On the Problem of Nonlinear Oscillations of a Conservative System in the Absence of Resonance

Full Text

1. Введение. На этапе предварительного проектирования многих машин и механизмов инженеру – конструктору важно заранее, до проведения дорогостоящих (а часто и совсем невозможных) экспериментов, знать, как может зависеть динамика проектируемой системы от ее параметров.

В статье получены явные формулы для частот нелинейных колебаний автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы с точностью до второй степени относительно начальных отклонений системы от ее устойчивого положения равновесия.

В случае консервативной системы, представляющей собой материальную точку, движущуюся по неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести, изучен характер нелинейных колебаний в предположении об отсутствии резонансов до четвертого порядка включительно. Дано приближенное аналитическое представление колмогоровского множества условно – периодических колебаний и указана оценка меры этого множества.

В качестве конкретного примера нерезонансной задачи исследованы нелинейные колебания двойного маятника в окрестности его устойчивого равновесия на вертикали. Показано, что для большинства начальных условий движение маятника является условно – периодическим, а относительная мера множества, дополнительного к этому большинству, экспоненциально мала.

Проведенный анализ опирается на современные методы исследования нелинейных динамических систем [1, 2]. При проведении необходимых вычислений используются преобразование Биркгофа [3] и его модификации [4, 5], удобные для применения методов компьютерной алгебры.

Нормальные (главные) координаты. Рассмотрим консервативную систему с двумя степенями свободы, положение которой определяется обобщенными координатами $x_1,x_2$. Пусть начало координат $x_1=x_2=0$ является положением равновесия, а потенциальная энергия $\Pi (x_1,x_2)$ – аналитическая функция в его окрестности. Функция может еще зависеть от одного или нескольких параметров. Без ограничения общности будем считать, что $\Pi \left(\mathrm{0,0}\right)=0$ и предположим, что разложение $\Pi$ в ряд начинается с определенно-положительной квадратичной формы. Тогда точка $x_1=x_2=0$ будет точкой строгого локального минимума функции $\Pi$ и, следовательно, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво [6].

Кинетическая энергия системы T является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей ${\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2$ и имеет вид

$T=a_{20}{\dot{x}}_1^2+a_{11}{\dot{x}}_1{\dot{x}}_2+a_{02}{\dot{x}}_2^2$

Коэффициенты $a_{20},a_{11},a_{02}$ – функции $x_1,x_2$ и, как и функция $\Pi$, могут еще зависеть от одного или нескольких параметров. Предположим, что они – аналитические функции от $x_1,x_2$ и что при $x_1=x_2=0$ кинетическая энергия T – определенно-положительная квадратичная форма относительно ${\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2$.

Если вместо обобщенных координат $x_1,x_2$ ввести, следуя [6, 7], нормальные (главные) координаты ${\theta }_1,{\theta }_2$, то потенциальная энергия запишется в виде ряда

$\Pi =\frac{1}{2}({\omega }_1^2{\theta }_1^2+{\omega }_2^2{\theta }_2^2)+\sum _{k=3}^{\infty }{\Pi }_k,$ ${\Pi }_k=\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=k}{p}_{{\nu }_1{\nu }_2}{\theta }_1^{{\nu }_1}{\theta }_2^{{\nu }_2}$  (1.1)

Здесь и всюду далее ${\nu }_1$ и ${\nu }_2$ – целые неотрицательные числа. Через ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ обозначены частоты малых (линейных) колебаний. Будем считать их различными $({\omega }_1>{\omega }_2>0)$.

Кинетическая энергия в нормальных координатах запишется в виде

$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}({\dot{\theta }}_1^2+{\dot{\theta }}_2^2)+\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{t}_{{\nu }_1{\nu }_{2}20}{\theta }_1^{{\nu }_1}{\theta }_2^{{\nu }_2}{\dot{\theta }}_1^2+\\ +\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{t}_{{\nu }_1{\nu }_{2}11}{\theta }_1^{{\nu }_1}{\theta }_2^{{\nu }_2}{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2+\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{t}_{{\nu }_1{\nu }_{2}02}{\theta }_1^{{\nu }_1}{\theta }_2^{{\nu }_2}{\dot{\theta }}_2^2\end{array}$ (1.2)

Коэффициенты $p_{{\nu }_1{\nu }_2}$ в (1.1) и $t_{{\nu }_1{\nu }_{2}20},t_{{\nu }_1{\nu }_{2}11},t_{{\nu }_1{\nu }_{2}02}$ в (1.2) зависят только от параметров системы.

2. Функция Гамильтона. При анализе нелинейных колебаний будем использовать гамильтонову форму уравнений движения. Импульсы $p_{{\theta }_j}$ определяются равенствами

$p_{{\theta }_j}=\frac{\partial T}{\partial {\dot{\theta }}_j}$; $j=\mathrm{1,2}$ (2.1)

Отсюда, с учетом выражения (1.2) для функции T находятся величины ${\dot{\theta }}_1$ и ${\dot{\theta }}_2$ как функции от ${\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2}$. Эти функции линейны по импульсам. При этом, если пренебречь в выражениях ${\dot{\theta }}_j({\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2}\text{})$ величинами выше первой степени относительно ${\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2}$, то справедливы равенства ${\dot{\theta }}_j=p_{{\theta }_j}$ $(j=\mathrm{1,2})$.

Подставив найденные из (2.1) величины ${\dot{\theta }}_1$ и ${\dot{\theta }}_2$ в функцию $H=T+\Pi$ (см. равенства (1.1) и (1.2)), получим функцию Гамильтона $H({\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2})$, аналитическую по ${\theta }_j,p_{{\theta }_j}$ $(j=\mathrm{1,2})$. Уравнения движения системы запишутся в виде канонических уравнений

$\frac{d{\theta }_j}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_{{\theta }_j}},$ $\frac{d{p}_{{\theta }_j}}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial {\theta }_j}$; $j=\mathrm{1,2}$ (2.2)

Для удобства дальнейших вычислений целесообразно сделать каноническую унивалентную замену переменных ${\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2}\to q_1,q_2,p_1,p_2$ по формулам [7]

${\theta }_j=\frac{1}{\sqrt{{\omega }_j}}{q}_j$, $p_{{\theta }_j}=\sqrt{{\omega }_j}{p}_j$; $j=\mathrm{1,2}$ (2.3)

Подставив эти выражения в функцию $H({\theta }_1,{\theta }_2,p_{{\theta }_1},p_{{\theta }_2})$, получим функцию $\Gamma (q_1,q_2,p_1,p_2)$, соответствующую каноническим уравнениям движения в новых переменных

$\frac{d{q}_j}{dt}=\frac{\partial \Gamma }{\partial p_j},$ $\frac{d{p}_j}{dt}=-\frac{\partial \Gamma }{\partial q_j}$; $j=\mathrm{1,2}$ (2.4)

Функция $\Gamma$ аналитична относительно $q_1,q_2,p_1,p_2$ и ее разложение в ряд записывается в виде

$\begin{array}{l}\Gamma =\frac{1}{2}{\omega }_1(q_1^2+p_1^2)+\frac{1}{2}{\omega }_2(q_2^2+p_2^2)+\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}20}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}\cdot p_1^2+\\ +\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}11}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}\cdot p_1{p}_2+\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=1}^{\infty }{\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}02}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}\cdot p_2^2+\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=3}^{\infty }{\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_2}{q}_1^{{\nu }_1}{q}_2^{{\nu }_2}\end{array}$ (2.5)

Зависящие только от параметров системы коэффициенты ${\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_2}$, ${\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}20}$, ${\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}11}$, ${\gamma }_{{\nu }_1{\nu }_{2}02}$ выражаются через коэффициенты разложений (1.1) и (1.2).

Для коэффициентов членов третьей степени можно получить следующие выражения:

${\gamma }_{30}=\frac{p_{30}}{{\omega }_1^{3/2}},$ ${\gamma }_{21}=\frac{p_{21}}{{\omega }_1{\omega }_2^{1/2}},$ ${\gamma }_{12}=\frac{p_{12}}{{\omega }_1^{1/2}{\omega }_2},$ ${\gamma }_{03}=\frac{p_{03}}{{\omega }_2^{3/2}}$ (2.6)

$\begin{array}{l}{\gamma }_{1020}=-{\omega }_1^{1/2}{t}_{1020},{\gamma }_{0120}=-\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2^{1/2}}{t}_{0120},{\gamma }_{1011}=-{\omega }_2^{1/2}{t}_{1011}\\ {\gamma }_{0111}=-{\omega }_1^{1/2}{t}_{0111},{\gamma }_{1002}=-\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1^{1/2}}{t}_{1002},{\gamma }_{0102}=-{\omega }_2^{1/2}{t}_{0102}\end{array}$ (2.7)

Коэффициенты членов четвертой степени в (2.5) выражаются через коэффициенты разложений (1.1), (1.2) по таким формулам:

${\gamma }_{40}=\frac{p_{40}}{{\omega }_1^2}$, ${\gamma }_{31}=\frac{p_{31}}{{\omega }_1^{3/2}{\omega }_2^{1/2}}$, ${\gamma }_{22}=\frac{p_{22}}{{\omega }_1{\omega }_2}$, ${\gamma }_{13}=\frac{p_{13}}{{\omega }_1^{1/2}{\omega }_2^{3/2}}$, ${\gamma }_{04}=\frac{p_{04}}{{\omega }_2^2}$ (2.8)

$\begin{array}{l}{\gamma }_{2020}=-t_{2020}+2t_{1020}^2+\frac{1}{2}{t}_{1011}^2,{\gamma }_{1120}=\frac{{\omega }_1^{1/2}}{{\omega }_2^{1/2}}(-t_{1120}+t_{1011}{t}_{0111}+4t_{0120}{t}_{1020})\\ {\gamma }_{0220}=\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}(-t_{0220}+2t_{0120}^2+\frac{1}{2}{t}_{0111}^2),{\gamma }_{2011}=\frac{{\omega }_2^{1/2}}{{\omega }_1^{1/2}}[-t_{2011}+2t_{1011}(t_{1020}+t_{1002}\left)\right]\\ {\gamma }_{1111}=-t_{1111}+2t_{0111}(t_{1020}+t_{1002})+2t_{1011}(t_{0102}+t_{0120})\\ {\gamma }_{0211}=\frac{{\omega }_1^{1/2}}{{\omega }_2^{1/2}}[-t_{0211}+2t_{0111}(t_{0102}+t_{0120}\left)\right],{\gamma }_{2002}=\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}(-t_{2002}+2t_{1002}^2+\frac{1}{2}{t}_{1011}^2)\\ {\gamma }_{1102}=\frac{{\omega }_2^{1/2}}{{\omega }_1^{1/2}}(-t_{1102}+t_{1011}{t}_{0111}+4t_{0102}{t}_{1002}),{\gamma }_{0202}=-t_{0202}+2t_{0102}^2+\frac{1}{2}{t}_{0111}^2\end{array}$ (2.9)

Выражения для коэффициентов членов пятой и более высоких степеней не выписываем из-за их громоздкости.

3. Об алгоритме нормализации. Рассмотрим автономную гамильтонову систему с двумя степенями свободы, не обязательно являющуюся консервативной. Пусть ее функция Гамильтона записывается в виде ряда

$\Gamma =\frac{1}{2}\sum _{j=1}^2{\omega }_j(q_j^2+p_j^2)$+$\sum _{k=3}^{\infty }{\Gamma }_k(q_1,q_2,p_1,p_2)$, ${\Gamma }_k=\sum _{\begin{array}{l}{m}_1+m_2+\\ +n_1+n_2=k\end{array}}{h}_{m_1{m}_2{n}_1{n}_2}{q}_1^{m_1}{q}_2^{m_2}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2},$ (3.1)

где $m_j,n_j$ – целые неотрицательные числа, $h_{m_1{m}_2{n}_1{n}_2}$ – коэффициенты, зависящие только от параметров системы, а ${\omega }_1>{\omega }_2>0$.

Следуя [3, 4], введем вместо переменных $q_j,p_j$ новые переменные $z_j,Z_j$ при помощи близкого к тождественному канонического унивалентного преобразования $q_1,q_2,p_1,p_2\to z_1,z_2,Z_1,Z_2$, задаваемого неявно формулами

$z_j=\frac{\partial S}{\partial Z_j}$, $p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}$; $j=\mathrm{1,2}$, (3.2)

где

$S=q_1{Z}_1+q_2{Z}_2+S_3+S_4+\cdots +S_k+\cdots$, (3.3)

а $S_k$ – форма степени k относительно $q_1,q_2,Z_1,Z_2$

$S_k=\sum _{\begin{array}{l}{m}_1+m_2+\\ +n_1+n_2=k\end{array}}{s}_{m_1{m}_2{n}_1{n}_2}{q}_1^{m_1}{q}_2^{m_2}{Z}_1^{n_1}{Z}_2^{n_2}$ (3.4)

Из (3.2), (3.3) следует, что $q_j,p_j$ выражаются через новые переменные $z_j,Z_j$ при помощи рядов по степеням $z_1,z_2,Z_1,Z_2$:

$q_j=z_j-\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_j}+\frac{{\partial }^2{S}_3^{*}}{\partial Z_j\partial z_1}\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_1}+\frac{{\partial }^2{S}_3^{*}}{\partial Z_j\partial z_2}\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_2}-\frac{\partial S_4^{*}}{\partial Z_j}+O_4$; $j=\mathrm{1,2}$ (3.5)

$p_j=Z_j+\frac{\partial S_3^{*}}{\partial z_j}-\frac{{\partial }^2{S}_3^{*}}{\partial z_j\partial z_1}\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_1}-\frac{{\partial }^2{S}_3^{*}}{\partial z_j\partial z_2}\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_2}+\frac{\partial S_4^{*}}{\partial z_j}+O_4$; $j=\mathrm{1,2}$ (3.6)

Здесь $S_k^{*}$ – функции $S_k$ из (3.3), (3.4), в которых $q_1,q_2$ заменены на $z_1,z_2$ (т. е. $S_k^{*}=S_k(z_1,z_2,Z_1,Z_2))$; через $O_n$ здесь и далее обозначается совокупность членов не ниже n-й степени относительно $z_1,z_2,Z_1,Z_2$.

Функция Гамильтона в новых переменных получается подстановкой $q_j,p_j$ из (3.5), (3.6) в исходную функцию (3.1). Надлежащим подбором коэффициентов $s_{m_1{m}_2{n}_1{n}_2}$ форм $S_3,S_4,\dots ,S_k$ можно уничтожить в новой функции Гамильтона большинство одночленов и в результате получить функцию, нормализованную до членов k-й степени включительно относительно $z_1,z_2,Z_1,Z_2$.

Если в системе нет резонансов до -го порядка включительно, т. е. $k_1{\omega }_1\ne k_2{\omega }_2$, где $k_1,k_2$ – натуральные числа, причем $k_1+k_2=k$ и $k_2>k_1$, то в симплектических полярных координатах ${\phi }_j,r_j$, вводимых равенствами

$z_j=\sqrt{2r_j}\sin {\phi }_j$, $Z_j=\sqrt{2r_j}\cos {\phi }_j$; $j=\mathrm{1,2}$, (3.7)

нормализованная функция Гамильтона запишется в виде

$K={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+\sum _{2\le i+j\le k/2}{c}_{ij}{r}_1^i{r}_2^j+O\left({(r_1+r_2)}^{(k+1)/2}\right)$, (3.8)

где $i,j$ – целые неотрицательные числа. Если же есть резонанс порядка k, то к правой части равенства (3.8) добавятся еще и слагаемые вида

$r_1^{k_1/2}{r}_2^{k_2/2}\left[{\alpha }_{k_1{k}_2}\sin \right(k_1{\phi }_1-k_2{\phi }_2)+{\beta }_{k_1{k}_2}\cos (k_1{\phi }_1-k_2{\phi }_2\left)\right]$ (3.9)

Коэффициенты $c_{ij}$ в (3.8) и ${\alpha }_{k_1{k}_2},{\beta }_{k_1{k}_2}$ в (3.9) зависят только от параметров системы.

Если в правой части равенства (3.8) отбросить последнее слагаемое, то величины

${\Omega }_j=\frac{\partial K}{\partial r_j}$; $j=\mathrm{1,2}$ (3.10)

будут задавать приближенные значения частот нелинейных колебаний системы в окрестности ее устойчивого положения равновесия.

Замечание. Описанную процедуру нормализации и нахождения частот нелинейных колебаний удобнее проводить, используя вместо вещественных переменных $q_j,p_j$, комплексно сопряженные переменные $u_j,U_j$, вводимые каноническим преобразованием (с валентностью, равной $2i$; i – мнимая единица)

$u_j=p_j+i{q}_j$, $U_j=p_j-i{q}_j$; $j=\mathrm{1,2}$

Исходную функцию Гамильтона (3.1), записанную в переменных $u_j,U_j$, можно привести к нормальной форме классическим преобразованием Биркгофа или при помощи какой-либо из модификаций метода Депри–Хори [3, 4]. Соответствующая каноническая унивалентная замена пременных $u_1,u_2,U_1,U_2\to v_1,v_2,V_1,V_2$ близка к тождественной. Затем осуществляется переход к вещественным канонически сопряженным переменным $z_j,Z_j$ при помощи канонической (с валентностью, равной $1\text{}/\text{}\left(2i\right))$ замены

$z_j=\frac{v_j-V_j}{2i}$, $Z_j=\frac{v_j+V_j}{2}$; $j=\mathrm{1,2}$,

и делается замена (3.7), чтобы получить нормальную форму в переменных ${\phi }_j,r_j$.

Вычисления показывают, что если $k=4$, то явные выражения коэффициентов нормальной формы из (3.8), (3.9) через коэффициенты исходной функции Гамильтона (3.1) можно выписать следующим образом. Введем обозначения

$\begin{array}{l}{a}_{3000}=\frac{1}{4}(h_{0030}-h_{2010}),b_{3000}=\frac{1}{4}(h_{3000}-h_{1020})\\ a_{0300}=\frac{1}{4}(h_{0003}-h_{0201}),b_{0300}=\frac{1}{4}(h_{0300}-h_{0102})\\ a_{2010}=-\frac{1}{4}(3h_{0030}+h_{2010}),b_{2010}=\frac{1}{4}(3h_{3000}+h_{1020})\\ a_{0201}=-\frac{1}{4}(3h_{0003}+h_{0201}),b_{0201}=\frac{1}{4}(3h_{0300}+h_{0102})\\ a_{2001}=\frac{1}{4}(h_{2001}-h_{1110}-h_{0021}),b_{2001}=\frac{1}{4}(h_{2100}+h_{1011}-h_{0120})\\ a_{2100}=-\frac{1}{4}(h_{2001}+h_{1110}-h_{0021}),b_{2100}=\frac{1}{4}(h_{2100}-h_{1011}-h_{0120})\\ a_{1011}=\frac{1}{2}(h_{2001}+h_{0021}),b_{1011}=\frac{1}{2}(h_{2100}+h_{0120})\\ a_{1200}=-\frac{1}{4}(h_{1101}+h_{0210}-h_{0012}),b_{1200}=\frac{1}{4}(h_{1200}-h_{1002}-h_{0111})\\ a_{1101}=-\frac{1}{2}(h_{0210}+h_{0012}),b_{1101}=\frac{1}{2}(h_{1200}+h_{1002})\\ a_{1002}=\frac{1}{4}(h_{1101}-h_{0210}+h_{0012}),b_{1002}=\frac{1}{4}(h_{1200}-h_{1002}+h_{0111})\\ a_{1003}=\frac{1}{8}(h_{1201}+h_{0112}-h_{1003}-h_{0310}),b_{1003}=\frac{1}{8}(h_{1300}+h_{0211}-h_{1102}-h_{0013})\end{array}$ (3.11)

$\begin{array}{c}{\kappa }_1=-\frac{2}{5}(a_{2001}{a}_{1200}+b_{2001}{b}_{1200})+(a_{1002}{a}_{1011}-b_{1002}{b}_{1011})-\\ -(a_{0300}{a}_{1101}+b_{0300}{b}_{1101})+2(a_{0201}{a}_{1002}+b_{0201}{b}_{1002})\\ {\kappa }_2=-\frac{2}{5}(a_{2001}{b}_{1200}-a_{1200}{b}_{2001})-(a_{1002}{b}_{1011}+a_{1011}{b}_{1002})+\\ +(a_{0300}{b}_{1101}-a_{1101}{b}_{0300})-2(a_{0201}{b}_{1002}-a_{1002}{b}_{0201})\end{array}$ (3.12)

При отсутствии резонансов третьего и четвертого порядков (${\omega }_1\ne 2{\omega }_2$ и ${\omega }_1\ne 3{\omega }_2$) нормализованная функция Гамильтона (3.1) имеет вид

$K={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+c_{20}{r}_1^2+c_{11}{r}_1{r}_2+c_{02}{r}_2^2+O\left({(r_1+r_2)}^{5/2}\right)$, (3.13)

где коэффициенты $c_{ij}$ вычисляются по следующим формулам:

$\begin{array}{l}{c}_{20}=\frac{1}{2}(3h_{4000}+h_{2020}+3h_{0040})-2\left[\frac{3}{{\omega }_1}\right(a_{3000}^2+b_{3000}^2+a_{2010}^2+b_{2010}^2)-\\ -\frac{1}{2{\omega }_1-{\omega }_2}(a_{2001}^2+b_{2001}^2)+\frac{1}{{\omega }_2}(a_{1011}^2+b_{1011}^2)+\frac{1}{2{\omega }_1+{\omega }_2}(a_{2100}^2+b_{2100}^2)]\\ c_{11}=h_{2200}+h_{0220}+h_{2002}+h_{0022}-8\left[\frac{1}{{\omega }_1+2{\omega }_2}\right(a_{1200}^2+b_{1200}^2)+\\ +\frac{1}{2{\omega }_1+{\omega }_2}(a_{2100}^2+b_{2100}^2)-\frac{1}{{\omega }_1-2{\omega }_2}(a_{1002}^2+b_{1002}^2)+\frac{1}{2{\omega }_1-{\omega }_2}(a_{2001}^2+b_{2001}^2)+\\ +\frac{1}{{\omega }_1}(a_{2010}{a}_{1101}+b_{2010}{b}_{1101})-\frac{1}{{\omega }_2}(a_{0201}{a}_{1011}-b_{0201}{b}_{1011})]\\ c_{02}=\frac{1}{2}(3h_{0400}+h_{0202}+3h_{0004})-2\left[\frac{3}{{\omega }_2}\right(a_{0300}^2+b_{0300}^2+a_{0201}^2+b_{0201}^2)+\\ +\frac{1}{{\omega }_1-2{\omega }_2}(a_{1002}^2+b_{1002}^2)+\frac{1}{{\omega }_1}(a_{1101}^2+b_{1101}^2)+\frac{1}{{\omega }_1+2{\omega }_2}(a_{1200}^2+b_{1200}^2)]\end{array}$ (3.14)

При резонансе третьего порядка ${\omega }_1=2{\omega }_2$ нормальная форма такова

$K=2{\omega }_2{r}_1+{\omega }_2{r}_2+2r_2\sqrt{2r_1}\left[a_{1002}\cos \right({\phi }_1-2{\phi }_2)-b_{1002}\sin ({\phi }_1-2{\phi }_2\left)\right]+O\left({(r_1+r_2)}^2\right)$ (3.15)

Если нет резонанса третьего порядка, но есть резонанс ${\omega }_1=3{\omega }_2$ четвертого порядка, то нормальная форма функции Гамильтона (3.1) имеет вид

$\begin{array}{c}K=3{\omega }_2{r}_1+{\omega }_2{r}_2+c_{20}{r}_1^2+c_{11}{r}_1{r}_2+c_{02}{r}_2^2-\\ -4r_2\sqrt{r_1{r}_2}\left[\right(a_{1003}+\frac{1}{{\omega }_2}{\kappa }_2\left)\sin \right({\phi }_1-3{\phi }_2)+(b_{1003}+\frac{1}{{\omega }_2}{\kappa }_1\left)\cos \right({\phi }_1-3{\phi }_2\left)\right]+\\ +O\left({(r_1+r_2)}^{5/2}\right)\end{array}$ (3.16)

4. О нормальной форме функции Гамильтона (2.5) консервативной системы. В случае консервативной системы многие коэффициенты форм ${\Gamma }_k$ в разложении (3.1) равны нулю. Так, из (2.5) и (3.1) видно, что из 20-ти коэффициентов формы ${\Gamma }_3$ отличны от нуля только следующие 10 коэффициентов:

$\begin{array}{l}{h}_{3000}={\gamma }_{30},h_{2100}={\gamma }_{21},h_{1200}={\gamma }_{12},h_{0300}={\gamma }_{03}\\ h_{1020}={\gamma }_{1020},h_{1011}={\gamma }_{1011},h_{1002}={\gamma }_{1002}\\ h_{0120}={\gamma }_{0120},h_{0111}={\gamma }_{0111},h_{0102}={\gamma }_{0102},\end{array}$ (4.1)

а из 35-ти коэфициентов формы ${\Gamma }_4$ отличны от нуля только 14 коэффициентов:

$\begin{array}{l}{h}_{4000}={\gamma }_{40},h_{3100}={\gamma }_{31},h_{2200}={\gamma }_{22},h_{1300}={\gamma }_{13},h_{0400}={\gamma }_{04}\\ h_{2020}={\gamma }_{2020},h_{2011}={\gamma }_{2011},h_{2002}={\gamma }_{2002}\\ h_{1120}={\gamma }_{1120},h_{1111}={\gamma }_{1111},h_{1102}={\gamma }_{1102}\\ h_{0220}={\gamma }_{0220},h_{0211}={\gamma }_{0211},h_{0202}={\gamma }_{0202}\end{array}$ (4.2)

В данной статье мы не будем рассматривать нелинейные колебания при наличии резонансов. Получим только, предполагая что ${\omega }_1\ne 2{\omega }_2$ и ${\omega }_1\ne 3{\omega }_2$, выражения для частот ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ нелинейных колебаний (3.10). При этом ограничимся получением только первых поправок к частотам ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ малых колебаний. Эти поправки квадратичны относительно начальных значений величин $q_j,p_j$ $(j=\mathrm{1,2})$ (или, что одно и то же, линейны относительно начальных значений величин $r_1$ и $r_2$). А нормализующую замену переменных (3.5), (3.6) для краткости выпишем только до членов второй степени относительно $z_j,Z_j$ $(j=\mathrm{1,2})$.

Из (3.10)–(3.14) и (4.1), (4.2) получаем

${\Omega }_1={\omega }_1+2c_{20}{r}_1+c_{11}{r}_2$, ${\Omega }_2={\omega }_2+c_{11}{r}_1+2c_{02}{r}_2$, (4.3)

где

$\begin{array}{c}{c}_{20}=\frac{3}{2}{\gamma }_{40}+\frac{1}{2}{\gamma }_{2020}-\frac{3}{4}\frac{{({\gamma }_{30}+{\gamma }_{1020})}^2+4{\gamma }_{30}^2}{{\omega }_1}+\frac{1}{8}\frac{{({\gamma }_{21}-{\gamma }_{0120}+{\gamma }_{1011})}^2}{2{\omega }_1-{\omega }_2}-\\ -\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{21}+{\gamma }_{0120})}^2}{{\omega }_2}-\frac{1}{8}\frac{{({\gamma }_{21}-{\gamma }_{0120}-{\gamma }_{1011})}^2}{2{\omega }_1+{\omega }_2}\\ c_{11}={\gamma }_{22}+{\gamma }_{0220}+{\gamma }_{2002}-\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{12}-{\gamma }_{1002}-{\gamma }_{0111})}^2}{{\omega }_1+2{\omega }_2}-\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{21}-{\gamma }_{1011}-{\gamma }_{0120})}^2}{2{\omega }_1+{\omega }_2}+\\ +\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{12}-{\gamma }_{1002}+{\gamma }_{0111})}^2}{{\omega }_1-2{\omega }_2}-\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{21}+{\gamma }_{1011}-{\gamma }_{0120})}^2}{2{\omega }_1-{\omega }_2}-\\ -\frac{(3{\gamma }_{30}+{\gamma }_{1020})({\gamma }_{12}+{\gamma }_{1002})}{{\omega }_1}-\frac{(3{\gamma }_{03}+{\gamma }_{0102})({\gamma }_{21}+{\gamma }_{0120})}{{\omega }_2}\\ c_{02}=\frac{3}{2}{\gamma }_{04}+\frac{1}{2}{\gamma }_{0202}-\frac{3}{4}\frac{{({\gamma }_{03}+{\gamma }_{0102})}^2+4{\gamma }_{03}^2}{{\omega }_2}-\frac{1}{8}\frac{{({\gamma }_{12}-{\gamma }_{1002}+{\gamma }_{0111})}^2}{{\omega }_1-2{\omega }_2}-\\ -\frac{1}{2}\frac{{({\gamma }_{12}+{\gamma }_{1002})}^2}{{\omega }_1}-\frac{1}{8}\frac{{({\gamma }_{12}-{\gamma }_{1002}-{\gamma }_{0111})}^2}{{\omega }_1+2{\omega }_2}\end{array}$ (4.4)

Из (2.6)–(2.9) и (4.3), (4.4) величины ${\Omega }_1$, ${\Omega }_2$ выражаются через коэффициенты рядов (1.1) и (1.2). И тем самым определяется явная зависимость частот нелинейных колебаний от параметров системы.

Проведя вычисления по описанному в п. 3 алгоритму, найдем, что нормализующую замену переменных (3.5), (3.6) можно представить в виде

$q_j=z_j-\frac{\partial S_3^{*}}{\partial Z_j}+O_3$, $p_j=Z_j+\frac{\partial S_3^{*}}{\partial z_j}+O_3$; $j=\mathrm{1,2}$, (4.5)

где

$S_3^{*}={\sigma }_1{Z}_1+{\sigma }_2{Z}_2+{\sigma }_{111}{Z}_1^3+{\sigma }_{112}{Z}_1^2{Z}_2-{\sigma }_{122}{Z}_1{Z}_2^2+{\sigma }_{222}{Z}_2^3$ (4.6)

$\begin{array}{c}{\sigma }_1=\frac{{\gamma }_{30}}{{\omega }_1}{z}_1^2+\frac{2{\omega }_1({\gamma }_{21}-{\gamma }_{0120})+{\gamma }_{1011}{\omega }_2}{4{\omega }_1^2-{\omega }_2^2}{z}_1{z}_2+\\ +\frac{{\gamma }_{12}({\omega }_1^2-2{\omega }_2^2)-2{\gamma }_{1002}{\omega }_2^2+{\gamma }_{0111}{\omega }_1{\omega }_2}{{\omega }_1({\omega }_1^2-4{\omega }_2^2)}{z}_2^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\sigma }_2=\frac{2{\omega }_1^2({\gamma }_{21}+{\gamma }_{0120})-{\gamma }_{1011}{\omega }_1{\omega }_2-{\gamma }_{21}{\omega }_2^2}{{\omega }_2(4{\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}{z}_1^2-\\ -\frac{2{\omega }_2({\gamma }_{12}-{\gamma }_{1002})+{\gamma }_{0111}{\omega }_1}{{\omega }_1^2-4{\omega }_2^2}{z}_1{z}_2+\frac{{\gamma }_{03}}{{\omega }_2}{z}_2^2\end{array}$

${\sigma }_{111}=\frac{1}{3}\frac{2{\gamma }_{30}+{\gamma }_{1020}}{{\omega }_1}$, ${\sigma }_{112}=\frac{2{\omega }_1^2({\gamma }_{21}+{\gamma }_{0120})+{\gamma }_{1011}{\omega }_1{\omega }_2-{\gamma }_{0120}{\omega }_2^2}{{\omega }_2(4{\omega }_1^2-{\omega }_2^2)}$

${\sigma }_{122}=\frac{2{\omega }_2^2({\gamma }_{12}+{\gamma }_{1002})+{\gamma }_{0111}{\omega }_1{\omega }_2-{\gamma }_{1002}{\omega }_1^2}{{\omega }_1({\omega }_1^2-4{\omega }_2^2)}$, ${\sigma }_{222}=\frac{1}{3}\frac{2{\gamma }_{03}+{\gamma }_{0102}}{{\omega }_2}$

5. Условно-периодические колебания при отсуствии резонансов до четвертого порядка. Рассмотрим приближенную систему с функцией Гамильтона $K^{\left(0\right)}$, получаемой из функции (3.13) полной системы отбрасыванием членов выше четвертой степени относительно $r_1^{1/2},r_2^{1/2}$

$K^{\left(0\right)}={\omega }_1{r}_1+{\omega }_2{r}_2+c_{20}{r}_1^2+c_{11}{r}_1{r}_2+c_{02}{r}_2^2$ (5.1)

Пусть функция  является невырожденной, т. е. определитель

$\begin{array}{l}\\ D_2=\det ||\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{K}^{\left(0\right)}}{\partial r_1^2}& \frac{{\partial }^2{K}^{\left(0\right)}}{\partial r_1\partial r_2}\\ \frac{{\partial }^2{K}^{\left(0\right)}}{\partial r_2\partial r_1}& \frac{{\partial }^2{K}^{\left(0\right)}}{\partial r_2^2}\end{array}||=4c_{20}{c}_{02}-c_{11}^2\end{array}$ (5.2)

отличен от нуля. Тогда, согласно КАМ-теории [1, 2], в малой окрестности положения равновесия $r_1=r_2=0$ движения полной системы с функцией Гамильтона (3.13) будут для большинства начальных значений $r_j\left(0\right)$ величин $r_j$ $(j=\mathrm{1,2})$ условно – периодическими с рационально независимыми частотами, задаваемыми равенствами (4.3), в которых $r_j=r_j\left(0\right)$. Это большинство начальных значений образует множество, называемое колмогоровским. Мера множества начальных значений, не принадлежащих колмогоровскому множеству, является малой. В окрестности $r_1+r_2<\epsilon$ его относительная мера имеет порядок ${\epsilon }^{(k-3)/4}$, где k – порядок до которого отсутствуют резонансы $k_1{\omega }_1=k_2{\omega }_2$.

Пример 1. Колебания материальной точки на неподвижной поверхности. В качестве иллюстрации рассмотрим конкретную задачу. Пусть материальная точка весом $mg$ движется в однородном поле тяжести, все время оставаясь на неподвижной абсолютно гладкой поверхности. Движение отнесем к системе координат $Oxyz$, ось $Oz$ которой направлена вертикально вверх, а оси $Ox$ и $Oy$ параллельны линиям кривизны поверхности в начале координат. Уравнение поверхности запишется в виде сходящегося ряда

$z=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{{\rho }_1}+\frac{y^2}{{\rho }_2}\right)+\sum _{k=3}^{\infty }{Z}_k$, $Z_k=\sum _{{\nu }_1+{\nu }_2=k}{z}_{{\nu }_1{\nu }_2}{x}^{{\nu }_1}{y}^{{\nu }_2}$, (5.3)

где ${\rho }_1,{\rho }_2$ – главные радиусы кривизны поверхности (полагаем, что ${\rho }_2>{\rho }_1>0$), а ${\nu }_1,{\nu }_2$ – целые неотрицательные числа.

Потенциальная и кинетическая энергии точки вычисляются по формулам

$\Pi =mgz$, $T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)$, $\dot{z}=\frac{\partial z}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial z}{\partial y}\dot{y}$ (5.4)

Нормальные координаты ${\theta }_1,{\theta }_2$ введем равенствами

${\theta }_1=\sqrt{m}x$, ${\theta }_2=\sqrt{m}y$ (5.5)

Для частот ${\omega }_1,{\omega }_2$ малых линейных колебаний имеем следующие выражения

${\omega }_1^2=\frac{g}{{\rho }_1}$, ${\omega }_2^2=\frac{g}{{\rho }_2}$; ${\omega }_1>{\omega }_2>0$ (5.6)

Потенциальная и кинетическая энергии (5.4) в нормальных координатах ${\theta }_1,{\theta }_2$ запишутся в виде рядов (1.1) и (1.2). Коэффициенты членов ряда (1.1) до четвертой степени включительно таковы:

$p_{30}=\frac{g}{\sqrt{m}}{z}_{30}$, $p_{21}=\frac{g}{\sqrt{m}}{z}_{21}$, $p_{12}=\frac{g}{\sqrt{m}}{z}_{12}$, $p_{03}=\frac{g}{\sqrt{m}}{z}_{03}$ (5.7)

$p_{40}=\frac{g}{m}{z}_{40}$, $p_{31}=\frac{g}{m}{z}_{31}$, $p_{22}=\frac{g}{m}{z}_{22}$, $p_{13}=\frac{g}{m}{z}_{13}$, $p_{04}=\frac{g}{m}{z}_{04}$ (5.8)

Коэффициенты всех шести членов третьей степени относительно ${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ в (1.2) равны нулю, а из девяти коэффициентов членов четвертой степени отличны от нуля только три коэффициента:

$t_{2020}=\frac{1}{2m{\rho }_1^2}$, $t_{1111}=\frac{1}{m{\rho }_1{\rho }_2}$. $t_{0202}=\frac{1}{2m{\rho }_2^2}$ (5.9)

Рассмотрим случай, когда отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно, т. е. ${\omega }_1\ne 2{\omega }_2$ и ${\omega }_1\ne 3{\omega }_2$ (или, что то же самое, ${\rho }_2\ne 4{\rho }_1$ и ${\rho }_2\ne 9{\rho }_1$). Из (5.6)–(5.9), (2.3), (2.6)–(2.9) и формул (4.4) находим выражения для величин $c_{ij}$, нужных для вычисления частот (4.3) нелинейных колебаний:

$c_{20}=\frac{{\rho }_1}{2m}[3z_{40}-\frac{1}{2{\rho }_1^3}-\frac{15}{2}{\rho }_1{z}_{30}^2-\frac{{\rho }_2(3{\rho }_1-8{\rho }_2)}{2({\rho }_1-4{\rho }_2)}{z}_{21}^2]$

$c_{11}=\frac{\sqrt{{\rho }_1{\rho }_2}}{m}[z_{22}+\frac{2{\rho }_1{\rho }_2}{{\rho }_1-4{\rho }_2}{z}_{21}^2-\frac{2{\rho }_1{\rho }_2}{4{\rho }_1-{\rho }_2}{z}_{12}^2-3{\rho }_1{z}_{30}{z}_{12}-3{\rho }_2{z}_{03}{z}_{21}]$

$c_{02}=\frac{{\rho }_2}{2m}[3z_{04}-\frac{1}{2{\rho }_2^3}-\frac{15}{2}{\rho }_2{z}_{03}^2-\frac{{\rho }_1(8{\rho }_1-3{\rho }_2)}{2(4{\rho }_1-{\rho }_2)}{z}_{12}^2]$ (5.10)

Если определитель (5.2) отличен от нуля, то движение материальной точки для большинства начальных условий будет условно-периодическим с частотами ${\Omega }_1$ и , задаваемыми равенствами (4.3). В окрестности $r_1+r_2<\epsilon$ относительная мера дополнения к этому большинству имеет порядок ${\epsilon }^{1/4}$.

Пример 2. О нелинейных колебаниях двойного маятника. Маятник образован двумя твердыми стержнями, которые соединены своими концами при помощи шарнира. Первый из стержней подвешен его свободным концом к неподвижной точке. В остальном стержни могут свободно перемещаться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку подвеса первого стержня. Движение происходит в однородном поле тяжести.

Существует устойчивое положение равновесия маятника, когда стержни висят вдоль вертикали снизу от точки подвеса. Вблизи положения равновесия первый и второй стержни отклонены от вертикали на малые углы $\phi$ и $\psi$ соответственно.

Система имеет две степени свободы, величины $\phi$ и $\psi$ примем за обобщенные координаты. Пусть стержни являются тонкими и однородными, имеют одинаковую длину l и одинаковый вес $mg$. Для потенциальной и кинетической энергий можно получить следующие выражения [7]:

$\Pi =mgl(3{\sin }^2\frac{\phi }{2}+{\sin }^2\frac{\psi }{2})$, $T=\frac{1}{2}m{l}^2[\frac{4}{3}{\dot{\phi }}^2+\cos (\phi -\psi )\dot{\phi }\dot{\psi }+\frac{1}{3}{\dot{\psi }}^2]$ (5.11)

В нормальных координатах ${\theta }_1,{\theta }_2$, вводимых по формулам [7]

$\phi =-\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{3}{7m}}\left[\right(1+\sqrt{7}){\theta }_1+(1-\sqrt{7}\left){\theta }_2\right]$, $\psi =\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{3}{7m}}\left[\right(5+\sqrt{7}){\theta }_1+(5-\sqrt{7}\left){\theta }_2\right]$, (5.12)

потенциальная энергия $\Pi$ представляется рядом (1.1), в котором

${\omega }_1^2=3(1+\frac{2\sqrt{7}}{7})\frac{g}{l}$, ${\omega }_2^2=3(1-\frac{2\sqrt{7}}{7})\frac{g}{l}$, (5.13)

а формы ${\Pi }_k$ имеют четную степень; коэффициенты формы ${\Pi }_4$ задаются равенствами

$\begin{array}{l}{p}_{40}=-\frac{3(125+46\sqrt{7})}{784}\frac{g}{m{l}^3},p_{31}=-\frac{27(3+\sqrt{7})}{196}\frac{g}{m{l}^3},p_{22}=-\frac{243}{392}\frac{g}{m{l}^3}\\ p_{13}=-\frac{27(3-\sqrt{7})}{196}\frac{g}{m{l}^3},p_{04}=-\frac{3(125-46\sqrt{7})}{784}\frac{g}{m{l}^3}\end{array}$ (5.14)

Кинетическая энергия T в нормальных координатах записывается в виде ряда (1.2), в котором коэффициенты при ${\dot{\theta }}_1^2,{\dot{\theta }}_1{\dot{\theta }}_2,{\dot{\theta }}_2^2$ – четные функции ${\theta }_1,{\theta }_2$, причем

$\begin{array}{l}{t}_{2020}=\frac{27}{196}\frac{37+14\sqrt{7}}{m{l}^2},t_{1120}=\frac{27}{98}\frac{2+\sqrt{7}}{m{l}^2},t_{0220}=-\frac{27}{196}\frac{5-2\sqrt{7}}{m{l}^2}\\ t_{2011}=-\frac{9}{98}\frac{8+3\sqrt{7}}{m{l}^2},t_{1111}=-\frac{9}{49m{l}^2},t_{0211}=-\frac{9}{98}\frac{8-3\sqrt{7}}{m{l}^2}\\ t_{2002}=-\frac{27}{196}\frac{5+2\sqrt{7}}{m{l}^2},t_{1102}=\frac{27}{98}\frac{2-\sqrt{7}}{m{l}^2},t_{0202}=\frac{27}{196}\frac{37-14\sqrt{7}}{m{l}^2}\end{array}$ (5.15)

Опираясь на описанную структуру разложений (1.1), (1.2) и равенства (2.6)–(2.9), (4.3), (4.4) и (5.13)–(5.15), получаем коэффициенты функции $K^{\left(0\right)}$ из (5.1):

$c_{20}=-\frac{3}{1568}\frac{1409+528\sqrt{7}}{m{l}^2},c_{11}=\frac{9\sqrt{21}}{392m{l}^2},c_{02}=-\frac{3}{1568}\frac{1409-528\sqrt{7}}{m{l}^2}$ (5.16)

Условие невырожденности функции $K^{\left(0\right)}$ выполнено, так как для определителя (5.2) из равенств (5.16) имеем такое выражение

$D_2=\frac{297333}{614656m^2{l}^4}\ne 0$

Отметим следующее важное обстоятельство: рассматриваемая задача о нелинейных колебаниях двойного маятника в окрестности его устойчивого равновесия на вертикали является нерезонансной. Действительно, если $k_1{\omega }_1=k_2{\omega }_2$, то из (5.13) следует, что

$\sqrt{7}=\frac{3k_2^2-11k_1^2}{4k_1^2}$,

но последнее равенство невозможно, так как число $\sqrt{7}$ иррациональное.

Для большинства начальных значений $r_j\left(0\right)$ колебания маятника будут условно-периодическими с частотами (4.3), вычисляемыми при $r_j=r_j\left(0\right)$. Дополнение к этому колмогоровскому большинству начальных условий имеет малую относительную меру в окрестности $r_1+r_2<\epsilon$. Ввиду отмеченной выше нерезонансности задачи о колебаниях, эта мера экспоненциально мала [1]: она имеет порядок $\exp (-\frac{c_1}{{\epsilon }^{c_2}})$, $c_1,c_2$ – const > 0.

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда № 24-11-00162, https://rscf.ru/project/24-11-00162/ в Московском авиационном институте (Национальном исследовательском университете).

About the authors

A. P. Markeev

Author for correspondence.
Email: anat-markeev@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files