Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 74, № 2 (2019)
- Год: 2019
- Статей: 7
- URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/issue/view/7509
Полиномиальная неинтегрируемость магнитных бильярдов на сфере и гиперболической плоскости
Аннотация
В статье рассматривается магнитный бильярд в выпуклой области с гладкой границей на поверхности постоянной кривизны в постоянном магнитном поле. Исследуется вопрос о существовании интеграла движения, полиномиального по компонентам скорости. Доказано, что если такой интеграл существует, то граница области определяет несингулярную алгебраическую кривую в $\mathbb{C}^3$. Также доказано, что для области, отличной от геодезического диска, магнитный бильярд не допускает полиномиального интеграла для всех значений магнитуды магнитного поля за исключением, быть может, конечного числа. Для доказательства основных теорем этой работы мы вводим новую динамическую систему “внешний магнитный бильярд” на поверхности постоянной кривизны, которая “двойственна” магнитному бильярду. Переход к этой динамической системе позволяет применить к магнитному бильярду методы алгебраической геометрии. Библиография: 30 названий.
Успехи математических наук. 2019;74(2):3-26
3-26
Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод
Аннотация
Фокусирующее нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) является простейшей универсальной моделью для описания модуляционной неустойчивости квазимонохроматических волн в слабо нелинейных средах, которая, в свою очередь, рассматривается как основной механизм появления аномальных волн (АВ) в природе. В данной работе мы исследуем, используя конечнозонный подход, задачу Коши для НУШ для начального поля, представляющего собой общее периодическое возмущение нестабильного постоянного фона (которую мы называем задачей Коши для АВ), в ситуации, когда имеется несколько неустойчивых мод. Нами показано, что конечнозонный подход адаптируется к данной задаче применением трех упрощающих шагов, что позволяет построить решение в главном порядке в терминах элементарных функций от начальных данных. Точнее, нами показано, что в главном порядке: (i) по начальным данным строится разбиение оси времени на систему конечных интервалов; (ii) на каждом интервале $I$ из этого разбиения только подмножество из ${\mathscr N}(I)\leqslant N$ неустойчивых мод является “видимым”; (iii) решение НУШ для $t\in I$ приближается ${\mathscr N}(I)$-солитонным решением ахмедиевского типа, описывающим нелинейное взаимодействие “видимых” неустойчивых мод, параметры которого также выражаются через начальные данные в элементарных функциях. Эти результаты объясняют, почему $m$-солитонные решения ахмедиевского типа с $m\leqslant N$ естественно возникают при решении общей периодической задачи Коши для АВ с конечным числом неустойчивых мод. Библиография: 118 названий.
Успехи математических наук. 2019;74(2):27-80
27-80
Вещественно-нормированные дифференциалы: пределы на стабильных кривых
Аннотация
В работе исследуется поведение вещественно-нормированных (ВН) мероморфных дифференциалов на римановых поверхностях при вырождении этих поверхностей. Мы описываем все возможные пределы ВН-дифференциалов на стабильной кривой, в частности, доказываем, что вычеты в нодальных точках даются решением соответствующей задачи Кирхгофа на двойственном графе кривой. Мы также доказываем, что пределы нулей ВН-дифференциалов образуют дивизор нулей подкрученного дифференциала, представляющего собой явно описанный набор ВН-дифференциалов на неприводимых компонентах стабильной кривой с полюсами порядка выше первого в некоторых нодальных точках. Основным техническим средством, используемым в работе, является новый метод построения дифференциалов на гладких римановых поверхностях (применяемый здесь для ВН-дифференциалов, но имеющий большую общность) в окрестности фиксированной стабильной кривой в координатах вклейки (plumbing coordinates). При этом гладкая риманова поверхность рассматривается как дополнение к окрестности нодальных точек на стабильной кривой, граничные окружности которых попарно отождествлены. Задача построения дифференциала на гладкой римановой поверхности с предписанными особенностями сводится к построению дифференциалов с заданными “скачкaми” на линиях склейки (швах). Этот аддитивный аналог задачи Римана–Гильберта решается новым методом, в котором вместо ядра Коши на гладкой римановой поверхности, полученной вклейкой, итеративно используются интегралы с ядрами Коши на неприводимых компонентах стабильной кривой. Поскольку стабильная кривая фиксирована, для построенного дифференциала можно получить явные оценки, что позволяет провести точный анализ вырождения. Библиография: 22 названия.
Успехи математических наук. 2019;74(2):81-148
81-148
Формула следа для магнитного лапласиана
Аннотация
Формула следа Гийемина–Урибе представляет собой квазиклассическую версию формулы следа Сельберга и более общей формулы Дюйстермаата–Гийемина для эллиптических операторов на компактных многообразиях, отражающую динамику магнитных геодезических потоков в терминах собственных значений естественного дифференциального оператора (магнитного лапласиана), ассоциированного с магнитным полем. В настоящей работе мы даем обзор основных понятий и результатов, связанных с формулой следа Гийемина–Урибе, и приводим конкретные примеры ее вычисления для двумерных поверхностей постоянной кривизны с постоянными магнитными полями и для примера Катка. Библиография: 53 названия.
Успехи математических наук. 2019;74(2):149-186
149-186
О существовании трехлистной поверхности Наттолла в некотором классе бесконечнозначных аналитических функций
Успехи математических наук. 2019;74(2):187-188
187-188
Полиномиальные инварианты графов и иерархии линейных уравнений
Успехи математических наук. 2019;74(2):189-190
189-190
Интегрируемость по Лиувиллю редукции уравнений ассоциативности на множество стационарных точек интеграла в случае трех примарных полей
Успехи математических наук. 2019;74(2):191-192
191-192