О мультипликативном процессе Чанг–Диакониса–Грэма

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Изучается ленивая цепь Маркова на $\mathbb {F}_p$, заданная формулой $X_{n+1}=X_n$ с вероятностью $1/2$ и в противном случае $X_{n+1}=f(X_n) \cdot \varepsilon_{n+1}$, где случайные величины $\varepsilon_n$ равномерно распределены на $\{\gamma, \gamma^{-1}\}$. Здесь $\gamma$ – первообразный корень и функция $f(x)=x/(x-1)$ или же $f(x)=\mathrm{ind} (x)$. Показано, что время перемешивания такой цепи $X_n$ есть $\exp(O(\log p \cdot \log \log \log p/ \log \log p))$. Также мы получаем приложение разработанной техники к одному аддитивно-комбинаторному вопросу о множествах Сидоновского типа. Библиография: 34 названия.

Об авторах

Илья Дмитриевич Шкредов

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: ilya.shkredov@gmail.com
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. C. Asci, “Generating uniform random vectors”, J. Theoret. Probab., 14:2 (2001), 333–356
  2. J. Bourgain, “Multilinear exponential sums in prime fields under optimal entropy condition on the sources”, Geom. Funct. Anal., 18:5 (2009), 1477–1502
  3. J. Bourgain, A. Gamburd, “Uniform expansion bounds for Cayley graphs of $mathrm{SL}_2(mathbb {F}_p)$”, Ann. of Math. (2), 167:2 (2008), 625–642
  4. S. Chatterjee, P. Diaconis, “Speeding up Markov chains with deterministic jumps”, Probab. Theory Related Fields, 178:3-4 (2020), 1193–1214
  5. Fan Chung, “Laplacians and the Cheeger inequality for directed graphs”, Ann. Comb., 9:1 (2005), 1–19
  6. F. R. K. Chung, P. Diaconis, R. L. Graham, “Random walks arising in random number generation”, Ann. Probab., 15:3 (1987), 1148–1165
  7. S. Eberhard, P. P. Varju, “Mixing time of the Chung–Diaconis–Graham random process”, Probab. Theory Related Fields, 179:1-2 (2021), 317–344
  8. J. He, “Markov chains on finite fields with deterministic jumps”, Electron. J. Probab., 27 (2022), 28, 17 pp.
  9. J. He, Huy Tuan Pham, Max Wenqiang Xu, “Mixing time of fractional random walk on finite fields”, Electron. J. Probab., 27 (2022), 133, 15 pp.
  10. M. Hildebrand, “A lower bound for the Chung–Diaconis–Graham random process”, Proc. Amer. Math. Soc., 137:4 (2009), 1479–1487
  11. M. Hildebrand, “Random processes of the form $X_{n+1}=a_n X_n+b_n pmod p$ where $b_n$ takes on a single value”, Random discrete structures (Minneapolis, MN, 1993), IMA Vol. Math. Appl., 76, Springer, New York, 1996, 153–174
  12. M. Hildebrand, “Random processes of the form $X_{n+1}=a_n X_n+b_n pmod p$”, Ann. Probab., 21:2 (1993), 710–720
  13. C. Pohoata, Sidon sets and sum–product phenomena
  14. J. Komlos, M. Sulyok, E. Szemeredi, “Linear problems in combinatorial number theory”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 26:1-2 (1975), 113–121
  15. И. А. Круглов, “Случайные последовательности вида $X_{t+1}=a_t X_t+b_t pmod n$ с зависимыми коэффициентами $a_t$, $b_t$”, Дискрет. матем., 17:2 (2005), 49–55
  16. D. A. Levin, Y. Peres, Markov chains and mixing times, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017, xvi+447 pp.
  17. B. Murphy, “Upper and lower bounds for rich lines in grids”, Amer. J. Math., 143:2 (2021), 577–611
  18. B. Murphy, G. Petridis, O. Roche-Newton, M. Rudnev, I. D. Shkredov, “New results on sum–product type growth over fields”, Mathematika, 65:3 (2019), 588–642
  19. K. O'Bryant, “A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences”, Electron. J. Combin., 2004, Dynamic Surveys, DS11, 39 pp.
  20. O. Roche-Newton, A. Warren, “Additive and multiplicative Sidon sets”, Acta Math. Hungar., 165:2 (2021), 326–336
  21. M. Rudnev, “On the number of incidences between points and planes in three dimensions”, Combinatorica, 38:1 (2018), 219–254
  22. M. Rudnev, I. D. Shkredov, “On the growth rate in $mathrm{SL}_2(mathbb {F}_p)$, the affine group and sum–product type implications”, Mathematika, 68:3 (2022), 738–783
  23. T. Schoen, I. D. Shkredov, “Higher moments of convolutions”, J. Number Theory, 133:5 (2013), 1693–1737
  24. А. С. Семченков, “Максимальные подмножества без арифметических прогрессий в произвольных множествах”, Матем. заметки, 102:3 (2017), 436–444
  25. I. D. Shkredov, “Some remarks on the asymmetric sum–product phenomenon”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 8:1 (2019), 15–41
  26. И. Д. Шкредов, “Об асимптотических формулах в некоторых вопросах теории сумм произведений”, Тр. ММО, 79, № 2, МЦНМО, М., 2018, 271–334
  27. I. D. Shkredov, “Modular hyperbolas and bilinear forms of Kloosterman sums”, J. Number Theory, 220 (2021), 182–211
  28. I. D. Shkredov, “On an application of higher energies to Sidon sets”, Combinatorica, 2023, Publ. online
  29. S. Sidon, “Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendung in der Theorie der Fourier-Reihen”, Math. Ann., 106:1 (1932), 536–539
  30. S. Stevens, F. de Zeeuw, “An improved point-line incidence bound over arbitrary fields”, Bull. Lond. Math. Soc., 49:5 (2017), 842–858
  31. E. Szemeredi, W. T. Trotter, Jr., “Extremal problems in discrete geometry”, Combinatorica, 3:3-4 (1983), 381–392
  32. T. Tao, Van H. Vu, Additive combinatorics, Cambridge Stud. Adv. Math., 105, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006, xviii+512 pp.
  33. L. A. Vinh, “The Szemeredi–Trotter type theorem and the sum–product estimate in finite fields”, European J. Combin., 32:8 (2011), 1177–1181
  34. A. Warren, Additive and multiplicative Sidon sets, Report at CANT–2021

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Шкредов И.Д., 2023

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).