Том 26, № 3 (2024)

В настоящей статье рассматриваются $\Omega$-устойчивые диффеоморфизмы, заданные на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности $n\ge 3$, все нетривиальные базисные множества которых являются либо растягивающимися аттракторами, либо сжимающимися репеллерами коразмерности 1. Благодаря простой топологической структуре бассейнов аттракторов и репеллеров такого типа можно осуществить переход от данной динамической системы с нетривиальными базисными множествами к регулярной системе, представляющей собой гомеоморфизм с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством. Как известно, не все дискретные динамические системы обладают энергетической функцией — глобальной функцией Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно-рекуррентным множеством системы. Контрпримеры были найдены как среди регулярных диффеоморфизмов, так и среди диффеоморфизмов с хаотической динамикой. Основным результатом данной работы является доказательство того, что топологические энергетические функции для исходного диффеоморфизма и соответствующего ему регулярного гомеоморфизма существуют или отсутствуют одновременно. Таким образом, многочисленные результаты, полученные в области существования энергетических функций для систем с регулярной динамикой, например, для диффеоморфизмов Морса-Смейла, можно применить к исследованию диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности 1.

Проводится анализ существующих подходов к разработке программных решений, предназначенных для решения задач оптимального управления, делается вывод о необходимости развития специализированных численных программных комплексов. В качестве численного метода решения задач оптимального управления предлагается метод параметризации, позволяющий на основе единого подхода решать задачи оптимального управления с точечным запаздыванием, с распределенным запаздыванием, без запаздывания. В рамках метода описывается схема представления управляющего воздействия в виде обобщенного сплайна с подвижными узлами и последующего сведения исходной задачи оптимального управления с запаздыванием/без запаздывания к задаче нелинейного программирования относительно параметров сплайна и временных узлов. Для поставленной задачи нелинейного программирования представлены алгоритмы вычисления производных первого и второго порядка целевой функции. Представленные алгоритмы позволяют вычислять производные на основе решения задач Коши для прямой и сопряженной систем. Этот подход отличается от стандартного способа вычисления на основе разностной аппроксимации и позволяет существенно сократить общий объем вычислений. Исходя из специфики метода параметризации, предлагается концепция разработки программного комплекса, выводятся основные положения разработки. Так, в программном комплексе предлагается независимость реализации методов решения задач нелинейного программирования и дискретных схем решения задач Коши; единый (не зависящий от типа задачи оптимального управления) подход к параметризации управления. Также приводятся результаты вычислительных экспериментов, проведенных методом параметризации. Результаты подтверждают эффективность применения единого подхода к решению задач оптимального управления с точечным запаздыванием, распределенным запаздыванием, без запаздывания.

В работе рассматриваются линейный дифференциальный оператор и несколько нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов, на основе которых записываются уравнения колебаний деформируемой пластины. В нелинейных операторах введены слагаемые, учитывающие нелинейность изгибающего момента и сил демпфирования, а также продольной силы, возникающей вследствие удлинения пластины из-за ее деформации. На основе предложенных уравнений разработаны математические модели механической системы, состоящей из недеформируемого трубопровода, скрепленного одним концом с датчиком, предназначенным для измерения давления в камере сгорания авиационного двигателя, и другим концом с этой камерой. Чувствительным элементом датчика, передающим информацию о давлении, является деформируемая пластина, концы которой закреплены жестко. В моделях учитывается аэрогидродинамическое воздействие на элемент рабочей среды и изменение температуры с течением времени по толщине элемента. На основе метода малого параметра в первом приближении получены асимптотические уравнения, описывающие совместную динамику рабочей среды в трубопроводе и деформируемого элемента датчика. Исследование динамики упругого элемента основано на применении метода Бубнова-Галеркина и проведении численных экспериментов в системе Mathematica 12.0. Произведен сравнительный анализ решений для линейной и нелинейных моделей. Показано влияние перечисленных выше видов нелинейностей на изменение величины прогиба пластины.

Моделируется неоднородное распределение напряжений в многослойной ограждающей конструкции, отдельные слои которой выполнены из бетонов, различных по своим механическим свойствам, и жестко скреплены друг с другом. Подобные конструкции представляют значительный практический интерес, поскольку их теплоизоляционные свойства могут быть существенно выше, чем у однородных плит той же толщины (при сохранении необходимых механических свойств). Обсуждается вид критерия прочности для панелей изучаемого типа. На примере конкретной панели поставлена задача об определении эквивалентных и главных напряжений в ней под действием нагрузок и кинематических ограничений, характерных для промышленных и гражданских зданий. Для численного моделирования стационарного нагружения панели используется конечно-элементный пакет ANSYS Workbench. Обсуждается нефизичное поведение решения (возрастание напряжений вблизи некоторых ребер панели) при измельчении расчетной сетки. Показано, что в рамках модели изотропного линейно-упругого тела данный феномен связан с несогласованностью граничных условий задачи на поверхностях, имеющих общее ребро, выступающее в роли концентратора напряжений; предложен метод решения этой проблемы. Разработанный подход используется для определения критической нагрузки, при которой плита начинает разрушаться.