A fast normal splitting preconditioner for attractive coupled nonlinear Schroedinger equations with fractional Laplacian

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A linearly implicit conservative difference scheme is applied to discretize the attractive coupled nonlinear Schroedinger equations with fractional Laplacian. In this case complex symmetric linear systems appear, with indefinite and Toeplitz-plus-diagonal system matrices. Standard fast methods of direct solution or iteration using a preconditioner are not applicable for such systems. A novel iterative method is proposed, based on the normal splitting of the equivalent real block form of linear systems. Unconditional convergence is proved and the quasi-optimal iteration parameter is deducted. The preconditioner for this method is obtained naturally; it is constructed and efficiently implemented using the fast Fourier transform. Theoretical analysis shows that the eigenvalues of the preconditioned system matrix are closely clustered. Numerical experiments demonstrate new preconditioner significantly speeds up the convergence rate of iterative Krylov subspace methods. In particular, the convergence behavior of the corresponding preconditioned generalized minimum residual method is independent of the mesh size and almost insensitive to the fractional order. Moreover, the linearly implicit conservative difference scheme in this case preserves mass and energy with a given accuracy.

Full Text

Restricted Access

About the authors

Y. Cheng

College of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics

Author for correspondence.
Email: lyandcxh@nuaa.edu.cn
China, Nanjing

X. Yang

College of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics

Email: lyandcxh@nuaa.edu.cn
China, Nanjing

I. А. Matveev

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Email: matveev@frccsc.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Feynman R.P. Statistical Mechanics: A Set of Lectures. 1st edn. CRC Press, 1998.
  2. Feynman R.P., Hibbs A.R., Styer D.F. Quantum Mechanics and Path Integrals. Dover Publications, 2010.
  3. Laskin N. Fractional Quantum Mechanics and Levy Path Integrals // Phys. Lett. A. 2000. V. 268. P. 298–305.
  4. Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 3135–3145.
  5. Guo X.Y., Xu M.Y. Some Physical Applications of Fractional Schroedinger Equation // J. Math. Phys. 2006. V. 47. P. 082104.
  6. Li M., Gu X.M., Huang C.M. et al. A Fast Linearized Conservative Finite Element Method for the Strongly Coupled Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2018. V. 358. P. 256–282.
  7. Li M., Huang C.M., Wang P.D. Galerkin Finite Element Method for Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // Numer. Algorithms. 2017. V. 74. P. 499–525.
  8. Duo S.W., Zhang Y.Z. Mass-conservative Fourier Spectral Methods for Solving the Fractional Nonlinear Schroedinger Equation // Comput. Math. Appl. 2016. V. 71. P. 2257–2271.
  9. Wang Y., Mei L.Q., Li Q. et al. Split-step Spectral Galerkin Method for the Two-dimensional Nonlinear Space-fractional Schroedinger Equation // Appl. Numer. Math. 2019. V. 136. P. 257–278.
  10. Amore P., Fernandez F.M., Hofmann C.P. et al. Collocation Method for Fractional Quantum Mechanics // J. Math. Phys. 2010. V. 51. P. 122101.
  11. Bhrawy A.H., Zaky M.A. An Improved Collocation Method for Multi-dimensional Space-time Variable-order Fractional Schroedinger Equations // Appl. Numer. Math. 2017. V. 111. P. 197–218.
  12. Wang D.L., Xiao A.G., Yang W. Crank-Nicolson Difference Scheme for the Coupled Nonlinear Schroedinger Equations with the Riesz Space Fractional Derivative // J. Comput. Phys. 2013. V. 242. P. 670–681.
  13. Wang D.L., Xiao A.G., Yang W. A Linearly Implicit Conservative Difference Scheme for the Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2014. V. 272. P. 644–655.
  14. Wang P.D., Huang C.M. An Energy Conservative Difference Scheme for the Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2015. V. 293. P. 238–251.
  15. Zhang R.P., Zhang Y.T., Wang Z. et al. A Conservative Numerical Method for the Fractional Nonlinear Schroedinger Equation in Two Dimensions // Sci. China Math. 2019. V. 62. P. 1997–2014.
  16. Zhao X., Sun Z.Z., Hao Z.P. A Fourth-order Compact ADI Scheme for Two-dimensional Nonlinear Space Fractional Schroedinger Equation // SIAM J. Sci. Comput. 2014. V. 36. P. A2865–A2886.
  17. Laskin N. Fractional Schroedinger Equation // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 056108.
  18. Riesz M. Lintegrale de Riemann-Liouville et le Probleme de Cauchy // Acta Math. 1949. V. 81. P. 1–222.
  19. Guo B.L., Han Y.Q., Xin J. Existence of the Global Smooth Solution to the Period Boundary Value Problem of Fractional Nonlinear Schroedinger Equation // Appl. Math. Comput. 2008. V. 204. P. 468–477.
  20. Luchko Y. Fractional Schroedinger Equation for a Particle Moving in a Potential Well // J. Math. Phys. 2013. V. 54. P. 012111.
  21. Bao W.Z., Cai Y.Y. Mathematical Theory and Numerical Methods for Bose-Einstein Condensation // arXiv preprint. 2012. arXiv:1212.5341
  22. Carr L.D., Clark C.W., Reinhardt W.P. Stationary Solutions of the One Dimensional Nonlinear Schroedinger Equation I. Case of Repulsive Nonlinearity // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. P. 063610.
  23. Jin S., Levermore C.D., McLaughlin D.W. The Semiclassical Limit of the Defocusing NLS Hierarchy // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. P. 613–654.
  24. Bao W.Z., Jaksch D. An Explicit Unconditionally Stable Numerical Method for Solving Damped Nonlinear Schroedinger Equations with a Focusing Nonlinearity // SIAM J. Numer. Anal. 2003. V. 41. P. 1406–1426.
  25. Saito H., Ueda M. Intermittent Implosion and Pattern Formation of Trapped Bose-Einstein Condensates with an Attractive Interaction // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 1406–1409.
  26. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On HSS-like Iteration Method for the Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations // Appl. Math. Comput. 2015. V. 271. P. 482–488.
  27. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On Partially Inexact HSS Iteration Methods for the Complex Symmetric Linear Systems in Space Fractional CNLS Equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 317. P. 128–136.
  28. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On Preconditioners Based on HSS for the Space Fractional CNLS Equations // East Asian J. Appl. Math. 2017. V. 7. P. 70–81.
  29. Wang Z.Q., Yin J.F., Dou Q.Y. Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Iteration Methods for Fractional Nonlinear Schroedinger Equations // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 367. P. 112420.
  30. Zhang F.Y., Yang X. Diagonal and Normal with Toeplitz-block Splitting Iteration Method for Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations with Repulsive Nonlinearities // arXiv preprint. 2023. arXiv: 2039.11106
  31. Bai Z.Z., Golub G.H., Ng M.K. Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Methods for Non-Hermitian Positive Definite Linear Systems // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2003. V. 24. P. 603–626.
  32. Bai Z.Z., Golub G.H., Pan J.Y. Preconditioned Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Methods for Non-Hermitian Positive Semidefinite Linear Systems // Numer. Math. 2004. V. 98. P. 1–32.
  33. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. Modified HSS Iteration Methods for a Class of Complex Symmetric Linear Systems // Computing. 2010. V. 87. P. 93–111.
  34. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. On Preconditioned MHSS Iteration Methods for Complex Symmetric Linear Systems // Numer. Algorithms. 2011. V. 56. P. 297–317.
  35. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. et al. Preconditioned MHSS Iteration Methods for a Class of Block Two-by-two Linear Systems with Applications to Distributed Control Problems // IMA J. Numer. Anal. 2013. V. 33. P. 343–369.
  36. Axelsson O., Kucherov A. Real Valued Iterative Methods for Solving Complex Symmetric Linear Systems // Numer. Linear Algebra Appl. 2000. V. 7. P. 197–218.
  37. Golub G.H., van Loan C.F. Matrix Computations // 4th Edn. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2013.
  38. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems // 2nd Edn. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.
  39. Chan R.H., Ng K.P. Fast Iterative Solvers for Toeplitz-plus-band Systems // SIAM J. Sci. Comput. 1993. V. 14. P. 1013–1019.
  40. Ng M.K., Pan J.Y. Approximate Inverse Circulant-plus-diagonal Preconditioners for Toeplitz-plus-diagonal Matrices // SIAM J. Sci. Comput. 2010. V. 32. P. 1442–1464.
  41. Bai Z.Z., Lu K.L., Pan J.Y. Diagonal and Toeplitz Splitting Iteration Methods for Diagonal-plus-Toeplitz Linear Systems from Spatial Fractional Diffusion Equations // Numer. Linear Algebra Appl. 2017. V. 24. P. e2093.
  42. Bai Z.Z., Lu K.Y. Fast Matrix Splitting Preconditioners for Higher Dimensional Spatial Fractional Diffusion Equations // J. Comput. Phys. 2020. V. 404. P. 109117.
  43. Peaceman D.W., Rachford H.H., Jr. The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic Differential Equations // J. Soc. Ind Appl. Math. 1955. V. 3. P. 28–41.
  44. Douglas J. Alternating Direction Methods for Three Space Variables // Numer. Math. 1962. V. 4. P. 41–63.
  45. Celik C., Duman M. Crank-Nicolson Method for the Fractional Diffusion Equation with the Riesz Fractional Derivative // J. Comput. Phys. 2012. V. 231. P. 1743–1750.
  46. Ortigueira M.D. Riesz Potential Operators and Inverses via Fractional Centred Derivatives // Int. J. Math. Math. Sci. 2006. P. 1–12. (Aticle ID 48391).
  47. Chan R.H., Strang G. Toeplitz Equations by Conjugate Gradients with Circulant Preconditioner // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1989. V. 10. P. 104–119.
  48. Chan T. An Optimal Circulant Preconditioner for Toeplitz Systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1988. V. 9. P. 766–771.
  49. Chan R.H., Ng M.K. Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems // SIAM Rev. 1996. V. 38. P. 427–482.
  50. Bauer F.L., Fike C.T. Norms and Exclusion Theorems // Numer. Math. 1960. V. 2. P. 137–141.
  51. Chan R.H., Jin X.Q. An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.
  52. Bebendorf M. Hierarchical Matrices. Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.
  53. Ho K.L., Ying L. Hierarchical Interpolative Factorization for Elliptic Operators: Differential Equations // Commun. Pur. Appl. Math. 2016. V. 69. P. 1415–1451.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Formula

Download (48KB)
Indexing metadata
3. Fig. 1. IT curves from the parameter ω ∈ (0, 8] CNAS-GMRES at α = 1.1 : 0.2 : 1.9, M = 6400, N = 200

Download (192KB)
Indexing metadata
4. Fig. 2. IT CNAS-GMRES curves on the spatial grid size M at α = 1.1 : 0.2 : 1.9, N = 200

Download (117KB)
Indexing metadata
5. Fig. 3. Distribution of eigenvalues ​​ℛ, ℱNASS−1ℛ and ℱCNAS−1ℛ, for α = 1.1, M = 1600, N = 200 (left) and M = 3200, N = 200 (right)

Download (126KB)
Indexing metadata
6. Fig. 4. Distribution of eigenvalues ​​ℛ, ℱNASS−1ℛ and ℱCNAS−1ℛ, for α = 1.5, M = 1600,N = 200 (left) and M = 3200, N = 200 (right)

Download (111KB)
Indexing metadata
7. Fig. 5. Distribution of eigenvalues ​​ℛ, ℱNASS−1ℛ and ℱCNAS−1ℛ, for α = 1.9, M = 1600, N = 200 (left) and M = 3200, N = 200 (right)

Download (101KB)
Indexing metadata
8. Fig. 6. Numerical solution (left) and its error (right) of the fractional spatial equation DNLS (5.1) for α = 1.1, M = 800, N = 200

Download (220KB)
Indexing metadata
9. Fig. 7. Numerical solution (left) and its error (right) of the fractional spatial equation DNLS (5.1) for α = 1.5, M = 800, N = 200

Download (228KB)
Indexing metadata
10. Fig. 8. Numerical solution (left) and its error (right) of the fractional spatial equation DNLS (5.1) for α = 1.9, M = 800, N = 200

Download (247KB)
Indexing metadata
11. Fig. 9. Numerical solution (left) and its error (right) of the fractional spatial equation DNLS (5.1) for α = 2, M = 800, N = 200

Download (242KB)
Indexing metadata
12. Fig. 10. Relative errors of discrete energy, i.e. |(En −E0)∕E0|, at h = 0.2, τ = 0.001

Download (189KB)
Indexing metadata
13. Fig. 11. IT CNAS-GMRES curves on the spatial grid size M at α = 1.1 : 0.2 : 1.9, N = 200

Download (134KB)
Indexing metadata
14. Fig. 12. IT curves NASS-GMRES, CNAS-GMRES and GMRES from the nonlinear thermoparameter ρ at α = 1.1 : 0.4 : 1.9, M = 1600, N = 200

Download (242KB)
Indexing metadata
15. Fig. 13. Relative errors of discrete energy, i.e. |(En −E0)∕E0|, at h = 0.1, τ = 0.01

Download (207KB)
Indexing metadata
16. Fig. 14. Numerical solutions (left) and their errors (right) of the fractional-spatial CNLS equations (5.3) for α = 1.1, M = 800, N = 600

Download (154KB)
Indexing metadata
17. Fig. 15. Numerical solutions (left) and their errors (right) of the fractional-spatial CNLS equations (5.3) for α = 1.5, M = 800, N = 600

Download (163KB)
Indexing metadata
18. Fig. 16. Numerical solutions (left) and their errors (right) of the fractional-spatial CNLS equations (5.3) for α = 1.9, M = 800, N = 600

Download (189KB)
Indexing metadata
19. Fig. 17. Numerical solutions (left) and their errors (right) of the fractional-spatial CNLS equations (5.3) for α = 2, M = 800, N = 600

Download (231KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».