Стабилизация регулярных прецессий спутника при помощи моментов сил Лоренца

Texto integral

ВВЕДЕНИЕ

Магнитные системы ориентации и стабилизации, основанные на различных типах электродинамического взаимодействия спутника с магнитным полем Земли, получили широкое распространение. Важным классом движений спутника относительно центра масс выступают стационарные движения (положения относительного равновесия и регулярные прецессии) в том случае, когда центр масс спутника движется по круговой орбите. Устойчивость этих движений при действии гравитационных, аэродинамических и магнитных моментов рассмотрена в исследованиях [1–3]. В отсутствие диссипативных сил характер устойчивости не является асимптотическим, и вопрос о стабилизации этих движений тем или иным способом представляет практический интерес. Стабилизация положений относительного равновесия при помощи магнитных моментов различной природы рассмотрена в работах [4–6], а с учетом аэродинамических сил — в статье [7]. Обзор работ по управлению ориентацией космических аппаратов при помощи магнитных моментов содержится в публикациях [8, 9]. Стабилизация регулярных прецессий при помощи магнитных моментов, формирующихся за счет взаимодействия собственного магнитного момента спутника с геомагнитным полем, изучена в исследовании [10], там же представлен краткий обзор работ этого направления.

В настоящей работе рассматривается задача стабилизации регулярных прецессий симметричного спутника при помощи моментов лоренцевых сил, действующих на заряженную часть поверхности спутника. В этом случае управляющий момент отличается от управляющего момента, создаваемого магнитными катушками [11–13].

В работе применяется тот же строгий аналитический подход к решению поставленной задачи, что и в предыдущих наших работах [4, 5, 10]. Он заключается в приведении исходной нестационарной системы к стационарной системе большей размерности, для которой проводится анализ управляемости и строится оптимальный алгоритм стабилизации, основанный на LQR-методе (англ. Linear quadratic regulator) на бесконечном интервале времени. Этот подход позволяет построить управление в виде обратной связи с постоянными коэффициентами, обеспечивающее асимптотическую устойчивость стационарной системы. Полученное стабилизирующее управление вводится в исходную нестационарную систему при помощи дополнительных переменных, которые выбираются таким образом, чтобы преобразование от исходных переменных к переменным приведенной стационарной системы было невырожденным и ограниченным.

Работоспособность и эффективность предлагаемого алгоритма стабилизации подтверждается математическим моделированием.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается движение динамически симметричного спутника около центра масс в гравитационном и магнитных полях Земли. Предполагается, что центр масс спутника движется по круговой орбите.

Системы координат и уравнения движения

Используются две правые системы координат:

• OXYZ — орбитальная система координат с началом в центре масс спутника: ось OZ направлена по радиус-вектору центра масс относительно притягивающего центра (центра Земли); ось OY — по нормали к плоскости орбиты; ось OX дополняет систему до правой тройки;
• Oxyz — полусвязная система координат (не участвующая в собственном вращении): ось Oz направлена по оси динамической симметрии спутника. Положение оси Oz задается двумя углами : $\alpha ,$ $\beta$:$\alpha$ — угол поворота вокруг оси OX, который переводит систему координат OXYZ в систему $O{X}^{\text{'}}{Y}^{\text{'}}{Z}^{\text{'}};$ $\beta$ — угол поворота вокруг оси $O{Y}^{\text{'}},$ который переводит систему координат $O{X}^{\text{'}}{Y}^{\text{'}}{Z}^{\text{'}}$ в систему Oxyz. Третий угол $\phi$ — угол собственного вращения. Ориентация системы Oxyz относительно орбитальной системы координат OXYZ определяется таблицей направляющих косинусов $\text{Θ}$ [14]

$\begin{array}{cccc}& e_{\tau }& e_n& e_r\\ x& \cos \beta & \sin \alpha \cdot \sin \beta & -\cos \alpha \cdot \sin \beta \\ y& 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ z& \sin \beta & -\sin \alpha \cdot \cos \beta & \cos \alpha \cdot \cos \beta \end{array}$

Здесь ${\mathbf{e}}_{\tau },{\mathbf{e}}_n,{\mathbf{e}}_r$ — единичные векторы по направлениям касательной, нормали и радиус-вектора орбитальной системы координат.

Абсолютная угловая скорость спутника $\omega ={\mathbf{\omega }}_c+\dot{\phi }\mathbf{k}$ (где k — единичный вектор оси симметрии; ${\mathbf{\omega }}_{\mathbf{c}}$ — угловая скорость системы координат Oxyz) в проекциях на собственные оси имеет вид

$\begin{array}{l}{\omega }_x=\dot{\alpha }\cos \beta +{\omega }_o \sin \alpha \cdot \sin \beta ,\\ {\omega }_y=\dot{\beta }+{\omega }_o\cos \alpha ,\\ {\omega }_z=\dot{\alpha }\sin \beta -{\omega }_o\sin \alpha \cdot \cos \beta +\dot{\phi }.\end{array}$

Здесь ${\omega }_o$ — величина угловой скорости орбитального движения. Динамические уравнения движения спутника около центра масс имеют вид

$J\dot{\omega }+{\omega }_{c}J\omega =M_g+M_u.$

Здесь $J=\text{diag(}{J}_1,J_1,J_3\text{)},$ $J_j$ — главные центральные моменты инерции спутника; $M_g=3{\omega }_o^2\left(e_{r}J{e}_r\right)$ — гравитационный момент; $M_u$ — управляющий момент, который создается за счет лоренцевых сил, возникающих из-за движения заряженной поверхности спутника в магнитном поле Земли [11–13]; $M_u=q\overrightarrow{\rho }\times {\Theta }^T\left({\overrightarrow{V}}_c\times \overrightarrow{B}\left(t\right)\right);$ q — электростатический заряд; $\rho$ — радиус-вектор центра заряда спутника относительно его центра масс; $V_c$ — скорость центра масс спутника; B(t) — вектор индукции геомагнитного поля, которое аппроксимируется прямым магнитным диполем в орбитальной системе координат [15].

$B\left(t\right)=\frac{{\mu }_e}{R^3}\left(\begin{array}{c}\cos {\omega }_{0}t\cdot \sin I\\ -\cos I\\ 2\sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I\end{array}\right)=\frac{{\mu }_e}{R^3}(b_1{e}_{\tau }+b_2{e}_n+b_3{e}_r),$

где $b_1=\cos {\omega }_{0}t\cdot \sin I;$ $b_2=-\cos I;$ $b_3=2\sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I;$   I — угол наклона плоскости орбиты спутника к плоскости экватора; ${\mu }_e$ — постоянная магнитного поля Земли; R — радиус орбиты центра масс спутника.

В полусвязной системе координат вектор $B\left(t\right)=\frac{{\mu }_e}{R^3}\left(B_1{B}_2{B}_3\right),$ где

$\begin{array}{l}{B}_1=b_1\cos \beta +b_2\sin \alpha \cdot \sin \beta -b_3\cos \alpha \cdot \sin \beta ,\\ B_2=b_2\cos \alpha +b_3\sin \alpha ,\\ B_3=b_1\sin \beta -b_2\sin \alpha \cdot \cos \beta +b_3\cos \alpha \cdot \cos \beta .\end{array}$

Далее будем считать, что центр заряда поверхности спутника расположен на оси симметрии спутника, т.е. $\rho ={\left(\mathrm{0,0,}{z}_0\right)}^T.$

Компоненты гравитационного M_g и управляющего момента M_u в системе координат Oxyz имеют вид

$\begin{array}{l}{M}_{g1}=3{\omega }_0^2(J_3-J_1)\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta ,\\ M_{g2}=3{\omega }_0^2(J_3-J_1){\cos }^2\alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta ,\\ M_{g3}=\mathrm{0,}\end{array}$

$\begin{array}{l}{M}_{u1}=m(2\cos \alpha \cdot \sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I+\sin \alpha \cdot \cos I),\\ M_{u2}=m\left(\sin \beta (2\sin \alpha \cdot \sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I-\cos \alpha \cdot \cos I)\right),\\ M_{u3}=\mathrm{0,}\end{array}$

где $m=\frac{{\mu }_e{\omega }_{0}q{z}_0}{R^2}$ — управляющее воздействие.

Уравнения движения с учетом полученных выражений для моментов представляются в виде

$\left\{\begin{array}{l}{J}_1\ddot{\alpha }\cos \beta -2J_1\dot{\alpha }\ddot{\beta }\sin \beta +(2J_1{\omega }_0\sin \alpha \cdot \cos \beta +J_3{r}_0)\dot{\beta }+J_3{r}_0{\omega }_0\cos \alpha +\\ +{\omega }_0^2(4J_1-3J_3)\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta =m(2\sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I\cdot \cos \alpha +\cos I\cdot \sin \alpha ),\\ J_1\ddot{\beta }+J_1{\dot{\alpha }}^2\sin \beta \cdot \cos \beta -\left(2J_1{\omega }_0\sin \alpha \cdot {\cos }^2 \beta +J_3{r}_0\cos \beta \right)\dot{\alpha }-J_1{\omega }_0^2{\sin }^2\alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta -\\ -J_3{r}_0{\omega }_0\sin \alpha \cdot \sin \beta +3{\omega }_0^2(J_1-J_3){\cos }^2 \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta =\\ =m(-2\sin {\omega }_{0}t\cdot \sin I\cdot \sin \alpha ⟨\sin \beta +\cos I\cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha ).\end{array}\right.$

Здесь $r_0=\dot{\alpha }\sin \beta -{\omega }_0\sin \alpha \cdot \cos \beta +\dot{\phi }.$

Переходя в уравнениях к безразмерным переменным, вводя обозначения $\tau ={\omega }_{0}t,$ $u=m{\omega }_0/R^2,$ $a=r_0/{\omega }_0,$ $b=J_3/J_1$  и при этом сохраняя старые обозначения для дифференцирования по $\tau ,$ получим

$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\ddot{\alpha }\cos \beta -2\dot{\alpha }\dot{\beta }\sin \beta +(2\sin \alpha \cdot \cos \beta +ab)\dot{\beta }+ab\cos \alpha +(4-3b)\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta =\\ =u(2\sin \tau \cdot \sin I\cdot \cos \alpha +\cos I\cdot \sin \alpha ),\\ \ddot{\beta }+{\dot{\alpha }}^2\sin \beta \cdot \cos \beta -(2\sin \alpha \cdot {\cos }^2\beta +ba\cos \beta )\dot{\alpha }-{\sin }^2\alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta -ab\sin \alpha \cdot \sin \beta +\\ +3(1-b){\cos }^2\alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta =u(-2\sin \tau \cdot \sin I\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta +\cos I\cdot \sin \beta \cdot \cos \alpha ).\end{array}\end{array}\right.$

Стационарные движения

В отсутствие управляющих моментов (m = 0) уравнения движения допускают стационарные решения (регулярные прецессии)

$\alpha ={\alpha }_0,$ $\beta ={\beta }_0,$ $\dot{\alpha }=\mathrm{0,}$ $\dot{\beta }=\mathrm{0,}$ $\dot{\phi }=\text{Ω}=\text{const.}$

Уравнения стационарных движений

$\left\{\begin{array}{l}\cos {\alpha }_0\left(ab+(4-3b)\sin {\alpha }_0\cdot \cos {\beta }_0\right)=\mathrm{0,}\\ \sin {\beta }_0\left(3(b-1){\cos }^2 {\alpha }_{0 }\cdot \cos {\beta }_0+ab\sin {\alpha }_0+{\sin }^2{\alpha }_0\cdot \cos {\beta }_0\right)=0\end{array}\right.$

имеют известные решения, которые называют [16, 17] цилиндрической, гиперболоидальной и конической прецессиями: 1) $\cos {\alpha }_0=\mathrm{0,}$ $\sin {\beta }_0=\mathrm{0,}$ ось симметрии перпендикулярна плоскости орбиты; 2) $\cos {\alpha }_0=\mathrm{0,}$ $\cos {\beta }_0=-ab,$ ось симметрии перпендикулярна радиус-вектору; 3) $\sin {\alpha }_0=\frac{ab}{3b-4},$ $\sin {\beta }_0=\mathrm{0,}$ ось симметрии перпендикулярна касательной к орбите.

Стабилизация стационарных движений

Требуется построить управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость стационарных движений. Управляющий момент следует формировать в виде обратной связи по компонентам вектора состояния $\alpha ,$ $\beta ,$ $\dot{\alpha },$ $\dot{\beta }.$

Управление строится для линеаризованных уравнений возмущенного движения, которые являются нестационарными. Эти уравнения приводятся к стационарным системам большего порядка. Управляемость в рассматриваемых задачах исследуется как исходя из нестационарных систем, так и анализируя приведенные стационарные системы. Исследование управляемости стационарной системы — необходимый этап для построения корректных алгоритмов стабилизации, основанных на этих системах. Если стационарная система управляема, то управляема и исходная система. Однако неуправляемость стационарной системы (в силу ее избыточности) может и не повлечь неуправляемость исходной системы.

Управляемость стационарных систем можно исследовать, выявляя условия существования в системе линейных интегралов, не зависящих от управления. А затем можно проверить управляемость исходных нестационарных систем в полученных критических случаях.

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К СТАЦИОНАРНЫМ СИСТЕМАМ. УПРАВЛЯЕМОСТЬ

Цилиндрическая прецессия. ${\alpha }_0=\pi /2,$ ${\beta }_0=0.$

В возмущенном движении положим

$\alpha =\frac{\pi }{2}+x_1,$ $\beta =x_2.$

Линеаризованные уравнения управляемого движения являются стационарными и имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{x}}_1+k_1{\dot{x}}_2-k_2{x}_1=u \text{cos }I,\\ {\ddot{x}}_2-k_1{\dot{x}}_1-k_3{x}_2=0.\end{array}\right.$   (1)

Здесь $k_1=2+ab,$ $k_2=4+ab-3b,$ $k_3=1+ab.$

На полярной орбите $\text{(cos}I=0)$ система (1), очевидно, неуправляема.

Используя критерий Калмана, можно показать, что исходная стационарная система (1) неуправляема при $k_1=0$ или при $k_3=0.$ Это означает, что система неуправляема при выполнении одного из соотношений $2+ab=0$ и $1+ab=\mathrm{0,}$ т.е. $\text{Ω}={\omega }_0\left(1-2/b\right)$ или $\text{Ω}={\omega }_0\left(1-1/b\right).$

Ранее рассматривалась задача стабилизации при помощи моментов, создаваемых за счет взаимодействия собственного магнитного момента спутника с геомагнитным полем [10]. В этом случае система неуправляема на экваториальной орбите или при одновременном выполнении следующих условий: $b=1$ и $a=-2.$

Гиперболоидальная прецессия. ${\alpha }_0=\pi /2,$ $\text{cos} {\beta }_0=-ab.$

В возмущенном движении положим

$\alpha =\frac{\pi }{2}+x_1,$ $\beta ={\beta }_0+x_2.$

Линеаризованные уравнения управляемого движения имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{x}}_1+{\dot{x}}_2+k{x}_1=u{d}_1^2,\\ {\ddot{x}}_2-{\cos }^2 {\beta }_0{\dot{x}}_1+{\sin }^2{\beta }_0{x}_2=u{d}_2^2\sin \tau .\end{array}\right.$  (2)

Здесь $k=3(b-1),$ $d_1^2=\frac{\cos I}{\cos {\beta }_0}$ и $d_2^2=-2\sin {\beta }_0\cdot \sin I.$

Согласно [18] введем новые переменные $y_j(j=\mathrm{1,}\dots ,6)$ по формулам

$\begin{array}{l}{x}_1=y_1\cos \tau +y_3\sin \tau +y_5,\\ x_2=y_2\cos \tau +y_4\sin \tau +y_6.\end{array}$   (3)

Новые переменные удовлетворяют стационарной системе

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{y}}_1+{\dot{y}}_2+2{\dot{y}}_3+l{y}_1+y_4=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_2-{\cos }^2{\beta }_0{\dot{y}}_1+2{\dot{y}}_4-{\cos }^2{\beta }_0{y}_2-{\cos }^2{\beta }_0{y}_3=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_3-2{\dot{y}}_1+{\dot{y}}_4-y_2+l{y}_3=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_4-2{\dot{y}}_2-{\cos }^2{\beta }_0{\dot{y}}_3+{\cos }^2{\beta }_0{y}_1-{\cos }^2{\beta }_0{y}_4=u{d}_2^2.\\ {\ddot{y}}_5+{\dot{y}}_6+k{y}_5=u{d}_1^2,\\ {\ddot{y}}_6-{\cos }^2{\beta }_0{\dot{y}}_5+{\sin }^2{\beta }_0{y}_6=0.\end{array}\right.$   (4)

Здесь $l=k-1.$

Рассмотрим управляемость нестационарной системы (2) и стационарной системы (4).

Если орбита экваториальная $\text{(sin}I=0),$ то система (2) становится стационарной, и она является управляемой при $\text{sin }{\beta }_0\ne 0.$

На экваториальной орбите система (2) является стационарной, и вводить новые переменные не требуется. Система является управляемой при любых параметрах.

Если орбита полярная $\text{(cos }I=0),$ то $d_1^2=\mathrm{0,}$ и вводить переменные $y_5,$ $y_6$ не требуется. В этом случае условие неуправляемости как для системы (2), так и для системы (4) примет вид $b=\mathrm{1,}$ т.е. $J_3=J_1$ или $\text{sin }{\beta }_0=0.$

Если орбита не является ни экваториальной, ни полярной, то как система (2), так и (4) управляема при $b\ne 1$ и $\text{sin }{\beta }_0\ne 0.$

При стабилизации за счет взаимодействия собственного магнитного момента спутника с геомагнитным полем [10] система неуправляема на полярной и экваториальной орбите, только если $b=1.$ Если орбита не является ни экваториальной, ни полярной, то система управляема при любых параметрах.

Коническая прецессия.  $\text{sin}{\alpha }_0=\frac{ab}{3b-4},$ ${\beta }_0=0.$

В возмущенном движении положим

$\alpha ={\alpha }_0+x_1,$ $\beta =x_2.$

В этом случае линеаризованные уравнения управляемого движения имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{x}}_1+n_1{\dot{x}}_2+n_2{x}_1=u(d_1+d_2\text{sin }\tau ),\\ {\ddot{x}}_2-n_1{\dot{x}}_1+n_3{x}_2=0.\end{array}\right.$    (5)

Здесь $n_1=(3b-2)\sin {\alpha }_0,$ $n_2=(4-3b){\cos }^2 {\alpha }_0,$ $n_3=3(1-b),$ $d_1^3=\sin {\alpha }_0\cdot \cos I,$ $d_2^3=2\cos {\alpha }_0\cdot \sin I.$

Как и выше, согласно [18] введем новые переменные $y_j(j=\mathrm{1,}\dots ,6)$ по формулам (3). Новые переменные удовлетворяют стационарной системе

$\left\{\begin{array}{l}{\ddot{y}}_1+n_1{\dot{y}}_2+2{\dot{y}}_3+{\tilde{n}}_2{y}_1+n_1{y}_4=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_2-n_1{\dot{y}}_1+2{\dot{y}}_4+{\tilde{n}}_3{y}_2-n_1{y}_3=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_3-2{\dot{y}}_1+n_1{\dot{y}}_4-n_1{y}_2+{\tilde{n}}_2{y}_3=u{d}_2^3,\\ {\ddot{y}}_4-2{\dot{y}}_2-n_1{\dot{y}}_3+n_1{y}_1+{\tilde{n}}_3{y}_4=\mathrm{0,}\\ {\ddot{y}}_5+n_1{\dot{y}}_6+n_2{y}_5=u{d}_1^3,\\ {\ddot{y}}_6-n_1{\dot{y}}_5+n_3{y}_6=0.\end{array}\right.$   (6)

Здесь ${\tilde{n}}_2=n_2-\mathrm{1,}$ ${\tilde{n}}_3=n_3-1.$

Если $\text{cos }{\alpha }_0=\mathrm{0,}$ или $b=\mathrm{1,}$ или $b=2/3,$ то система (5) неуправляема при любом $I$.

На экваториальной орбите $(\sin I=0)$ у системы (5) появляется дополнительное условие неуправляемости: $\sin {\alpha }_0=0.$

На полярной орбите $(\cos I=0)$ появляется дополнительное условие неуправляемости системы (5): $\cos {\alpha }_0=0.$

Для расширенной стационарной системы (6) помимо вышеперечисленных существует условие неуправляемости ${\sin }^2 {\alpha }_0=1/2.$

При стабилизации за счет взаимодействия собственного магнитного момента спутника с геомагнитным полем [10] на экваториальной орбите система неуправляема, если $b=2/3$ или $b=1.$ На полярной орбите система неуправляема, если $b=2/3$ или ${\sin }^2{\alpha }_0=1/2.$ Если орбита не является ни экваториальной, ни полярной, то система управляема при любых параметрах.

Построение стабилизирующего управления

Способ построения алгоритма стабилизации

Для гиперболоидальной и конической прецессий поведение вектора $x={\left(x_1{x}_2\right)}^T$ исходной системы описывается нестационарными системами (2) и (5) соответственно. Для построения алгоритмов стабилизации эти системы должны быть представлены в форме Коши:

 $\left\{\begin{array}{c}\dot{X}=A_{x}X+B_{x}u,X=\left[\begin{array}{c}x\\ \dot{x}\end{array}\right],\\ A_x=\left[\begin{array}{cc}{O}_2& E_2\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right],A_{21}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}^j& 0\\ 0& a_{22}^j\end{array}\right),A_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& a_{14}^j\\ a_{23}^j& 0\end{array}\right),B_x=\left[\begin{array}{c}{O}_{21}\\ B_{21}\end{array}\right],B_{21}=\left(\begin{array}{c}{b}_1^j\\ b_2^j\end{array}\right).\end{array}\right.$   (7)

Одна из основных идей предлагаемого метода состоит в использовании построенных стационарных систем (4) и (6) для выбора стабилизирующего управления. Это алгоритмизированный, устойчивый в работе способ, удобный для применения (см. работы [4, 5, 10, 18]).

Задача стабилизации состоит в том, чтобы построить управление, обеспечивающее при $\tau \to \infty$ стремление к нулю компонент вектора состояния $Y$ системы, полученной из указанных стационарных систем:

$\dot{Y}=A_{y}Y+B_{y}u,Y=\left(\begin{array}{l}y\\ \dot{y}\end{array}\right).$   (8)

Предполагается, что пара $A_y,$ $B_y$ управляема. Матрицу коэффициентов управления можно выбрать из условия минимума квадратичного функционала

 $J=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{Y}^{T}QY+\gamma u^2 \text{d}\tau \text{,}$

где $Q$ — неотрицательно определенная постоянная матрица соответствующей размерности, $\gamma = \text{const.}$  Оптимальное управление имеет вид [19]

$u=-K_{y}Y\left(\tau \right),$ $K_y=\frac{1}{\gamma }{B}_y^{T}P.$

Матрица $P$ размерности $2n\times 2n$ является решением матричного уравнения Риккати

$\dot{P}=-P{A}_y-A_{y}P+\frac{1}{\gamma }P{B}_y{B}_y^{T}P-Q.$   (9)

Система (7) стационарна и управляема, поэтому уравнение (9) имеет положительно определенное стационарное решение, совпадающее с единственным решением алгебраического уравнения Риккати

$P{A}_y+A_{y}P-\frac{1}{\gamma }P{B}_y{B}_y^{T}P+Q=0.$

Синтезированное на основе расширенной стационарной системы управляющее воздействие является функцией переменных $Y\left(\tau \right)$ стационарной системы более высокого порядка, чем исходная нестационарная система. Для введения управления непосредственно в исходную систему следует выразить вектор $Y$ через вектор $x$ исходной системы, дополненный некоторым вектором $x^{\text{'}},$ и их производные. Вектор $\xi ={(xx\text{'})}^T$ и вектор  связаны соотношением

$\xi =T_{Y}y,$$T_Y=\left[\begin{array}{l}F\left(\tau \right)\\ D\left(\tau \right)\end{array}\right].$   (10)

Дополнительный вектор $x^{\text{'}}$ вводится таким образом, чтобы квадратная матрица $T_Y$ была невырожденной. Введем вектор $\eta ={(\xi \dot{\xi })}^T.$ Тогда управление может быть записано в виде

$u\left(\tau \right)=-K_y{T}_y\left(\tau \right)\eta \left(\tau \right).$   (11)

Уравнения для дополнительного вектора $X\text{'}={(x\text{'}{\dot{x}}^{\text{'}})}^T$ имеют вид

$\dot{X^{\text{'}}}=A^{\text{'}}{X}^{\text{'}}+B\left(\tau \right)u.$   (12)

Расширенная нестационарная система для построения алгоритма стабилизации состоит из исходной системы (7) и системы (12), где управление формируется согласно (11) с учетом формул (10).

Решения этой расширенной нестационарной системы, замкнутой управлением (11), стремятся к нулю при $\tau \to \infty$ в силу выбора матрицы $K_y,$ так как компоненты вектора  связаны с компонентами вектора $\xi$ ограниченным преобразованием (10).

Алгоритм стабилизации регулярных прецессий

1. Цилиндрическая прецессия.

Поскольку система (1) стационарна, то вводить дополнительные переменные не требуется. Процесс стабилизации заключается в нахождении постоянных коэффициентов управления $K_x$ для решения задачи оптимальной стабилизации стационарной системы (на основе алгебраического уравнения Риккати).

2. Гиперболоидальная и коническая прецессии.

Матрицы $F,$ $D$ преобразования (9) имеют вид

$F=\left[E_2\cos \tau E_2\sin \tau E_2\right],$ $D=\left[\begin{array}{ccc}{O}_2& E_2& O_2\\ E_2& O_2& O_2\end{array}\right].$

Матрицы расширенной нестационарной системы (7), (12) в этом случае имеют вид

$A_x=\left[\begin{array}{cc}{O}_2& E_2\\ A_{21}^j& A_{22}^j\end{array}\right],$ $B_x=\left[\begin{array}{c}{O}_{21}\\ B_{21}^j\end{array}\right],$

$A^{\text{'}}=\left[\begin{array}{ll}{O}_{66}& E_6\\ {A^{\text{'}}}_1& {A^{\text{'}}}_2\end{array}\right],$ ${A^{\text{'}}}_1=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{23}^j& -A_{22}^j& O_{22}\\ A_{22}^j& A_{23}^j& O_{22}\\ O_{22}& O_{22}& A_{21}^j\end{array}\right],$ ${A^{\text{'}}}_2=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{22}^j& 2E_2& O_{22}\\ -2E_2& A_{22}^j& O_{22}\\ O_{22}& O_{22}& A_{22}^j\end{array}\right],$

$B^{\text{'}}=\left[\begin{array}{l}{O}_{61}\\ {\tilde{B}}^{\text{'}}\end{array}\right],$ ${\tilde{B}}^{\text{'}}=\left[\begin{array}{c}{O}_{21}\\ B_2^j\\ B_3^j\end{array}\right].$

Для гиперболоидальной прецессии:

$A_{21}^2=\left(\begin{array}{cc}-k& 0\\ 0& -{\sin }^2{\beta }_0\end{array}\right),$ $A_{22}^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ {\cos }^2{\beta }_0& 0\end{array}\right),$ $A_{23}^2=\left(\begin{array}{cc}-l& 0\\ 0& {\cos }^2{\beta }_0\end{array}\right),$

$B_{21}^2=\left(\begin{array}{c}{d}_1^2\\ d_2^2\sin \tau \end{array}\right),$ $B_2^2=\left(\begin{array}{c}0\\ d_2^2\end{array}\right),$ $B_3^2=\left(\begin{array}{c}{d}_1^2\\ 0\end{array}\right).$

Для конической прецессии:

$A_{21}^3=\left(\begin{array}{cc}-n_2& 0\\ 0& -n_3\end{array}\right),$ $A_{22}^3=\left(\begin{array}{cc}0& -n_1\\ n_1& 0\end{array}\right),$ $A_{23}^2=\left(\begin{array}{cc}-{\tilde{n}}_2& 0\\ 0& -{\tilde{n}}_3\end{array}\right),$

$B_{21}^2=\left(\begin{array}{c}{d}_1^3+d_2^3\sin \tau \\ 0\end{array}\right),$ $B_2^2=\left(\begin{array}{c}{d}_2^3\\ 0\end{array}\right),$ $B_3^2=\left(\begin{array}{c}{d}_1^3\\ 0\end{array}\right).$

Таким образом, алгоритм стабилизации нестационарных систем для указанных случаев прецессий состоит из трех этапов:

1) нахождение постоянных коэффициентов управления $K_y$ для решения задачи оптимальной стабилизации соответствующей стационарной системы (на основе алгебраического уравнения Риккати);

2) построение управления в виде соотношений (10) с помощью невырожденных преобразований $T\left(\tau \right);$

3) решение расширенной нестационарной системы, содержащей исходную нестационарную систему (6) и уравнения для вспомогательных переменных (11).

Моделирование

Цель приведенных ниже результатов моделирования — показать принципиальную применимость предложенных алгоритмов и продемонстрировать их работоспособность. Моделирование проводилось при помощи стандартного пакета Wolfram mathematica v11.0. Коэффициенты управления выбирались при помощи стандартной программы LQR для стационарных систем (7).

Наклон орбиты движения спутника $I=\pi /6.$ Начальные отклонения по углам $x_1\left(0\right)=x_2\left(0\right)=0.1;$ по скоростям ${\dot{x}}_1\left(0\right)={\dot{x}}_2\left(0\right)=0.$

Для цилиндрической прецессии и параметров $a=\mathrm{5,}$ $b=\mathrm{1.5,}$ $\gamma =\mathrm{1,}$ $Q=E$ результаты моделирования представлены на рис. 1а, б.

 

Рис. 1

Для цилиндрической прецессии и параметров $a=\mathrm{5,}$ $b=\mathrm{0.5,}$ $\gamma =\mathrm{1,}$ $Q=E$ результаты моделирования представлены на рис. 2а, б.

 

Рис. 2

 

Для гиперболоидальной прецессии и параметров $a=1.5$, $b=\mathrm{0.5,}$ $\gamma =\mathrm{1,}$ $Q=E$ результаты моделирования представлены на рис. 3а, б.

 

Рис. 3

 

Для конической прецессии и параметров $a=-\mathrm{10,}$ $b=\mathrm{0.05,}$ $\gamma =\mathrm{1,}$ $Q=E$  результаты моделирования представлены на рис. 4а, б.

 

Рис. 4

Sobre autores

В. Каленова

Научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Autor responsável pela correspondência
Email: kalenova44@mail.ru
Rússia, Москва

В. Морозов

Научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Email: kalenova44@mail.ru
Rússia, Москва

М. Рак

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Email: kalenova44@mail.ru
Rússia, Москва

Bibliografia

Arquivos suplementares