Automorphisms of cubic surfaces in positive characteristic

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

We classify all possible automorphism groups of smooth cubic surfaces over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. As an intermediate step we also classify automorphism groups of quartic del Pezzo surfaces. We show that the moduli space of smooth cubic surfaces is rational in every characteristic, determine the dimensions of the strata admitting each possible isomorphism class of automorphism group, and find explicit normal forms in each case. Finally, we completely characterize when a smooth cubic surface in positive characteristic, together with a group action, can be lifted to characteristic zero.

Об авторах

Игорь Владимирович Долгачев

University of Michigan, Department of Mathematics

Email: idolga@umich.edu
PhD

Alexander Duncan

Университет штата Южная Каролина

Email: duncan@math.sc.edu
PhD

Список литературы

  1. I. V. Dolgachev, V. A. Iskovskikh, “Finite subgroups of the plane Cremona group”, Algebra, arithmetic, and geometry, In honor of Yu. I. Manin, v. I, Progr. Math., 269, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009, 443–548
  2. S. Kantor, Theorie der endlichen Gruppen von eindeutigen Transformationen in der Ebene, Mayer & Müller, Berlin, 1895, 111 pp.
  3. A. Wiman, “Zur Theorie der endlichen Gruppen von birationalen Transformationen in der Ebene”, Math. Ann., 48:1-2 (1896), 195–240
  4. B. Segre, The non-singular cubic surfaces, Oxford Univ. Press, Oxford, 1942, xi+180 pp.
  5. T. Hosoh, “Automorphism groups of cubic surfaces”, J. Algebra, 192:2 (1997), 651–677
  6. I. V. Dolgachev, Classical algebraic geometry. A modern view, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xii+639 pp.
  7. R. W. Carter, “Conjugacy classes in the Weyl group”, Compositio Math., 25 (1972), 1–59
  8. J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Oxford Univ. Press, Eynsham, 1985, xxxiv+252 pp., With comput. assistance from J. G. Thackray
  9. J.-P. Serre, “Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis”, Seminaire Bourbaki, Exposes 997–1011, v. 2008/2009, Asterisque, 332, Soc. Math. France, Paris, 2010, vii, 75–100, Exp. No. 1000
  10. I. Dolgachev, A. Duncan, “Regular pairs of quadratic forms on odd-dimensional spaces in characteristic $2$”, Algebra Number Theory, 12:1 (2018), 99–130
  11. A. Emch, “On a new normal form of the general cubic surface”, Amer. J. Math., 53:4 (1931), 902–910
  12. Ф. Клейн, Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, Наука, М., 1989, 336 с.
  13. D. J. Winter, “Representations of locally finite groups”, Bull. Amer. Math. Soc., 74 (1968), 145–148
  14. M. Suzuki, Group theory. I, Transl. from the Japan., Grundlehren Math. Wiss., 247, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982, xiv+434 pp.
  15. Ю. И. Манин, Кубические формы, Наука, М., 1972, 304 с.
  16. G. Neuman, “Rational surfaces with too many vector fields”, Proc. Amer. Math. Soc., 76:2 (1979), 189–195
  17. E. Dardanelli, B. van Geemen, “Hessians and the moduli space of cubic surfaces”, Algebraic geometry, Contemp. Math., 422, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 17–36
  18. A. Beauville, “Sur les hypersurfaces dont les sections hyperplanes sont à module constant”, The Grothendieck Festschrift, With an appendix by D. Eisenbud, C. Huneke, v. 1, Progr. Math., 86, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, 121–133
  19. W. Fulton, Intersection theory, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 2, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1998, xiv+470 pp.
  20. M. Demazure, “Resultant, discriminant”, Enseign. Math. (2), 58:3-4 (2012), 333–373
  21. Z. Chen, “A prehomogeneous vector space of characteristic $3$”, Group theory (Beijing, 1984), Lecture Notes in Math., 1185, Springer, Berlin, 1986, 266–276
  22. A. M. Cohen, D. B. Wales, “$operatorname{GL}(4)$-orbits in a $16$-dimensional module for characteristic $3$”, J. Algebra, 185:1 (1996), 85–107
  23. T. Shioda, “Arithmetic and geometry of Fermat curves”, Algebraic geometry seminar (Singapore, 1987), World Sci. Publ., Singapore, 1988, 95–102
  24. J. W. P. Hirschfeld, Finite projective spaces of three dimensions, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1985, x+316 pp.
  25. A. Emch, “Properties of the cubic surface derived from a new normal form”, Amer. J. Math., 61:1 (1939), 115–122
  26. A. L. Dixon, V. C. Morton, “Planes, points, and surfaces associated with a cubic surface”, Proc. London Math. Soc. (2), 37 (1934), 221–240
  27. S. Saito, “General fixed point formula for an algebraic surface and the theory of Swan representations for two-dimensional local rings”, Amer. J. Math., 109:6 (1987), 1009–1042
  28. H. E. A. E. Campbell, D. L. Wehlau, Modular invariant theory, Encyclopaedia Math. Sci., 139, Invariant Theory Algebr. Transform. Groups, 8, Springer-Verlag, Berlin, 2011, xiv+233 pp.
  29. J.-P. Serre, Local fields, Transl. from the French, Grad. Texts in Math., 67, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1979, viii+241 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Долгачев И.В., Duncan A., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».