэмба от сосредоточенного силового источника [14, 16], условие (4.3) не выполняется ни при каких значениях коэффициента Пуассона ν ∈ (–1; 0.5) и ни при каких (временных) профилях рассматриваемой силовой нагрузки. Таким образом, на линии действия силовой особенности, вне зависимости от временного профиля волны, всегда присутствует девиаторная компонента s (x, t), причем эта девиаторная компонента не связана со сдвигами в горизонтальной плоскости.

Далее, остается заметить, что в фундаментальном решении Стокса для уравнений движения изотропной упругой среды присутствует векторный потенциал [35]

$\psi (x, t)=\frac{1}{4\pi \rho }\left(t-\frac{r}{c_S}\right)H\left(t-\frac{r}{c_S}\right){\nabla }_{x}r+\frac{x-{\nabla }_{x}r}{4\pi \rho c_S^{2}r}\delta \left(t-\frac{r}{c_S}\right)$, (4.4)

где r = |x|, H – функция Хэвисайда, δ – функция Дирака. Непосредственная подстановка потенциала (4.4) в соответствующий оператор (3.9), показывает, что ${\overline{)A_2({\partial }_x, {\partial }_x)\psi (x, t)}}_{x\in l}\ne 0$. Таким образом, обеспечивается условие существования S-волны на оси линии действия силы.

Выводы. Показано, что во внутренней задаче Лэмба для изотропного упругого полупространства на оси симметрии, определяемой линией действия силовой особенности, S-волна существует и не содержит касательных компонент тензора напряжений в декартовых координатах, одна из осей которых совпадает с линией действия силы.

Представляется, что полученные результаты могут найти применение, как в аналитических, так и в численных и экспериментальных исследованиях при определении волновых полей на линии действия силовых воздействий. Кроме того, появление S-волны на линии действия силовой особенности, представляет интерес с точки зрения формирования поверхностных волн и, в частности, волн Рэлея [25, 26], дисперсионных волн Рэлея–Лэмба [34, 36], а также волн Лява [37, 38].

Благодарность. Работа выполнена за счет гранта 24-49-02002 Российского научного фонда.