Пульсации DC/DC преобразователя, построенного по SEPIC топологии

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ

Автономность наукоемких радиоэлектронных устройств является одной из основных тенденций развития техники. Как правило, в автономных устройствах энергообеспечение выполняется с помощью литий-ионных аккумуляторов и/или топливных ячеек. Специфика этих устройств заключается в использовании стабилизированных низковольтных напряжений. Для формирования стабильного напряжения необходимой величины применяют DC/DC преобразователи [1], так как напряжение первичных источников напряжения со временем изменяется в широком диапазоне [2, 3]. Эти особенности диктуют потребность в разработке различных средств расчета и проектирования DC/DC преобразователей.

На настоящее время DC/DC преобразователи без гальванической развязки насчитывают шесть топологий: понижающего типа (buck converter), повышающего типа (boost converter), полярно-инвертирующего типа (buck-boost converter), SEPIC, Ćuk и Zeta. Первые три топологии исследованы достаточно подробно, в отличии остальных преобразователей понижающе-повышающего типа [4, 5]. А вот DC/DC преобразователи, построенные по топологии SEPIC, Ćuk и Zeta, требуют дополнительных исследований и разработки соответствующих методов расчета и проектирования.

Разработка радиоэлектронных устройств базируется на соответствующих математических моделях. Для базовых DC/DC преобразователей топологий buck converter, boost converter и buck-boost converter уже созданы предельные непрерывные математические модели [6]. DC/DC преобразователи понижающе-повышающего типа, построенные по топологиям SEPIC [7], Ćuk [8] и Zeta [9, 10], тоже описаны с помощью предельных непрерывных математических моделей. Но если для топологий Ćuk [8] и Zeta [9, 10] выполнен анализ пульсаций токов, протекающих через обмотки дросселей, и напряжений на конденсаторах, то для топологии SEPIC подобный анализ отсутствует.

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ РАЗМАХИ ПУЛЬСАЦИЙ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Процедура разработки предельной непрерывной математической модели DC/DC преобразователя, построенного по топологии SEPIC (рис. 1), подробно рассмотрена в [7]. Поэтому в данной работе сохранена преемственность в обозначениях физических величин и электрорадиоэлементов с [7].

Рис. 1. Принципиальная электрическая схема преобразователя понижающе-повышающего типа, построенного по топологии SEPIC.

Мгновенные токи i_L1 и i_L2, протекающие через обмотки дросселей L1 и L2, и мгновенные напряжения u_C1 и u_C2 на конденсаторах С1 и С2 содержат постоянную и переменную составляющие. Поэтому можно записать, что

$\begin{array}{cc}{i}_{L1}=I_{L1}+\delta i_{L1},& u_{C1}=U_{C1}+\delta u_{C1};\\ i_{L2}=I_{L2}+\delta i_{L2},& u_{C2}=U_{C2}+\delta u_{C2},\end{array}$                                                            (1)

где δi_L1 — переменная составляющая тока i_L1; δi_L2 — переменная составляющая тока i_L2; δu_C1 — переменная составляющая напряжения u_C1; δu_C1 — переменная составляющая напряжения u_C1.

Подставив из (1) уравнения, определяющие мгновенные токи и напряжения, в системы уравнений (6) и (13) из [7], описывающие обе фазы работы преобразователя, а также приняв во внимание, что постоянные составляющие токов и напряжений, как правило, много больше размахов соответствующих пульсаций [10], получают:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\delta i_{L1}}{dt}=\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1},\\ \frac{d\delta i_{L2}}{dt}=-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C1}}{dt}=\frac{1}{C1}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C2}}{dt}=\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}.\end{array}\right.$                                                                          (2)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\delta i_{L1}}{dt}=\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2},\\ \frac{d\delta i_{L2}}{dt}=\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2},\\ \frac{d\delta u_{C1}}{dt}=-\frac{1}{C1}{I}_{L1},\\ \frac{d\delta u_{C2}}{dt}=-\frac{1}{C2}{I}_{L1}.\end{array}\right.$                                                 (3)

Используя уравнения системы (2), получают формулы для определения переменных составляющих δi_L1 δi_L2, δu_C1 и δu_C2 за время первой фазы:

$\delta i_{L1}=\int \left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}\right)dt=\left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}\right)t;$                                               (4)

$\delta i_{L\text{2}}=\int \left(-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)dt=\left(-\frac{1}{L2}{U}_{C1}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)t$;                               (5)

$\delta u_{C1}=\int \left(\frac{1}{C1}{I}_{L2}\right)dt=\left(\frac{1}{C1}{I}_{L2}\right)t$;                                                                    (6)

$\delta u_{C\text{2}}=\int \left(\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}\right)dt=\left(\frac{1}{R_{н}C2}{U}_{C2}\right)t$.                                                     (7)

Используя уравнения системы (3), получают формулы для определения переменных составляющей δi_L1 δi_L2, δu_C1 и δu_C2, за время второй фазы:

$\begin{array}{c}\delta i_{L1}=\int \left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2}\right)dt=\\ =\left(\frac{U_{вх}}{L1}-\frac{r_1}{L1}{I}_{L1}+\frac{1}{L1}{U}_{C1}+\frac{1}{L1}{U}_{C2}\right)t\end{array}$                                     (8)

$\delta i_{L\text{2}}=\int \left(\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)dt=\left(\frac{1}{L2}{U}_{C2}-\frac{r_2}{L2}{I}_{L2}\right)t$;                                  (9)

$\delta u_{C1}=\int \left(-\frac{1}{C1}{I}_{L1}\right)dt=\left(-\frac{1}{C1}{I}_{L1}\right)t$;                                                        (10)

$\delta u_{C\text{2}}=\int \left(-\frac{1}{C2}{I}_{L1}\right)dt=\left(-\frac{1}{C2}{I}_{L1}\right)t$.                                                         (11)

Используя уравнения (4)—(7), получают формулы для определения размаха пульсаций Δi_L1, Δi_L2, Δu_C1 и Δu_C2 за время первой фазы:

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}1}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{{}_{\mathrm{L}1}}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}1}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}1\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}1}\right|\end{array}$;                (12)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}}\right|\end{array}$;              (13)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}1}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{TD}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{D}}^2\left(\mathrm{D}-1\right)}{\mathrm{f}\mathrm{C}1\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}\right|\end{array}$;                          (14)

$\begin{array}{l}\Delta u_{C\text{2}}=\left|\delta u_{C\text{2}}\left(TD\right)-\delta u_{C\text{2}}\left(0\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}{D}^2\left(D-1\right)}{fC\text{2}\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}\right|\end{array}$.                          (15)

Используя выражения (8)—(11), получают формулы для определения размаха пульсаций Δi_L1, Δi_L2, Δu_C1 и Δu_C2 за время второй фазы:

$\begin{array}{l}\Delta i_{L1}=\left|\delta i_{L1}\left(T\right)-\delta i_{L1}\left(TD\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}D\left(\left(D^2-2D\right)r_1+2R_{н}{D}^2-4R_{н}D+2R_{н}\right)}{fL1\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}+\frac{U_{вх}D}{fL1}\right|\end{array}$;           (16)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta i}}_{\mathrm{L}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{r}}_1{\mathrm{D}}^3}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}+\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}\mathrm{D}}{\mathrm{f}\mathrm{L}\text{2}}\right|\end{array}$;               (17)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}1}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}1}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{U_{вх}{D}^2\left(D-1\right)}{fC1\left(\left(D^2-2D+1\right)r_2+D^2{r}_1+\left(2R_{н}D-R_{н}{D}^2-R_{н}\right)\right)}\right|\end{array}$ ;                      (18)

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}=\left|{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}\left(\mathrm{T}\right)-{\mathrm{\delta u}}_{\mathrm{C}\text{2}}\left(\mathrm{TD}\right)\right|=\\ =\left|\frac{{\mathrm{U}}_{\mathrm{вх}}{\mathrm{D}}^2\left(\mathrm{D}-1\right)}{\mathrm{f}\mathrm{C}\text{2}\left(\left({\mathrm{D}}^2-2\mathrm{D}+1\right){\mathrm{r}}_2+{\mathrm{D}}^2{\mathrm{r}}_1+\left(2{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\mathrm{D}-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}{\mathrm{D}}^2-{\mathrm{R}}_{\mathrm{н}}\right)\right)}\right|\end{array}$.                           (19)

Уравнения (12)—(15) первой фазы эквивалентны уравнениям (16)—(19) второй фазы, так как средние значения токов и напряжений со временем не изменяются. Поэтому изменения мгновенных значений токов и напряжений по модулю в первой фазе будут равны их изменению по модулю во второй фазе. В дальнейшем для упрощения сбора данных в качестве уравнений для расчета использованы формулы (12)—(15).

Таким образом, зная номиналы выбранных элементов электронной компонентной базы и режим работы преобразователя (коэффициент заполнения D и период T), формулы (12)—(15) позволяют рассчитать размах пульсации токов i_L1, i_L2, протекающих через обмотки дросселей L1 и L2, и напряжений u_C1, u_C2 на обкладках конденсаторов С1 и С2 соответственно.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MULTISIM

Проверка достоверности полученных выражений для расчета размахов пульсаций токов и напряжений выполнена сравнением результатов расчета по формулам (12)—(15) с результатами схемотехнического моделирования в среде Multisim. Аналитический вывод уравнений для расчета постоянных составляющих SEPIC преобразователя и их сравнение с результатами моделирования представлены в [10].

Рис. 2. Схема моделирования DC/DC преобразователя.

На рис. 2 показана схема моделирования DC/DC преобразователя. В качестве силового транзистора был использован MOSFET IRLZ44N (как и в [11]), который использован для коммутации тока от входного источника питания V1 с заданной частотой f тактовых импульсов, создаваемых генератором V2. Все компоненты схемы выбраны из базы данных Multisim. Дроссели представлены эквивалентными схемами. Активные сопротивления выбранных дросселей, имеющих индуктивность 55 мкГн, не превышали 1 Ом.

Для исследования влияния коэффициента заполнения D на размахи пульсаций был использован режим анализа переходных процессов. Размахи пульсации токов и напряжений регистрировались в установившемся режиме (через 5–12 мс после начала моделирования). Результаты исследования, показывающие влияние коэффициента заполнения D, как основного параметра, на режим работы преобразователя, представлены на рис. 3 и рис. 4 (сплошные линии — расчет, штриховые линии — моделирование).

Рис. 3. Влияние коэффициента заполнения на пульсации токов, протекающих через обмотки дросселей L1 и L2: 1L1 — расчетные значения Δi_L1; l_L2 — расчетные значения Δi_L2; 2 — результаты моделирования Δi_L1м и Δi_L2м.

Здесь и далее приняты обозначения: Δi_L — размахи пульсаций тока, протекающего через обмотку дросселей L1 и L2, полученные с помощью предельной непрерывной математической модели; Δu_C — пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2, полученные с помощью предельной непрерывной математической модели; Δi_L1— размахи пульсаций тока, протекающего через обмотку дросселей L1 и L2, полученные с помощью моделирования; Δu_Cм — пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2, полученные с помощью моделирования.

Рис. 4. Влияние коэффициента заполнения на пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2: 1С1 — расчетное значение Δu_C1; 2_С1 — результат моделирования Δu_C1м; 1_С2 — расчетное значение Δu_C2 2_С2 — результат моделирования Δu_C2м.

Информация, приведенная на рис. 3 и рис. 4, иллюстрирует достаточно хорошее совпадение результатов моделирования с результатами расчетов по разработанной математической модели. Однако при значениях коэффициента заполнения D менее 0.3 и более 0.7 наблюдаются существенные отличия. Это объясняется допущениями, принятыми при выводе формул (23)—(30) [7], и влиянием паразитных параметров электрорадиоэлементов на работу преобразователя. В окрестности коэффициента заполнения D = 0.5 наблюдаются практически тождественные значения размахов пульсаций токов и напряжений, полученных при расчете и моделировании.

На рис. 3 и рис. 4 видно, что минимальная разница между рассчитанными значениями и результатами моделирования наблюдаются при коэффициентах заполнения D от 0.45 до 0.60. Для Δi_L1 минимальная разница составляет 6 мА (2.2% от Δi_L1м) при D = 0.60, для Δi_L2 — 2 мА (0.9% от Δi_L2м) при D = 0.50, для Δu_C1 — 0.2 мВ (1.5% от Δu_C1м) при D = 0.50. Разница Δu_C2 — 0.1 мВ (0.63% от Δu_C2м) при D = 0.45.

Рис. 5. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций токов, протекающих через обмотку дросселей L1 и L2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1 — расчетное значение Δi_L, 2_L1 — результат моделирования Δi_L1м 2_L2 — результат моделирования Δi_L2м

При изменении коэффициента заполнения D относительно минимума разница между расчетными значениями и значениями, полученными при моделировании, увеличивается. Так, для Δi_L1 разница составляет 14 мА (10%) и 9 мА (3%), для Δi_L2 — 13 мА (9%) и 68 мА (24%), для Δu_C1— 0.62 мВ (14%) и 10.55 мВ (23%), а для Δu_C2— 2.4 мВ (28%) и 17 мВ (23%), при коэффициентах заполнения D равных 0.3 и 0.7 соответственно.

Результаты исследования влияния частоты коммутации f силового транзистора VT1 на размахи пульсаций токов и напряжений представлены на рис. 5 и рис. 6.

Рис. 6. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций напряжения на конденсаторах С1 и С2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1_С1 — расчетное значение Δu_C1; 2_С1 — результат моделирования Δu_C2; 1_С2 — расчетное значение Δu_C2 2_С2 — результат моделирования Δu_C2м.

На рис. 6 хорошо видна предельность непрерывной математической модели [8, 10] при частоте менее 200 кГц.

Расхождение результатов расчета и моделирования размахов пульсаций токов Δi_L1 достигает 86 мА (4.2% от Δi_L1м) и 217 мА (10% от Δi_L2м) для Δi_L2, а отличия значений размахов пульсаций напряжения Δu_C1 достигают 312 мВ (66.7% от Δu_C1м) и 421 мВ (62.7% от Δu_C2м) для Δu_C2.

При частоте коммутации f силового транзистора рассматриваемого DC/DC преобразователя, превышающей 200 кГц, минимальные отклонения для пульсаций тока ΔiL1наблюдаются на частоте 250 кГц и составляют 7 мА (1.6%), пульсации тока ΔiL2 совпадают с ΔiL2м на частоте 650 кГц, а для пульсаций напряжения Δu_C1 — 5 мкВ (0.03%) на частоте 550 кГц и для Δu_C2 — 27 мкВ (0.12%) на частоте 550 кГц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Cоставлены эквивалентные схемы для DC/DC преобразователя, построенного по топологии SEPIC, в режимах накопления и передачи энергии. В соответствии с правилами Кирхгофа были записаны системы уравнений для обеих фаз работы устройства. Для формулировки математической модели в матричном виде системы уравнений были преобразованы в матричный вид.

Представляя мгновенные токи и напряжения как суммы постоянной и переменной составляющих, были записаны системы уравнений, описывающие работу преобразователя в режимах накопления и передачи энергии. Используя полученные выражения для постоянных составляющих токов и напряжений и проинтегрировав системы уравнений, описывающие каждую фазу, впервые сформулированы уравнения для определения пульсаций токов, протекающих через обмотку дросселей, и напряжений на конденсаторах, основанные на предельной непрерывной математической модели.

Для проверки достоверности расчетов размахов пульсаций выполнено сравнение результатов, полученных с использованием предельной непрерывной математической модели, с результатами моделирования DC/DC преобразователя. Исследовано влияние коэффициента заполнения D и частоты переключения f силового транзистора на размахи пульсаций характерных токов и напряжений. При коэффициенте заполнения D, близком к 0.5 размаха пульсации, вычисленные с помощью математической модели, совпали с результатами моделирования.

Минимальное расхождение результатов расчета и моделирования при изменении коэффициента заполнения D составляет: 6 мА (2.2%) для Δi_L1, 2 мА (0.9%) для Δi_L2, 0.2 мВ (1.5%) для Δu_C1 и 0.1 мВ (0.63%) для Δu_C2. При изменении частоты коммутации f минимальная разница составляет: для Δi_L1— 7 мА (1.6%), для Δi_L2— 0 мА, для Δu_C1— 5 мкВ (0.03%) и для Δu_C2 — 27 мкВ (0.12%).

Об авторах

В. К. Битюков

Автор, ответственный за переписку.
Email: bitukov@mirea.ru
Россия, Москва

А. И. Лавренов

Email: bitukov@mirea.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Принципиальная электрическая схема преобразователя понижающе-повышающего типа, построенного по топологии SEPIC.

Скачать (78KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Схема моделирования DC/DC преобразователя.

Скачать (219KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Влияние коэффициента заполнения на пульсации токов, протекающих через обмотки дросселей L1 и L2: 1L1 — расчетные значения ΔiL1; lL2 — расчетные значения ΔiL2; 2 — результаты моделирования ΔiL1ми ΔiL2м.

Скачать (48KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Влияние коэффициента заполнения на пульсации напряжения на конденсаторах С1 и С2: 1С1 — расчетное значение ; 2С1 — результат моделирования ; 1С2 — расчетное значение 2С2 — результат моделирования .

Скачать (56KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций токов, протекающих через обмотку дросселей L1 и L2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1 — расчетное значение ΔiL, 2L1 — результат моделирования ΔiL1м 2L2 — результат моделирования ΔiL2м

Скачать (60KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Влияние частоты коммутации силового транзистора на размахи пульсаций напряжения на конденсаторах С1 и С2 при коэффициенте заполнения, равном 0.5: 1С1 — расчетное значение ΔuC1; 2С1 — результат моделирования ΔuC2; 1С2 — расчетное значение ΔuC2 2С2 — результат моделирования ΔuC2м.

Скачать (62KB)

Метаданные