Статистические распределения высоты гребней и глубины впадин морских поверхностных волн

Полный текст

Введение

Исследования статистических распределений морских волн, выделение аномально высоких волн (rogue waves) являются одной из актуальных задач современной океанологии [1]. В линейном волновом поле, представляющем собой суперпозицию синусоидальных волн со случайной фазой, при условии, что волновой спектр является достаточно узким, распределение высот волн описывается распределением Рэлея [2]. Этим же распределением описываются распределения высоты гребней и глубины впадин [3]. Распределение Рэлея обычно рассматривается как нижний предел, дающий наименьшие вероятности для экстремальных волн [4], также линейная модель сильно занижает вероятность появления высоких гребней [5].

Под высотой гребня сr подразумевается максимальное значение волнограммы h(t) между моментом, когда она пересекает нулевой уровень снизу вверх, и моментом, когда она пересекает этот уровень сверху вниз [6]. Аналогично, глубиной впадины Th является минимальное значение h(t) между двумя последовательными пересечениями нулевого уровня сверху вниз и снизу вверх. Высота волны определяется как сумма последовательных максимума и минимума между двумя точками пересечения волнограммой h(t) нулевого уровня вверх или вниз, т. е. н = сr + Th [7].

Отклонения статистических распределений морских волн от линейной модели обычно описываются в рамках нелинейной модели второго порядка, которая строится на основе разложения волнового профиля по степеням малого параметра (крутизны) [8]. В указанной модели асимметрия распределения возвышений морской поверхности всегда выше нуля [9], гребни выше, а впадины мельче, чем предсказывает линейная теория [10]. Оба эти условия не всегда выполняются в морских условиях. Измерения, проведенные на разных акваториях Мирового океана, показали, что нижняя граница диапазона, в котором меняется асимметрия, лежит в области отрицательных значений [11, 12]. Нелинейная модель второго порядка описывает только средние тенденции изменения асимметрии и эксцесса, не позволяя описать всего многообразия возникающих в море ситуаций [13].

Соотношения высоты гребня и глубины впадины меняются в широких пределах. Наблюдаются ситуации, когда максимальная за сеанс измерений глубина впадины больше максимальной высоты гребня [14, 15]. По данным измерений в Черном море вероятность события, при котором глубина впадины наиболее высокой за сеанс измерений волны больше высоты ее гребня, достигает 10 % [16].

Анализу распределения впадин морских волн уделялось меньше внимания, чем статистическому описанию их гребней, хотя распределение впадин имеет большое значение для ряда инженерных приложений [9]. Целью настоящей работы является совместный анализ распределений высоты гребней и глубины впадин поверхностных волн.

Аппаратура и условия измерений

Для исследования статистических характеристик поверхностных волн использовали данные волновых измерений, полученные на стационарной океанографической платформе Морского гидрофизического института РАН. Стационарная океанографическая платформа установлена в прибрежной части Черного моря у Южного берега Крыма на глубине около 30 м. Для измерения поверхностных волн использовали два типа волнографов. В волнографах первого типа датчиком является вертикально натянутая нихромовая струна [17], в волнографах второго типа нихромовая струна навита с постоянным шагом на вертикально ориентированный несущий кабель-трос [18].

В настоящей работе анализируются данные измерений, полученные в летний и осенний периоды 2006 г., а также в зимний период 2018 г. В 2006 г. измерения проводили сеансами, продолжительностью несколько часов, в 2018 г. волновые измерения вели непрерывно в течение месяца. Непрерывные записи возвышений морской поверхности разбивали на фрагменты продолжительностью 20 мин. Для анализа использовали 2380 двадцатиминутных фрагментов.

Для каждого фрагмента определяли высоту гребня сr и глубину впадины Th отдельных волн, а также рассчитывали значительную высоту волн н_s, асимметрию a и эксцесс е возвышений поверхности. При анализе рассматривали только волны, удовлетворяющие условиям сr > 5 см и Th > 5 см. Здесь и далее параметр Th равен модулю глубины впадины.

Волновые измерения, проведенные в разные сезоны, позволили охватить широкий диапазон метеопараметров. Средняя за сеанс измерений скорость ветра менялась от условного нуля (порог трогания вертушки) до 26 м/с. В порывах скорость ветра достигала 35 м/с. Периоды волн, рассчитанные по максимуму волнового спектра, лежали в диапазоне от 1.1 с до 9 с. Значительная высота волн менялась в пределах от 0.1 м до 2.3 м. Значения крутизны волн (параметр нелинейности) в основном лежали в пределах от 0.009 до 0.09.

Распределения глубины впадин и высоты гребней

Для статистических моментов h(t) введем обозначение

${\mu }_n=⟨{\eta }^n\left(t\right)⟩$,

где $⟨\mathrm{...}⟩$ символ  означает осреднение. Будем полагать, что среднее значение случайной величины m₁ = 0, тогда асимметрия и эксцесс распределения возвышений поверхности соответственно равны А_h = m₃/m₂^3/2 и е_h = m₄/m₂² – 3.

Чтобы сравнивать статистические распределения глубины впадины и высоты гребней, определенных в разных ситуациях, будем использовать нормированные волнограммы

$\left(t\right)=\text{η}\left(t\right)/H_S$,   (1)

где н_s – значительная высота волн, которая связана с вторым статистическим моментом возвышений морской поверхности соотношением $H_S=\text{4}\sqrt{{\text{μ}}_{\text{2}}}$.

Функция плотности вероятностей распределения Рэлея, описывающая в рамках линейной модели распределения сr и Th, имеет вид

$F_R\left(x\right)=\frac{x}{a^{\text{2}}}\text{exp}\left(-\frac{x^{\text{2}}}{\text{2}{a}^{\text{2}}}\right)$,   $x\ge \text{0}$,   (2)

где $a=H_S/\text{4}$. Учитывая (1), получаем, что в нашем случае мода распределения (2) определена как $M{o}_R=\text{0.25}$.

Эмпирические функции плотности вероятностей сr и Th рассчитывали на основе гистограмм, построенных с равными интервалами. Интервалы были выбраны равными 0.05. Рассчитанные по всему массиву данных измерений эмпирические функции плотности вероятностей высоты гребней f_сr (x) и глубины впадин f_Th (x) представлены на рис. 1. Видно, что моды эмпирических распределений $M{o}_{Cr}$ и $M{o}_{Th}$ смещены относительно моды распределения Рэлея в сторону более высоких значений x, т. е. выполняются условия

$M{o}_{Cr}>M{o}_R$,   $M{o}_{Th}>M{o}_R$.

Моды распределений сr и Th находятся в соседних интервалах, середины которых $M{o}_{Cr}=\text{0.375}$ и $M{o}_{Th}=\text{0.325}$.

Рис. 1. Функции плотности вероятностей f (средняя по ансамблю ситуаций): f_сr (x) (синяя кривая); f_Th (x) (красная кривая); f_r (x) (черная кривая)

Fig. 1. Probability density functions f (average over an ensemble of situations). The blue curve is f_сr (x), the red curve is f_Th (x), the black curve is f_r (x)

Учет нелинейности приводит к тому, что вероятность появления высоких гребней становится выше, чем в линейной модели, в которой эта вероятность описывается распределением Рэлея, а вероятность глубоких впадин ниже [9]. Из рис. 1 следует, что в области $x>M{o}_{Cr}$ справедливо неравенство f_сr (x) > f_r (x). Соотношение между f_Th (x) и f_r (x) меняется при x₀ » 0.8, в области $x_{\text{0}}>x>M{o}_{Cr}$ имеет место неравенство f_Th (x) > f_r (x), при x > x₀ обратное соотношение f_Th (x) < f_r (x). Таким образом, в области высоких гребней и глубоких впадин отклонения f_сr (x) и f_Th (x) от f_r (x) происходят в сторону, предсказанную нелинейной моделью второго порядка [19], т. е. поведение средних по ансамблю ситуаций распределений высоты гребней и глубины впадин качественно соответствует этой модели.

Ранее проведенные исследования старших статистических моментов возвышений морской поверхности показали, что нелинейная модель второго порядка позволяет описать только средние тенденции изменения асимметрии и эксцесса, но не позволяет описать всего многообразия ситуаций, возникающих в морских условиях [13]. Значения асимметрии и эксцесса меняются в значительно более широких пределах, чем это следует из модели. В частности, модельные оценки асимметрии распределения возвышений поверхности А_h и эксцесса е_h всегда положительные [20], в то время как в морских условиях нередко наблюдаются ситуации, в которых А_h < 0 и/или е_h < 0 [12]. При каких значениях А_h и е_h получены анализируемые в настоящей работе волнограммы, показано на рис. 2.

Рис. 2. Изменения асимметрии А_h и эксцесса е_h возвышений морской поверхности

Fig. 2. Changes in the skewness А_h and excess kurtosis е_h of sea surface elevations

Эффект асимметрии А_h и эксцесса е_h

Обычно распределения высоты гребней и глубины впадин анализируются в рамках нелинейной модели второго порядка, построенной на основе разложения волнового профиля в ряд по степеням малого параметра [19–22]. В работе [8] для описания статистических характеристик морской поверхности предложена упрощенная нелинейная модель второго порядка, которая представляет собой сумму линейной h_L (x, t) и нелинейной h_N (x, t) составляющих. Модель построена для волн, распространяющихся на глубокой воде, в приближении узкополосного спектра. Она описывается уравнением амплитудно-модулированной волны Стокса со средней частотой w и случайной фазой e

$\text{η}\left(x,t\right)={\text{η}}_L\left(x,t\right)+{\text{η}}_N\left(x,t\right)=a_r\left(x,t\right)\text{cosθ}+\frac{\text{1}}{\text{2}}{k}_p{a}_r^{\text{2}}\left(x,t\right)\text{cos}\left(\text{2θ}\right)$,   (3)

где а_r (x, t) – огибающая; q = k_p x – wt + e; k_p – волновое число, соответствующее пику волнового спектра. Локальные максимумы нелинейного члена h_N (x, t) совпадают с гребнем и впадиной линейной волны h_L (x, t), следовательно, высота гребня и глубина впадины в рамках модели (3) равны [9]

$C{r}_N=a_r+\frac{\text{1}}{\text{2}}{k}_p{a}_r^{\text{2}}$,   $T{h}_N=a_r-\frac{\text{1}}{\text{2}}{k}_p{a}_r^{\text{2}}$.

Чтобы оценить, насколько эта модель применима к описанию статистических распределений гребней и впадин, необходимо проанализировать, как меняются функции f_сr (x) и f_Th (x) в разных ситуациях, в частности при отрицательных значениях асимметрии или эксцесса. Результаты этого анализа представлены на рис. 3.

Рис. 3. Функции плотности вероятностей f, рассчитанные для трех диапазонов асимметрии А_h: f_сr (x) (синяя кривая); f_Th (x) (красная кривая); f_r (x) (черная кривая)

Fig. 3. Probability density functions f calculated for three ranges of skewness А_h. The blue curve is f_сr (x), the red curve is f_Th (x), the black curve is f_r (x)

Из рис. 3 следует, что при изменении знака асимметрии А_h вид функции f_Th (x) существенно меняется. Если выполняется условие А_h < 0, то наблюдается равенство f_Th (x) » f_сr (x). Отметим, что равенство f_Th (x) = f_сr (x) имеет место в рамках линейной модели, когда распределения Cr и Th описываются распределением Рэлея. В данном случае отличие от линейной модели при А_h < 0 заключается в том, что в области x > 0.45 выполняются неравенства f_сr (x) > f_r (x) и f_Th (x) > f_r (x). 

Изменение эксцесса, как следует из рис. 4, оказывает более слабое влияние на форму функций f_сr (x) и f_Th (x).

Рис. 4. Функции плотности вероятностей f, рассчитанные для четырех диапазонов эксцесса е_h: f_сr (x) (синяя кривая); f_Th (x) (красная кривая); f_r (x) (черная кривая)

Fig. 4. Probability density functions f calculated for four ranges of excess kurtosis е_h. The blue curve is f_сr (x), the red curve is f_Th (x), the black curve is f_r (x)

Заключение

На основе прямых волновых измерений, проведенных в морских условиях, проанализированы распределения глубины впадин Th и высоты гребней Cr морских поверхностных волн. В среднем по ансамблю ситуаций рассчитанные по данным измерений большие значения высот гребней имеют вероятность выше, чем это следует из распределения Рэлея, а вероятность глубоких впадин ниже. Качественно такие распределения высот гребней и глубин впадин соответствуют нелинейной модели второго порядка.

В тоже время нелинейная модель второго порядка не описывает f_Th (x) и f_сr (x) в ситуации, когда асимметрия распределения возвышений морской поверхности А_h является отрицательной. Показано, что при А_h < 0 функции f_Th (x) и f_сr (x) примерно равны.

Изменения эксцесса распределения возвышений морской поверхности в меньшей мере влияют на функции плотности вероятностей Th и Cr, чем изменения асимметрии распределения.

Об авторах

Александр Сергеевич Запевалов

Автор, ответственный за переписку.
Email: sevzepter@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9942-2796
SPIN-код: 6784-7782
Scopus Author ID: 7004433476
ResearcherId: V-7880-2017

главный научный сотрудник, доктор физико-математических наук

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Функции плотности вероятностей f (средняя по ансамблю ситуаций): fсr (x) (синяя кривая); fTh (x) (красная кривая); fr (x) (черная кривая)

Скачать (42KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Изменения асимметрии Аh и эксцесса еh возвышений морской поверхности

Скачать (51KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Функции плотности вероятностей f, рассчитанные для трех диапазонов асимметрии Аh: fсr (x) (синяя кривая); fTh (x) (красная кривая); fr (x) (черная кривая)

Скачать (85KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Функции плотности вероятностей f, рассчитанные для четырех диапазонов эксцесса еh: fсr (x) (синяя кривая); fTh (x) (красная кривая); fr (x) (черная кривая)

Скачать (119KB)

Метаданные