Quaternion regularization of differential equations of perturbed central motion and regular models of orbital (trajectory) motion: review and analysis of models, their applications

Texto integral

1. Введение. Регуляризация моделей небесной механики и астродинамики. В основе небесной механики и астродинамики (механики космического полета) лежат ньютоновские дифференциальные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел в декартовых координатах. Эти уравнения вырождаются при соударении второго (изучаемого) тела с первым (центральным) телом (при равенстве нулю расстояния между телами), что делает использование этих уравнений неудобным при изучении движения второго тела в малой окрестности центрального тела или его движения по сильно вытянутым орбитам. Сингулярность в начале координат создает в задаче двух тел не только теоретические, но и практические (вычислительные) трудности. Устранение особенностей типа сингулярности (деления на ноль) классических уравнений небесной механики и астродинамики, порождаемых силами гравитации, получило название “регуляризация” (Леви-Чивита, 1920), а уравнения, не имеющие этих особенностей, называются регулярными.

Среди методов регуляризации и регулярных моделей небесной механики и астродинамики в последнее время широкое распространение (собенно за рубежом) получили кватернионные методы и модели, основанные на использовании гиперкомплексных переменных – кватернионов Гамильтона, компонентами (элементами) которых являются четырехмерные переменные Кустаанхеймо–Штифеля (KS-переменные) или их модификации. Эти методы и модели имеют ряд качественных преимуществ аналитического и вычислительного характеров перед другими методами и моделями.

1.1. Регуляризация уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел Кустаанхеймо–Штифеля. Проблема устранения указанной особенности, известная в небесной механике и астродинамике как проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной задачи двух тел, восходит к Эйлеру (1765) [1] и Леви-Чивита (1920) [2–4], которые дали решения одномерной и двумерной задачам о соударении двух тел (в случаях прямолинейного и плоского движений). Наиболее эффективная регуляризация уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, так называемая спинорная или KS-регуляризация, была предложена Кустаанхеймо и Штифелем (1964–1965) [5, 6]. В регуляризации Кустаанхеймо использованы достоинства методов теории спиноров: вместо одной комплексной переменной теории Леви-Чивита была взята пара комплексных чисел. В регуляризации Штифеля использована введенная им специальная четырехмерная матрица, названная им KS-матрицей. Регуляризация Кустаанхеймо–Штифеля наиболее полно изложена в широко известной книге Штифеля и Шейфеле (1971) [7].

В основе регуляризации Кустаанхеймо–Штифеля лежит нелинейное неоднозначное преобразование декартовых координат изучаемого тела (KS-преобразование), обобщающее преобразование Леви-Чивита. Причем это преобразование состоит в переходе от трехмерного пространства декартовых координат к четырехмерному пространству новых координат (к четырехмерным KS-переменным). Неоднозначность этого преобразования делает, по мнению Штифеля и Шейфеля, прямой вывод регулярных уравнений в трехмерном (т. е. пространственном) случае невозможным [7]. Поэтому в своей книге [7] они постулируют матричное регулярное уравнение пространственной задачи двух тел, записанное ими по аналогии с матричным регулярным уравнением Леви-Чивита плоского движения, и с помощью нескольких теорем доказывают, что при этом удовлетворяется старое векторное ньютоновское уравнение.

1.2. Кватернонная регуляризация уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел с использованием переменных Кустаанхеймо–Штифеля. Вскоре после открытия KS-преобразования было рассмотрено использование кватернионов (четырехмерных гиперкомплексных чисел) и четырехмерных кватернионных матриц для регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел. Однако в своей книге [7] Штифель и Шейфеле полностью отвергли эту идею, написав, что “любая попытка заменить теорию KS-матриц более популярной теорией кватернионных матриц приводит поэтому к неудаче или, во всяком случае, к очень громоздкому формализму”. Это утверждение было впервые опровергнуто автором статьи (1981, 1984) [8, 9], показавшим, что в действительности кватернионный подход к регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, основанный на использовании кватернионных матриц [8] или кватернионов Гамильтона [9], в отличие от подхода, использующего аппарат KS-матриц Штифеля, позволяет дать ясные геометрическую и кинематическую интерпретации регуляризующему преобразованию Кустаанхеймо–Штифеля, раскрывает геометрический смысл его неоднозначности и позволяет дать прямой и наглядный вывод более общих регулярных уравнений пространственной задачи двух тел, частным случаем которых являются регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля.

Так, было показано, что переход в уравнениях пространственной задачи двух тел от трехмерных декартовых координат второго тела к четырехмерным KS-переменным фактически означает запись этих уравнений во вращающейся (неголономной) системе координат с использованием в качестве параметров ориентации этой системы координат четырехмерных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона), являющихся компонентами кватерниона поворота этой системы координат, с дальнейшей их нормировкой посредством множителя, равного квадратному корню из расстояния от второго тела до центра притяжения. Также было показано, что билинейное соотношение, играющее, по словам Штифеля и Шейфеле [7], “основную роль в нашем построении небесной механики”, имеет ясный геометрический и механический смысл. Отказ от выполнения этого соотношения позволил автору статьи получить [8, 9] более общие регулярные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел.

Позднее (1985, 1992, 1993) [10–13] идеи кватернионной регуляризации уравнений задачи двух тел были использованы автором статьи для разработки теории кватернионной регуляризации векторного дифференциального уравнения возмущенного центрального движения материальной точки. Так, им были получены регулярные дифференциальные уравнения возмущенного центрального движения материальной точки осцилляторного вида, регулярные для потенциала, являющегося полиномом четвертой отрицательной степени расстояния до центра притяжения (уравнения Кустаанхеймо–Штифеля регулярны лишь для полинома первой отрицательной степени этого расстояния).

Изучению различных аспектов кватернионной регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел с использованием KS-переменных посвящены работы [14–31], а также работы автора статьи [10–13, 32–43].

Отметим статьи известного западного ученого Вальдфогеля [22, 23], посвященные кватернионной регуляризации уравнений задачи двух тел. Так, в 2008 году им была опубликована статья [23] под названием “Кватернионы для регуляризации небесной механики: верный (истинный) путь”, в которой говорится, что кватернионы “являются идеальным инструментом для описания и разработки теории пространственной регуляризации в небесной механике”. Отметим, что Вальдфогель [23] признает приоритет автора статьи в области кватернионной регуляризации, говоря об этом в своей статье.

1.3. О точности численного решения регулярных уравнений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля. В работах [7, 44–51] приводятся результаты сравнения численного решения уравнений орбитального движения небесных и космических тел в KS-переменных, параметрах Эйлера и в других переменных, которые свидетельствуют об эффективности использования KS-переменных и параметров Эйлера в задачах небесной механики и астродинамики.

Логиновым и Челноковым [52] проведено сравнительное исследование точности численного интегрирования классических ньютоновских дифференциальных уравнений пространственной ограниченной задачи трех тел (Земля, Луна и космический аппарат) в декартовых координатах и построенных автором статьи [39, 40] регулярных кватернионных дифференциальных уравнений этой задачи в KS-переменных, принимающих вид регулярных кватернионных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел в случае отсутствия поля тяготения Луны. Эти уравнения показали значительно более высокую точность в сравнении с уравнениями в декартовых координатах: для круговой орбиты точность оказалась выше на 2 порядка, для возмущенных эллиптических орбит со средним эксцентриситетом – на 4 порядка, для возмущенной эллиптической орбиты с высоким эксцентриситетом – на 7 порядков. Сравнение этих результатов с результатами, приведенными в книге Бордовицыной [44], показало, что они в целом согласуются между собой.

1.4. Кватернонная регуляризация уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел с использованием переменных Леви-Чивита и параметров Эйлера. Леви-Чивита в отношениии своих попыток обобщить предложенную им знаменитую регуляризацию уравнений плоской задачи двух тел на пространственную задачу позже признал [3]: “Проблема в пространстве долго сопротивлялась моим усилиям, так как я пытался подойти к ней с помощью аналогичных изменений координат […]”. Штифель и Шейфеле в своей книги [7] отмечали, что Леви-Чивита приложил много усилий, чтобы найти обобщение своего метода регуляризации дифференциальных уравнений плоского движения в задаче двух тел на общую пространственную задачу двух тел, но безуспешно. В работе [53] (Aarseth, Zare), а также в книге [54] (Aarseth) говорится, что из-за фундаментальных трудностей, первоначально разъясненных Хопфом [55] и Гурвицем [56], невозможно обобщить преобразование Леви-Чивита к эквивалентному набору трехмерных переменных (на случай трехмерного пространства). Тем не менее, автором статьи [37] было показано, что регуляризация Леви-Чивита может быть с успехом использована для построения регулярных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел.

Предложенный нами [37] новый метод регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел основан на использовании двухмерных идеальных прямоугольных координат Ганзена и регулярных двухмерных переменных Леви-Чивита, описывающих движение второго (рассматриваемого) тела в идеальной системе координат [57] (Deprit), в которой уравнения пространственного движения принимают вид уравнений плоского движения, а также основан на использовании четырехмерных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона) и кватерниона Гамильтона, характеризующих ориентацию идеальной системы координат в инерциальной системе координат. В полученных с помощью этого метода регулярных скалярных и кватернионных уравнениях возмущенной пространственной задачи двух тел переменными являются переменные Леви-Чивита, кеплеровская энергия, время и параметры Эйлера. Используемые в качестве переменных параметры Эйлера и кватернион ориентации идеальной системы координат являются скалярными и кватернионным оскулирующими элементами орбиты изучаемого (второго) тела (медленно изменяющимися переменными).

Эти регулярные уравнения, образуют в общем случае систему нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений десятого порядка (такую же размерность имеют регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля). Они, также как и уравнения Кустаанхеймо–Штифеля, регулярны в центре притяжения (в отличие от нерегулярных ньютоновских уравнений), линейны для невозмущенных кеплеровских движений (в отличие от существенно нелинейных для этих движений ньютоновских уравнений); позволяют выработать единый подход к изучению всех трех типов кеплеровского движения (эллиптического, гиперболического, параболического) с использованием функций Штумпфа, близки к линейным уравнениям для возмущенных кеплеровских движений, позволяют представить правые части дифференциальных уравнений движения небесных и космических тел в полиномиальной форме, удобной для их численного решения.

Однако эти регулярные уравнения имеют существенные отличия от регулярных уравнений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля: 1) для невозмущенного эллиптического кеплеровского движения изучаемого тела они эквивалентны уравнениям движения не четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора, как в случае Кустаанхеймо–Штифеля, а уравнениям движения двухмерного одночастотного гармонического осциллятора, т. к. для этого случая движения тела кватернион ориентации идеальной системы координат, в которой записаны эти уравнения движения, и его компоненты (параметры Эйлера) остаются постоянными, 2) для возмущенного движения изучаемого тела кватернион ориентации идеальной системы координат является кватернионным оскулирующим элементом (т. е. медленно изменяющейся кватернионной переменной), а параметры Эйлера (компоненты этого кватерниона) – скалярными оскулирующими элементами, что также является полезным свойством этих уравнений, позволяющим эффективно использовать методы нелинейной механики.

Отметим, однако, что эти уравнения не пригодны для исследования прямолинейных орбит, когда модуль c вектора момента орбитальной скорости второго тела обращается в ноль, поскольку кватернионное дифференциальное уравнение ориентации идеальной системы координат в этом случае вырождается (в знаменателях коэффициентов этого уравнения присутствует величина c). От этого недостатка этих уравнений можно избавиться, переходя в них от используемой независимой переменной τ, связанной с реальным временем t дифференциальным соотношением dt = rdτ (преобразованием времени Зундмана [58]), к новой независимой переменной в соответствии с дифференциальным соотношением dτ = сdτ* и дополняя полученные уравнения дифференциальным уравнением для переменной c.

1.5. Содержание статьи. В нашей статье, носящей обзорно-аналитический характер, кратко излагается предложенная нами [10–13, 35] общая кватернионная теория регуляризующих и стабилизирующих преобразований ньютоновских дифференциальных уравнений возмущенного движения материальной точки в центральном силовом поле.

Приводятся различные регулярные кватернионные дифференциальные уравнения возмущенного центрального движения в осцилляторной и нормальной формах, построенные в рамках этой теории, в том числе уравнения, в которых используются четырехмерные параметры Эйлера или переменные Кустаанхеймо–Штифеля, или их модификации, предложенные нами:

1. регулярные осцилляторные уравнения, в которых используются четырехмерные переменные Кустаанхеймо–Штифеля, энергия h* центрального движения или полная энергия возмущенного центрального движения материальной точки, включающая потенциал возмущающих сил, и время t; в качестве независимой переменной в этих уравнениях используется переменная τ, определяемая дифференциальным преобразованием времени Зундмана (dt = rdτ);
2. регулярные осцилляторные уравнения, в которых используются четырехмерные параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), расстояние r, полная энергия h^*, квадрат модуля c вектора c момента орбитальной скорости материальной точки и время t; в качестве независимой переменной в этих уравнениях используется либо переменная τ, определяемая дифференциальным соотношением dτ = r^-2dt, либо переменная φ (полярная координата), определяемая дифференциальным соотношением dφ = (c/r² )dt;
3. регулярные нормальные уравнения, в которых используются кватернион λ ориентации используемой вращающейся системы координат (его компоненты – параметры Эйлера), двухмерный или трехмерный кватернион c момента орбитальной скорости точки, расстояние r, полная энергия h^* и время t; в качестве независимой переменной в этих уравнениях используется либо переменная τ, определяемая дифференциальным соотношением dτ = r^-2dt, либо полярная координата φ.

Из первой группы уравнений следуют, как частные, системы регулярных кватернионных уравнений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля для возмущенного кеплеровского движения, нашедшие широкое распространение. Уравнения второй и третьей групп являются регулярными для возмущенного центрального движения материальной точки в силовом поле с потенциалом Π, имеющим четвертый порядок относительно величины r ^-1, обратной расстоянию до центра притяжения (уравнения в переменных Кустаанхеймо–Штифеля являются регулярными лишь для возмущенного движения материальной точки в силовом поле с потенциалом Π, имеющим первый порядок относительно величины r ^-1, т. е. в силовом поле с ньютоновским потенциалом). Уравнения этих групп могут быть использованы для прогноза движения планет с учетом эффектов общей теории относительности (ОТО) и для построения регулярных кватернионных уравнений возмущенного орбитального движения твердого тела в гравитационном поле Земли.

В статье рассмотрены кватернионные уравнения пространственного невозмущенного центрального движения материальной точки, имеющие вид уравнений движения одночастотного четырехмерного гармонического осциллятора, частота колебаний которого равна c/2 или равна 1/2 (в зависимости от используемого регуляризующего дифференциального преобразования времени). Также рассмотрены связи используемых четырехмерных λ и u-переменных с элементами орбиты, приведено униформизированное решение пространственной задачи невозмущенного центрального движения, позволяющее избавиться от необходимости рассмотрения ветвления решений, возникающих при обходе критических точек типа полюсов, приведены различные регулярные кватернионные уравнения возмущенного движения искусственного спутника в гравитационном поле Земли, в которых используются или четырехмерные параметры Эйлера, или переменные Кустаанхеймо–Штифеля, или их модификации. Дан анализ регулярных кватернионных уравнений.

В статье в разделе 2 рассмотрены кватернионные регулярные уравнения возмущенного центрального движения; в разделе 3 невозмущенное центральное движение; в разделе 4 задача о возмущенном движении искусственного спутника в гравитационном поле Земли. В конце статьи приведено Заключение.

2. Кватернионные регулярные уравнения возмущенного центрального движения. 2.1. Кватернионная регуляризация векторного дифференциального уравнения возмущенного центрального движения. В наших работах [10–13, 35] предложенные нами [8, 9] идеи кватернионной регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел были использованы для разработки кватернионной теории регуляризации векторного дифференциального уравнения возмущенного движения материальной точки M в центральном силовом поле, имеющего вид

$\frac{d^2\mathbf{r}}{d{t}^2}=-\frac{1}{m}\left(\frac{d\mathrm{\Pi }}{dr}\frac{r}{r}+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial \mathbf{r}}\right)+\mathbf{p},r=\left|r\right|,\mathrm{\Pi }=\mathrm{\Pi }\left(r\right)$ (2.1)

${\mathrm{\Pi }}^{\ast }={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(\mathrm{t},\mathbf{r}\right)={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,{\mathrm{\xi }}_1,{\mathrm{\xi }}_2,{\mathrm{\xi }}_3\right),\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial \mathbf{r}}=\text{grad}{\mathrm{\Pi }}^{\ast }=\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{\xi }}_1}{\mathrm{\xi }}_1+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{\xi }}_2}{\mathrm{\xi }}_2+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{\xi }}_3}{\mathrm{\xi }}_3$

$\mathbf{p}=\mathbf{p}\left(t,\mathbf{r},d\mathbf{r}/dt\right)=\mathbf{p}\left(\mathrm{t},{\mathrm{\xi }}_1,{\mathrm{\xi }}_2,{\mathrm{\xi }}_3,{\dot{\mathrm{\xi }}}_1,{\dot{\mathrm{\xi }}}_2,{\dot{\mathrm{\xi }}}_3\right)$.

Здесь r — радиус-вектор материальной точки M, проводимый из центра O силового поля, m — масса точки, П — потенциал центрального силового поля, полагаемый произвольной дифференцируемой функцией расстояния r от точки M до центра O, П* — возмущающий потенциал, полагаемый произвольной функцией времени t и координат местоположения точки M в системе координат $О{\mathrm{\xi }}_1,{\mathrm{\xi }}_2,{\mathrm{\xi }}_3$(ξ), которая движется относительно инерциальной системы координат поступательно; ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3$орты осей $\mathit{О}{\mathrm{\xi }}_1, \mathit{О}{\mathrm{\xi }}_2, \mathit{О}{\mathrm{\xi }}_3$; p — вектор возмущающего ускорения точки M, полагаемый произвольной функцией времени t, радиус-вектора r и вектора скорости v = dr/dt точки M в системе координат ξ.

Векторное дифференциальное уравнение невозмущенного центрального движения материальной точки получается из уравнения (2.1) при П*=0, p = 0.

В работах [10–13, 35] были получены общие кватернионные дифференциальные уравнения возмущенного центрального движения материальной точки с тремя регуляризующими функциями, установлены необходимые и достаточные условия их приводимости к удобному для аналитического и численного исследования осцилляторному виду (к виду уравнений движения четырехмерного возмущенного осциллятора, совершающего в случае невозмущенного центрального движения гармонические колебания с одинаковой частотой); получены различные (в том числе новые регулярные) системы кватернионных дифференциальных уравнений возмущенного центрального движения материальной точки в нормальной и осцилляторной формах, отличающиеся своей структурой, размерностью, используемыми зависимыми и независимыми переменными; дана сравнительная характеристика полученных систем уравнений, указаны их свойства и области использования.

Для получения регулярных уравнений возмущенного центрального движения материальной точки векторное уравнение (2.1) было записано нами во вращающейся системе координат η, ось η₁ которой была направлена вдоль радиус-вектора r точки M. В качестве параметров ориентации этой системы координат были использованы четырехмерные параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона) λ_j. В состав уравнений движения точки, записанных во вращающейся системе координат, входят следующие дифференциальные уравнения: скалярное уравнение второго порядка для расстояния r, два скалярных уравнения первого порядка для проекций ω₂ и ω₃ вектора абсолютной угловой скорости вращения системы координат η на ее же координатные оси η₂ и η₃, кватернионное уравнение первого порядка для кватерниона λ, описывающего ориентацию системы координат η в инерциальном пространстве, эквивалентное четырем скалярным уравнениям для параметров Эйлера λ_j. Проекция ω₁ угловой скорости вращения системы координат η на направление радиус-вектора r точки является произвольно задаваемым параметром и полагается нами равной нулю.

В дальнейшем вместо переменных ω₂ и ω₃ были введены проекции c₂ и c₃ на оси системы координат η вектора c момента скорости материальной точки, определяемые равенствами

$c_2=r^2{\mathrm{\omega }}_2,c_3=r^2{\mathrm{\omega }}_3\left(c_1=0\right)$.

Для получения регулярных уравнений были также использованы дифференциальные уравнения для кеплеровской энергии h материальной точки, ее полной энергии h^* и для модуля c вектора c момента скорости точки или его квадрата с².

Дальнейшие регуляризующие преобразования указанных уравнений, выполненные нами, включают следующие этапы:

1) Переход от дифференциальных уравнений первого порядка для переменных c₂ и c₃ и λ к дифференциальному кватернионному уравнению второго порядка для кватернионной переменной $\mathbf{\lambda }={\mathrm{\lambda }}_0+{\mathrm{\lambda }}_1\mathbf{i}+{\mathrm{\lambda }}_2\mathbf{j}+{\mathrm{\lambda }}_3\mathbf{k}$. Для этого исходное уравнение первого порядка для переменной λ дифференцируется по времени t и учитываются дифференциальные уравнения для переменных c₂ и c₃.

2) Дополнение полученного кватернионного уравнения для переменной λ дифференциальными скалярными уравнениями второго порядка для расстояния r и первого порядка для энергий h, h^* и модуля c вектора момента скорости. Правые части уравнений для h, h^* и c при этом записываются через параметры Эйлера λ_j и расстояние r.

3) Замена переменной λ в полученном кватернионном уравнении второго порядка на новую четырехмерную переменную по формуле

λ = к(r)u,

где к(r) – регуляризующая функция (дважды дифференцируемая функция расстояния r). При к(r) = r^−1/2 новые скалярные переменные u_j (компоненты кватернионной переменной u) являются переменными Кустаанхеймо–Штифеля.

В итоге получается основное дифференциальное кватернионное уравнение второго порядка для переменной u с регуляризующей функцией к(r).

На этом же этапе производится замена переменных λ_j на новые переменные u_j в уравнениях для переменных r, h, h^*, c по формулам

${\lambda }_0=\mathrm{\kappa }\left(r\right)u_0,{\mathrm{\lambda }}_i=-\mathrm{\kappa }\left(r\right)u_i$.

4) Выполнение регуляризующего преобразования реального времени t. Для этого осуществляется переход в полученном дифференциальном кватернионном уравнении второго порядка для переменной u от времени t к новой независимой переменной τ по формуле

$dt=\nu \left(r\right)d\mathrm{\tau }$,

где $\nu \left(r\right)$ – вторая регуляризующая функция расстояния r.

В итоге было получено основное дифференциальное кватернионное уравнение второго порядка для переменной u, содержащее две регуляризующие функции к(r) и $\nu \left(r\right)$.

Аналогичный переход осуществляется в уравнении второго порядка для расстояния r от времени t к новой переменной τ₁ по формуле

$dt={\nu }_1\left(r\right)d{\mathrm{\tau }}_1$,

где ${\nu }_1\left(r\right)$ – третья регуляризующая функция расстояния r.

В итоге было получено дифференциальное уравнение второго порядка для расстояния r, содержащее регуляризующую функцию ${\nu }_1\left(r\right)$.

2.2. Кватернионные уравнения возмущенного центрального движения с регуляризующими функциями. В результате указанных преобразований была получена следующая совокупность кватернионных соотношений и уравнений задачи возмущенного центрального движения материальной точки с тремя регуляризующими функциями к(r), $\nu \left(r\right)$ и ${\nu }_1\left(r\right)$.

Связь обобщенных переменных Кустаанхеймо–Штифеля u_j (u-переменных) с параметрами Эйлера (Родрига–Гамильтона) λ_j:

$\mathit{\lambda }=\mathrm{\kappa }\left(r\right)\overline{\mathbf{u}};{\lambda }_0=\mathrm{\kappa }\left(r\right)u_0,{\lambda }_i=-\mathrm{\kappa }\left(r\right)u_i(i=\mathrm{1,2,3});\dot{\mathbf{\lambda }}=\dot{\mathbf{\kappa }}\overline{\mathbf{u}}\mathbf{+}\mathbf{\kappa }\dot{\overline{\mathbf{u}}},\mathrm{\kappa }=\mathrm{\kappa }\left(r\right)$.

Здесь и далее верхняя точка – символ дифференцирования по времени t.

Обобщенное преобразование Кустаанхеймо–Штифеля (u-преобразование):

Для расстояния

${\left(\mathrm{\kappa }\left(r\right)\right)}^2\left(u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2\right)=1$.

Для декартовых координат

${\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }}={\mathrm{\xi }}_1\mathbf{i}+{\mathrm{\xi }}_2\mathbf{j}+{\mathrm{\xi }}_3\mathbf{k}=\mathrm{r}\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}=r{\left(\mathrm{\kappa }\left(r\right)\right)}^2\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \mathbf{u}$.

Для проекций вектора скорости

${\mathbf{v}}_{\mathrm{\xi }}={\dot{\mathrm{\xi }}}_1\mathbf{i}+{\dot{\mathrm{\xi }}}_2\mathbf{j}+{\dot{\mathrm{\xi }}}_3\mathbf{k}=\mathbf{\lambda }\circ \mathrm{i}\circ \overline{\mathbf{\mu }}=\mathbf{\mu }\circ \mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }},\mathbf{\mu }=\dot{\mathit{r}}\mathbf{\lambda }+2r\dot{\mathbf{\lambda }}\mathbf{,}\mathbf{\lambda }=\mathrm{\kappa }\left(r\right)\overline{\mathbf{u}}\mathbf{,}\dot{\mathbf{\lambda }}=\dot{\mathrm{\kappa }}\overline{\mathbf{u}}+\mathrm{\kappa }\dot{\overline{\mathbf{u}}}$.

Для возмущающих сил (для кватерниона Q, содержащего возмущающее ускорение p и возмущающий потенциал П*)

$\mathbf{Q}=\mathbf{q}-\frac{1}{2m\sqrt{r}}\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{{\partial }^{\ast }},P_1=\mathrm{\kappa }\left(r\right)\text{scal}\left(\mathbf{u}\circ \mathbf{Q}\right)$

$\mathbf{q}=-\mathrm{\kappa }\left(r\right)\mathbf{i}\circ \mathbf{u}\circ {\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }},\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathbf{u}}^{\ast }}=\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{u}}_0^{\ast }}+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{u}}_1^{\ast }}\mathbf{i}+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{u}}_2^{\ast }}\mathbf{j}+\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\mathrm{u}}_3^{\ast }}\mathbf{k}$

${\mathrm{\Pi }}^{\ast }={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t\mathit{,}{\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }}\right)={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,{\overline{\mathbf{u}}}^{\ast }\circ \mathbf{i}\circ {\mathbf{u}}^{\ast }\right),{\mathbf{\text{u}}}^{\ast }=\sqrt{r}\mathrm{\kappa }\left(r\right)\overline{\mathbf{u}}$

${\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }}=p_{\mathrm{\xi }1}\mathbf{i}+p_{\mathrm{\xi }2}\mathbf{j}+p_{\mathrm{\xi }3}\mathbf{k}={\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }}\left(t,{\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }},{\dot{\mathbf{r}}}_{\mathrm{\xi }}\right),{\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }}=r{\left(\mathrm{\kappa }\left(r\right)\right)}^2\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \mathbf{u}$,

где scal(•) – скалярная часть кватерниона, стоящего в скобках, p_ξ1, p_ξ2, p_ξ3 – проекции возмущающего ускорения p на оси системы координат ξ, движущейся относительно инерциальной системы координат поступательно.

Основное дифференциальное кватернионное уравнение для обобщенных переменных Кустаанхеймо–Штифеля (для u-переменных)

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\mathrm{\tau }}^2}+\left(\frac{2}{r\mathrm{\kappa }}\frac{d\left(r\mathrm{\kappa }\right)}{d\mathrm{\tau }}-\frac{1}{\nu }\frac{d\nu }{d\mathrm{\tau }}\right)\frac{d\mathbf{u}}{d\mathrm{\tau }}+\frac{{\nu }^2}{2r\mathrm{\kappa }}\alpha \mathbf{u}=\frac{{\nu }^2}{2r\mathrm{\kappa }}\left(\mathbf{Q}-\left(2r\frac{d\mathrm{\kappa }}{dr}+\mathrm{\kappa }\right)P_1\mathbf{u}\right)$ (2.2)

$\alpha =\alpha \left(r,c^2,h\right)=2r\left(\frac{2}{m}\left(h-\mathrm{\Pi }\right)-\frac{c^2}{r^2}\right)\frac{d^2\mathrm{\kappa }}{d{r}^2}+2\left(\frac{4}{m}\left(h-\mathrm{\Pi }\right)-\frac{r}{m}\frac{d\mathrm{\Pi }}{dr}-\frac{c^2}{r^2}\right)\frac{d\mathrm{\kappa }}{dr}+\frac{c^2}{2r^3}\mathrm{\kappa }$. (2.3)

Дифференциальное равнение для расстояния

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }_1^2}+\frac{1}{m}\left(\frac{d\left({\nu }_1^2\mathrm{\Pi }\right)}{dr}-h\frac{d{\nu }_1^2}{dr}\right)+\frac{1}{2}{c}^2\frac{d}{dr}\left(\frac{{\nu }_1^2}{r^2}\right)={\nu }_1^2{P}_1$. (2.4)

Дифференциальные уравнения для переменных h, h^*, c, c²

$\begin{array}{l}\frac{dh}{dt}=m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\mathbf{\mu }\circ \mathbf{Q}\right),\frac{d{h}^{\ast }}{dt}=\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial t}+m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\mathbf{\mu }\circ \mathbf{q}\right)\\ h=\frac{1}{2}m{v}^2+\mathrm{\Pi }\left(r\right),h^{\ast }=h+{\mathrm{\Pi }}^{\ast },\mathbf{\text{μ}}=\frac{dr}{dt}\mathbf{\lambda }+2r\frac{d\mathbf{\lambda }}{dt}\end{array}$

$\frac{dc}{dt}=2\frac{r^3}{c}\text{scal}\left(\frac{d\mathbf{\lambda }}{dt}\circ \mathbf{Q}\right),\frac{d{c}^2}{dt}=4r^3\text{scal}\left(\frac{d\mathbf{\lambda }}{dt}\circ \mathbf{Q}\right)$.

Уравнения для времени

$\frac{dt}{d\tau }=\nu \left(r\right),\frac{dt}{d{\tau }_1}={\nu }_1\left(r\right),\frac{d\tau }{d{\tau }_1}=\frac{{\nu }_1\left(r\right)}{\nu \left(r\right)}$.

Из приведенных уравнений формируется замкнутая система дифференциальных уравнений возмущенного движения материальной точки, в которой неизвестными являются переменные u_j (обобщенные переменные Кустаанхеймо–Штифеля), расстояние r, энергия h материальной точки при П* = 0 или энергия h^* материальной точки при П* ≠ 0, модуль c вектора момента скорости точки или его квадрат c² и время t. В качестве независимой переменной может быть принята либо переменная τ, либо переменная τ₁.

Уравнение (2.4) для расстояния может быть исключено из состава указанной системы дифференциальных уравнений в случаях, когда уравнение

${\left(\mathrm{\kappa }\left(r\right)\right)}^2\left(u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2\right)=1$

может быть разрешено (при заданном виде функции к = к(r)) относительно расстояния r, т. е. в случаях, когда расстояние r может быть выражено через переменные u_j.

Отметим, что при переходе в уравнениях для переменных h, c и c² от времени t к новой независимой переменной τ или τ₁ вид этих уравнений не меняется. Отметим также, что в ряде случаев вместо уравнения для переменной h целесообразно использовать уравнение для полной энергии h^* материальной точки.

Для нахождения координат ξ_k и проекций скорости ξ_k  материальной точки на оси системы координат ξ через переменные u_j и расстояние r и их производные необходимо воспользоваться вышеприведенными соотношениями для кватернионов r_ξ и v_ξ.

2.3. Условия приводимости кватернионных уравнений возмущенного центрального движения к осцилляторному виду. Приведенные уравнения возмущенного движения материальной точки содержат в качестве произвольных функций расстояния r регуляризующие функции к(r), ν(r) и ν₁(r). Их выбор осуществляется нами [10, 12, 13, 35] таким образом, чтобы кватернионное уравнение (2.2) и (2.3) для переменной u и скалярное уравнение (2.4) для расстояния r или, по крайней мере, одно из них были эквивалентны уравнениям движения гармонических осцилляторов для невозмущенного центрального движения, когда П* = 0, p = 0 и, следовательно, когда Q = 0, P₁ = 0, h = const, c = const.

Для того чтобы основное кватернионное уравнение (2.2) для переменной u было эквивалентно в указанном случае уравнению движения четырехмерного гармонического осциллятора необходимо, чтобы оно не содержало первой производной du/dτ. Поэтому нами было потребовано, чтобы функции к и ν удовлетворяли условию

$\frac{2}{r\mathrm{\kappa }}\frac{d\left(r\mathrm{\kappa }\right)}{d\tau }-\frac{1}{\nu }\frac{d\nu }{d\tau }=0$. (2.5)

Общее решение уравнения (2.5) имеет вид

$r\mathrm{\kappa }=b{\nu }^{1/2},b=\text{const}$.

Без потери общности нами полагается b = 1 и рассматриваются в дальнейшем такие регуляризующие функции к и ν, которые связаны между собой соотношением

$r\mathrm{\kappa }={\nu }^{1/2}$.

Это означает, что при конкретном выборе функции к будет однозначно определена в соответствии с последним соотношением и функция ν, и наоборот.

Таким образом, вместо двух произвольных функций к и ν произвольной остается лишь одна из них: к или ν. При этом выбор функции ν, так же как и функции к, ограничивается классом C².

Кватернионное уравнение (2.2) для переменной u с учетом соотношения rк = ν^1/2 принимает вид уравнения движения четырехмерного нелинейного возмущенного осциллятора

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\tau }^2}+\frac{1}{2}{\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\alpha \mathbf{u}=\frac{1}{2}{\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\left(\mathbf{Q}-\left(2r\frac{d\mathrm{\kappa }}{dr}+\mathrm{\kappa }\right)P_1\mathbf{u}\right)$. (2.6)

Для того чтобы это уравнение было эквивалентно в случае невозмущенного центрального движения точки уравнению движения четырехмерного гармонического осциллятора необходимо потребовать выполнение условия (rк)³ α = a = const где a – некоторая постоянная величина (можно, например, положить a = h).

Это условие с учетом соотношения (2.3) в развернутом форме принимает вид

${\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\alpha ={\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\left[2r\left(\frac{2}{m}\left(h-\mathrm{\Pi }\right)-\frac{c^2}{r^2}\right)\frac{d^2\mathrm{\kappa }}{d{r}^2}+2\left(\frac{4}{m}\left(h-\mathrm{\Pi }\right)-\frac{r}{m}\frac{d\text{Π}}{dr}-\frac{c^2}{r^2}\right)\frac{d\mathrm{\kappa }}{dr}+\frac{c^2}{2r^3}\mathrm{\kappa }\right]=a=\text{const. (2.7)}$

Соотношение (2.7) может рассматриваться как дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения регуляризующей функции к(r) при заданном виде потенциала П(r) центрального силового поля. После нахождения из этого уравнения функции к однозначно определяется функция ν из условия rк = ν^1/2. Условие (2.7) может также рассматриваться как дифференциальное уравнение первого порядка для нахождения потенциала П(r) при заданном виде регуляризующей функции к(r).

Таким образом, соотношение rк = ν^1/2 и соотношение (rк)³ α = a = const, развернутая запись которого имеет вид (2.7), являются необходимыми и достаточными условиями приводимости основного кватернионного уравнения (2.2) возмущенного центрального движения материальной точки к осцилляторному виду. Они связывают между собой регуляризующие функции к, ν и потенциал П(r). Если при заданном виде потенциала П(r) регуляризующие функции к и ν выбраны так, что эти условия выполняются (напомним, что в выражении rк)³ α = a  для следует положить h = const, c = const), то основное кватернионное уравнение (2.2) для переменной u становится в случае невозмущенного центрального движения материальной точки с потенциалом П(r) эквивалентным уравнению движения одночастотного четырехмерного гармонического осциллятора, имеющего частоту $k=\sqrt{a/2}$.

Уравнению (2.4) для расстояния r в случае невозмущенного центрального движения также можно придать вид уравнения движения гармонического осциллятора за счет соответствующего выбора регуляризующей функции ν₁(r). Действительно, в этом случае оно принимает вид уравнения, исследованного Беленьким [59]:

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }_1^2}=\frac{1}{m}\frac{d}{dr}\left({\nu }_1^2\left(h-{\mathrm{\Pi }}_1\right)\right),{\mathrm{\Pi }}_1=\mathrm{\Pi }\left(r\right)+\frac{m{c}^2}{2r^2}$.

Отсюда следует известное условие [59]

${\nu }_1^2\left(h-{\mathrm{\Pi }}_1\right)=\frac{1}{2}{C}_1^{\ast }{r}^2+C_2^{\ast }r+C_3^{\ast },C_i^{\ast }=\text{const}$,

накладываемое на регуляризующую функцию ν₁(r) и приведенный потенциал П₁(r) (потенциал П(r)), при выполнении которого уравнение для расстояния r эквивалентно уравнению движения гармонического осциллятора.

К сожалению, это условие и условия rк = ν^1/2 , (rк)³ α = const, при ν(r) = ν₁(r) оказываются в общем случае (т. е. для любого вида потенциала П(r) центрального силового поля) несовместными.

Таким образом, нами было установлено [10, 13], что векторное дифференциальное уравнение (2.1) возмущенного центрального движения материальной точки приводится при указанном выше выборе регуляризующих функций к кватернионному уравнению (2.6) осцилляторного вида. В общем случае это кватернионное уравнение должно дополняться скалярными уравнениями для расстояния r и переменных h или h^*и c. При соответствующем выборе регуляризующих функций одно или два из этих уравнений (например, в случае Кустаанхеймо–Штифеля это уравнения для r и c) выпадают из рассмотрения.

2.4. Кватернионные уравнения возмущенного центрального движения в нормальной форме. Рассмотренные выше уравнения возмущенного центрального движения материальной точки содержат в качестве основного дифференциальное кватернионное уравнение второго порядка для четырехмерной переменной u, которое принимает при соответствующем выборе регуляризующих функций форму уравнения движения четырехмерного возмущенного осциллятора. В задачах возмущенного центрального движения материальной точки также целесообразно применение кватернионных уравнений возмущенного центрального движения в нормальной форме, в которых в качестве переменных используются кватернион λ, описывающий ориентацию выше введенной системы координат η, вращающейся в инерциальном пространстве, а также проекции c_i вектора c момента скорости точки на оси этой системы координат или его проекции c_ξi на оси системы координат ξ, движущейся поступательно в инерциальной системе координат. Эти уравнения движения имеют следующий вид [10, 13, 35]:

Уравнения в отображениях на вращающийся базис η

$\frac{d{\mathbf{с}}_{\mathrm{\eta }}}{dt}=-r\text{\hspace{0.33em}vect}\left(\mathbf{Q}\circ \mathbf{\lambda }\right),\frac{d\mathbf{\lambda }}{dt}=\frac{1}{2r^2}\mathbf{\lambda }\circ {\mathbf{с}}_{\eta }$ (2.8)

${\mathbf{c}}_{\mathrm{\eta }}={\mathrm{c}}_2\mathbf{j}+{\mathrm{c}}_3\mathbf{k}\left({\mathrm{c}}_1=0\right),\frac{d{\mathbf{c}}_{\mathrm{\eta }}}{dt}=\frac{d{\mathrm{c}}_2}{dt}\mathbf{j}+\frac{\mathbf{d}{\mathrm{c}}_3}{\mathbf{dt}}\mathbf{k}$.

Уравнения в отображениях на инерциальный базис (совпадают с уравнениями в отображениях на основной базис ξ)

$\frac{d{\mathbf{c}}_{\xi }}{dt}=-r\text{\hspace{0.33em}vect}\left(\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{Q}\right),\frac{d\mathbf{\lambda }}{dt}=\frac{1}{2r^2}{\mathbf{c}}_{\mathbf{\xi }}\circ \mathit{\lambda }$ (2.9)

${\mathbf{c}}_{\mathrm{\xi }}={\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }1}\mathbf{i}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }2}\mathbf{j}+{\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }3}\mathbf{k},\frac{d{\mathbf{c}}_{\mathrm{\xi }}}{dt}=\frac{d{\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }1}}{dt}\mathbf{i}+\frac{d{\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }2}}{dt}\mathbf{j}+\frac{d{\mathrm{c}}_{\mathrm{\xi }3}}{dt}\mathbf{k}$.

Здесь выражение для кватерниона Q, содержащего возмущающее ускорение p и возмущающий потенциал П*, имеет вид

$\mathbf{Q}=\mathbf{q}-\frac{1}{2mr}\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial \overline{\mathbf{\lambda }}}$

$\mathbf{q}=-\mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}\circ {\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }},{\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }}={\mathbf{p}}_{\mathrm{\xi }}\left(t,\mathbf{r},{\dot{\mathbf{r}}}_{\mathrm{\xi }}\right),{\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }}=\mathrm{r}\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}$

${\mathrm{\Pi }}^{\ast }={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,\mathbf{r}\right)={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,r\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}\right),\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial \overline{\lambda }}=\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\lambda }_0}-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\lambda }_1}\mathbf{i}-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\lambda }_2}\mathbf{j}-\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial {\lambda }_3}\mathbf{k}$.

Каждая из этих совокупностей уравнений должна быть в общем случае дополнена уравнением для расстояния r

$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-\frac{c^2}{r^3}+\frac{1}{m}\frac{d\mathrm{\Pi }\left(r\right)}{dr}=\text{scal}\left(\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{q}\right)-\frac{1}{m}\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial r},c^2=c_2^2+c_3^2=c_{\xi 1}^2+c_{\xi 2}^2+c_{\xi 3}^2.$ (2.10)

Из приведенных уравнений образуется замкнутая система дифференциальных уравнений (2.8) и (2.10) возмущенного центрального движения материальной точки восьмого порядка относительно неизвестных проекций c₂, c₃ вектора момента скорости на оси вращающейся системы координат η, параметров Эйлера λ_j и расстояния r, а также замкнутая система уравнений (2.9) и (2.10) этого движения точки девятого порядка относительно трех проекций c_ξi вектора момента скорости на оси инерциальной системы координат (а также на оси системы координат ξ), параметров λ_j и расстояния r.

Kоординаты ξ_k и проекций скорости ξ_k материальной точки на оси системы координат ξ и инерциальной системы координат определяются через указанные переменные с помощью соотношений

${\mathbf{r}}_{\mathrm{\xi }}={\mathrm{\xi }}_1\mathbf{i}+{\mathrm{\xi }}_2\mathbf{j}+{\mathrm{\xi }}_3\mathbf{k}=\mathrm{r}\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{i}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}$

$\begin{array}{l}{\mathbf{v}}_{\mathrm{\xi }}=\frac{d{\mathrm{\xi }}_1}{dt}\mathbf{i}+\frac{d{\mathrm{\xi }}_2}{dt}\mathbf{j}+\frac{d{\mathrm{\xi }}_3}{dt}\mathbf{k}=\mathbf{\lambda }\circ {\mathbf{v}}_{\mathrm{\eta }}\circ \overline{\mathbf{\lambda }}{{,}_{}}_{\mathrm{\eta }}=\mathbf{i}\circ \left(\frac{dr}{dt}-\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathbf{c}}_{\mathrm{\eta }}\right);{\mathbf{\text{v}}}_{{}_{\mathrm{\xi }}}=\frac{1}{\mathbf{r}}{\mathbf{r}}_{\mathbf{\xi }}\circ \left(\frac{dr}{dt}-\frac{1}{\mathrm{r}}{\mathbf{c}}_{\mathrm{\xi }}\right),\\ {\mathbf{v}}_{\mathrm{\eta }}=\overline{\mathbf{\lambda }}\circ {\mathbf{v}}_{{}_{\mathrm{\xi }}}\circ \mathbf{\lambda }\end{array}$

Отметим, что порядок системы уравнений (2.8) и (2.10), в которых используются отображения векторов c и $\dot{\mathbf{c}}$ на вращающийся базис η, на единицу меньше порядка системы уравнений (2.9) и (2.10), в которых используются отображения этих векторов на базис ξ (а, следовательно, и на инерциальный базис). Кроме того, кватернионное уравнение для переменной λ в первой из этих систем проще кватернионного уравнения для этой переменной во второй из этих систем, т. к. проекция c₁ вектора c на ось ось η₁ (направление радиус-вектора r) равна нулю.

Отметим также, что уравнения первого порядка для переменных c₂, c₃; c_ξi (i = 1,2,3) и λ, как и следовало ожидать, не содержат потенциала П(r) центрального силового поля (он присутствует лишь в уравнении второго порядка для расстояния r).

Системы уравнений возмущенного центрального движения материальной точки (2.8), (2.10) и (2.9), (2.10), содержащие кватернионные дифференциальные уравнения первого порядка, сводятся в некоторых важных случаях (в частности, при отсутствии возмущающего ускорение p и возмущающего потенциала П*) с помощью замены времени t и расстояния r на новые переменные к системам, в которых все дифференциальные уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами.

Приведенные выше дифференциальные кватернионные уравнения возмущенного центрального движения были использованы нами для решения ряда задач: для регуляризации уравнений возмущенного движения (устранения имеющейся при наличии центрального тела сингулярности типа полюса); для построения решения пространственной задачи невозмущенного центрального движения при любом виде потенциала П(r) в униформизированной форме, позволяющей избавиться от необходимости рассмотрения ветвления решений, возникающего при обходе критических точек; для аналитического и численного исследования возмущенных движений в задачах небесной механики и астродинамики, а также в инерциальной навигации. Эти уравнения и соотношения позволили нам также получить дифференциальные уравнения возмущенного движения точки, в которых вместо угловых оскулирующих элементов используются кватернионные элементы.

2.5. Системы регулярных кватернионных уравнений возмущенного центрального движения осилляторного вида в переменных Кустаанхеймо–Штифеля. В наших работах [10–13, 35] рассмотрена задача регуляризации: устранения особенности типа сингулярности, возникающей в дифференциальных уравнениях возмущенного центрального движения материальной точки при ее прохождении вблизи центра O центрального силового поля (когда расстояние r близко к нулю) или при ее движении по возмущенным высокоэллиптическим орбитам. Для этого были использованы приведенные выше кватернионные уравнения возмущенного центрального движения c регуляризующими функциями, в которых эти функции были выбраны определенным образом.

Так, для регуляризующей функции к(r), определенной равенством к= r^−1/2, из условия rк = ν^1/2 было получено, что регуляризующая функция ν(r) = r, а соотношение для коэффициента (rк)³ α в основновном кватернионном уравнении (2.2) и в уравнении (2.6) для переменной u принимает вид

${\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\alpha =\frac{1}{m}\left(\frac{d\left(r\mathrm{\Pi }\left(r\right)\right)}{dr}-h\right)$.

Видно, что условия приводимости к осцилляторному виду основного кватернионного уравнения и уравнения (2.4) для расстояния r при выборе регуляризующих функций в виде

$\mathrm{\kappa }\left(r\right)=\frac{1}{\sqrt{r}},{\nu }_1\left(r\right)=\nu \left(r\right)=r\left(2r\frac{d\mathrm{\kappa }}{dr}+\mathrm{\kappa }=0\right)$

выполняются лишь в случае невозмущенного кеплеровского движения, когда

$\mathrm{\Pi }\left(r\right)=-m\frac{\mathrm{\mu }}{r},h=\text{const,\hspace{1em}}{\mathrm{\Pi }}^{\ast }=\mathrm{0,}\mathbf{\text{р}}=0$.

При подстановке указанных выражений для регуляризующих функций к(r), ν(r) и ν₁(r) и коэффициента (rк)³ α в уравнения возмущенного центрального движения c регуляризующими функциями нами были получены для произвольного вида потенциала П(r) центрального силового поля следующие две системы уравнений возмущенного центрального движения в переменных Кустаанхеймо–Штифеля.

Система уравнений для произвольного вида потенциала П(r), содержащая в качестве переменной энергию h центрального движения

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\tau }^2}+\frac{1}{2m}\left(\frac{d}{dr}\left(r\mathrm{\Pi }\left(r\right)\right)-h\right)\mathbf{u}=\frac{1}{2}r\mathbf{Q}$

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}+\frac{1}{m}\left(\frac{d}{dr}\left(r^2\mathrm{\Pi }\left(r\right)\right)-2hr\right)=r\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{Q}\right)$ (2.11)

$\frac{dh}{d\tau }=2m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\frac{d\overline{\mathbf{u}}}{d\tau }\circ \mathbf{Q}\right),\frac{dt}{d\tau }=r$,

где

$\mathbf{Q}=\mathbf{q}-\frac{1}{2m}\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial \mathbf{u}},\mathbf{\text{q}}=-\mathbf{i}\circ \mathbf{u}\circ {\mathbf{p}}_{\xi },{\mathrm{\Pi }}^{\ast }={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,{\mathbf{r}}_{\xi }\right),{\mathbf{\text{p}}}_{\xi }={\mathbf{p}}_{\xi }\left(t,{\mathbf{r}}_{\xi },{\mathbf{v}}_{\xi }\right)$

$r=\mathbf{u}\circ \overline{\mathbf{u}}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2,{\mathbf{\text{r}}}_{\xi }=\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \mathbf{u},{\mathbf{\text{v}}}_{\xi }=\frac{d{\mathbf{r}}_{\xi }}{dt}=2\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \frac{d\mathbf{u}}{dt}=\frac{2}{r}\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \frac{d\mathbf{u}}{d\tau }$ (2.12)

$h=2mr\sum _{j=0}^3{\left(\frac{d{u}_j}{dt}\right)}^2+\mathrm{\Pi }\left(r\right)=\frac{2m}{r}\sum _{j=0}^3{\left(\frac{d{u}_j}{d\tau }\right)}^2+\mathrm{\Pi }\left(r\right)$.

Система уравнений для произвольного вида потенциала П(r), содержащая полную энергию движения $h^{\ast }=h+{\mathrm{\Pi }}^{\ast }$

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\tau }^2}+\frac{1}{2m}\left(\frac{d}{dr}\left(r\mathrm{\Pi }\left(r\right)\right)-h^{\ast }\right)\mathbf{u}=\frac{1}{2}r\mathbf{q}-\frac{1}{4m}\frac{\partial \left(r{\mathrm{\Pi }}^{\ast }\right)}{\partial \mathbf{u}}$

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}+\frac{1}{m}\left(\frac{d}{dr}\left(r^2\mathrm{\Pi }\left(r\right)\right)-2h^{\ast }r\right)=r\left(-\frac{2}{m}{\mathrm{\Pi }}^{\ast }+\text{scal}\left(\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{Q}\right)\right)$ (2.13)

$\frac{d{h}^{\ast }}{d\tau }=r\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial t}+2m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\frac{d\overline{\mathbf{u}}}{d\tau }\circ \mathbf{q}\right),\frac{dt}{d\tau }=r$.

Из уравнений (2.11)–(2.12) при $\mathrm{\Pi }=-m\mathrm{\mu }/r$ следуют дифференциальные кватернионные уравнения возмущенного кеплеровского движения.

Система регулярных уравнений для возмущенного кеплеровского движения (когда потенциал $\mathrm{\Pi }=-m\mathrm{\mu }/r$) содержащая кеплеровскую энергию h

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2m}h\mathbf{u}=\frac{1}{2}r\mathbf{Q}$

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}-\frac{2}{m}hr-\mathrm{\mu }=r\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{Q}\right)$ (2.14)

$\frac{dh}{d\tau }=2m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\frac{d\overline{\mathbf{u}}}{d\tau }\circ \mathbf{Q}\right),\frac{dt}{d\tau }=r$.

Система регулярных уравнений для возмущенного кеплеровского движения, содержащая полную энергию h* = h +П*

$\frac{d^2\mathbf{u}}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2m}{h}^{\ast }\mathbf{u}=\frac{1}{2}r\mathbf{q}-\frac{1}{4m}\frac{\partial \left(r{\mathrm{\Pi }}^{\ast }\right)}{\partial \mathbf{u}}$

$\frac{d^{2}r}{d{\tau }^2}-\frac{2}{m}{h}^{\ast }r-\mathrm{\mu }=r\left(-\frac{2}{m}{\mathrm{\Pi }}^{\ast }+\text{scal}\left(\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{Q}\right)\right)$ (2.15)

$\frac{d{h}^{\ast }}{d\tau }=r\frac{\partial {\mathrm{\Pi }}^{\ast }}{\partial t}+2m\text{\hspace{0.33em}scal}\left(\frac{d\overline{\mathbf{u}}}{d\tau }\circ \mathbf{q}\right),\frac{dt}{d\tau }=r$.

Здесь μ – произведение гравитационной постоянной на массу притягивающего тела (точнее, на сумму масс тела (материальной точки), движение которого изучается, и притягивающего тела).

Системы уравнений (2.13)–(2.15) дополняются соотношениями (2.12) для кватерниона Q, которым описываются действующие возмущения.

Cистемы уравнений (2.14) и (2.15) являются кватернионными формами регулярных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел в переменных Кустаанхеймо–Штифеля. Они учитывают действие возмущающей силы, имеющей потенциал ${\mathrm{\Pi }}^{\ast }={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,{\mathbf{r}}_{\xi }\right)={\mathrm{\Pi }}^{\ast }\left(t,\overline{\mathbf{u}}\circ \mathbf{i}\circ \mathbf{u}\right)$, и содержат в качестве одной из переменных кеплеровскую энергию h или полную энергию h*. Дифференциальное уравнение для расстояния r в силу равенства $r=\mathbf{u}\circ \overline{\mathbf{u}}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$ может быть исключено из этих систем.

2.6. Системы регулярных кватернионных уравнений возмущенного центрального движения осилляторного вида, в которых используются параметры Эйлера. Иной, чем в случае Кустаанхеймо–Штифеля, выбор регуляризующих функций к(r), ν(r) и ν₁(r), а также введение наряду с переменной h* (полной энергии) новой переменной c² (квадрата модуля c вектора момента скорости) позволяют получить более общие регулярные уравнения возмущенного центрального движения [10, 13, 35].

Положим к = 1, ν₁(r) = ν(r). Тогда в соответствии с условием rк = ν^1/2 приводимости основного кватернионного уравнения (2.2) для переменной u к осцилляторному виду имеем: ν = ν₁ = r², а условие (2.7) для коэффициента (rк)³ α в этом уравнении принимает вид

${\left(r\mathrm{\kappa }\right)}^3\alpha =\left(1/2\right)c^2$.

Так как для невозмущенного центрального движения c = const, то из последнего соотношения следует, что при выборе регуляризующих функций в виде к = 1, ν(r) = r² условие (rк)³α = const приводимости к осцилляторному виду основного кватернионного уравнения выполняется для любого вида потенциала П(r). Однако условие приводимости к осцилляторному виду уравнения (2.4) для расстояния r при ν₁(r) = ν(r) = r² не выполняется.

С учетом двух последних равенств ν₁ = r² и равенства из вышеприведенных уравнений с регуляризующими функциями нами получена следующая кватернионная система дифференциальных уравнений возмущенного центрального движения материальной точки для произвольного вида потенциала П(r), имеющая осцилляторный вид [10, 13, 35]:

$\frac{d^2\mathbf{\lambda }}{d{\tau }^2}+\frac{1}{4}{c}^2\mathbf{\lambda }=\frac{1}{2}{r}^3\left(\overline{\mathbf{Q}}-\text{scal}\left(\mathbf{\lambda }\circ \mathbf{Q}\right)\right)\mathbf{\lambda }$ (2.16)