Профили и некоторые динамические параметры слоисто-неоднородной эллиптической галактики

Полный текст

1. Введение

В работе [1] на основе созданных новых моделей слоисто-неоднородной эллиптической галактики (ЭГ) определены полная гравитационная (потенциальная) энергия и кинетическая энергия вращения эллиптической галактики (ЭГ), ее дисперсия скоростей в зависимости от расстояния. При этом считается, что ЭГ состоит из барионной массы (БМ) и темной материи (ТМ), имеющих разные законы распределения плотности - профили. Для получения точных результатов во всех моделях потенциалы в ряд не разлагаются, а берутся их точные выражения.

Задача о пространственном движении пассивно-гравитирующего тела (ПГТ) в гравитационном поле слоисто-неоднородной ЭГ рассмотрена в работе [2]. Определена область возможности движения ПГТ в силу найденного аналога интеграла Якоби и построены поверхности нулевой скорости. Найдены стационарные решения - точки либрации - и установлена их устойчивость в смысле Ляпунова.

В настоящей работе рассмотрены три новые модели слоисто-неоднородной ЭГ. Модель I: ЭГ представляет собой неоднородный трехосный эллипсоид с полуосями a > b > c; модель II: ЭГ - неоднородный сжатый сфероид (a = b > c), и модель III: ЭГ - неоднородный вытянутый сфероид (a > b = c). В каждой модели рассматриваются два варианта: (а) и (б). Согласно варианту (а), ЭГ состоит только из БМ с профилем ρ(m), а согласно варианту (б), она состоит из БМ и ТМ с профилями ρ₁(m) и ρ₂(m) соответственно. Если рассматривается вариант (а), то в качестве профиля ρ(m) БМ берется либо “астрофизический закон” распределения плотности - “астрофизический” профиль [1], либо аналог профиля NFW [1], либо аналог профиля Хернквиста [1]. Если же рассматривается вариант (б), то в качестве ρ₁(m) берется тот же “астрофизический” профиль, а в качестве ρ₂(m) для ТМ - один из аналогов профилей NFW и Хернквиста. Оригиналы последних профилей, рассмотренных в работах NFW [3] и Хернквиста [4], предназначены для сферически симметричных галактик. Для применения этих профилей к ЭГ мы внесли соответствующие изменения, полученные профили были названы аналогами профилей [1].

На основе этих моделей определены гравитационная (потенциальная) энергия и кинетическая энергия вращения, суммарная поверхностная яркость и полная светимость галактик в зависимости от профиля плотности, а также дисперсии скоростей в зависимости от расстояния до центра галактики. Определены значения эффективного радиуса и параметра семейства гомотетических эллипсоидов, центральной и эффективной поверхностной яркости в зависимости от профиля плотности модельной галактики. Кроме того, установлены соотношения между важными динамическими параметрами галактики и исследованы эволюционные сценарии образования ЭГ согласно этим моделям.

2. Формулы вычисления потенциальной энергии и кинетической энергии вращения эллиптической галактики

В этом разделе приведем формулы вычисления потенциальной энергии и кинетической энергии вращения ЭГ в соответствии с вариантом (б) модели I. Этот вариант носит более общий характер, так как рассматриваемые выше варианты (а) и (б) моделей II и III, а также вариант (а) модели I являются практически его частными случаями. Исходя из этих соображений, положим, что эллиптическая галактика (ЭГ) представляет собой трехосный слоисто-неоднородный эллипсоид с полуосями a, b и c, состоящий из барионной массы (БМ) и темной материи (ТМ). Под слоисто-неоднородным эллипсоидом подразумевается эллипсоид с гомотетическим (эллипсоидальным) законом распределения плотности $—$ профилем. Положим, что ρ₁(m) и ρ₂(m) $—$ законы распределения плотности БМ и ТМ данного эллипсоида соответственно. Эти профили являются функциями только параметра m семейства эллипсоидальных поверхностей,

$m^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\mathrm{,}a\mathrm{<mo>></mo>}b\mathrm{<mo>></mo>}c\mathrm{,}0\le m\le 1.$ (1)

Здесь значение m = 0 соответствует центру ЭГ, а m = 1 - эллипсоидальной поверхности, которой ограничена ЭГ.

Полная гравитационная (потенциальная) энергия W(m = 1) и кинетическая энергия вращения T(m = 1) слоисто-неоднородного эллипсоида с полуосями a, b, c, плотностью ρ(m) и массой M(m) в случае изотропного давления определяются общей формулой [5]:

$\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2A_0{J}_0\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_0{J}_1\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ A_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\pi Gabc}{2}\mathrm{,}\end{array}$ (2)

где

$\begin{array}{c}\psi =\left(m\right)\underset{0}{\overset{m^2}{\int }}\rho \left(u\right)M\text{\hspace{0.05em}(}u)d{u}^2\mathrm{,}\\ M\left(m\right)=4\pi abc\underset{0}{\overset{m}{\int }}{u}^2\rho (u\text{\hspace{0.05em})}du\mathrm{,}k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\end{array}$ (3)

$J_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{du}{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{\sqrt{a^2-c^2}}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_0\mathrm{,}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{J}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{J}_0-3c^2{K}_0\mathrm{,}$ (4)

$K_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{du}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}^2+u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{b^2-c^2}\left[-\frac{E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\phi }_0\mathrm{,}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\sqrt{a^2-c^2}}+\frac{b}{ac}\right]\mathrm{.}$ (5)

Здесь F(φ₀,n), E((φ₀,n) $—$ неполные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. Кроме того, аргумент φ₀ и модуль n этих интегралов, а также функция Δ(u) равны

$\begin{array}{c}\sin {\phi }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\mathrm{,}\\ n=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2-c^2}}\mathrm{,}\\ \Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^2+u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}^2+u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}^2+u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$ (6)

Теперь применим формулу (2) к слоисто-неоднородному промежуточному эллипсоиду, состоящему из барионной массы с профилем ρ₁(m), массой M1(m) и темной материи с профилем ρ₂(m), массой M₂(m). Для этого в указанной формуле вместо профиля ρ(m) и массы M(m) следует пользоваться общим профилем и общей массой, т. е. положить

$\begin{array}{c}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\rho }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{M}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+M_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (7)

При этом массы M₁(m) и M₂(m) определяются по формуле (3) заменой профиля ρ(m) на соответствующий, а полная масса $—$ на массу, получаемую при m = 1. Кроме того, формулу (2) в этом случае можно переписать в виде

$\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2A_0{J}_0\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_0{J}_1\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^4}{\psi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (8)

где

$\begin{array}{c}{\psi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m^2}{\int }}}{\rho }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{M}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{u}^2\mathrm{,}\\ {\psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m^2}{\int }}}{\rho }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{M}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{u}^2\mathrm{,}\end{array}$ (9)

$\begin{array}{c}{\psi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m^2}{\int }}}{\rho }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{M}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{u}^2\mathrm{,}\\ {\psi }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m^2}{\int }}}{\rho }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{M}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{u}^2\mathrm{.}\end{array}$ (10)

3. Выражение энергий эллиптической галактики в зависимости от профилей барионной массы и темной материи

В этом разделе вычислим полные потенциальную энергию W(m = 1) и кинетическую энергию вращения T(m = 1) слоисто-неоднородной эллиптической галактики в зависимости от конкретных профилей ρ₁(m) и ρ₂(m), а также от ее формы в соответствии с моделями I, II и III. Согласно этим моделям, будем рассматривать следующие формы ЭГ: 1) трехосный эллипсоид (a > b > c); 2) сжатый сфероид (a = b > c) и 3) вытянутый сфероид (a > b = c). Очевидно, что трехосный эллипсоид представляет собой более сложную и общую форму, чем другие. Поэтому его следует рассмотреть более подробно; случаи 2) и 3) являются частными случаями первого.

3.1 Модель I: ЭГ слоисто-неоднородный трехосный эллипсоид (a > b > c)

В качестве профиля для барионной массы (БМ) эллиптической галактики как слоисто-неоднородного трехосного эллипсоида возьмем профиль ρ₁(m), связанный с профилем поверхностной яркостью, открытый Хабблом [5, 6]:

${\rho }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\rho }_0}{w^3}\mathrm{,}w\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1+\beta m^2}\mathrm{,}$ (11)

где m определяется равенством (1), ρ₀ $—$ плотность в центре эллиптической галактики, а параметр β >> 1 для каждой ЭГ выбирается отдельно и находится выравниванием данных фотометрии [7]. Профиль ρ₁(m) определяется из интегрального уравнения Абеля, при известном, например, из наблюдения, профиле I1(m). По этой причине ρ₁(m) будем считать “астрофизическим законом” распределения плотности [1, 5].

Масса M₁(m) промежуточного эллипсоида, состоящего из БМ с профилем ρ₁(m), вычисляется по формуле (3) и равна

$\begin{array}{c}{M}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\frac{4\pi {\rho }_{0}abc}{\beta \sqrt{\beta }}\left[\ln {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\sqrt{w^2-1}}{w}\right]\mathrm{,}\\ {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=w+\sqrt{w^2-1}\mathrm{,}\end{array}$ (12)

причем m = 1 соответствует полной массе ЭГ с БМ, т.е. M₁ = M(m = 1), а w определен выше.

В случае (а) модели I, т. е. ЭГ состоит только из БМ, имеем

$\begin{array}{c}{\psi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \mathrm{0,}\\ \Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\psi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}\pi {\rho }_0^{2}abc{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (13)

где

$\begin{array}{c}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\beta }^2\sqrt{\beta }}\left[\text{arctg}\sqrt{w^2-1}-\begin{array}{c}\\ \end{array}\right.\\ -\left.\frac{2\ln {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{w}+\frac{\sqrt{w^2-1}}{w^2}\right]\mathrm{.}\end{array}$ (14)

Тогда, подставив выражение (13) функции Ψ(m) в формулу (8) для полной потенциальной энергии W(m = 1) и кинетической энергии вращения T(m = 1) такой галактики, получим

$\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2W_0{J}_0{\rho }_0^2{f}_1(1),\\ T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{W}_0{J}_1{\rho }_0^2{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ W_0\mathrm{<mo>=</mo>2}{\pi }^{2}G{a}^2{b}^2{c}^2\mathrm{,}\end{array}$ (15)

где коэффициенты J₀, J₁ определяются равенством (4), а функция f₁(m) $—$ равенством (14). Следовательно, отношение

$t\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{J_1}{2J_0}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left(1-\frac{3c^2{K}_0}{J_0}\right)$ (16)

не зависит от распределения массы неоднородного эллипсоида, а зависит только от его формы или размеров.

Согласно варианту (б) модели I, положим, что ЭГ состоит из БМ и ТМ, причем профиль БМ ρ₁(m) определяется равенством (11). В качестве профиля ТМ будем рассматривать один из аналогов профилей NFW, Хернквиста, приведенные в [1].

Сначала рассмотрим аналог профиля NFW:

${\rho }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K}{g^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}g\mathrm{<mo>=</mo>}1+\mu m\mathrm{,}\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{abc}}{r_s}\mathrm{,}$ (17)

где r_s $—$ радиус-шкала ЭГ, а K $—$ нормализующий коэффицент, имеющий размерность плотности в массах Солнца на кубический парсек.

Масса промежуточного эллипсоида M₂(m) при этом будет равна

$M_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}\pi K{r}_s^3\left(\ln g-\frac{g-1}{g}\right)\mathrm{.}$

Далее, вычислив функции ${\psi }_k$ (m), k = 2, 3, 4 с учетом выражения ${\psi }_1$ (m) для энергий W(m = 1) и T(m = 1), получим следующее выражение:

$\begin{array}{c}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2W_0{J}_0{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{W}_0{J}_1{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (18)

где коэффициенты J₀, J₁ и W₀ приведены выше, а функция Ф₁(m) равна

$\begin{array}{c}{\Phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\rho }_0^2{N}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2K{\rho }_0{N}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K^2{N}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ N_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (19)

Здесь функция f₁(m) определяется равенством (14), а

$N_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\beta {\mu }^{3}w}\left[\begin{array}{l}\frac{g-1}{g}-\frac{\mu w}{\sqrt{\beta }g}\ln {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +\frac{\mu w}{2\sqrt{\beta +{\mu }^2}}\ln \frac{{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\ln g\end{array}\right]\mathrm{,}$ (20)

$N_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\mu }^5}\left(1-\frac{1}{g^2}-\frac{\ln g^2}{g}\right)\mathrm{,}$ (21)

причем функция $\phi$₁(m) определена выше равенством (12), а

$\begin{array}{c}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{w\sqrt{{\mu }^2+\beta }+\beta m-\mu }{w\sqrt{{\mu }^2+\beta }-\beta m+\mu }\mathrm{,}\\ {\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (22)

Согласно аналогу профиля Хернквиста, имеем

$\begin{array}{c}{\rho }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{M}{2\pi {\overline{a}}^3}\frac{1}{{\overline{g}}^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{g}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\\ M_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{M{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{g}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{{\overline{g}}^2}\mathrm{,}\\ \overline{g}\mathrm{<mo>=</mo>1}+\overline{\mu }m\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{abc}}{\overline{a}}\mathrm{.}\end{array}$ (23)

Здесь M $—$ полная масса галактики, $\overline{a}$ - шкала масштабирования галактики.

Аналогично вычисляем энергии

$\begin{array}{rrr}\hfill W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \hfill \mathrm{<mo>=</mo>}& \hfill -2W_0{J}_0{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ \hfill T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo>=</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \hfill \mathrm{<mo>=</mo>}& \hfill W_0{J}_1{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$ (24)

где

$\begin{array}{c}{\Phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\rho }_0^2{H}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2M{\rho }_0{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+M^2{H}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ H_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (25)

Здесь

$H_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=\frac{1}{8\pi {\overline{\mu }}^2{\overline{a}}^3}\left[\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\mu }}^2+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\ln \frac{{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\\ -\frac{2\ln {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\beta \sqrt{\beta }{\overline{g}}^2}+\frac{2\overline{\mu }{\phi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{\mu }}^2+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\end{array}\right]\mathrm{,}$ (26)

$\begin{array}{c}{H}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{g}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}+\overline{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{48{\pi }^2{\overline{\mu }}^5{\overline{a}}^6{\overline{g}}^4}\mathrm{,}\\ {\phi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}=1+\frac{1}{w}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{g}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\beta +w^2-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\overline{g}}^{2}w}\mathrm{,}\end{array}$ (27)

а функции ${\phi }_1$(m) и ^{${\phi }_2$}(m) определены выше[1].

Далее рассмотрим модели II и III, согласно которым ЭГ представляет собой неоднородный сфероид с общим профилем $\rho m{\rho }_{1}m+{\rho }_{2}m.$

3.2. Модель II: ЭГ слоисто-неоднородный сжатый сфероид (a = b > c)

В случае варианта (б) этой модели полные энергии W(m = 1) и T(m = 1) также определяются формулами (18) и (24) с аналогами профилей NFW и Хернквиста. Только коэффициенты J₀, J₁, W₀, а также параметры m, μ, μ определяются иначе:

$\begin{array}{c}{J}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{ae}\arcsin e\mathrm{,}\\ J_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{a{e}^2}\left[a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-2e^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{J}_0-6\sqrt{1-e^2}\right]\mathrm{,}\\ e^2\mathrm{<mo>=</mo>1}-\frac{c^2}{a^2}\mathrm{,}\end{array}$ (28)

$\begin{array}{c}{W}_0\mathrm{<mo>=</mo>2}{\pi }^{2}G{a}^4{c}^2\mathrm{,}\\ m^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}\mathrm{,}\\ \mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{a^{2}c}}{r_s}\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{a^{2}c}}{\overline{a}}\mathrm{.}\end{array}$ (29)

Аналогичные выражения для энергий W(m = 1) и T(m = 1), соответствующие варианту (а) модели II, получим согласно утверждению, приведенному в Примечании 1.

3.3. Модель III: ЭГ слоисто-неоднородный вытянутый сфероид (a > b = c)

В случае варианта (б) модели III в формулах (18) и (24) для энергий W(m = 1) и T(m = 1) следует учесть

$\begin{array}{c}{J}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{ae}\ln \frac{1+e}{1-e}\mathrm{,}\\ J_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2a{e}^2}\left[a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-e^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{J}_0-6\right]\mathrm{,}\end{array}$ (30)

$\begin{array}{c}{W}_0\mathrm{<mo>=</mo>2}{\pi }^{2}G{a}^2{c}^4\mathrm{,}\\ m^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{c^2}\mathrm{,}\\ \mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{a{c}^2}}{r_s}\mathrm{,}\\ \overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt[3]{a{c}^2}}{\overline{a}}\mathrm{.}\end{array}$ (31)

Аналогичные выражения для энергий W(m = 1) и T(m = 1), соответствующие варианту (а) модели III, также получим согласно утверждению, приведенному в Примечании 1.

4. Поверхностная яркость и полная светимость галактики в зависимости от профилей

В этом разделе определим зависимость от профилей тех динамических параметров галактики, которые связаны только с барионной массой. Иными словами, рассмотрим вариант (а) моделей I, II и III, различая два случая: светящийся диск галактики $—$ либо круг, либо эллипс.

Пусть галактический диск имеет форму круга радиуса R. Тогда связь между профилем плотности $\rho$ (R) и поверхностной яркости I(R) такой галактики задается интегральным уравнением Абеля [8]:

$\begin{array}{c}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{\Upsilon }{\pi }{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{dI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{dr}\frac{dr}{\sqrt{r^2-R^2}}\mathrm{,}\\ I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2}{\Upsilon }{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{r\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\sqrt{r^2-R^2}}dr\mathrm{.}\end{array}$ (32)

Здесь γ $—$ отношение масса$—$светимость, причем верхний предел интеграла (бесконечность) иногда заменяется радиусом круга R. Если известен профиль I(R) галактики, то суммарная поверхностная яркость L(R) в зависимости от расстояния R от центра галактики определяется по формуле [8]:

$\begin{array}{c}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dr\mathrm{,}\\ S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}\pi r\mathrm{,}\end{array}$ (33)

где S(r) $—$ длина промежуточного круга радиуса r.

Пусть закон распределения плотности БМ галактики совпадает с “астрофизическим” профилем ρ(r), т.е.

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\rho }_0}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\overline{r}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\mathrm{,}\overline{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{\overline{a}}\mathrm{,}$ (34)

где $\overline{a}$ $—$ радиус масштабирования, ${\rho }_0$ $—$ плотность в центре галактики. Подставив $\rho$ (r) из выражения (34) во вторую формулу (32), после вычисления интеграла для поверхностной яркости I(r) находим

$I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{I_0}{1+{\overline{r}}^2}\mathrm{,}{I}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2{\rho }_0\overline{a}}{\Upsilon }\mathrm{.}$ (35)

Здесь I₀ $—$ центральная поверхностная яркость галактики. Из выражения (35) легко находится значение поверхностной яркости I_e = I(R_e), соответствующее эффективному радиусу R_e.

Далее в интеграле (33) учтем выражение I(r) (35). Это позволит найти суммарную L(r) и полную светимость L_T = L(r = a), а также значение светимости L_e на расстоянии R_e:

$\begin{array}{c}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{L}_0\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\overline{r}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ L_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2\pi {\rho }_0{\overline{a}}^3}{\Upsilon }\mathrm{,}\\ L_T\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_0\ln \mathrm{2,}\\ L_e\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_0\ln \left(1+\frac{R_e^2}{{\overline{a}}^2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{L_T}{2}\mathrm{.}\end{array}$ (36)

При необходимости из последнего условия можно найти значение $R_e\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{a}\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx 0.6436\overline{a}$.

Теперь предположим, что закон распределения плотности БМ галактики совпадает с профилем NFW [3]:

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{K}{\tilde{r}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\tilde{r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}\tilde{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{r_s}\mathrm{,}$ (37)

где K $—$ нормализующий коэффициент, имеющий размерность плотности, r_s $—$ радиус-шкала галактики. Тогда в силу (32) находим поверхностную яркость I(r) и, подставляя ее выражение в (33), определяем суммарную светимость L(r):

$\begin{array}{c}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\tilde{I}}_0}{{\tilde{w}}^3}\left[{\overline{h}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2\tilde{w}\right)\mathrm{,}\\ L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{L}}_0\left[\ln \frac{1-{\tilde{w}}^2}{4}+\frac{{\overline{h}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\tilde{w}}\right]\mathrm{,}\end{array}$ (38)

где положено

$\begin{array}{c}{\tilde{I}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K{r}_s}{\Upsilon }\mathrm{,}{\tilde{L}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2\pi K{r}_s^3}{\Upsilon }\mathrm{,}\\ {\overline{h}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ln \frac{1+\tilde{w}}{1-\tilde{w}}\mathrm{,}\tilde{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\tilde{r}}^2}\mathrm{.}\end{array}$

Отсюда находим значения поверхностной яркости I_e = I(R_e) и светимости L_e = L(R_e), соответствующие эффективному радиусу R_e.

Пусть теперь профиль плотности БМ галактики совпадает с профилем Хернквиста [4]:

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{M}{2\pi {\overline{a}}^3}\frac{1}{\overline{r}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\overline{r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}\mathrm{,}$ (39)

где $\overline{a}$ и $\overline{r}$ определены выше, а M $—$ полная масса галактики. Аналогичным образом из формул (32) и (33) находим

$\begin{array}{c}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\overline{I}}_0}{{\overline{w}}^4}\left[\frac{3-{\overline{w}}^2}{\overline{w}}{\overline{h}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-6\right]\mathrm{,}\\ L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{L}}_0\frac{{\overline{r}}^2}{{\overline{w}}^3}\left[{\overline{h}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2\overline{w}\right]\mathrm{,}\end{array}$ (40)

где

$\begin{array}{c}{\overline{I}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{M}{2\pi \Upsilon {\overline{a}}^2}\mathrm{,}{\overline{h}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ln \frac{1+\overline{w}}{1-\overline{w}}\mathrm{,}\\ {\overline{L}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{M}{2\Upsilon }\mathrm{,}\overline{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\overline{r}}^2}\mathrm{.}\end{array}$

Заметим, что поверхностную яркость I(r) из (38) и (40), вычисленную для профилей NFW и Хернквиста, можно выразить в mag/arcsec² аналогичным образом.

Пусть теперь светящийся диск галактики имеет форму эллипса с полуосями a и c. При этом поверхностная яркость I(m) галактики в общем случае является функцией от параметра m семейства гомотетических эллипсиодальных поверхностей:

$m^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo>></mo>}b\mathrm{<mo>></mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В этом случае по аналогии с (32) поверхностная яркость I(m) определяется формулой

$I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2q}{\Upsilon }{\displaystyle \underset{m}{\overset{\infty }{\int }}}\frac{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}udu}{\sqrt{u^2-m^2}}\mathrm{,}q\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt[3]{abc}\mathrm{.}$ (41)

Затем находим суммарную поверхностную яркость L(m):

$L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}q{\displaystyle \underset{0}{\overset{m}{\int }}}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dm\mathrm{.}$ (42)

Здесь длина S(m) промежуточного эллипса с полуосями ma и mc, заданного в параметрической форме:

$\begin{array}{c}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}ma\sin v\mathrm{,}\\ y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}mc\cos v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo>></mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$

равна

$\begin{array}{c}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}}\sqrt{{[x^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}]}^2+{[y^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}]}^2}dv\mathrm{<mo>=</mo>4}maE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{,}\\ e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\mathrm{,}\end{array}$

где E(e) $—$ полный эллиптический интеграл 2-го рода. Формулу (42) с учетом последнего выражения S(m) можно переписать в виде

$L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}aqE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m}{\int }}}uI\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}du\mathrm{.}$ (43)

Теперь рассмотрим различные варианты профиля БМ ЭГ. В случае “астрофизического” профиля в формуле (41) ^$\rho$ (u) следует заменить на профиль ${\rho }_1$ (u) из (11). Тогда для поверхностной яркости I(m) получим:

$\begin{array}{c}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{I_0}{w^2}\mathrm{,}\\ w\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1+\beta m^2}\mathrm{,}{I}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2q}{\Upsilon \sqrt{\beta }}{\rho }_0\mathrm{,}\end{array}$ (44)

где I₀ ^$—$ центральная поверхностная яркость.

Далее, учтем в формуле (43) выражение поверхностной яркости ImI₁m. Тогда для Lm находим следующее выражение:

$\begin{array}{c}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_0\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\beta m^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ L_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{A_0}{\beta \sqrt{\beta }}\mathrm{,}{A}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{4q^2{\rho }_{0}aE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Upsilon }\mathrm{,}\end{array}$ (45)

из которого определяется полная светимость L_T при m = 1 и β = ${\beta }_1$. При этом параметр ${\beta }_1$ можно определить из трансцендентного уравнения

${\beta }_1\sqrt{{\beta }_1}{L}_T-A_0\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

где значение L_T в первом приближении для каждой галактики можно взять из базы данных или из каталогов.

Далее обозначим через m_e, ${\beta }_e$, I_e, L_e значения величин m, β, I(m), L(m), соответствующих эффективному радиусу R_e. Тогда в силу (44) и (45) получим

$\begin{array}{c}{I}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{I_0}{1+{\beta }_e{m}_e^2}\mathrm{,}\\ L_e=\frac{A_0}{{\beta }_e\sqrt{{\beta }_e}}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\beta }_e{m}_e^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{A_0}{{\beta }_e\sqrt{{\beta }_e}}\ln \frac{I_0}{I_e}\mathrm{,}\\ L_T\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{A_0}{{\beta }_1\sqrt{{\beta }_1}}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{,}\end{array}$ (46)

а согласно определению эффективного радиуса R_e, имеем

$\begin{array}{c}{L}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{L_T}{2}\mathrm{,}{I}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{L_T}{2\pi R_e^2}\mathrm{,}\\ {\beta }_e\sqrt{{\beta }_e}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2{\beta }_1\sqrt{{\beta }_1}}{\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ln \frac{I_0}{I_e}\mathrm{.}\end{array}$

Считая I₀ и I_e, а также параметр ${\beta }_1$ известными, из последнего соотношения находим ${\beta }_e$. Затем из первого равенства (46) определяем m_e. При этом для эффективного радиуса R_e получаем два соотношения:

$\begin{array}{c}{m}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\sqrt{{\beta }_e}}\sqrt{\frac{I_0}{I_e}-1}\mathrm{,}\\ R_e\mathrm{<mo>=</mo>}q{m}_e\mathrm{,}{R}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{\frac{L_T}{2\pi I_e}}\mathrm{,}\end{array}$ (47)

причем во второй формуле для R_e светимость L_T и поверхностная яркость I_e выражаются в соответствующих единицах.

В случае аналога профиля NFW учтем выражение для ${\rho }_2$ (m) из (17) в формуле (41). Это нам даст

$I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\tilde{I}}_0}{w^3}\left[h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2w\right]\mathrm{,}{\tilde{I}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{K{r}_s}{\Upsilon }\mathrm{,}$ (48)

где

$h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ln \frac{1+w}{1-w}\mathrm{,}w\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\mu }^2{m}^2}\mathrm{.}$

Тогда, подставив выражение I(m) из (48) в формулу (43), для L(m) и L_T получим:

$\begin{array}{c}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{L}}_0\left[\ln w^2+\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{w}+\ln \frac{1-w^2}{4}\right]\mathrm{,}\\ {\tilde{L}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{4K{r}_s^{2}aE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mu \Upsilon }\mathrm{,}\\ L_T\mathrm{<mo>=</mo>}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{L}}_0\left[\ln {\xi }^2+\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\xi }+\ln \frac{1-{\xi }^2}{4}\right]\mathrm{,}\end{array}$ (49)

где $\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\mu }^2}$. Эксцентриситет e определен выше.

Для нахождения значения m_e можно пользоваться условием $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{L}_T\mathrm{<mo>/</mo>}2$:

$\begin{array}{c}2\left[\ln w_e^2+\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{w_e}+\ln \frac{1-w_e^2}{4}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\\ \mathrm{<mo>=</mo>}\ln {\xi }^2+\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\xi }+\ln \frac{1-{\xi }^2}{4}\mathrm{,}\\ w_e\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\mu }^2{m}_e^2}\mathrm{.}\end{array}$

Это трансцендентное уравнение, позволяющее определить величину w_e, а значит и параметр me.

Наконец, в случае аналога профиля Хернквиста подставим в формулу (41) выражение ${\rho }_2$ (m) из (23). Тогда для I(m) получим следующие выражения:

$\begin{array}{c}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\overline{I}}_0}{{\overline{w}}^4}\left[\frac{3-{\overline{w}}^2}{\overline{w}}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-6\right]\mathrm{,}\\ {\overline{I}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{M}{2\pi \Upsilon {\overline{a}}^2}\mathrm{.}\end{array}$ (50)

Далее, учтем выражение I(m) в формуле (43) для определения L(m):

$\begin{array}{c}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{L}}_0\frac{1-{\overline{w}}^2}{{\overline{w}}^3}\left[h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2\overline{w}\right]\mathrm{,}\\ {\overline{L}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2MaE\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\pi \overline{\mu }\overline{a}\Upsilon }\mathrm{.}\end{array}$ (51)

В последних равенствах положено:

$\begin{array}{c}\overline{w}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\overline{\mu }}^2{m}^2}\mathrm{,}\\ h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{w}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ln \frac{1+\overline{w}}{1-\overline{w}}\mathrm{,}\\ \overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q}{\overline{a}}\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{<mo><</mo>1,}m\le 1\mathrm{.}\end{array}$

Условие L(m_e) = L_T/2 даст нам уравнение для определения m_e:

$\begin{array}{c}\frac{1-{\overline{w}}_e^2}{{\overline{w}}_e^3}\left[h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{w}}_e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2{\overline{w}}_e\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1-{\overline{\xi }}^2}{2{\overline{\xi }}^3}\left[h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\xi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2\overline{\xi }\right]\mathrm{,}\\ {\overline{w}}_e\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\overline{\mu }}^2{m}_e^2}\mathrm{,}\overline{\xi }\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{1-{\overline{\mu }}^2}\mathrm{.}\end{array}$

Далее поверхностную яркость I(m), определяемую формулами (48) или (50), можно выразить в mag/arcsec² аналогичным образом.

5. Дисперсия скоростей слоисто-неоднородной эллиптической галактики

При вычислении пространственной дисперсии скоростей слоисто-неоднородной галактики рассмотрим два случая: 1) ЭГ состоит только из БМ, 2) ЭГ состоит из БМ и ТМ. В первом случае полагаем, что закон распределения плотности БМ в ЭГ совпадает либо с “астрофизическим” профилем, либо с одним из аналогов профилей NFW, Хернквиста. Во втором случае для БМ берем “астрофизический” профиль, а для ТМ $—$ один из аналогов профилей NFW, Хернквиста.

Рассмотрим сначала сферически симметричную галактику. В первом случае, считая профиль плотности ρ(r) известным, пространственную дисперсию скоростей ${\sigma }_s$ (R) на расстоянии R от центра галактики можно определять по формулам [8, 9]

$\begin{array}{c}{\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{G}{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}}{\Phi }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dr\mathrm{,}\\ {\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2G}{I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{R}{\overset{\infty }{\int }}}{\Phi }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{r^2-R^2}dr\end{array}$ (52)

соответственно. Здесь I(R) $—$ поверхностная яркость,

${\Phi }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{r^2}\mathrm{,}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}\pi {\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int }}}{u}^2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}du\mathrm{,}$ (53)

M(r) ^$—$ масса промежуточного шара радиуса r.

Для ЭГ пространственную дисперсию скоростей ^{${\sigma }_s$} (R) нельзя определить по формулам (52) и (53). Для применения этих формул к ЭГ следует в них произвести замены переменных в зависимости от профиля. В случае “астрофизического” профиля ^{$r\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{a}\sqrt{\beta }m$}. Это очевидно из сравнения выражений (11) и (34) для этого профиля. При профиле NFW получаем: $r\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_s\mu m$, а при профиле Хернквиста $—$ $r\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{a}\overline{\mu }m$. Тогда формулы (52) и (53), адаптированные для ЭГ, можно переписать в виде

$\begin{array}{c}{\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{G}{q\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{m}{\overset{\infty }{\int }}}{\Phi }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dv\mathrm{,}\\ {\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2G}{I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{m}{\overset{\infty }{\int }}}{\Phi }_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{v^2-m^2}dv\end{array}$ (54)

соответственно. Следовательно, с помощью формул (54) дисперсия скоростей ^{${\sigma }_s^2$} (m) выражается через параметр m семейства гомотетических эллипсоидов, определяемого равенством (1). При необходимости вычисленную по этим формулам дисперсию скоростей можно выразить через расстояние r от центра ЭГ с помощью приведенных выше замен переменных. В дальнейшем для определения дисперсии скоростей будем пользоваться первой формулой из (54). При этом следует отметить, что для ЭГ верхнюю границу интегрирования в формулах (54) можно было взять равной единице вместо бесконечности. Не нарушая общности, мы взяли именно последнее значение.

а) Случай “астрофизического” профиля, при котором профиль ${\rho }_1$ (m) и масса M₁(m) определяются равенствами (11) и (12). В этом случае для ${\sigma }_s^2$ (m), вычисленной по формуле (53), получим [1]:

${\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\sigma }_{bm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{4\pi G{\rho }_0{q}^2}{\beta }A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (55)

где

$\begin{array}{c}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\beta m^2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}\times \\ \times \left[\frac{4Q^4}{Q^4-1}\ln Q-2\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}^2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{2Q^2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}^2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\right]\mathrm{,}\\ Q\equiv {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\end{array}$

функция ${\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена в (12).

Следовательно, дисперсия скоростей ${\sigma }_s^2$ (m) выражается через параметр m семейства гомотетических эллипсоидов. Положив в (55) m = m_e, или, что то же самое, m = R_e /q, находим значение дисперсии скоростей на расстоянии эффективного радиуса R_e галактики;

б) Случай аналога профиля NFW. Для дисперсии скоростей находим

$\begin{array}{c}{\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\sigma }_{dm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>4}\pi GK{r}_s^{2}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{N}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\\ g\mathrm{<mo>=</mo>1}+\mu m\mathrm{,}\end{array}$ (56)

где

$\begin{array}{c}{N}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{3}{2}{{\displaystyle \ln }}^{2}g-\frac{1}{2}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+3\text{dilog}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\\ +\frac{-2+10g-8g^2+g^3}{2g{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\ln g+\frac{1+5g-7g^2}{2g^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{{\pi }^2}{2}\mathrm{,}\\ \text{dilog}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{1}{\overset{x}{\int }}}\frac{\ln t}{1-t}dt\mathrm{,}\end{array}$

причем

$\begin{array}{c}\text{dilog}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\text{dilog}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\pi }^2}{6}\mathrm{,}\\ \text{dilog}\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{{{\displaystyle \ln }}^{2}2}{2}\mathrm{.}\end{array}$

При необходимости положив в равенстве (56) μm = R_e/r_s, можно определить значение дисперсии скоростей на расстоянии эффективного радиуса R_e галактики;

в) Случай аналога профиля Хернквиста:

${\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\sigma }_{dm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{GM}{\overline{\mu }\overline{a}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (57)

где

$\begin{array}{c}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\overline{g}}^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{g}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[\begin{array}{c}\ln \frac{\overline{g}}{\overline{g}-1}-\frac{1}{\overline{g}}-\\ -\frac{2}{3{\overline{g}}^2}-\frac{2-\overline{g}}{6{\overline{g}}^3}-\frac{1}{4{\overline{g}}^4}\end{array}\right]\mathrm{,}\\ \overline{g}\mathrm{<mo>=</mo>1}+\overline{\mu }m\mathrm{.}\end{array}$

В случае (2) общую дисперсию скоростей σ²(m) можно определить по формуле

${\sigma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\sigma }_{bm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\sigma }_{dm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (58)

где ${\sigma }_{bm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ^$—$ составляющая БМ дисперсии скоростей и определяется равенством (55), а ${\sigma }_{dm}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ составляющая ТМ и совпадает с одним из выражений (57) или (58) дисперсии скоростей.

Таким образом, нами определена дисперсия скоростей ЭГ как трехосного слоисто-неоднородного эллипсоида, состоящего либо только из БМ, либо одновременно из БМ и ТМ, с соответствующими законами распределения плотности. При необходимости, положив в соответствующих равенствах $m\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_e\mathrm{<mo>=</mo>}{R}_e\mathrm{<mo>/</mo>}q\mathrm{<mo>=</mo>}{R}_e\mathrm{<mo>/</mo>}\sqrt[3]{abc},$ можно определить значение дисперсии скоростей на расстоянии эффективного радиуса R_e галактики. Кроме того, эти формулы применимы и для ЭГ, имеющей форму слоисто-неоднородного сжатого (a = b > c) и вытянутого (a > b = c) сфероидов. Для таких сфероидов только параметры m, q, μ и μ определяются иначе, а именно:

$\begin{array}{c}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{<mo>></mo>}c\mathrm{,}{m}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}\mathrm{,}\\ q\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_o\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt[3]{a^{2}c}\mathrm{,}\\ \mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q_o}{r_s}\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q_o}{\overline{a}}\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (59)

$\begin{array}{c}\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}a\mathrm{<mo>></mo>}b\mathrm{<mo>=</mo>}c\mathrm{,}{m}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2+z^2}{c^2}\mathrm{,}\\ q\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_p\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt[3]{a{c}^2}\mathrm{,}\\ \mu \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q_p}{r_s}\mathrm{,}\overline{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q_p}{\overline{a}}\end{array}$ (60)

соответственно.

В заключение рассмотрим частный случай ^{$a\mathrm{<mo>=</mo>}b\mathrm{<mo>=</mo>}c\mathrm{<mo>=</mo>}R,$} при котором галактика представляет собой неоднородный шар (шаровое скопление) радиуса R с профилем ρ(r). Полагаем, что данная галактика (см. выше): 1) состоит только из БМ, 2) состоит из БМ и ТМ. Тогда в качестве профиля ρ(r) для БМ и ТМ возьмем либо “астрофизический закон”, либо один из профилей NFW, Хернквиста. Аналогичные выражения массы M(r) промежуточного шара и дисперсии скоростей ${\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в зависимости от профиля ρ(r) неоднородного шарового скопления можно получить из соответствующих выражений M(r) и ${\sigma }_s^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, положив в них

$\begin{array}{c}\beta \mathrm{<mo>=</mo>1,}m\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{a}\mathrm{,}\\ \mu m\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{r_s}\mathrm{,}\overline{\mu }m\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{r}\mathrm{,}\\ q\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{.}\end{array}$

 $\begin{array}{c}\beta \mathrm{<mo>=</mo>1,}m\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{a}\mathrm{,}\\ \mu m\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{r}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{r}{r_s}\mathrm{,}\overline{\mu }m\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{r}\mathrm{,}\\ q\mathrm{<mo>=</mo>}{r}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{a}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{.}\end{array}$

Для краткости эти выражения здесь не приводятся.

6. Некоторые сценарии образования эллиптических галактик

В обзорной и достаточно информативной статье [10] подробно описаны сценарии образования галактик. Рассмотрены три сценария эволюции галактик: 1) большое слияние (major merger), 2) механизм активного ядра и 3) множественное малое слияние (minor merger).

Согласно сценарию большого слияния, гигантские ЭГ формируются слиянием двух спиральных галактик близких масс. При этом радиус звездной системы растет пропорционально массе. Последние открытия в 2007^$–$2009 гг. показали неожиданно быструю эволюцию размеров гигантских ЭГ. Это привело к отказу от сценария большого слияния.

Сценарий активного ядра (квазара в центре) работает только в сочетании со вспышкой звездообразования (которого на момент z = 2 не обнаружено в рассматриваемых далеких галактиках) и порождает из-за этого антикорреляцию значений “размер$—$возраст” звездного населения на фиксированной массе. Это тоже не наблюдается.

Множественное малое слияние представляет собой двухстадийный сценарий, в котором на раннем этапе формируется компактная звездная “затравка”, а потом происходит быстрое “распухание” ЭГ в результате множественного бездиссипативного малого слияния.

Все три сценария (или механизма) образования ЭГ рассмотрены в работе [11], согласно которой предпочтение дается множественному малому слиянию, которое приводит к росту размера звездной системы пропорционально квадрату массы. При большом слиянии рост размера галактики происходит линейно $—$ пропорционально массе.

В работе [12] установлена степенна́я зависимость “эффективный радиус$—$звездная масса” $R_{eff}\propto M_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{\alpha },$ вписываемая в расчетную эволюцию модели ЭГ раннего типа. При сценарии большого слияния (отношение масс 1 : 1) имеет место ограничение α ≤ 1, а при сценарии малого слияния (отношение масс 1 : 10) $—$ α > 2. При этом допускается, что звездное тело галактики погружено в протяженное темное гало.

Степенна́я зависимость “эффективная дисперсия скоростей$—$звездная масса” $M_{\mathrm{<mo>*</mo>}}\propto {\sigma }_{eff}^{\beta },$ установленная в работе [13], соответствует сценарию большого слияния при 3.3 ≤ β ≤ 5.1.

В работе [14] приведен степенной закон относительно красного смещения z, 0 < z < 3, для эволюции размеров галактик на фиксированной звездной массе: ^{$R_{eff}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1.48}$} для галактик без звездообразования (для ЭГ) и $R_{eff}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\propto {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-0.75}$ для галактик cо звездообразованием. При всех красных смещениях изменение зависимости “размер^$—$масса” составляет ^{$R_{eff}\propto M_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{0.22}$} для галактик позднего типа со звездной массой ${\mathrm{M}}_{*}>3\times {10}^9{\mathrm{M}}_{\odot }$. и ^{$R_{eff}\propto M_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{0.75}$} для раннего типа галактик со звездной массой ${\mathrm{M}}_{*}>2\times {10}^{10}{\mathrm{M}}_{\odot }$.

В работе [15] показано, что рост эффективного радиуса R_e звездной системы происходит синхронно с ростом радиуса темного гало.

В разделе “Примеры” приведены соответствующие степенны́е зависимости согласно нашим моделям I, II и III.

7. Соотношения между динамическими параметрами галактики. Сравнение результатов

В работе [16] приведены зависимости трех динамических параметров 260 галактик раннего типа по проекту ATLAS-3D. Эта зависимость в фундаментальной плоскости “размер$—$дисперсия скоростей звезд$—$поверхностная яркость” имеет вид

$\begin{array}{c}\log R_e\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_0+b_0\log {\sigma }_e+c_0\log {\Sigma }_e\mathrm{,}\\ b_0\mathrm{<mo>=</mo>1.063}\pm \mathrm{0.041,}\\ c_0\mathrm{<mo>=</mo>}-0.765\pm 0.023\mathrm{.}\end{array}$ (61)

Здесь a₀ $—$ ошибка, ^{${\sigma }_e$} $—$ эффективная дисперсия скоростей звезд в км/с, Re $—$ эффективный радиус в кпк, а Σ_e $—$ эффективная поверхностная яркость в единицах Вт/м².

В работе [17] приведена зависимость динамических параметров на фундаментальной плоскости “размер$—$дисперсия скоростей звезд$—$поверхностная яркость”, полученная на основе исследований около 9000 галактик раннего типа с красным смещением $0.01\le z\le 0.3$ по проекту SDSS (Sloan Digital Sky Survey), в виде

$\begin{array}{c}\log R_e\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_0\log {\sigma }_e+b_0\log I_e+c_0\mathrm{,}\\ I_e\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{L}{2\pi R_e^2}\mathrm{,}\end{array}$ (62)

где R_e $—$ эффективный радиус в кпк, σ_e $—$ эффективная дисперсия скоростей в км/с, I_e $—$ эффективная поверхностная яркость в единицах Вт/м², а L $—$ полная светимость галактики. Кроме того, для коэффициентов a₀, b₀, c₀ можно взять средние значения: по ортогональной аппроксимации a₀ = 1.515, b₀ = ^$–$0.760, c₀ = ^$–$8.790, а по прямой аппроксимации a₀ = 1.165, b₀ = ^$–$0.760, c₀ = ^$–$8.047.

В работе [18] приведена зависимость динамических параметров на фундаментальной плоскости “размер^$—$дисперсия скоростей звезд$—$светимость”, полученная на основе исследований 560 галактик раннего типа по проекту SAMI в виде

$\log \left(\frac{L}{L_{\odot }}\right)=a_0\log {\sigma }_e+b_0\log R_e+c_0,$ (63)

где L/ $L_{\odot }$ $—$ светимость галактики, выраженная в единицах солнечной светимости, ${\sigma }_e$ $—$ эффективная дисперсия скоростей звезд в км/с, R_e $—$ эффективный радиус в кпк. Кроме того,

$\begin{array}{rrr}\hfill a_0& \hfill \mathrm{<mo>=</mo>}& \hfill 1.294\pm 0.039\mathrm{,}\\ \hfill b_0& \hfill \mathrm{<mo>=</mo>}& \hfill 0.912\pm 0.025\mathrm{,}\\ \hfill c_0& \hfill \mathrm{<mo>=</mo>}& \hfill 7.067\pm 0.078\mathrm{.}\end{array}$ (64)

Рассмотрим задачу об определении коэффициентов $\tilde{a},\tilde{b},\tilde{c}$ в динамическом соотношении,

$\begin{array}{c}\Phi \mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{a}S+\tilde{b}R+\tilde{c}\mathrm{,}\Phi \mathrm{<mo>=</mo>}\log L\mathrm{,}\\ S\mathrm{<mo>=</mo>}\log {\sigma }_e\mathrm{,}R\mathrm{<mo>=</mo>}\log R_e\mathrm{,}\end{array}$ (65)

методом наименьших квадратов. Коэффициенты $\tilde{a},\tilde{b},\tilde{c}$ являются параметрами, подлежащими определению. Положим, что точные значения параметров $\tilde{a},\tilde{b},\tilde{c}$ отличаются от известных значений a₀, b₀, c₀ на величины поправок

$\tilde{a}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_0+\Delta a\mathrm{,}\tilde{b}\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_0+\Delta b\mathrm{,}\tilde{c}\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_0+\Delta c\mathrm{.}$ (66)