Quartic corrections in energy potentials of hemitropic micropolar solids

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The present study is devoted to employing the theory of algebraic invariants for deriving an approximation of the potential of force and couple stresses of the fourth degree for a nonlinear hemitropic micropolar elastic solid. The complete set of irreducible invariants for a system of two asymmetric second-rank tensors in the form of invariant traces is studied using the theory of integer rational algebraic invariants (semi-invariants).
As a result, a set of 86 invariant traces is obtained. This set comprises 8 individual invariants, 17 doublets, 44 triplets, and 17 quadruplets. From these 86 elements, 39 invariants were selected according to the rule of increasing algebraic degrees: 2 linear invariants, 6 quadratic, 12 cubic, and 19 quartic. The 39 fourth-degree invariants are divided into four groups based on the following rules: products of linear invariants with each other, products of quadratic invariants with each other, products of linear and quadratic invariants, pairwise products of linear and cubic invariants, and proper fourth-degree invariants.
The potential of force and couple stresses of a hemitropic micropolar elastic solid is constructed, containing quadratic, cubic, and quartic algebraic terms. Thus, the micropolar potential contains a total of 124 constitutive modules. Formulas for calculating all 39 invariants in mixed tensor components are provided. As a result, 87 quartic corrections to the cubic potential of force and couple stresses of a nonlinear hemitropic micropolar elastic solid are obtained.

About the authors

Evgenii V. Murashkin

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: murashkin@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-3267-4742
SPIN-code: 4022-4305
Scopus Author ID: 12760003400
ResearcherId: F-4192-2014
https://www.mathnet.ru/rus/person53045

Cand. Phys. & Math. Sci., PhD, MD; Senior Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

Yuri N. Radayev

Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: radayev@ipmnet.ru
ORCID iD: 0000-0002-0866-2151
SPIN-code: 5886-9203
Scopus Author ID: 6602740688
ResearcherId: J-8505-2019
https://www.mathnet.ru/rus/person39479

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Ph.D., M.Sc., Professor; Leading Researcher; Lab. of Modeling in Solid Mechanics

Russian Federation, 119526, Moscow, pr. Vernadskogo, 101–1

References

  1. Spencer A. J. M., Rivlin R. S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors. Part I, Arch. Ration. Mech. Anal., 1962, vol. 9, pp. 45–63. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00253332.
  2. Spencer A. J. M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors. Part II, Arch. Ration. Mech. Anal., 1965, vol. 18, pp. 51–82. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00253982.
  3. Smith G. F. On isotropic integrity bases, Arch. Ration. Mech. Anal., 1965, vol. 18, pp. 282–292. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00251667.
  4. Gurevich G. B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, The Netherlands, P. Noordhoff, 1964, viii+429 pp.
  5. Spencer A. J. M. Theory of invariants, In: Continuum Physics, vol. 1. New York, Academic Press, 1971, pp. 240–353. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-240801-4.50008-X.
  6. Sushkevich A. K. Osnovy vysshei algebry [Fundamentals of Higher Algebra]. Moscow, ONTI, 1937, 476 pp. (In Russian)
  7. Zhilin P. A. Ratsional’naya mekhanika sploshnykh sred [Rational Continuum Mechanics Media]. St. Petersburg, Polytechn. Univ., 2012, 584 pp. (In Russian)
  8. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris, Herman et Fils, 1909, vi+226 pp.
  9. Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 1964, vol. 16, pp. 1–22. DOI: https://doi.org/10.24355/dbbs.084-201301181342-0.
  10. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua, In: Applied Mechanics; eds. H. Görtler. Berlin, Heidelberg, Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16.
  11. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity, Course held at the Department for Mechanics of Deformable Bodies, July 1970, Udine, International Centre for Mechanical Sciences. Courses and Lectures, vol. 25. Wien, New York, Springer, 1972, 286 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9.
  12. Günther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums, Abh. Braunschw. Wiss. Ges., 1958, vol. 10, pp. 195–213.
  13. Neuber H. On the effect of stress concentration in Cosserat continua, In: Mechanics of Generalized Continua; eds. E. Kröner. Berlin, Heidelberg, Springer, 1968, pp. 109–113. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-30257-6_13.
  14. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, vol. 15. Berlin, Springer, 2004, xv+356 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.
  15. Besdo D. Ein Beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat-Kontinuums, Acta Mech., 1974, vol. 20, no. 1, pp. 105–131. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01374965.
  16. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986, viii+383 pp.
  17. Radayev Yu. N. The Lagrange multipliers method in covariant formulations of micropolar continuum mechanics theories, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517 (In Russian). EDN: YOYJQD. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1635.
  18. Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media, Problems of Strength and Plasticity, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412 (In Russian). EDN: TODIFV. DOI: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
  19. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Reducing natural forms of hemitropic energy potentials to conventional ones, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 4, pp. 108–115 (In Russian). EDN: DTZTJY. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009.
  20. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On two base natural forms of asymmetric force and couple stress tensors of potential in mechanics of hemitropic solids, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 3, pp. 86–100 (In Russian). EDN: YOEHQV. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010.
  21. Murashkin E. V. On the relationship of micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials, Vestn. I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical Univ. Ser. Mechanics of a Limit State, 2022, no. 1, pp. 110–121 (In Russian). EDN: JXXIAX. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.55.1.012.
  22. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. EDN: PINYDI. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.
  23. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. Theory of Poisson’s ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid, Lobachevskii J. Math., 2024, vol. 45, no. 5, pp. 2378–2390. EDN: ASGCQB. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224602480.
  24. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Cubic approximation of stress potential for a hemitropic micropolar elastic solid, Lobachevskii J. Math., 2025, vol. 46, no. 5, pp. 2391–2400. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080225606514.
  25. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On quadratic corrections of constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solid, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2025, vol. 29, no. 2, pp. 274–293 (In Russian). EDN: DZUMDJ. DOI: https://doi.org/https://doi.org/10.14498/vsgtu2144.
  26. Rozenfel’d B. A. Mnogomernye prostranstva [Multidimensional Spaces]. Moscow, Nauka, 1966, 648 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».