Полиномиальная неинтегрируемость магнитных бильярдов на сфере и гиперболической плоскости
- Авторы: Бялый М.Л.1, Миронов А.Е.2,3
-
Учреждения:
- Tel Aviv University, School of Mathematical Sciences
- Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
- Новосибирский государственный университет
- Выпуск: Том 74, № 2 (2019)
- Страницы: 3-26
- Раздел: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/0042-1316/article/view/133551
- DOI: https://doi.org/10.4213/rm9871
- ID: 133551
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
В статье рассматривается магнитный бильярд в выпуклой области с гладкой границей на поверхности постоянной кривизны в постоянном магнитном поле. Исследуется вопрос о существовании интеграла движения, полиномиального по компонентам скорости. Доказано, что если такой интеграл существует, то граница области определяет несингулярную алгебраическую кривую в $\mathbb{C}^3$. Также доказано, что для области, отличной от геодезического диска, магнитный бильярд не допускает полиномиального интеграла для всех значений магнитуды магнитного поля за исключением, быть может, конечного числа. Для доказательства основных теорем этой работы мы вводим новую динамическую систему “внешний магнитный бильярд” на поверхности постоянной кривизны, которая “двойственна” магнитному бильярду. Переход к этой динамической системе позволяет применить к магнитному бильярду методы алгебраической геометрии. Библиография: 30 названий.
Ключевые слова
Об авторах
Михаил Л. Бялый
Tel Aviv University, School of Mathematical Sciences
Андрей Евгеньевич Миронов
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук; Новосибирский государственный университет
Email: mironov@math.nsc.ru
доктор физико-математических наук, без звания
Список литературы
- P. Albers, G. D. Banhatti, M. Herrmann, Numerical simulations of magnetic billiards in a convex domain in ${mathbb R}^2$, 2017, 10 pp.
- A. Avila, J. De Simoi, V. Kaloshin, “An integrable deformation of an ellipse of small eccentricity is an ellipse”, Ann. of Math. (2), 184:2 (2016), 527–558
- N. Berglund, H. Kunz, “Integrability and ergodicity of classical billiards in a magnetic field”, J. Statist. Phys., 83:1-2 (1996), 81–126
- M. Bialy, “On totally integrable magnetic billiards on constant curvature surface”, Electron. Res. Announc. Math. Sci., 19 (2012), 112–119
- M. Bialy, A. E. Mironov, “Algebraic non-integrability of magnetic billiards”, J. Phys. A, 49:45 (2016), 455101, 18 pp.
- М. Бялый, А. Е. Миронов, “О полиномиальных интегралах четвертой степени бильярда Биркгофа”, Современные проблемы механики, Сборник статей, Тр. МИАН, 295, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2016, 34–40
- M. Bialy, A. E. Mironov, “Angular billiard and algebraic Birkhoff conjecture”, Adv. Math., 313 (2017), 102–126
- M. Bialy, A. E. Mironov, “Algebraic Birkhoff conjecture for billiards on sphere and hyperbolic plane”, J. Geom. Phys., 115 (2017), 150–156
- M. Bialy, A. E. Mironov, “A survey on polynomial in momenta integrals for billiard problems”, Philos. Trans. Roy. Soc. A, 376:2131 (2018), 20170418, 19 pp.
- С. В. Болотин, “Интегрируемые биллиарды Биркгофа”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1990, № 2, 33–36
- С. В. Болотин, “Интегрируемые бильярды на поверхностях постоянной кривизны”, Матем. заметки, 51:2 (1992), 20–28
- A. Glutsyuk, “On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS) (to appear)
- А. А. Глуцюк, “О двумерных полиномиально интегрируемых бильярдах на поверхностях постоянной кривизны”, Докл. РАН, 481:6 (2018), 594–598
- B. Gutkin, “Hyperbolic magnetic billiards on surfaces of constant curvature”, Comm. Math. Phys., 217:1 (2001), 33–53
- E. Gutkin, S. Tabachnikov, “Billiards in Finsler and Minkowski geometries”, J. Geom. Phys., 40:3-4 (2002), 277–301
- Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
- V. Kaloshin, A. Sorrentino, “On the local Birkhoff conjecture for convex billiards”, Ann. of Math. (2), 188:1 (2018), 315–380
- В. В. Козлов, “Полиномиальные законы сохранения для газа Лоренца и газа Больцмана–Гиббса”, УМН, 71:2(428) (2016), 81–120
- В. В. Козлов, Д. В. Трещeв, Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во МГУ, М., 1991, 168 с.
- M. Robnik, M. V. Berry, “Classical billiards in magnetic fields”, J. Phys. A, 18:9 (1985), 1361–1378
- V. Schastnyy, D. Treschev, “On local integrability in billiard dynamics”, Exp. Math. (to appear) , publ. online 2017
- С. Л. Табачников, “Внешние биллиарды”, УМН, 48:6(294) (1993), 75–102
- S. Tabachnikov, Billiards, Panor. Synth., 1, Soc. Math. France, Paris, 1995, vi+142 pp.
- S. Tabachnikov, “Remarks on magnetic flows and magnetic billiards, Finsler metrics and a magnetic analog of Hilbert's fourth problem”, Modern dynamical systems and applications, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004, 233–250
- S. Tabachnikov, “On algebraically integrable outer billiards”, Pacific J. Math., 235:1 (2008), 89–92
- D. Treschev, “Billiard map and rigid rotation”, Phys. D, 255 (2013), 31–34
- Д. В. Трещев, “Об одной задаче сопряжения в динамике бильярда”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Тр. МИАН, 289, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 309–317
- D. Treschev, “A locally integrable multi-dimensional billiard system”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 37:10 (2017), 5271–5284
- A. P. Veselov, “Confocal surfaces and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space”, J. Geom. Phys., 7:1 (1990), 81–107
- B. L. van der Waerden, Einführung in die algebraische Geometrie, Grundlehren Math. Wiss., 51, Springer, Berlin, 1939, vii+247 pp.
Дополнительные файлы
