Том 211, № 2 (2020)

Пусть $k$ – несчетное алгебраически замкнутое поле характеристики $0$, и пусть $X$ – гладкое проективное связное многообразие размерности $2p$, вложенное в $\mathbb P^m$ над $k$. Пусть $Y$ – гиперплоское сечение $X$, и пусть $A^p(Y)$ и $A^{p+1}(X)$ – группы алгебраически тривиальных алгебраических циклов коразмерности $p$ и $p+1$ по модулю рациональной эквивалентности на $Y$ и $X$ соответственно. Предположим, что для гладкого $Y$ группа $A^p(Y)$ регулярно параметризована абелевым многообразием $A$ и совпадает с подгруппой классов степени $0$ в группе Чжоу $\operatorname{CH}^p(Y)$. Мы доказываем, что ядро гомоморфизма прямого образа из $A^p(Y)$ в $A^{p+1}(X)$ является объединением счетного числа сдвигов некоторого абелевого подмногообразия $A_0$ в $A$. Для очень общего гиперплоского сечения $Y$ или $A_0=0$, или $A_0$ совпадает с абелевым подмногообразием $A_1$ в $A$, касательное пространство к которому есть группа исчезающих циклов $H^{2p-1}(Y)_{\mathrm{van}}$. В конце статьи мы применяем эти общие результаты к сечениям гладкой четырехмерной кубики в $\mathbb P^5$.Библиография: 33 названия.

На компактном римановом многообразии $\mathscr{M}$ рассматривается класс интегро-дифференциальных уравнений агрегации с нелинейным параболическим членом $b(x,u)_t$. Дивергентный член в уравнениях может вырождаться с потерей коэрцитивности и содержит нелинейности с переменными показателями. Краевое условие “непротекания” на границе $\partial\mathscr{M}\times[0,T]$ цилиндра $Q^T=\mathscr{M}\times[0,T]$ обеспечивает при отсутствии внешних источников сохранение “массы” $\displaystyle\int_\mathscr{M}b(x,u(x,t)) d\nu=\mathrm{const}$. В цилиндре $Q^T$ с достаточно малым $T$ доказано существование ограниченного решения смешанной задачи для уравнения агрегации. При дополнительных условиях доказано существование ограниченного решения задачи в цилиндре $Q^{\infty}=\mathscr{M}\times[0,\infty)$. Для уравнений вида $b(x,u)_t=\Delta A(x,u)-\operatorname{div}(b(x,u)\mathscr{G}(u))+f(x,u)$ с оператором Лапласа–Бельтрами $\Delta$ и интегральным оператором $\mathscr{G}(u)$ доказана единственность ограниченного решения смешанной задачи. Библиография: 26 названий.

Рассматриваются левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли.При исследовании экстремальных траекторий на оптимальность ключевую роль играют симметрии экспоненциального отображения, которые индуцируются симметриями сопряженной подсистемы гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина. Для связных групп Ли с коприсоединенными орбитами общего положения коразмерности не более единицы и связным стабилизатором получена общая конструкция для таких симметрий экспоненциального отображения.Библиография: 32 названия.