Dynamical modelling of clustering in multimodal heavy nuclei fission

全文:

ВВЕДЕНИЕ

За 85 лет, прошедших со дня открытия деления ядер, теоретическое объяснение природы мультимодальности деления тяжелых ядер остается актуальной задачей [1—6]. Процесс деления тяжелого ядра характеризуется коренной перестройкой ядерной системы, содержащей сотни нуклонов. В настоящее время еще нет последовательной теории, которая позволяла бы с единой точки зрения описать все стороны процесса деления. Сильное изменение формы ядра и неоднократное перераспределение энергии между коллективными и нуклонными степенями свободы приводит к образованию различных кластеров внутри делящейся системы, содержащих различное число нуклонов, способных как существовать очень короткое время, так и достигнуть теплового равновесия и существовать большое по масштабам ядерного деления время. В работе [7] впервые была продемонстрирована связь между образованием магических кластеров в процессе низкоэнергетического деления ядер калифорния и мультимодальностью. В настоящее время о коллективном движении, связанном с кластеризацией в делящемся ядре, говорит серия экспериментов, проведенных в лаборатории имени Флерова. Там были открыты несколько новых мод деления на несколько осколков и были получены свидетельства возможного процесса перекластеризации внутри делящейся системы [8—10].

МОДЕЛЬ

Для случая бесконечной ядерной материи энергия связи одного нуклона определяется его взаимодействием с ближайшими соседями. В этом случае энергия связи нуклонов пропорциональна их числу ~A. Нуклоны, расположенные на поверхности ядра, имеют меньшее число связей, чем внутренние, поэтому полная энергия связи уменьшается на величину, пропорциональную поверхности ядра ~A⅔. Плотность ядерной материи постоянна и не может уменьшиться ниже плотности насыщения даже при очень сильной деформации в предразрывных конфигурациях тяжелого делящегося ядра. Так как ядерное взаимодействие короткодействующее, то и в моделях, основанных на концепции среднего поля, реалистичный потенциал должен повторять по форме распределение материи в ядре [3—6]. Нуклоны в ядре в таких моделях ведут себя как делокализованные и независимые частицы. Для описания процесса образования нового нуклонного кластера внутри делящейся ядерной системы необходимо перейти к моделям нового типа, не использующим концепцию среднего поля [11—13]. В таких моделях каждая частица взаимодействует лишь с несколькими соседними частицами и не имеет информации о системе в целом. Таким образом все взаимодействия локальны и у сложной ядерной системы при изменении ее формы и внутренней структуры в процессе деления нет центра. При этом модели позволяют описывать появление и изменение многочастичных кластеров и коллективные движения большого масштаба. Такие инновационные теоретические подходы к описанию динамики процесса кластеризации уже были опробованы в работах [14—17]. В данной работе мы предлагаем аналогичную распределенную модель для описания динамически стабилизированного коллективного нуклонного кластера в тяжелом делящемся ядре. Впервые динамическая модель кластеризации была предложена в [18]. В ней используются следующие понятия и определения.

Определения

Пусть вектор $x^i\in R^m$ представляет набор характеристик частицы i ∈ N. Соседние частицы в рассматриваемом объеме взаимодействуют между собой. Связи между соседними частицами могут быть представлены графом G^t = {N, E^t, C^t} с множеством вершин N, обозначающим частицы i, i ∈ N; множеством ребер E^t = {(i, j) : i, j ∈ N}, состоящим из пар (i, j), обозначающих взаимодействие между частицами i и j в момент t, соответствующим связям в графе G^t; и матрицей связности C^t, образованной элементами $c_{ij}^t$, равными 1 в случае, если частицы i и j связаны в момент t, и ${\text{c}}_{ij}^t=0$ в противном случае.

Кластеризация частиц происходит в результате их взаимодействия, величина которого определяется разностью характеристик связанных частиц и заданным коэффициентом усиления. Общий вид взаимодействия определяется по формуле:

$u_i^t=\gamma \sum _{}_{j\in N}{c}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right)$ (1)

где $u_i^t-$суммарное воздействие на частицу i всех связанных с ней частиц, $\gamma \in \left[\mathrm{0,} 1\right]$ — коэффициент усиления, ${\text{c}}_{ij}^t$– элемент матрицы связности C^t, обозначающий наличие (отсутствие) связи между частицами i и j.

Общий вид взаимодействия частиц (1) может быть получен исходя из минимизации потенциала графа G^t связей частиц (называемого также лапласовским потенциалом графа G^t [12]), задающегося матрицей связности C^t, характеризующего степень рассогласованности состояний взаимосвязанных частиц:

${\Phi }_{G^t}= \frac{1}{2}\sum _{}_{i,j\in N}{c}_{ij}^t{\left(x_j^t-x_i^t\right)}^2$.

Определим в рассматриваемой системе два типа взаимодействия: притяжение и отталкивание, характеризующиеся радиусами действия, $r_a$ — радиус притяжения, $r_r$ — радиус отталкивания вокруг каждой частицы, $r_a>r_r$; и коэффициентами усиления ${\gamma }_a, {\gamma }_r$. Взаимодействия обоих типов зададим согласно формуле (1) с подстановкой соответствующего коэффициента усиления и определив коэффициенты матрицы связности исходя из расстояния между частицами.

Пусть частица i, помимо воздействия со стороны связанных с ней частиц, подвержена также некоторому внешнему возмущению $z_i^t\in R^m$.

С учетом притяжения и отталкивания частиц и внешнего возмущения динамика системы частиц задается следующей системой $N$ уравнений в дискретном времени:

$\begin{array}{c}{x}_i^{t+1}=x_i^t+z_i^t+{\gamma }_a{\sum }_{j\in N}c{a}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right)-\\ -{\gamma }_r{\sum }_{j\in N}c{r}_{ij}^t\left(x_j^t-x_i^t\right), i\in N,\end{array}$ (2)

где $c{a}_{ij}^t$, $c{r}_{ij}^t$ — коэффициенты, характеризующие наличие притяжения и отталкивания между частицами i и j,

$c{a}_{ij}^t=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,} \text{если\hspace{0.33em}}{c}_i^t=1 \text{ и } \rho \left(i, j\right)<r_a\\ \mathrm{0,} \text{иначе}\end{array}\right.,$

$c{r}_{ij}^t=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,} \text{если }{c}_i^t=1 \text{ и } \rho \left(i, j\right)<r_r\\ \mathrm{0,} \text{иначе}\end{array}\right.,$

где $\rho \left(i, j\right)$ — расстояние между частицами i и j.

Обозначим $C{a}^t, C{r}^t$ матрицы, составленные из элементов $c{a}_{ij}^t$ и $c{r}_{ij}^t$ соответственно; $L\left(A\right)=D\left(A\right)-A; D\left(A\right)=\text{diag}\left\{{\sum }_j{a}_{ij}\right\}$ лапласиан матрицы A, получаемый вычитанием матрицы A из диагональной матрицы D(A), где на диагонали расположены суммы элементов по строкам матрицы A. Введем векторы $X^t, Z^t\in R^{\text{nm}}$: $X^t={\left[x_1^t, \dots , x_N^t\right]}^T, Z^t={\left[z_1^t, \dots , z_N^t\right]}^T$. Запишем динамику системы (2) в векторно-матричном виде:

$X^{t+1}=X^t+Z^t-{\gamma }_{a}L\left(C{a}^t\otimes I_m\right)+ {\gamma }_{r}L\left(C{r}^t\otimes I_m\right),$

где $I_m$ — единичная матрица размера $m\times m$, $C^t\otimes I_m$ — произведение Кронекера, которое является блочной матрицей размера $nm\times nm$:

$C^t\otimes I_m=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\text{11}}^t{I}_m& \cdots & c_{1n}^t{I}_m\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{n1}^t{I}_m& \cdots & c_{\text{nn}}^t{I}_m\end{array}\right]$.

Предлагаемая модель описывает эволюцию ядерной системы, состоящей из взаимосвязанных взаимодействующих элементов — частиц, в которых связь имеется только между соседними частицами в соответствии со свойством насыщения ядерных сил. Таким образом, каждый нуклон в ядре взаимодействует лишь с ограниченным числом ближайших к нему соседних нуклонов. Система с заданной в (2) динамикой демонстрирует тенденцию к образованию кластеров в процессе эволюции своего состояния [14].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ

Рассмотрим систему, состоящую из 132 частиц, моделирующую поведение нуклонов атома ¹³²Sn. Выберем радиус притяжения равным 1.5, радиус отталкивания — 0.5, коэффициенты усиления для притяжения и отталкивания примем равными 0.001 и 0.1 соответственно. Пусть внешние возмущения можно описать независимыми одинаково распределенными нормальными величинами с параметрами $\mu =0$, σ = 0.005. Зададим число шагов моделирования T = 100. Начальные позиции частиц в пространстве примем равномерно распределенными в области $\left[-2;4\right]\times \left[-2;4\right]\times \left[-2;4\right].$

Рисунки 1 и 2 иллюстрируют состояние системы частиц в моменты t = 20 и t = 80. Вершины-точки соответствуют позициям частиц в пространстве, ребра светлого оттенка обозначают наличие притяжения между частицами, темные ребра — отталкивание. С течением времени кластерная структура системы частиц меняется под воздействием притяжения и отталкивания между частицами. В момент t = 20 наблюдается сравнительно малое число межчастичных взаимодействий, что обусловлено сравнительно большим средним расстоянием между каждой парой частиц. К моменту t = 80 произошло сближение частиц, что привело к образованию большого числа взаимодействий в силу попадания большего количества частиц в области притяжения и отталкивания соседних частиц. При этом общий объем, занимаемый всей системой, уменьшился, что отражено в изменении масштаба осей координат на рис. 1 и 2. При относительно малой величине внешнего возмущения состояние системы изменяется в сторону меньшего числа кластеров, при этом размер кластеров увеличивается.

Рис. 1. Состояние системы в момент t = 20. Светлые ребра обозначают наличие притяжения между частицами.

Рис. 2. Состояние системы в момент t = 80. Светлые ребра обозначают наличие притяжения между частицами. Темные ребра обозначают отталкивание между частицами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последние годы описанию кластеризации в ядерных системах посвящено много новых теоретических работ. Базисом для таких исследований являются расчеты поверхностей потенциальной энергии в различных многомерных реалистических потенциалах или в самосогласованном поле [3—6]. В отдельных областях поверхностей потенциальной энергии, где происходит полная перестройка ядерной системы, такие модели не применимы и приводят к сингулярностям. Адекватное описание процесса изменения внутренней структуры внутри делящейся системы потребовало дополнения этих моделей разработанной моделью нового типа, выходящей за рамки концепции среднего поля. В ней огромная сложность динамических задач в многочастичной системе с переменной структурой заменяется на численное описание большого количества парных локальных взаимодействий одинаковых частиц, но за счет сложного совместного взаимодействия в итоге достигается модельное описание динамики всей системы. Суть нового подхода заключается в переходе от централизованных к децентрализованным расчётам процесса кластеризации в делении тяжелых ядер. Рассматриваемый подход позволяет моделировать изменение структуры ядерной системы в процессе деления и описывать возникновение нового агрегатного состояния группы нуклонов. Таким образом, весь процесс деления в таком подходе характеризуются двумя временными шкалами. Быстрая динамика характеризует организацию нуклонов в большие кластеры, которые можно рассматривать как новые коллективные структуры. Образовавшиеся кластеры как целое участвуют в относительно медленной динамике делящейся ядерной системы до точки разрыва. Численное моделирование системы частиц было проведено для экспериментально наблюдаемого эффекта кластеризации дважды магического ядра олова в районе второго минимума барьера деления тяжелых актинидов.

Иванский Ю. В. благодарит Российский научный фонд за финансовую поддержку (проект № 22-71-10063).

作者简介

Y. Ivanskiy

Email: a.unzhakova@spbu.ru
俄罗斯联邦, St Petersburg, 199034

A. Unzhakova

编辑信件的主要联系方式.
Email: a.unzhakova@spbu.ru
俄罗斯联邦, St Petersburg, 199034

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. The state of the system at time t = 20. Light edges indicate the presence of attraction between particles.

下载 (136KB)

索引源数据

3. Fig. 2. The state of the system at t = 80. Light edges indicate the presence of attraction between particles. Dark edges indicate repulsion between particles.

下载 (80KB)

索引源数据