О частичной неустойчивости нулевого решения нелинейных систем по первому приближению

Получены достаточные условия неустойчивости относительно части переменных нулевого решения нелинейной системы по линейному приближению. Приведены результаты, когда правая часть исследуемой системы представлена как в наиболее общем виде, так и в виде векторного полинома. В качестве первого приближения взята линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей, которая может иметь собственные значения с нулевыми вещественными частями, причем алгебраические и геометрические кратности этих собственных значений могут не совпадать. Подход основан на установлении некоторого соответствия между решениями исследуемой системы и ее линейного приближения. В случае, если такое соответствие существует, начинающиеся в достаточно малой окрестности нуля решения таких систем обладают некоторыми одинаковыми покомпонентными асимптотическими свойствами. В настоящей работе в качестве такого свойства выступает неустойчивость по отношению к части переменных. Приведены условия, когда свойства неустойчивости нулевого решения одной системы сохраняются при переходе к другой системе. Приведен пример неустойчивости по отношению к части переменных нулевого решения нелинейной системы, матрица линейного приближения которой содержит по одному положительному, отрицательному и нулевому собственному значению, причем алгебраическая и геометрическая кратности нулевого собственного значения не совпадают.