Модификация платформы Гауфа–Стюарта с шестью степенями свободы

全文:

Платформа Гауфа–Стюарта позволяет испытывать различные объекты на устойчивость к нагрузкам, позволяет реализовывать различные тренажеры или даже размещает спутниковые антенны [1, 2]. Выходное звено платформы может позиционироваться в пространстве по шести координатам или двигаться в определенном диапазоне.

В общем случае платформа состоит из двух основных частей – неподвижного основания и подвижной платформы, которые соединены между собой шестью пневмоцилиндрами через шарниры. За счет изменения длины пневмоцилиндров платформа может совершать перемещение вдоль осей и вращательные движения в заданном диапазоне.

Для обеспечения выполнения различных задач в платформу вносятся различные конструкторские изменения. Одни имеют шесть степеней свободы [1] и изменяют положение и ориентацию под действием вращения приводов основания и неизменных длин стержней. Другие имеют три степени свободы [3, 4] и используют в кинематических цепях параллелограммы или механизмы со скользящими шарнирами. Еще одна вариация, предложенная в работе, подразумевает также фиксированную длину стержня, однако привода основания могут перемещаться вдоль своих направляющих, что позволяет увеличить линейные перемещения.

Основными задачами при проектировании платформы и определении ее возможностей являются прямая и обратная задачи кинематики. На их основе можно определить рабочие области платформы при различных заданных параметрах, реализовать программы по виртуальному моделированию поведения платформы и управлению физическими моделями.

Модификация платформы. Система состоит из двух основных частей: нижняя часть, которая состоит из шести подвижных приводов, каждый из которых отстоит от предыдущего на угол φ = 60^° и верхняя часть, соединенные между собой шестью опорами постоянной длины (рис. 1).

Рис. 1. Схема модифицированной платформы Гауфа–Стюарта: l = 22.5 см, j = 60°, M₁M₂ = M₁M₃ = M₂M₃ = 5.5 см, S_min = 9 см S_max = 23 см.

В основании лежит неподвижная система координат с осями x, y, z. Подвижная платформа имеет свою систему координат xʹ, yʹ, zʹ. Координаты платформы определяются с помощью перемещения вдоль неподвижной системы координат. Три угла поворота определяют ориентацию платформы по отношению к основанию.

Прямая и обратная задачи кинематики. Прямая задача кинематики [5, 6, 7] заключается в определении положения и ориентации платформы для заданных положений приводов, а обратная [8] – в нахождении положения приводов по заданной ориентации платформы, при этом решаемая система уравнений имеет единственное решение.

Матрица поворота относительно основания определяется формулой

$\begin{array}{c}R\mathit{=}{R}_{\mathit{z}}{R}_{\mathit{y}}{R}_{\mathit{z}}\mathit{=}\\ =\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{cos\beta } \mathrm{cos\alpha }& -\text{sin}\mathrm{\beta } \mathrm{cos\gamma }+\text{cos}\mathrm{\beta } \text{sin}\mathrm{\alpha } \text{sin}\mathrm{\gamma }& \text{sin}\mathrm{\beta } \text{sin}\mathrm{\gamma } +\text{cos}\mathrm{\beta } \text{cos}\mathrm{\gamma } \text{sin}\mathrm{\alpha }\\ \text{sin}\mathrm{\beta } \text{cos}\mathrm{\alpha }& \text{cos}\mathrm{\beta } \text{cos}\mathrm{\gamma }+\text{sin}\mathrm{\beta } \text{sin}\mathrm{\gamma } \text{sin}\mathrm{\alpha }& -\text{cos}\mathrm{\beta } \text{sin}\mathrm{\gamma }+\text{sin}\mathrm{\beta } \text{sin}\mathrm{\beta } \text{cos}\mathrm{\gamma }\\ -\text{sin}\mathrm{\alpha }& \text{cos}\mathrm{\alpha } \text{sin}\mathrm{\gamma }& \text{cos}\mathrm{\alpha } \text{cos}\mathrm{\gamma }\end{array}\right).\end{array}$

Для проведения дальнейших расчетов необходимо ввести следующее дополнение

$\left(\begin{array}{c}{x}_{M_i}\\ \begin{array}{c}{y}_{M_i}\\ z_{M_i}\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_o\\ \begin{array}{c}{y}_o\\ z_o\end{array}\end{array}\right)+R\left(\begin{array}{c}{x^{\text{'}}}_{M_i}\\ \begin{array}{c}{y^{\text{'}}}_{M_i}\\ {z^{\text{'}}}_{M_i}\end{array}\end{array}\right),$

где ${x^{\text{'}}}_{M_i},{y^{\text{'}}}_{M_i},{z^{\text{'}}}_{M_i}$ – координаты точек соединения, связанные с верхней частью платформы.

Согласно конфигурации платформы стержни имеют постоянную длину, а значит, система, описывающая платформу, выглядит следующим образом:

$\left\{\begin{array}{c}{l}^2=(S_{\mathit{A}}\mathit{-}{x}_{{\mathit{M}}_{\mathit{1}}})+y_{M_1}^2+z_{M_1}^2,\\ l^2={(S_B\mathrm{cos\phi }-x_{M_{\mathit{1}}})}^2+{(S_B\mathrm{sin\phi }-y_{M_{\mathit{1}}})}^2+z_{M_1}^2,\\ l^2={(S_C\cos 2\mathrm{\phi }-x_{M_{\mathit{2}}})}^2+{(S_C\sin 2\mathrm{\phi }-y_{M2})}^2+z_{M_2}^2,\\ l^2={(S_D\cos 3\mathrm{\phi }-x_{M_{\mathit{2}}})}^2+y_{M_2}^2+z_{M_2}^2,\\ l^2={(S_E\cos 4\mathrm{\phi }-x_{M3})}^2+{(S_E\sin 4\mathrm{\phi }-y_{M3})}^2+z_{M_3}^2,\\ l^2={(S_F\cos 5\mathrm{\phi }-x_{M3})}^2+{(S_F\sin 5\mathrm{\phi }-y_{M3})}^2+z_{M_3}^2.\end{array}\right.$ (1)

Решением обратной задачи кинематики выступает расстояние от начала координат до текущего положения привода. Соответственно используя систему (1), можно получить решение обратной задачи в виде системы

$\left\{\begin{array}{c}{S}_A=x_{M_1}+\sqrt{l^2-y_{M_1}^2-z_{M_1}^2},\\ S_B=\frac{x_{M_1}+\sqrt{3}{y}_{M_1}+\sqrt{-{(\sqrt{3}{x}_{M_1}-y_{M_1})}^2-4z_{M_1}^2+4l^2}}{2},\\ \dots .\end{array}\right.$ (2)

В задаче наличие второй степени приводит к двум решениям, однако из-за конструкции платформы одно из решений невозможно получить, несмотря на его возможность с точки зрения аналитического решения. Таким образом, остается только одно решение (2).

Используя систему (1), можно также решить и прямую задачу кинематики, добавив еще три уравнения, описывающую подвижную платформу

$\left\{\begin{array}{c}{l}^2={(S_A-x_{M_1})}^2+y_{M_1}^2+z_{M_1}^2,\\ l^2={(S_B\cos \phi -x_{M_1})}^2+{(S_B\text{sin}\phi -y_{M_1})}^2+z_{M_1}^2,\\ l^2={(S_C\text{cos}2\phi -x_{M_2})}^2+{(S_C\text{sin}2\phi -y_{M_2})}^2+z_{M_2}^2,\\ l^2={(S_D\text{cos}3\phi -x_{M_2})}^2+y_{M_2}^2+z_{M_2}^2,\\ l^2={(S_E\text{cos}4\phi -x_{M_3})}^2+{(S_E\text{sin}4\phi -y_{M_3})}^2+z_{M_3}^2,\\ l^2={(S_F\text{cos}5\phi -x_{M_3})}^2+{(S_F\text{sin}5\phi -y_{M_3})}^2+z_{M_3}^2,\\ M_1{M}_2^2={\left(x_{M_1}-x_{M_2}\right)}^2+{\left(y_{M_1}-y_{M_2}\right)}^2+{\left(z_{M_1}-z_{M_2}\right)}^2,\\ M_1{M}_3^2={\left(x_{M_1}-x_{M_3}\right)}^2+{\left(y_{M_1}-y_{M_3}\right)}^2+{\left(z_{M_1}-z_{M_3}\right)}^2,\\ M_2{M}_3^2={\left(x_{M_2}-x_{M_3}\right)}^2+{\left(y_{M_2}-y_{M_3}\right)}^2+{\left(z_{M_2}-z_{M_3}\right)}^2.\end{array}\right.$ (3)

Аналитически система (3) не решается, поэтому воспользуемся численными методами. Для ее решения был применен метод Ньютона из-за своей быстрой сходимости и возможности применения в реальном времени

$\Delta X=W^{-1}F\left(X\right)$; $X_{i+1}=X_i+\Delta X$; $W=\frac{\delta F}{\delta X}$,

где W – матрица Якоби; ΔX – отклонение от заданных положений.

Существуют и иные методы решения прямой задачи: исключение, аналитическое продолжение, базисы Гребнера, интервальный анализ, использование нейронных сетей [9]. Метод исключения обычно не очень устойчив, аналитическое продолжение [10] более устойчиво. Последние три метода наиболее быстрые и имеют большую числовую устойчивость, однако нейронные сети очень сложно реализовать аппаратно.

Визуализация. Моделирование движения платформы осуществлялось с использованием среды разработки Unity. В основе программы визуализации (рис. 2) лежит решение обратной задачи кинематики, которая связывает положение подвижной платформы с положением приводов.

Рис. 2. Виртуальная модель платформы.

Программа визуализации используется также для управления физической моделью. Процесс управления заключается в следующем: в программе визуализации формируется сообщение, включающее в себя данные о приводе, которому оно соответствует и содержит информацию о положении привода в виртуальной среде. На платформе происходит расшифровка сообщения и формирование сигнала управления. После этого датчики считывают текущее положение каждого привода и формируют ответное сообщение на программу визуализации, где происходит сравнивание положений виртуальной и физической моделей и формируется новый сигнал управления.

Оптимальный размер платформы. Решение прямой задачи кинематики позволяет оценить рабочую зону платформы. Основными для исследования встают два вопроса: как изменится размер рабочей зоны при изменении параметров платформы и какие изменения в рабочей зоне произойдут при изменении углов ориентации.

Для исследования первого вопроса зафиксируем углы ориентации и рассмотрим только линейные перемещения, также неизменными будут размеры стержней и области перемещения приводов основания.

Изменим размеры подвижной платформы и сравним полученные результаты с исходной платформой (рис. 3). В графики вписаны эллипсы, описывающие рабочую зону, в которой совершает линейные перемещения виртуальная модель. Для более удобного сравнения подобные эллипсы были выделены и на остальных графиках. Радиусы исходной области составляют: 5.2 см в горизонтальной плоскости (имеет форму круга) и 2.0 см и 5.2 см в вертикальной плоскости.

Рис. 3. Рабочая зона платформы со сторонами 5.5 см: (а) – горизонтальная; (б) – вертикальная.

Рассмотрим результаты исследования рабочей зоны платформы с размерностью меньшей, чем исходная (рис. 4). Она имеет рабочую зону, превосходящую по всем параметрам исходную, в горизонтальной проекции радиусы имеют чуть больший размер (5.4 см), как и в вертикальной проекции (5.4 см и 2.1 см), что приводит к большему объему, а, следовательно, и большему числу допустимых положений.

Рис. 4. Рабочая зона платформы со сторонами 4 см: (а) – горизонтальная; (б) – вертикальная.

Исследуем рабочую зону платформы с большими размерами подвижной части (рис. 5). В данном случае наблюдается обратный результат, относительно предыдущего. Размеры области допустимых положений незначительно, но уменьшились, радиусы составляют 5.1 см в горизонтальной проекции и 5.1 см и 2 см в вертикальной, следовательно, увеличение размеров приведет к уменьшению рабочей области.

Рис. 5. Рабочая зона платформы со сторонами 7 см: (а) – горизонтальная; (б) – вертикальная.

Рассмотрим второй вопрос, поставленный в начале главы. Введем ограничение на поворот вокруг каждой из осей в 30°, именно такие ограничения накладывает конструкция платформы в данный момент, при ее улучшении можно увеличить это значение. Для исследования изменений были зафиксированы два из трех углов и рассмотрены вращения по одной из осей. Шаг измерения был выбран в 3°. Как видно из полученных результатов (рис. 6), рабочая зона тем меньше, чем больше угол поворота и максимальна при отсутствии любого вращения.

Рис. 6. Изменение объема рабочей зоны в зависимости от угла поворота: (а) – вокруг оси z; (б) – вокруг оси y; (в) – вокруг оси x.

При рассмотрении различных вариаций можно сделать вывод о том, что чем меньший размер подвижной платформы, тем больше рабочая зона, следовательно, больше положений, которые можно достичь. Однако при выборе размера подвижной платформы следует учитывать и конструкторские требования к платформе, что может также ограничить диапазон возможных размерностей. Если же обратить внимание на повороты, которые можно совершить, то становится, очевидно, что число положений уменьшается с увеличением угла поворота и максимально при его отсутствии, т. е. положении равновесия. В виду особенностей конструкции и наложенных ограничений, внутри рабочей зоны отсутствуют точки особых положений, а близкие к особым находятся только на границе. В связи с этим на перемещения моделей платформы наложены ограничения, чтобы исключить попадание в особые или близкие к особым положения.

Заключение. Таким образом, предложена вариация классической платформы Гауфа–Стюарта с шестью степенями свободы, которая превосходит свои аналоги в линейных перемещениях. Прямая и обратная задачи кинематики позволили полностью описать модель как математически, так и виртуально, используя виртуальную среду Unity. Модель в свою очередь позволяет наглядно оценить кинематические возможности платформы, а также рассчитать поведение платформы при изменении параметров самой платформы, линейных и угловых перемещений.

Финансирование. Данная работа финансировалась за счет средств бюджета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным конкретным исследованием получено не было.

Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

作者简介

И. Пашков

编辑信件的主要联系方式.
Email: pivpivpiv@yandex.ru
俄罗斯联邦, Москва

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Schematic diagram of the modified Hauff-Stewart platform: l = 22.5 cm, j = 60°, M1M2 = M1M3 = M2M3 = 5.5 cm, Smin = 9 cm Smax = 23 cm.

下载 (677KB)

索引源数据

3. Fig. 2. Virtual model of the platform.

下载 (2MB)

索引源数据

4. Fig. 3. Working area of ​​the platform with sides of 5.5 cm: (a) – horizontal; (b) – vertical.

下载 (995KB)

索引源数据

5. Fig. 4. Working area of ​​the platform with sides of 4 cm: (a) – horizontal; (b) – vertical.

下载 (1MB)

索引源数据

6. Fig. 5. Working area of ​​the platform with sides of 7 cm: (a) – horizontal; (b) – vertical.

下载 (1MB)

索引源数据

7. Fig. 6. Change in the volume of the working area depending on the rotation angle: (a) – around the z-axis; (b) – around the y-axis; (c) – around the x-axis.

下载 (1MB)

索引源数据