Classification of (1,2)-reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank 4

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

A hyperbolic lattice is said to be $(1{,}{\kern 1pt}2)$-reflectiveif its automorphism group is generated by $1$- and $2$-reflections up to finite index.We prove that the fundamental polyhedron of a $\mathbb{Q}$-arithmeticcocompact reflection group in three-dimensional Lobachevsky space contains an edge with sufficiently small distance between its framing faces.Using this fact, we obtain a classification of $(1{,}{\kern 1pt}2)$-reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$.

Sobre autores

Nikolay Bogachev

Moscow Institute of Physics and Technology (State University); Lomonosov Moscow State University; Caucasus Mathematical Center, Adyghe State University

without scientific degree, no status

Bibliografia

  1. Б. А. Венков, “Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратичной формы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1:2 (1937), 139–170
  2. H. S. M. Coxeter, “Discrete groups generated by reflections”, Ann. of Math. (2), 35:3 (1934), 588–621
  3. Э. Б. Винберг, “Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского”, Матем. сб., 72(114):3 (1967), 471–488
  4. Э. Б. Винберг, “О группах единиц некоторых квадратичных форм”, Матем. сб., 87(129):1 (1972), 18–36
  5. È. B. Vinberg, “Some arithmetical discrete groups in Lobačevskiĭ spaces”, Discrete subgroups of Lie groups and applications to moduli, Internat. Colloq. (Bombay, 1973), Oxford Univ. Press, Bombay, 1975, 323–348
  6. Э. Б. Винберг, “Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности”, Тр. ММО, 47, Изд-во Моск. ун-та, М., 1984, 68–102
  7. F. Esselmann, “Über die maximale Dimension von Lorentz–Gittern mit coendlicher Spiegelungsgruppe”, J. Number Theory, 61:1 (1996), 103–144
  8. В. В. Никулин, “Конечность числа арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:1 (2007), 55–60
  9. I. Agol, M. Belolipetsky, P. Storm, K. Whyte, “Finiteness of arithmetic hyperbolic reflection groups”, Groups Geom. Dyn., 2:4 (2008), 481–498
  10. В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями”, Докл. АН СССР, 248:6 (1979), 1307–1309
  11. В. В. Никулин, “О факторгруппах групп автоморфизмов гиперболических форм по подгруппам, порожденным $2$-отражениями. Алгебро-геометрические приложения”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 3–114
  12. В. В. Никулин, “Поверхности типа K3 с конечной группой автоморфизмов и группой Пикара ранга три”, Алгебраическая геометрия и ее приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 165, 1984, 119–142
  13. В. В. Никулин, “О классификации гиперболических систем корней ранга три”, Тр. МИАН, 230, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2000, 3–255
  14. E. Vinberg, Classification of $2$-reflective hyperbolic lattices of rank $4$, Preprint 98-113, Univ. Bielefeld, 1998, 35 pp.
  15. Э. Б. Винберг, “Классификация 2-рефлективных гиперболических решеток ранга 4”, Тр. ММО, 68, УРСС, М., 2007, 44–76
  16. D. Allcock, The reflective Lorentzian lattices of rank $3$, Mem. Amer. Math. Soc., 220, no. 1033, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, x+108 pp.
  17. R. Scharlau, On the classification of arithmetic reflection groups on hyperbolic $3$-space, Bielefeld, 1989, 26 pp.
  18. R. Scharlau, C. Walhorn, “Integral lattices and hyperbolic reflection groups”, Journees arithmetiques (Geneva, 1991), Asterisque, 209, Soc. Math. France, Paris, 1992, 279–291
  19. C. Walhorn, Arithmetische Spiegelungsgruppen auf dem $4$-dimensionalen hyperbolischen Raum, Ph.D. thesis, Univ. Bielefeld, Bielefeld, 1993, 47 pp.
  20. I. Turkalj, Reflective Lorentzian lattices of signature $(5,1)$, Diss. … Dr. rer. nat., Tech. Univ. Dortmund, 2017, 85 pp.
  21. N. V. Bogachev, Reflective anisotropic hyperbolic lattices of rank $4$, 2016
  22. Н. В. Богачев, “Рефлективные анизотропные гиперболические решетки ранга $4$”, УМН, 72:1(433) (2017), 193–194
  23. M. Belolipetsky, “Arithmetic hyperbolic reflection groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 53:3 (2016), 437–475
  24. Э. Б. Винберг, “Гиперболические группы отражений”, УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
  25. Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, “Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 147–259
  26. В. В. Никулин, “Об арифметических группах, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 637–669
  27. В. В. Никулин, “О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 113–142
  28. Д. В. Алексеевский, Э. Б. Винберг, А. С. Солодовников, “Геометрия пространств постоянной кривизны”, Геометрия – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 29, ВИНИТИ, М., 1988, 5–146
  29. Дж. Касселс, Рациональные квадратичные формы, Мир, М., 1982, 438 с.
  30. V. O. Bugaenko, “Arithmetic crystallographic groups generated by reflections, and reflective hyperbolic lattices”, Lie groups, their discrete subgroups, and invariant theory, Adv. Soviet Math., 8, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992, 33–55
  31. R. Guglielmetti, Hyperbolic isometries in (in-)finite dimensions and discrete reflection groups: theory and computations, Ph.D. thesis, Univ. of Fribourg, 2017, 200 pp.
  32. N. V. Bogachev, A. Perepechko, Vinberg's algorithm, 2017
  33. Н. В. Богачев, А. Ю. Перепечко, “Алгоритм Винберга для гиперболических решеток”, Матем. заметки, 103:5 (2018), 769–773
  34. A. Mark, “Reflection groups of the quadratic form $- p x_0^2+x_1^2+…+x_n^2$ with $p$ prime”, Publ. Mat., 59:2 (2015), 353–372
  35. J. A. McLeod, Arithmetic hyperbolic reflection groups, Ph.D. thesis, Durham Univ., 2013, 170 pp.

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Bogachev N.V., 2019

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».