Влияние расстройки групповых скоростей оптических гармоник на отражение и прохождение излучения в активной периодической среде

Полный текст

Введение

Новые возможности использования взаимодействия между усилением, потерями и силами, связывающими различные оптические компоненты, постоянно обсуждаются исследователями в области фотоники [1, 2]. Такие возможности появляются для генерации, управления и передачи света в связи с открытием действительных собственных частот неэрмитовых гамильтонианов, для которых характерна симметрия четности и времени (PT-симметрия).

В сложных фотонных структурах с усилением и потерями нарушается консервативность. При этом появляются новые возможности применения PT-симметрии для формирования оптических сигналов со свойствами, выходящими за рамки консервативных структур [3].

PT-симметрией могут обладать слоистые среды, в которых чередуются поглощающие и генерирующие элементы. Ранее мы теоретически изучали распространение оптического излучения в активной слоистой среде с квадратичной нелинейностью. Мы использовали подход, развитый в работах [4, 5], где были получены результаты, показывающие возможность генерации устойчивых пространственных щелевых солитонов в средах с квадратичной нелинейностью. На основе численного моделирования системы связанных уравнений Шредингера для огибающих прямых и обратных волн на основной и удвоенной частотах мы получили солитоны такого типа, в том числе, в активных брэгговских структурах [6—8]. При этом, мы полагали величины физических параметров (коэффициенты брэгговской связи, отстройка от брэгговского резонанса и т. п.) в том же диапазоне, что и в работах [4, 5].

В работе [9], также используя численное моделирование, мы получили результаты, описывающие отражающие свойства периодической среды в зависимости от знака асимметричной связи.

В настоящей работе, продолжая наше исследование, мы изучаем влияние расстройки групповых скоростей волн на процесс генерации второй оптической гармонике в слоистых активных средах.

Постановка задачи

Запишем систему связанных уравнений для нормированных медленно меняющихся амплитуд прямой и обратной волн на основной частоте (E_1±) (FF) и на частоте второй гармоники (E_2±) (SH) [8—9]:

$\begin{array}{c}i\left(\frac{\partial E_{1+}}{\partial \tau }+v_1\frac{\partial E_{1+}}{\partial z}\right)+D_{\text{x}\mathrm{,1}}\frac{{\partial }^2{E}_{1+}}{\partial x^2}+{\delta }_1{E}_{1+}+\\ +({\kappa }_1+g_1)E_{1-}+{\gamma }_1{E}_{1+}^{*}{E}_{2+}=\mathrm{0,}\end{array}$ (1)

$\begin{array}{c}i\left(\frac{\partial E_{1-}}{\partial \tau }-v_1\frac{\partial E_{1-}}{\partial z}\right)+D_{\text{x}\mathrm{,1}}\frac{{\partial }^2{E}_{1-}}{\partial x^2}+{\delta }_1{E}_{1-}+\\ +({\kappa }_1-g_1)E_{1+}+{\gamma }_1{E}_{1-}^{*}{E}_{2-}=\mathrm{0,}\end{array}$ (2)

$\begin{array}{c}i\left(\frac{\partial E_{2+}}{\partial \tau }+v_2\frac{\partial E_{2+}}{\partial z}\right)+D_{\text{x}\mathrm{,2}}\frac{{\partial }^2{E}_{2+}}{\partial x^2}+{\delta }_2{E}_{2+}+\\ +\left({\kappa }_2+g_2\right)E_{2-}+{\gamma }_2{E}_{1+}^2=\mathrm{0,}\end{array}$ (3)

$\begin{array}{c}i\left(\frac{\partial E_{2-}}{\partial \tau }-v_2\frac{\partial E_{2-}}{\partial z}\right)+D_{\text{x}\mathrm{,2}}\frac{{\partial }^2{E}_{2-}}{\partial x^2}+{\delta }_2{E}_{2-}+\\ +\left({\kappa }_2-g_2\right)E_{2+}+{\gamma }_2{E}_{1-}^2=0.\end{array}$ (4)

Здесь $E_{1\pm }=\frac{E_1^{\pm }}{\sqrt{I_{10}}}$, $E_{2\pm }=\frac{E_2^{\pm }}{\sqrt{I_{10}}}$ — безразмерные медленно меняющиеся амплитуды взаимодействующих волн, нормированные на корень квадратный из пиковой интенсивности падающего излучения $I_{10}$. Эволюционная координата τ — безразмерное время, распространение происходит по продольной координате z с групповыми скоростями v_1,2 для основной и удвоенной частоты, x — поперечная координата. Параметры ${\delta }_1=\left(k_1-\frac{\pi }{d}\right)\frac{1}{\left|\kappa \right|},{\delta }_2=\left(k_2-\frac{2\pi }{d}\right)\frac{1}{\left|\kappa \right|}$ — нормированные отстройки от брэгговского резонанса на основной и удвоенной частотах, где $\kappa =\frac{{\omega }_0}{c\sqrt{{\epsilon }_0\left({\omega }_0\right)}}\frac{\Delta {\epsilon }_{\text{R}}}{4}$ — параметр брэгговской связи между встречными волнами на основной частоте, ω₀ — несущая частота излучения основной гармоники, k₁, k₂ — волновые числа излучения на основной и удвоенной частотах, соответственно, d — период слоистой структуры. Безразмерные параметры ${\kappa }_1=\frac{\kappa }{\left|\kappa \right|}, {\kappa }_2=\frac{2{\omega }_0}{c\sqrt{{\epsilon }_0\left(2{\omega }_0\right)}}\frac{\Delta {\epsilon }_{\text{R}2}}{4\left|\kappa \right|}$ описывают брэгговскую связь между встречными волнами на основной частоте и на частоте второй гармоники, соответственно: $g_1=\frac{{\omega }_0}{c\sqrt{{\epsilon }_0}}\frac{\Delta {\epsilon }_{\text{I}}}{4}\frac{1}{\left|\kappa \right|}$ и $g_2=\frac{2{\omega }_0}{c\sqrt{{\epsilon }_0\left(2{\omega }_0\right)}}\frac{\Delta {\epsilon }_{\text{I}2}}{4}\frac{1}{\left|\kappa \right|}$ соответствующие безразмерные параметры несимметричной связи между встречными волнами, при g₁ = g₂ = 0 среда пассивная, иначе активная. Параметры ${\gamma }_1=\frac{4\pi }{c^2{k}_1}{{\omega }_0}^2{\chi }^{\left(2\right)}(-{\omega }_0\mathrm{,2}{\omega }_0)\frac{\sqrt{I_{10}}}{\left|\kappa \right|}$ и ${\gamma }_2=\frac{2\pi }{c^2{k}_2}4{{\omega }_0}^2{\chi }^{\left(2\right)}({\omega }_0,{\omega }_0)\frac{\sqrt{I_{10}}}{\left|\kappa \right|}$ характеризуют квадратичную нелинейность, где χ⁽²⁾ — нелинейная восприимчивость среды. Ограничимся в нашем рассмотрении случаем широких пучков, при этом в (1)–(4) положим D_x,1 = D_x,2 = 0 и не будем учитывать поперечное распределение интенсивности, рассматривая только профиль по продольной координате z.

Пусть данная нелинейная периодическая структура ограничена по z, ее левая граница z = L_left и правая — z = L_right, вокруг нее линейная среда. Внутри нелинейной среды динамика прямых и обратных волн описывается системой (1)–(4), вне — уравнениями переноса $\frac{\partial E_{\mathrm{1,2}\pm }}{\partial \tau }\pm v_{\mathrm{1,2}}\frac{\partial E_{\mathrm{1,2}\pm }}{\partial z}=0$. На среду падает пучок основной частоты слева, он задается в начальный момент τ = 0 на прямой волне основной частоты с центром L₀ левее левой границы среды (L₀ < L_left) в виде солитонного профиля характерной ширины h_{z $E_{1+}\left(z,\tau =0\right)={\text{ch}}^{-1}\left(\left(z-L_0\right)\text{/}{h}_{\text{z}}\right).$}

На остальных волнах в начальный момент сигналы отсутствуют E₁₋(z, τ = 0) = E₂₊(z, τ = 0) = = E₂₋(z, τ = 0) = 0.

Распространение двуцветного излучения в бесконечной активной квадратичной слоистой среде, описываемое уравнениями (1)–(4) удовлетворяет закону изменения энергии:

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial \tau }\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\left({\gamma }_2\left({\left|E_{1+}\right|}^2+{\left|E_{1-}\right|}^2\right)+{\gamma }_1\left({\left|E_{2+}\right|}^2+{\left|E_{2-}\right|}^2\right)\right)dz+\\ +4g{\gamma }_2\underset{L_{\text{left}}}{\overset{L_{\text{right}}}{\int }}\mathrm{Im}\left(E_{1+}^{*}{E}_{1-}\right)dz+\\ +4g_2{\gamma }_1\underset{L_{\text{left}}}{\overset{L_{\text{right}}}{\int }}\mathrm{Im}\left(E_{2-}{E}_{2+}^{*}\right)dz=0.\end{array}$(5)

Данный закон (5) в пассивной среде (g₁ = g₂ = 0) переходит в закон сохранения энергии [4].

Уравнения (1)–(4) решаются численно с использованием консервативной нелинейной разностной схемы с помощью матричной прогонки и итерационного алгоритма. Расчет ведется в области 0 ≤ z ≤ L_z, 0 ≤ τ ≤ L_τ, при этом на левой границе по z прямых волн и правой границе обратных волн заданы нулевые граничные условия

 $\begin{array}{c}{E}_{1+}(z=\mathrm{0,}\tau )=E_{2+}(z=\mathrm{0,}\tau )=E_{1-}(z=L_{\text{z}},\tau )=\\ =E_{2-}(z=L_{\text{z}},\tau )=0.\end{array}$

Тем самым обеспечивается условие того, что в систему с течением времени не поступает дополнительная энергия. На противоположных границах расчетной области дополнительных условий не задается, так как там решается уравнение переноса, и энергия свободно выходит из системы без отражений. Так как (5) был получен в условии бесконечного пространства, внесем в него изменения, соответствующие рассматриваемой ограниченной расчетной области:

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial \tau }\underset{0}{\overset{L_{\text{z}}}{\int }}\left({\gamma }_2\left({\left|E_{1+}\right|}^2+{\left|E_{1-}\right|}^2\right)+{\gamma }_1\left({\left|E_{2+}\right|}^2+{\left|E_{2-}\right|}^2\right)\right)dz+\\ +4g{\gamma }_2\underset{L_{\text{left}}}{\overset{L_{\text{right}}}{\int }}\mathrm{Im}\left(E_{1+}^{*}{E}_{1-}\right)dz+4g_2{\gamma }_1\underset{L_{\text{left}}}{\overset{L_{\text{right}}}{\int }}\mathrm{Im}\left(E_{2-}{E}_{2+}^{*}\right)dz\\ +{\gamma }_2{v}_1\left[|E_{1+}\left(L_{\text{z}},\tau \right){|}^2+|E_{1-}\left(\mathrm{0,}\tau \right){|}^2\right]+\\ +{\gamma }_1{v}_2\left[|E_{2+}\left(L_{\text{z}},\tau \right){|}^2+|E_{2-}\left(\mathrm{0,}\tau \right){|}^2\right]=0.\end{array}$(6)

Последние четыре слагаемых соответствуют уходу энергии из системы каждой из прямой и обратной волн основной и удвоенной частоты. Их раздельный учет позволяет отследить то, какой волной уносится энергия.

Для оценки свойств отражения и прохождения излучения сквозь активную слоистую среду будем рассчитывать коэффициенты отражения и прохождения на основной и удвоенной частотах для момента времени L_τ в виде интеграла прошедших сквозь среду интенсивностей с учетом вышедшей за границу расчетной области энергии:

$R_1=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{1-}(z,L_{\tau })\right|}^{2}dz+v_1\underset{0}{\overset{L_{\tau }}{\int }}{\left|E_{1-}\left(\mathrm{0,}\tau \right)\right|}^{2}d\tau }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{10}\left(z\right)\right|}^{2}dz}},$ (7)

$T_1=\frac{{\displaystyle \underset{L_{\text{right}}}{\overset{L_{\text{z}}}{\int }}{\left|E_{1+}(z,L_{\tau })\right|}^{2}dz+v_1\underset{0}{\overset{L_{\tau }}{\int }}{\left|E_{1+}(L_z,\tau )\right|}^{2}d\tau }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{10}\left(z\right)\right|}^{2}dz}},$ (8)

$R_2=\frac{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{2-}(z,L_{\tau })\right|}^{2}dz+v_2\underset{0}{\overset{L_{\tau }}{\int }}{\left|E_{2-}\left(\mathrm{0,}\tau \right)\right|}^{2}d\tau }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{10}\left(z\right)\right|}^{2}dz}},$ (9)

$T_2=\frac{{\displaystyle \underset{L_{\text{right}}}{\overset{L_{\text{z}}}{\int }}{\left|E_{2+}(z,L_{\tau })\right|}^{2}dz+v_2\underset{0}{\overset{L_{\tau }}{\int }}{\left|E_{2+}(L_z,\tau )\right|}^{2}d\tau }}{{\displaystyle \underset{0}{\overset{L_{\text{left}}}{\int }}{\left|E_{10}\left(z\right)\right|}^{2}dz}}.$ (10)

Данные коэффициенты характеризуют как отражающие и пропускающие свойства активной слоистой среды на основной частоте, так и способность генерировать вторую гармонику в направлении как падения накачки, так и в противоположную сторону. В линейном случае (${\gamma }_1={\gamma }_2=0$) при точном брегговском резонансе (δ₁ = 0) и пассивной среде (g₁ = 0) бесконечной длины (L_left = ∞) происходит полное отражение падающей волны, $R_{\mathrm{1,}\infty }=1$, $T_{\mathrm{1,}\infty }=0$, вторая гармоника при этом не возникает. Если среда активная, то в зависимости от знака g₁ возможно как усиление падающего сигнала ($R_{\mathrm{1,}\infty }>1$ при g₁ < 0), так и его ослабление ($R_{\mathrm{1,}\infty }<1$ при g₁ > 0), прошедшая волна при этом также отсутствует ($T_{\mathrm{1,}\infty }=0$) [9]. При отстройке от брэгговского резонанса (δ₁ ≠ 0) появляется ненулевая прошедшая волна ($T_1>0$), также изменяется и коэффициент отражения. Наличие квадратичной нелинейности приводит к тому, что падающая волна генерирует в среде вторую гармонику, для которой условия брегговского резонанса отличаются от основной частоты, что сильно усложняет картину, появляются ненулевые $T_2$, $R_2$. При определенных условиях вошедший сигнал и сгенерированная вторая гармоника формируют двуцветный солитон [4, 5, 8], который распространяется в слоистой нелинейной среде до ее правой границы, где происходит отражение от нее и частичный выход энергии из среды. Отраженный сигнал движется обратно к левой границе среды солитоноподобным образом.

На формирование солитона влияет расстройка групповых скоростей. Если скорости волн основной и удвоенной частоты существенно отличаются, солитон не формируется. Этот процесс значительно влияет на отражающие и пропускающие свойства слоистой нелинейной среды.

Результаты численного моделирования

Проведено численное моделирование уравнений (1)–(4) с помощью которого исследована зависимость коэффициентов отражения и прохождения от расстройки групповых скоростей. Рассматривался случай, когда основная частота находится вблизи брэгговского резонанса, ${\delta }_1=-0.9$, а вторая гармоника — вдали от брэгговского резонанса, ${\delta }_2=5$. Параметры расчетов ${\kappa }_1=1$, ${\kappa }_2=0$, ${\gamma }_1=1$, ${\gamma }_2=0.5$, начальная ширина пучка h_z = 5, что соответствует пиковой интенсивности падающей волны $I_{10}=500$MW/cм², $\kappa =0.5$ мм^-1 и $\frac{4\pi }{c^2{k}_1}{{\omega }_0}^2{\chi }^{\left(2\right)}(-{\omega }_0\mathrm{,2}{\omega }_0)\approx {10}^{-3}$ ≈10^-3W^-1/2 [4, 5]. Размеры расчетной области L_z = 120, L_τ = 120, границы слоистой среды L_left = 60, L_right = 90, начальное положение пучка L₀ = 30. Групповая скорость второй гармоники фиксирована v₂ = 1, а групповая скорость основной частоты менялась в пределах 0.5 ≤ v₁ ≤ 2.

Сначала рассматривался случай пассивной среды g₁ = 0, g₂ = 0. На рис. 1а приведены зависимости коэффициентов отражения и пропускания от групповой скорости основной частоты. Коэффициент пропускания основной частоты имеет выраженный максимум вблизи $v_1=1$, что свидетельствует о том, что более выраженное пропускание происходит при равенстве групповых скоростей. Также можно заметить, что коэффициент отражения на второй гармонике растет с уменьшением v₁, следовательно такую среду целесообразно использовать в качестве источника волны второй гармоники при групповых скоростях основной частоты заметно меньших, чем на удвоенной частоте. На рис. 1б приведены зависимости пиковых интенсивностей и ширин пучков от времени в случае $v_1=1$. Первоначальный пучок распространяется практически без изменений примерно до момента $\tau =30$, после чего часть его попадает в среду, а часть отражается. При этом его интенсивность возрастает, а ширина уменьшается, кроме того генерируется вторая гармоника. Профиль пучка при $\tau =60$ представлен на рис. 1в, в максимуме основной частоты находится также пик второй гармоники, что показывает, что это именно двуцветный солитон, который с некоторыми осцилляциями движется в среде примерно до момента $\tau =100$, после чего интенсивность резко спадает, что объясняется выходом основной части энергии из среды. На рис. 1г приведен профиль пучка при $\tau =120$, часть энергии еще находится в среде, а часть уже вышла.

 

Рис. 1. Отражение и прохождение волн в пассивной среде κ₁ = 1, κ₂ = 0, g₁ = 0, g₂ = 0, δ₁ = −0.9, δ₂ = 5, v₂ = 1. Коэффициенты отражения (R_1,2) и прохождения (T_1,2) основной частоты и второй гармоники в зависимости от групповой скорости волны основной частоты v₁ (а). Максимальные интенсивности (сплошная линия) и ширины (штриховая линия) основной частоты (красный цвет) и второй гармоники (синий цвет) в случае v₁ = 1 (б). Профили пучка основной частоты (красный цвет) и второй гармоники (синий цвет) при v₁ = 1 (в, г), 2 (д) и 0.5 (е) в разные моменты времени τ.

 

На рис. 1д представлен профиль пучка при $v_1=2$ в момент $\tau =60$, когда часть энергии уже вышла из среды, а часть еще находится внутри. Вышедшая часть похожа на двуцветный солитон, но ширина его существенно больше, а центры пучков первой и второй гармоник заметно смещены. Это объясняется различными скоростями движения излучения на основной и удвоенной частоте в линейной среде. На рис. 1е показаны профили при $v_1=0.5$ в момент $\tau =120$. Видна часть энергии отраженная слева от среды, в самой среде наблюдается солитон. Все это показывает, что солитонный характер передачи энергии внутри среды является распространенным при различных параметрах. И, кроме того, скорость движения солитона зависит от скорости $v_1$: чем больше скорость движения излучения на основной частоте в линейной среде, тем больше скорость солитона в нелинейной среде.

На рис. 2 показан случай активной среды $g_1=0.5$, аналогично рассмотренному выше. Интенсивность основной частоты при этом снижается. Коэффициент отражения также имеет максимум вблизи $v_1=1$, его величина близка к приведенному случаю пассивной среды. Остальные коэффициенты в несколько раз меньше, чем в пассивной среде. Зависимость пиковых интенсивностей от времени при $v_1=1$ и профили пучков в различные моменты также свидетельствуют, что перенос энергии в среде носит солитонный характер. При этом, в отличие от пассивной среды, отражение энергии на основной частоте оказывается существенно меньше, чем прохождение этой энергии через нелинейную среду. В то же время коэффициенты отражения и прохождения энергии второй гармоники близки к соответствующим значениям для пассивной среды.

 

Рис. 2. Отражение и прохождение волн в активной среде. Аналогично рис. 1, кроме g₁ = 0.5.

 

На рис. 3 представлен случай активной среды при $g_1=-0.5$, интенсивность волн при этом возрастает. Коэффициент отражения второй гармоники резко растет с уменьшением v₁. Профили пучков показывают, что формируется несколько осциллирующих солитонов, энергия между ними перекачивается. За счет этого картина достаточно сложная, что видно по графикам пиковых интенсивностей. В целом можно говорить о том, что такую среду можно использовать для генерации излучения второй гармоники, направленного навстречу падающему излучению в случае, когда групповая скорость излучения на основной частоте заметно меньше скорости излучения на удвоенной частоте.

 

Рис. 3. Отражение и прохождение волн в активной среде. Аналогично рис. 1, кроме g₁ = −0.5.

 

Заключение

Исследованы зависимости отражательных свойств нелинейных активных слоистых сред от расстройки групповых скоростей между волнами основной частоты и второй гармоники. Найдены коэффициенты отражения и пропускания. Показан солитонный характер переноса энергии внутри такой среды. На основе этого возможен выбор материалов для конкретных частот с целью создания активных фильтров, а также генерации сигналов удвоенной частоты.

Об авторах

А. А. Калинович

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»

Автор, ответственный за переписку.
Email: kalinovich@gmail.com
Россия, Москва

И. Г. Захарова

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»; Университет МГУ-ППИ в Шэньчжэне

Email: kalinovich@gmail.com
Россия, Москва; Шэньчжэнь

Т. М. Лысак

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»; Университет МГУ-ППИ в Шэньчжэне

Email: kalinovich@gmail.com
Россия, Москва; Шэньчжэнь

Список литературы

Дополнительные файлы