Исследование теплопереноса в пористом материале на основе трижды периодических поверхностей минимальной энергии

Полный текст

Введение

В настоящее время широкое применение во всех областях промышленности находят пористые композиционные материалы. Так, например, в работе [1] авторами используется класс материалов, представляющих собой металлоорганические каркасы (MOF). Благодаря своей сверхбольшой площади поверхности и регулируемой химической структуре эти пористые материалы находят применение в проведении таких процессов, как катализ и адсорбция. На сегодняшний день MOF не были широко представлены в промышленности из-за трудности изготовления формы. Однако развитие 3D-печати позволяет создать универсальный подход к формированию структуры MOF с последующим применением их в промышленности, например, в хранении и распределении газа. Особое внимание авторами уделяется 3D-печати MOFs, что позволит использовать данные наработки в области энергетики и защиты окружающей среды.

Под пористым материалом понимают тело, имеющее в своем объеме свободное пространство, представленное в виде пор или каналов. Притом геометрические размеры поры меньше размеров тела. Если рассматривать область применения таких материалов, то они наиболее распространены в качестве теплоизоляционного и строительного материала. Связано это, в первую очередь, со значением коэффициента эффективной теплопроводности, при этом λ сильно зависит от плотности материала и размера пор. Так, авторами работы [2] введено понятие эквивалентного коэффициента теплопроводности условного сплошного шарового включения, заменяющего пору, а также проведен сравнительный анализ оценок истинного значения эффективного коэффициента в диапазоне изменения пористости.

Среди пористых материалов наибольший интерес представляют трижды периодические минимальные поверхности TPMS. Так, исследованию теплофизических и прочностных свойств таких поверхностей посвящены, например, работы [3–7].

Одним из возможных способов изучения свойств TPMS структур является математическое моделирование. При моделировании теплофизических процессов, протекающих в пористых структурах, возможно применение численных методов [8, 9], а также точных и приближенных аналитических методов. Например, в работах [10, 11] авторами предложено решение задачи теплопроводности аналитическими методами, основанными на введении дополнительных граничных условий и дополнительных граничных функций.

В данной статье приведено решение задачи теплопроводности для пористой пластины, изготовленной из пластика PETG (рис. 1). Решение осуществлялось методом конечных разностей в ПО Mathcad.

Формирование тпмп I-WP

На рис. 1 представлена пластина, структура которой основана на повторяющихся элементарных ячейках. Элементарные ячейки представляют собой трижды периодические минимальные поверхности I-WP. Толщина данным ячейкам придается с помощью формирования твердотельного слоя, ограниченного исходной минимальной поверхностью. В дальнейшем, последовательно соединяя полученные ячейки, возможно получение материала с заданными характеристиками, такими как объем тела, пористость материала и т. д.

 

Рисунок 1 – Пористая пластина, имеющая упорядоченную структуру, основанную на TPMS I-WP

 

Постановка задачи

Общая запись уравнения теплового баланса имеет вид [12]:

$c\text{ρ}\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=-div\overrightarrow{q}$,                                      (1)

где $c$ – теплоемкость; $\rho$ – плотность; $T$ – температура; $t$ – время; $x$ – пространственная координата.

Согласно закону Фурье тепловой поток примет вид:

$\overrightarrow{q}=-\lambda gradT$.                                           (2)

При постоянных теплофизических свойствах справедливо:

$c\text{ρ}\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=-\lambda div\left(gradT\right)$.                              (3)

Принимая во внимание, что $div\left(gradT\right)=\Delta T={\nabla }^{2}T$, то уравнение (3) примет следующий вид:

 $\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=a\Delta T$,                                          (4)

где $a$ – температуропроводность. Коэффициент температуропроводности пористого материала определяется следующим выражением:

$a=\frac{\lambda \left(\text{φ}\right)}{с\text{ρ(φ)}}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}$,                            (5)

где $\lambda \left(\text{φ}\right)=\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}$ – коэффициент теплопроводности, изменяющийся по линейному закону согласно [15]; $\text{φ}$ – пористость материала, изменятся в пределах от 0 до 1; $\text{ρ(φ)}={\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})$ – плотность пористой пластины, ${\text{ρ}}_{\text{м}}$ – плотность материала. Свойства материала, из которого изготавливается пористая пластина, приняты в соответствии с работой [16].

 

Таблица 1 – Свойства материала пористой пластины

Материал	Теплоемкость, Дж/кг℃	Плотность, кг/м3
PETG	1050	1300

 

Уравнение (4) в общем виде с учетом декартовой системы координат:

$\frac{\partial T\text{(}x,t\text{)}}{\partial t}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}\frac{{\partial }^{2}T\text{(}x,t\text{)}}{\partial x^2}\text{\hspace{0.33em}.}$                  (6)

Краевые условия для данной задачи имеют вид:

$T\left(x\mathrm{,0}\right)=T_0$;                                             (7)

$T(l,t)=T_{\text{ст}}$;                                             (8)

$T\left(\mathrm{0,}t\right)=T_{\text{ст}}$.                                             (9)

Результаты и обсуждение

Решение задачи (6)–(9) отыскивается путем осуществления метода конечных разностей [13, 14]. Метод конечных разностей заключается в построении пространственно-временной сетки с шагами по координате $\text{Δ}x$ и по времени $\text{Δ}t$. В данной задаче применялась сетка вида:

$x_i=i\text{Δ}x,i=\overline{\mathrm{0,}I}; t_k=k\text{\hspace{0.17em}Δ}t,k=\overline{\mathrm{0,}K}$,                 (10)

где $I,K$ – число шагов по пространственной координате $x$ и по времени $t$.

Согласно выбранному методу, на (10) вводятся сеточные функции $T_i^k=T\text{(}{x}_i,t_k)$. Приняв явную разностную схему решения для задачи (6)–(9), математическая постановка примет вид:

$\frac{T_i^{k+1}-T_i^k}{\text{Δ}t}=\frac{\mathrm{0,1759}-\mathrm{0,1776}\text{φ}}{с{\text{ρ}}_{\text{м}}(1-\text{φ})}\frac{T_{i-1}^k-2T_i^k+T_{i+1}^k}{\text{Δ}{x}^2}$;             (11)

$T_0^k=T_0$;                                               (12)

$T_l^k=T_{\text{ст}}$;                                              (13)

$T_i^0=T_{\text{ст}}$.                                              (14)

Заключение и выводы

Согласно уравнению (5), коэффициент температуропроводности зависит от пористости, теплоемкости и плотности материала. При постоянном теплоемкости $с$ изменение пористости $\text{φ}$ не приводит к изменению температуропроводности $a$, так как отношение $\frac{\lambda \left(\text{φ}\right)}{\text{ρ(φ)}}$ сохраняет постоянное значение (см. рис. 2), в связи с чем коэффициент пористости $\text{φ}$ приводит не к изменению температурных кривых в теле, а лишь к изменению количества энергии, протекающего через тело. В настоящей работе исследовано температурное состояние пористой пластины для значений пористости  в диапазоне 0,4…0,8.

 

Рисунок 2 – Зависимость отношения λ(φ)/ρ(φ) от пористости материала

 

На рис. 3 представлено численное решение задачи теплопроводности в пористой пластине при значении пористости $\text{φ}=0.9$, а также при значениях температуры в начальный момент времени $T_0=20°C$ и значении температуры на поверхности стенки $T_{\text{ст}}=100°C$. Процесс нагрева пористой пластины можно условно разделить на две стадии. На первой стадии происходит прогревание пластины от поверхности к центру, при этом температура при $x=\text{0,005}$ (т. е. в центре пластины) остается неизменной. Во второй стадии происходит нагрев пластины во всем исследуемом объеме.

 

Рисунок 3 – Распределение температуры по координате x

 

На рис. 4 представлена зависимость распределения плотности теплового потока $q$ в пористой пластине во времени от значений пористости $\text{φ}$. Пунктирной линией представлена плотность теплового потока для сплошного тела, то есть при пористости $\text{φ}=\text{0}$. Из анализа данного рисунка следует, что при варьировании коэффициента пористости возможно регулирование значения плотности теплового потока. Следовательно, на основании полученных зависимостей возможно создание пористого материала с заданными теплофизическими свойствами. Полученные результаты могут иметь практическое значение в изучении теплоизоляционных материалов, что связано с возможностью изменения толщины материала и регулирования проходящего теплового потока.

 

Рисунок 4 – Зависимость распределения теплового потока в пористой пластине от пористости материала

Об авторах

Антон Владимирович Еремин

ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»

Автор, ответственный за переписку.
Email: a.v.eremin@list.ru

доктор технических наук, доцент, заведующий кафедры «Промышленная теплоэнергетика» Теплоэнергетического факультета

Россия, Самара

Софья Алексеевна Зинина

ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»

Email: sofazinina4@gmail.com

аспирант, ассистент кафедры «Промышленная теплоэнергетика» Теплоэнергетического факультета

Россия, Самара

Олувапелуми Джонсон Олатуйи

ФГБОУ ВО «Самарский государственный технический университет»

Email: olatuyi.oluwapelumi@gmail.com

аспирант кафедры «Промышленная теплоэнергетика»

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы