О чувствительности периода чандлеровского колебания Марса к параметрам реологической модели

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Чандлеровское колебание (ЧК) возникает из-за того, что ось вращения планеты не совпадает с осью наибольшего момента инерции. Зарегистрировать ЧК Марса долго не удавалось. Период ЧК Марса был предсказан теоретически (см., напр., [1–6]). В работе [2] рассмотрены такие эффекты на период ЧК, как влияние жидкого ядра и неупругости недр планеты, влияние слабой трёхосности фигуры Марса. Попытка экспериментально определить период чандлеровского колебания была предпринята в [7], и затем в [8]. Из-за малой амплитуды колебаний (около 10 см) авторы этих работ не смогли точно идентифицировать период ЧК из-за наложения периода перераспределения массы за 1/3 марсианского года. Впервые период этого колебания с достаточно хорошей точностью (206.9±0.5 дня) был измерен на Марсе благодаря радионаблюдениям со спутников Mars Odyssey, Mars Reconnaissance Orbiter и Mars Global Surveyor, вращающихся вокруг Марса почти два десятилетия [9]. Период ЧК Марса служит новым ограничением при построении модели внутреннего строения планеты и даёт нам знания о реологических свойствах мантии на длинных периодах.

Теоретические расчёты ЧК Земли включают вычисление периода для модели твёрдой планеты и учёт поправок [3, 10], при этом в этих работах показано, что одним из источников большого расхождения теоретического значения периода ЧК Земли от наблюдаемой величины является неучёт неупругости мантии. Исследование влияния неупругости недр Марса на период ЧК проводилось в работах [1, 3, 4].

В данной работе на основе реологической модели Андраде исследовано влияние параметров реологической модели на период чандлеровского колебания Марса.

ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ И МОДЕЛИ ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ МАРСА

До успешного сейсмического эксперимента миссии НАСА InSight (2019–2022 гг.) модели внутреннего строения Марса опирались на измеряемые геодезические величины: масса, средний радиус, момент инерции и число Лява k₂. В работе [9] были уточнены момент инерции (I = 0.3640±0.0006) и число Лява k₂ (k₂ = 0.174±0.008). В результате сейсмического эксперимента: определена толщина коры под посадочным модулем, и затем с учётом данных гравитационного поля и топографии получено, что средняя толщина коры Марса составляет от 32 до 70 км, а средняя плотность не более 3100 кг/м³ [11]; получен радиус марсианского ядра [12] (1830±40 км), который совсем недавно был уточнён [13]. Оказалось, что у основания мантии, над металлическим ядром, имеется расплавленный силикатный слой, и металлическое ядро на 150–170 км меньше (т.е. радиус ядра Марса составляет 1650±20 км) и на 5–8% плотнее (плотность ядра равна 6500 кг/м³).

В данной работе тестовые модели внутреннего строения Марса рассчитаны на основе метода, изложенного в [4], по геодезическим параметрам (масса и средний радиус планеты, момент инерции, число Лява k₂) и отобраны по данным, полученным в ходе сейсмического эксперимента InSight на Марсе (толщина и плотность коры, радиус ядра).

РАСЧЕТ ЧАНДЛЕРОВСКОГО ПЕРИОДА

Из-за гигантского поднятия Фарсида Марс моделируется как слаботрёхосный эллипсоид [2]. Период ЧК для трёхосного упругого тела с жидким ядром задаётся формулой [5]

$T_W=T_E(1-\frac{{\left(A_c{B}_c\right)}^{1/2}}{{\left(AB\right)}^{1/2}})/(1-k_2/k_0)$, (1)

где А и В – главные моменты инерции планеты, А_c и В_c – главные моменты инерции жидкого ядра, Т_Е – эйлеровский период (период осесимметричного твёрдого тела), k₂ – число Лява с учётом зависимости от частоты (число Лява для неупругой модели на частоте ЧК), $k_0$ – так называемое вековое (или секулярное) число Лява, которое определяет упругие деформации при условии полной релаксации сдвиговых напряжений в мантии планеты (т.е., соответствует модели целиком жидкой планеты с теми же распределениями плотности и модулей объёмного сжатия, что и для реальной планеты).

Значение k₀ определяется как

$k_0=\frac{3G(C-\overline{A})}{R^5{\omega }^2}$, (2)

где R = 3389.5 км — средний радиус планеты, G = 6.67x10^–11 м³с^–2кг^–1 — гравитационная постоянная, ω = 7.088191 х 10^–5 с^–1 ‒ угловая скорость вращения планеты.

Число Лява k₂ включает в себя упругую и неупругую составляющие [4]. В формулу (1) входит значение числа Лява k₂ на частоте чандлеровского колебания. Ниже, используя реологию Андраде, для пробных значений вязкости в недрах Марса, получим модельные оценки вклада неупругой части в число Лява k₂ с учётом вязкоупругости.

Известно, что реологическое поведение мантийных пород на приливных периодах зависит от частоты. В настоящее время считается, что для описания вязкоупругого поведения недр планет и спутников больше всего подходит реология Андраде (см. обзор в [14]).

В вязкоупругой модели реологии Андраде комплексный модуль сдвига $\tilde{\mu }$ равен $1/\tilde{J}$, где $\tilde{J}$ называется “комплексная податливость материала”, которая определяется по формуле [15]

$\tilde{J}\left(\chi \right)=J{\left[1+i{\tau }_M\chi \right]}^{-\alpha }\Gamma \left(1+\alpha \right)-\frac{i}{\eta \chi }$, (3)

$J=1/\mu$, ${\tau }_M=\eta /\mu$ время Максвелла,частота прилива, Г – гамма-функция и α – параметр Андраде.

К сожалению, параметр Андраде α точно не определён. Обычно его значение находится в диапазоне 0.2–0.5 [15].

Вязкость недр Марса точно не известна. Для учёта неупругого поведения недр планеты рассмотрим многослойную модель с кусочно-постоянным распределением вязкости. Параметром в данной модели будет служить вязкость коры со значением η₀. Примем следующую многослойную модель вязкости: в коре вязкость равна параметру модели η₀, в верхнем слое мантии (оливин-содержащий слой) ‒ 10⁻²η₀, в среднем слое мантии (β-слой) ‒ 10⁻¹η₀, в нижнем слое мантии (γ-слой) ‒ η₀. Толщину расплавленного слоя над границей ядро-мантия [13] положим равной 200 км и вязкость равной 10⁹ Па с, что отвечает неупругому состоянию. Считаем, что вязкость ядра равна нулю.

Исследуем изменение числа Лява k₂ от вязкости слоя на границе ядро–мантия. Для этого рассмотрим упругую модель, вязкость будем менять только в слое над границей ядра. Полученная зависимость показана на рис. 1. На графике видно, что переход к неупругому состоянию слоя (состояние его частичного плавления) начинается при значениях вязкости около 10¹⁶ Па с. Такая же оценка получается непосредственно из формулы Андраде. Для описания расплавленного состояния этого слоя будем использовать вязкость 10⁹ Па с, при меньшем значении могут накапливаться ошибки при вычислении числа Лява k₂.

 

Рис. 1. Зависимость числа Лява k₂ от вязкости слоя в основании мантии.

 

Рисунок 2 показывает, как меняется неупругая составляющая числа Лява k₂ в зависимости от параметров реологической модели. Моделирование проведено для интервала пробных значений параметра вязкости η₀ (1021–1023 Па с) и значений параметра Андраде a (0.2–0.5). Используемые интервалы значений вязкости и параметра Андраде aприводят к большому разбросу значений неупругой поправки в число Лява. Из рис. 2 видно, что поправка за неупругость в модельное число Лява k₂ сильно меняется в зависимости от принимаемой вязкости недр и параметра Андраде, неупругая поправка увеличивается при уменьшении a.

 

Рис. 2. Отклонение реальной части числа Лява k₂ от упругого значения в зависимости от значения параметра Андраде α для тестовой многослойной неупругой модели (в коре вязкость принята η₀, в оливиновой мантии 10^–2η₀, в слое β ‒ 10^–1η₀, в слое γ — η₀): η₀=10²¹ Па с (белые кружки), η₀=10²² Па с (чёрные кружки), η₀=10²³ Па с (чёрные квадраты).

 

Влияние эффектов неупругости мантии на модельные значения чандлеровского периода Марса продемонстрировано на рис. 3. Неупругое поведение мантии увеличивает число Лява k₂, и, следовательно, период чандлеровского колебания. Одной из неопределённостей при расчёте периода ЧК Марса служит неопределённость параметров реологической модели. Оценка параметра α для Марса находится в широком диапазоне 0.07–0.35 в [9] и 0.09–0.35 в [6]. Численное моделирование, проведённое в работе, указывает на значения параметра α для Марса в диапазоне 0.3–0.5 при допустимых значениях вязкости мантии.

 

Рис. 3. Чандлеровский период Марса для различных значений вязкости и параметра Андраде α. Цифры на рисунке соответствуют степени параметра вязкости η₀.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для учёта неупругости недр использована модель Андраде. При изменении параметров Андраде от значений α = 0.5, η₀ = 10²³ Па с до α = 0.2, η₀ = 10²¹ Па с неупругая составляющая числа Лява k₂ увеличивается практически от нуля до 0.014. Для наиболее часто используемого значения α = 0.3 и η₀ = 10²¹ Па с учёт неупругости даёт поправку 0.005, что соответствует оценкам из работы [4].

Параметры неупругости точно не определены, и в данной работе был исследован вопрос — как выбор реологического параметра Андраде и распределение вязкости в мантии Марса меняет значение периода чандлеровского колебания. Значения чандлеровского периода рассчитаны для ряда тестовых моделей внутреннего строения.

Чандлеровский период — новый параметр, полученный недавно из данных наблюдений, значение которого накладывает дополнительное ограничение на распределение упругих параметров в планете. Проведённое численное моделирование показало, что нужны дальнейшие исследования влияния реологических параметров, а также минералогического состава мантии Марса на значение периода чандлеровского колебания. Это может значительно улучшить наше понимание поведения реологии мантии Марса на длинных периодах.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена за счёт темы госзадания ИФЗ им. О.Ю. Шмидта РАН.

Об авторах

Е. А. Кулик

Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта Российской Академии наук

Email: kulik.ea@ifz.ru
Россия, Москва

Т. В. Гудкова

Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта Российской Академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: gudkova@ifz.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы