Умножение распределений и алгебры мнемофункций

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Работа посвящена обсуждению методов и подходов, связанных с приданием смысла произведению обобщенных функций, которое в общем случае не определено в классической теории. Показано, что в основе проблемы лежит незамыкаемость в пространстве распределений оператора умножения на гладкую функцию. Изложен общий метод построения новых объектов, называемых новыми обобщенными функциями, или мнемофункциями, которые сохраняют основные свойства обычных обобщенных функций и при этом образуют алгебры. Описаны различные способы вложения пространств распределений в алгебры мнемофункций. Все идеи и рассуждения проиллюстрированы на наиболее простом примере пространства обобщенных функций на окружности. Некоторые эффекты, возникающие при исследовании уравнений с обобщенными коэффициентами, продемонстрированы на примере линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Об авторах

А Б Антоневич

Белорусский государственный университет

Email: antonevich@bsu.by
Беларусь, 220030, г. Минск, пр. Независимости, д. 4

Т Г Шагова

Белорусский государственный университет

Email: tanya.shagova@gmail.com
Беларусь, 220030, г. Минск, пр. Независимости, д. 4

Список литературы

  1. Альбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Холден Х. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир, 1991.
  2. Антоневич А. Б., Радыно Я. В. Об общем методе построения алгебр обобщенных функций// Докл. АН СССР. - 1991. - 43, № 3. - С. 680-684.
  3. Антоневич А. Б., Романчук Т. А. Уравнения с дельта-образными коэффициентами: метод конечномерных аппроксимаций. - Saarbrucken: LAP Lambert, 2012.
  4. Антоневич А. Б., Шагова Т. Г. Вложения распределений в алгебру мнемофункций на окружности// Пробл. физ. мат. и техн. - 2018. - 37, № 4. - С. 52-61.
  5. Антоневич А. Б., Шагова Т. Г., Шкадинская Е. В. Алгебра мнемофункций на окружности// Пробл. физ. мат. и техн. - 2018. - 36, № 3. - С. 55-62.
  6. Антоневич А. Б., Шукур Али А. О росте аналитической функции в круге// Докл. НАН Беларуси. - 2016. - 60, № 5. - С. 41-45.
  7. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. - М.: Мир, 1976.
  8. Березин Ф. А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом// Докл. АН СССР. - 1961. - 137, № 5. - С. 1011-1014.
  9. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. - М.: Мир, 1965.
  10. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. - М.: Наука, 1979.
  11. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматлит, 1959.
  12. Данилов В. Г., Маслов В. П., Шелкович В. М. Алгебры особенностей сингулярных решений квази-линейных строго гиперболических систем первого порядка// Теор. мат. физ. - 1998. - 114, № 1. - C. 3-55.
  13. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. - М.: Мир, 1980.
  14. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. - М.: Гостехиздат, 1957.
  15. Егоров Ю. В. К теории обобщенных функций// Усп. мат. наук. - 1990. - 45, № 5. - С. 3-40.
  16. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 3. - С. 27-122.
  17. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. - М.: Наука, 1991.
  18. Иванов В. К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца// Докл. АН СССР. - 1972. - 204, № 5. - C. 1045-1048.
  19. Левенштам В. Б. Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми (усреднения и асимптотики). - Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2010.
  20. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.
  21. Мельникова И. В., Бовкун В. А., Алексеева У. А. Решение квазилинейных стохастических задач в абстрактных алгебрах Коломбо// Дифф. уравн. - 2017. - 53, № 12. - C. 1653-1663.
  22. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. - Киев: Наукова думка, 1971.
  23. Суслина Т. А. Усреднение задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами// Алгебра и анализ. - 2017. - 29, № 2. - C. 139-192.
  24. Antonevich A., Burachewskij A., Radyno Ya. On closability of nonclosable operators// Panamer. Math. J. - 1997. - 7, № 4. - С. 37-51.
  25. Antonevich A. B., Radyno Ya. V. On the problem of distributions multiplication// 10th Conf. «Problems and Methods in Mathematical Physics», Chemnitz, Germany, Sep. 13-17. - Leipzig: Teubner, 1994. - С. 9-14.
  26. Baglini L. L., Giordano P. The Category of Colombeau algebras// Monatsh. Math. - 2017. - 182.- С. 649-674.
  27. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. I// Bulgar. J. Phys.- 1978.- 6. - С. 543-556.
  28. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. II// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 1. - С. 3-23.
  29. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. III// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 3. - С. 245-256.
  30. Christov Ch., Damianov B. Asymptotic functions - a new class of generalized functions. IV// Bulgar. J. Phys.- 1979.- 4. - С. 377-397.
  31. Colombeau J. F. A multiplication of distributions// J. Math. Anal. Appl. - 1983. - 94. - С. 96-115.
  32. Colombeau J. F. New generalized functions and multiplication of distributions. - Amsterdam: North- Holland, 1984.
  33. Grosser M., Kunzinger M., Oberguggenberger M., Steinbauer R. Geometric theory of generalized functions with applications to general relativity. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.
  34. Kostenko A. S., Malamud M. M. 1-D Schro¨dinger operator with local point interaction on a discrete set// J. Differ. Equ. - 2010. - 249. - С. 253-304.
  35. Nedeljkov M., Pilipovic S., Scarpalezos D. Linear theory of Colombeau’s generalized functions. - Harlow: Addison-Wesley Longman, 1998.
  36. Oberguggenberger M. Multiplication of distributions and application to partial differential equations. - Harlow: Longman Higher Education, 1992.
  37. Rosinger E. E. Generalized solutions of nonlinear partial differential equations. - North-Holland: Mathematics Studies, 1987.
  38. Schwartz L. The´orie des distributions: en 2 vol. - Paris: Hermann, 1950.
  39. Schwartz L. Sur l’impossibilite´ de la multiplication des distributions// C. R. Acad. Sci. Paris. - 1954. - 239. - С. 847-848.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).