Роль квазипоперечных фононов в термоэдс электрон-фононного увлечения в благородных металлах

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] исследовано влияние упругой анизотропии на электрон-фононную релаксацию в благородных металлах. Рассчитан спектр, вектора поляризации фононов, определена константа, характеризующая взаимодействие сдвиговых волн с электронами и проанализирована их роль в электросопротивлении кристаллов Au, Ag и Cu в рамках теории Блоха–Грюнайзена ([1–3]. Ранее в теории явлений электронного переноса в металлах [4–10] для фононов использовали модель изотропной среды. В этой модели только продольные фононы могли принимать участие в электрон-фононной релаксации через потенциал деформации и давать вклад в электросопротивление металлов. Однако в работах [1–3] показано, что при температурах, значительно меньших дебаевской $\mathit{\text{T}}\text{<<}{\theta }_{\text{D}}^{\lambda }$, вклад квазипоперечных фононов электрон-фононную релаксацию кристаллов Au, Ag и Cu доминирует и обеспечивает 99.5%, 97% и 98% полного электросопротивления соответственно. Тогда как на продольные фононы остается менее 3%. В работе [1] показано, что при $T\text{<<}{\theta }_{\text{D}}^{\lambda }$ доминирует релаксация электронов на сдвиговых волнах. Их вклад в электросопротивление кристаллов Au, Ag и Cu, который ранее не учитывали, составляет 95, 91 и 95%, а при Т = 1000 К он остается существенным, хотя и уменьшается до 73, 44 и 68%. Учет влияния упругой анизотропии на динамические характеристики фононов, а также релаксации электронов на сдвиговых компонентах квазипоперечных мод, позволил количественно согласовать результаты расчета температурных зависимостей электросопротивления благородных металлов с данными эксперимента в температурном интервале от 10 до 1000 К. Из сопоставления результатов расчета электросопротивления в высокотемпературной области с экспериментальными данными были найдены константы связи электронов E_0t со сдвиговыми волнами в благородных металлах. В настоящей работе эти параметры используются при анализе экспериментальных данных термоэдс увлечения в серебре, содержащем дислокации [11].

Целью настоящей работы являются: (1) расчет максимальных значений термоэдс увлечения в совершенных (бездефектных) кристаллах Au, Ag и Cu, (2) определение вкладов от фононов различных поляризаций. (3) Представляет интерес также исследование изменений соотношения вкладов различных мод из-за влияния рассеяния фононов на дислокациях.

Хорошо известно, что термоэдс является более тонким индикатором механизмов релаксации электронов, чем электросопротивление. Она зависит от особенностей спектров электронов и фононов, а также от параметров упругости кристаллов. Термоэдс может изменять свой знак в зависимости от типа механизма релаксации электронов. Так, например, при доминирующей роли нормальных процессов электрон-фононной релаксации, которые приводят к малоугловому рассеянию электронов, термоэдс увлечения отрицательна и следует зависимости ${\alpha }_{\text{drag}}\left(T\right)\approx -B{T}^3$. В отличие от нормальных процессов, процессы электрон-фононного переброса обеспечиваю рассеяние на большие углы (от π/2 до π). Это приводит к смене знака термоэдс на противоположный и к гигантскому положительному пику в термодс увлечения в кристаллах рубидия и цезия (см. [12, 13]). Очевидно, что наличие резистивных процессов рассеяния фононов приводят к ее уменьшению. Тогда как максимальные значения термоэдс увлечения, и, соответственно, коэффициента B_max, достигаются для совершенных, бездефектных кристаллов. В настоящей работе показано, что для нормальных процессов электрон-фононной релаксации максимальные значения термоэдс определяется параметрами, которые для благородных металлов надежно определены: упругими модулями второго порядка, плотностью кристалла и концентрацией электронов. Коэффициент B_max не зависит ни от спектра электронов, ни от констант электрон-фононного взаимодействия.

Для иллюстрации этого результата, а также дальнейших исследований термоэдс увлечения в наноструктурах на основе благородных металлов мы проанализировали экспериментальные данные для кристаллов серебра с различной степенью деформаций, выполненных в работах [11, 14, 15]. Как отмечено в работе [16], медь и золото не очень подходят для исследования термоэдс увлечения из-за растворенных в них примесей железа, которые приводят к существенному изменению значений термоэдс и возникновению особенностей, обусловленных эффектом Кондо. Однако в серебре железо обычно окислено [16], или проводится отжиг образцов, и минимум Кондо в термоэдс обычно не наблюдается (см., напр., [11, 16]).

2. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В БЛАГОРОДНЫХ МЕТАЛЛАХ

Рассмотрим влияние фокусировки фононов на электрон-фононную релаксацию в благородных металлах. Поскольку в упруго анизотропных кристаллах распространяются квазипродольные и квазипоперечные колебания [1–3, 17], вектор поляризации фононов e^$\lambda$(q) может быть разложен на продольную и поперечную компоненты. Угловые зависимости изоэнергетических поверхностей для кристаллов Au и Ag приведены на рис. 1. Согласно [2], они определяются выражениями: $\mathit{q}=\mathit{n}\cdot {\omega }^{\lambda }/S^{\lambda }(\theta ,\phi )$, где $S^{\lambda }\left(\theta \text{, }\phi \right)$ – фазовая скорость фононов с поляризацией λ. Продольные компоненты колебательных мод описываются потенциальным полем и могут быть учтены в рамках стандартной теории потенциала деформации [8–10], тогда как взаимодействие с поперечными (сдвиговыми) компонентами колебательных мод описываются вихревым полем [18, 19]. Эти поля имеют разную природу, поэтому не интерферируют [2, 18, 19]. Вследствие этого они входят в матричный элемент электрон-фононного взаимодействия аддитивным образом. Поэтому фурье-образ матричного элемента электрон-фононного взаимодействия в благородных металлах может быть представлен в виде [2, 19]:

Рис. 1. Угловые зависимости изоэнергетических поверхностей (10^–5 с/см) для кристаллов: Au (кривые 1, 2, 3), Ag (кривые 1а, 2а, 3а). Для продольных – кривые 1, 1а и 1b, быстрых – кривые 2, 2а и 2b и медленных поперечных фононов – кривые 3, 3а и 3b: (а) для волновых векторов в плоскости грани куба; (б) для волновых векторов в диагональной плоскости.

$\begin{array}{l}{\left({\mathrm{C}}_0^{\mathrm{\lambda }}(\mathrm{\theta },\mathrm{\phi })\right)}^2\approx {\left({\mathrm{E}}_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{\lambda }}\right)}^2\mathrm{\hslash }/\left({\mathrm{S}}_{}^{\mathrm{\lambda }}(\mathrm{\theta },\mathrm{\phi })\mathrm{\rho }\right),\\ {\left({\mathrm{E}}_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{\lambda }}\right)}^2=\left({\mathrm{E}}_{0\mathrm{L}}^2{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{\lambda }}\mathrm{n}\right)}^2+{\mathrm{E}}_{0\mathrm{t}}^2\left({\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{\lambda }}\mathrm{n}\right]}^2\right)\right),\\ {\mathrm{E}}_{0\mathrm{L}}^{}\approx \left(\mathrm{n}/\mathrm{N}\left({\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{F}}\right)\right)=\left(2/3\right)\mathrm{\epsilon }.\end{array}$ (1)

В нашей теории это проявляется в том, что средние значения для смешанных произведений на 5–7 порядков меньше средних значений $⟨{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{\lambda }}\mathrm{n}\right)}^2⟩$ и $⟨{\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{\lambda }}{\mathrm{n}}^{}\right]}^2⟩$ и могут быть опущены (см. табл. 4.4 в [2]). Как и в щелочных металлах, квадрат эффективной константы связи ${\left(E_{eff}^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^2$ в благородных металлах является функцией углов q и j, определяющих направление волнового вектора относительно кристаллографических осей. Эти зависимости определяются квадратами продольных и поперечных компонент векторов поляризаций, а также фазовой скоростью фононов. Из сопоставления результатов расчета электросопротивления в высокотемпературной области с экспериментальными данными были найдены константы связи электронов E_0t со сдвиговыми волнами в благородных металлах. Для кристаллов Au, Ag, Cu они равны 1.5, 0.92, 2.1 эВ, соответственно, тогда как константы E_0L заметно выше: 5.5, 5.5, 7.0 эВ (см. табл. 4.5 в [2]). Следует отметить, что в благородных металлах среднее по углам значение квадрата эффективной константы связи ${\left(E_{eff}^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^2$ в благородных металлах для продольных фононов значительно превышает значения для медленной t₂-моды: их отношения для кристаллов Au, Ag и Cu равны 6, 10 и 4.8 соответственно. Однако далее покажем, что это не приводит к доминирующей роли продольных фононов в термоэдс увлечения, а главную роль в этом эффекте, как и в электросопротивлении играет медленная t₂-мода, имеющая максимальный волновой вектор при фиксированной энергии фонона (см. рис. 1).

3. ТЕРМОЭДС УВЛЕЧЕНИЯ В БЛАГОРОДНЫХ МЕТАЛЛАХ

Рассмотрим термоэдс увлечения в благородных металлах и проанализируем роль квазипоперечных фононов. Детали соответствующих расчетов приведены в [2, 19], поэтому здесь мы ограничимся конечным выражением, затем конкретизируем некоторые детали для благородных металлов:

$\begin{array}{c}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{drag}}=\frac{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{e}}\sum _{\mathrm{\lambda }}\left(\frac{3}{4\mathrm{\pi }}\right)\underset{}{\overset{}{\int }}{\mathrm{d\Omega }}_{\mathrm{q}}\underset{0}{\overset{{\mathrm{T}}_{\mathrm{F}}^{\mathrm{\lambda }}(\mathrm{\theta },\mathrm{\phi })/\mathrm{T}}{\int }}{\mathrm{dZ}}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{\lambda }}{\left({\mathrm{Z}}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{\lambda }}\right)}^4\times \\ \times \mathrm{th}\left({\mathrm{Z}}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{\lambda }}/2\right)\left(\frac{{\mathrm{\nu }}_{\mathrm{eph}0}^{\mathrm{\lambda }}({\mathrm{k}}_{\mathrm{F}},{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{\lambda }})}{{\mathrm{\nu }}_{\mathrm{ph}}^{\mathrm{\lambda }}\left(\mathrm{q}\right)}\right)\times \\ \times \left(\frac{\left(2{\mathrm{m}}_{\mathrm{F}}{\left({\mathrm{S}}^{\mathrm{\lambda }}(\mathrm{\theta },\mathrm{\phi })\right)}^2\right)}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}\mathrm{T}}\right)\left\{{\tilde{\mathrm{V}}}_{\mathrm{g}3}^{\mathrm{\lambda }}{\mathrm{n}}_{\mathrm{q}3}^{}\right\}.\end{array}$ (2)

Здесь ${\mathrm{Z}}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{\lambda }}=\frac{\mathrm{\hslash }{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{\lambda }}}{{\mathrm{k}}_{\mathrm{B}}\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{q}}{{\mathrm{q}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{\lambda }}},$ а ${\tilde{V}}_{g3}^{\lambda }$  и $n_{q3}^{}$ – проекции групповой скорости и единичного волнового вектора фонона на направление градиента температур (см. формулу (1.26) [2]). В выражении (2) верхний предел интегрирования определяется отношением: $T_F^{\lambda }(\theta ,\phi )/T=2\hslash k_F{S}_{}^{\lambda }(\theta ,\phi )/k_{B}T$. Поскольку величины $T_F^{\lambda }(\theta ,\phi )=2\hslash k_F{S}_{}^{\lambda }(\theta ,\phi )/k_B$ имеют порядок 10² К (для серебра имеем $T_F^{\left[100\right]L}={645}^{}K$ и $T_F^{\left[100\right]t2}={401}^{}K$), то при температуре 4 К мы можем распространить верхний предел интегрирования в (2) до бесконечности. Для дальнейших оценок и анализа температурных зависимостей термоэдс кристаллов серебра с дислокациями [11] мы учтем актуальные в низкотемпературной области механизмы релаксации фононов: рассеяние на границах образца, дислокациях, электронах и дефектах (изотопическом беспорядке). Для этих механизмов скорость релаксации фононов имеет вид:

$\begin{array}{c}{\nu }_{ph}^{\lambda }(q,\theta ,\phi )={\nu }_{phB}^{\lambda }(\theta ,\phi )+{\nu }_{phi}^{\lambda }(q,\theta ,\phi )+\\ +\frac{k_B^{}T}{\hslash }{Z}_q^{\lambda }\left[{\nu }_{phd}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )\left.+{\nu }_{phe}^{*\lambda }(\theta ,\phi )\right]\right..\end{array}$ (3)

Здесь ${\nu }_{phB}^{\lambda }(\theta ,\phi )$ – скорость релаксации на границах [2], для рассматриваемого случая она несущественна. Параметры ${\nu }_{phe}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )=m_F^2{\left(C_0^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^2/\left(2\pi \cdot {\hslash }^4\right)$ и ${\nu }_{phd}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )=A{b}^2{N}_d$ – безразмерные величины, определяющие рассеяние на электронах и дислокациях [2–3]. Согласно [20, 21], A≈0.5(c₁₁₁/c₁₁)²=20.7, b≈2.89×10⁸ см – вектор Бюргерса, $N_d={10}^{11}с{м}^{-2}\cdot {\tilde{N}}_d$ – концентрация дислокаций. Из приведенных выше параметров серебра находим: ${\nu }_{phd}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )\approx 1.72\cdot {10}^{-3}{\tilde{N}}_d$. Здесь ${\tilde{N}}_d$ является подгоночным параметром для образцов с различной степенью деформации. Скорость релаксации фононов на электронах можно представить в виде:

${\nu }_{phe}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )=\frac{m_F^2{\left(E_{eff}^{\lambda }\right)}^2}{2\pi \cdot S_{}^{\lambda }(\theta ,\phi )\rho \cdot {\hslash }^3},$ (4)

Здесь уместно отметить, что отношение обратных времен жизни фононов различных поляризаций будет пропорционально отношению квадратов эффективных констант связи, поскольку ${\nu }_{phe}^{\lambda }(\theta ,\phi )={\omega }_q^{\lambda }{\nu }_{phe}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )$. Поэтому рассеяние продольных фононов на электронах обеспечит в 5.5 раз более короткое время, чем для медленной t₂-моды. Для релаксации фононов на изотопическом беспорядке имеем [21, 22]:

$\begin{array}{l}{\nu }_{phi}^{\lambda }(q,\theta ,\phi )\approx A_{iso}^{}{\left(T\cdot Z_q^{\lambda }\right)}^4,\\ A_{iso}^{}=\frac{g{V}_0}{12\pi }{\left(k_B/\hslash \right)}^4〈{\left(S_0^{\lambda }\right)}^{-3}〉.\end{array}$ (5)

Здесь V₀ – объем, приходящийся на один атом, g=5.8×10^–6 – фактор изотопического беспорядка. Для серебра получим константу: A_iso=3.13×10^–1 (с·град)^–1. Согласно нашим оценкам, вклад изотопического рассеяния в релаксацию фононов в серебре мал. Тогда как рассеяние на примесях может оказаться значительным, учитывая технологию получения образцов в работе [11].

При доминирующей роли релаксации фононов на электронах в нормальных процессах рассеяния, а также на дислокациях зависимость термоэдс металлов от температуры имеет вид:

$\begin{array}{c}{\alpha }_{\text{drag}}\left(T\right)\approx -B{T}^3\begin{array}{cc},& B=\frac{k_{\text{B}}{\left(m_{\text{F}}\right)}^{2}6.1}{\left|e\right|n_{e0}^{}{\pi }^3{\hslash }^4}\times \end{array}\\ \times \sum _{\lambda }\frac{1}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}d{\Omega }_q{\left(\frac{k_{\text{B}}}{\hslash S^{\lambda }(\theta ,\phi )}\right)}^3\left(\frac{{\left(C_0^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^2\times \left\{{\tilde{V}}_{g3}^{\lambda }{n}_{q3}^{}\right\}}{\left[{\nu }_{pd}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )+{\nu }_{pe}^{\ast \lambda }(\theta ,\phi )\right]}\right).\end{array}$ (6)

Такую или близкую асимптотику термоэдс наблюдали не только в щелочных и благородных металлах, но и в ряде других металлов [16]. Отметим, что увеличение концентрации дислокаций приводит к уменьшению коэффициента В, без изменения температурной зависимости, тогда как увеличение концентрации дефектов приводит к уменьшению коэффициента В и степени температурной зависимости. Учет рассеяния на изотопическом беспорядке и примесях приводит к уменьшению показателя степени температурной зависимости и уменьшению коэффициента В. Из анализа экспериментальных данных следует, что в интервале 3.5–7.5 показатель степени температурной зависимости равен 3. При этом доминирующую роль играет рассеяние на фононах и дислокациях.

В работе [11] при анализе термоэдс увлечения в Ag использована эмпирическая формула:

${\alpha }_{\text{drag}}\left(T\right)\approx A\cdot T-B\cdot T^{\text{3 }}$, (7)

где первый член определяет диффузионный вклад, второй – вклад нормальных процессов рассеяния. Согласно работе [11], значения коэффициентов лежат в интервале: A=0.8–1.8 и B=(0.02–0.034)· · 10⁻⁸ В/К⁴. В интервале от 3.5 К до 7.5 К температурные зависимости термоэдс достаточно хорошо описывают экспериментальные данные для Ag (рис. 2): кривая 1: α_drag(T)=0.75·T–0.024· ·T ³ (${\tilde{N}}_d$=0.117), кривая 2: α_drag(T)=0.9·T–0.024· ·T ³(${\tilde{N}}_d$=0.117), кривая 3: α_drag(T)=1.2·T–0.029· ·T ³ (${\tilde{N}}_d$=0.082), кривая 4: α_drag(T)=1.5·T–0.03· ·T ³ (${\tilde{N}}_d$=0.077), кривая 5: α_drag(T)=1.7·T–0.032·T ³ (${\tilde{N}}_d$=0.066).

Рис. 2. Температурная зависимость термоэдс серебра [11], а также аппроксимация экспериментальных данных кривыми 1, 2, 3, 4 и 5.

Очевидно, что уменьшение концентрации дислокаций и примесей приводит к увеличению коэффициента |В|, а его максимальное значение достигается для совершенных бездефектных кристаллов. Этот случай представляет особый интерес, поскольку, во-первых, он позволяет сделать оценку максимальных значений термоэдс увлечения в совершенных кристаллах благородных металлов, а также оценить вклады фононов различных поляризаций в термоэдс увлечения. Коэффициент |В_max| определяется параметрами, которые для большинства металлов надежно определены: упругими модулями второго порядка, плотностью кристалла и концентрацией электронов:

$\begin{array}{c}\left|B_{\max }\right|=\frac{15\cdot 6.1}{e{n}_{e0}^{}{\left(\pi \right)}^4}\left[\frac{2{\left(\pi \right)}^2{\left(k_B\right)}^4}{15{\hslash }^3}\right]\times \\ \times \sum _{\lambda }{〈\left(\frac{\left\{{\tilde{V}}_{g3}^{\lambda }{n}_{q3}^{}\right\}}{{\left(S^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^3}\right)〉}^4.\end{array}$ (8)

Подстановка параметров для благородных металлов в (8) для серебра, золота и меди дает $\left|B_{\text{max}}\right|\approx 0.55\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.33em}}\mathrm{нВ}{\text{/К}}^4$, 1.512 нВ/К⁴, 0.154 нВ/К⁴, соответственно. Для исследованных в [15] образцов серебра экспериментальные значения коэффициента В заметно меньше |B_max| и составляют $\left|B\right|$≈ 0.23–0.35 нВ/К⁴

Как видно из (8), вклады от различных мод обратно пропорциональны отношениям средних значений фазовых скоростей фононов различных поляризаций в третьей степени. Поэтому термоэдс увлечения в рассматриваемом случае может быть выражена через теплоемкость [2–3]:

${\alpha }_{\text{drag}}\left(T\right)=-\left|B_{\max }\right|T^3=-\frac{C_V}{e{n}_{e0}^{}}{R}_{\text{drag}};$ (9)

$\begin{array}{c}{R}_{drag}^{}=\frac{15\cdot 6.1}{{\left(\pi \right)}^4}\times \\ \times \sum _{\lambda }〈\left(\frac{\left\{{\tilde{V}}_{g3}^{\lambda }{n}_{q3}^{}\right\}}{{\left(S^{\lambda }(\theta ,\phi )\right)}^3}\right)〉\frac{1}{{\displaystyle \sum _{\lambda }〈{\left(S^{\lambda }\right)}^{-3}〉}}\approx \mathrm{0.31.}\end{array}$

Следует отметить, что коэффициент $R_{drag}^{}\approx \mathrm{0.31,}$ является одинаковым как для благородных, так и для щелочных металлов. Поэтому для термоэдс электрон-фононного увлечения отношение вкладов колебательных мод совпадает с отношениями их вкладов в теплоемкость. Эти отношения имеют вид:

для Ag ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.67:0.28:0.04:1,$

для Au ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.67:0.31:0.023:1,$

для Cu ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.68:0.27:0.05:1.$ (10)

Эти соотношения с точностью до 0.1% совпадают с отношениями соответствующих вкладов в теплоемкость, которая в дебаевском приближении следует зависимости T ³:

$C_V=\frac{2{\pi }^2{k}_B^4}{15{\hslash }^3}{T}^3\left\{\sum _{\lambda }〈{\left(S^{\lambda }\right)}^{-3}〉\right\}.$ (11)

Отметим, что для кристаллов серебра, исследованных в [11] с концентрациями дислокации для кривых 1–5 (см. рис. 1) соотношение вкладов меняется незначительно:

кривые 1, 2 – ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.69:0.23:0.08:1,$

кривая 5 – ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.69:0.24:0.07:1.$ (12)

Как видно из сравнения (10) и (12), наличие дислокаций приводит к увеличению вклада медленной t₂-моды в термоэдс увлечения на 2%, продольных фононов – на 4–3%, тогда как вклад быстрой t₁-моды уменьшается на 3–4%. Вывод о доминирующей роли медленной t₂-моды в термоэдс увлечения в кристаллах благородных металлов имеет простое физическое объяснение. Поскольку термоэдс увлечения определяется импульсом, передаваемым от неравновесных фононов к электронам, то чем больше импульс фонона при фиксированной энергии, тем больше его вклад в термоэдс увлечения. В связи с этим t₂-мода, имеющая минимальную фазовую скорость, и, соответственно, максимальный волновой вектор при фиксированном значении параметра $Z_q^{\lambda }$, вносит максимальный вклад в термоэдс (рис. 1). Так, например, в направлениях типа [110] для серебра при одной и той же энергии волновой вектор t₂-моды в 4 и 2.5 раза больше, чем для продольных фононов и быстрой поперечной моды.

В работе [18] показано (см. также [2]), что получение точных оценок максимальных значений термоэдс электрон-фононного увлечения играет важную роль при интерпретации экспериментальных данных для щелочных металлов при использовании эмпирической формулы (см. [11], формула (4.18)):

$\alpha =A{T}^{}-B{T}^3+C\exp (-{\theta }_U/T)$. (13)

Здесь первые два члена – диффузионный и вклад нормальных процессов электрон-фононного увлечения, а третий определяет вклад процессов электрон-фононного переброса. В работе [23] все коэффициенты А, B, С и q_U являлись подгоночными параметрами при обработке экспериментальных данных для термоэдс калия. В работе [23] получено хорошее согласие температурных зависимостей полной термоэдс с данными эксперимента в интервале от 1 до 5 К (см. [23], рис. 4). Однако в [18] рассчитаны коэффициенты |B| и показано, что такая подгонка не является корректной, поскольку для трех из четырех образцов калия К4 и К5 с различной концентрацией дислокаций коэффициенты |B|значительно превосходили предельно допустимое значение для калия |B_max|= 8.33 нВ/К⁴ (см. [18], Таблица 1). Так, например, для образцов калия К4 e=0 |B^·|=9.4 нВ/К⁴ и К5 с e=0.053 и e=0 |B^·|=10 и 12.2 нВ/К⁴ (см. [11], табл. 2). Хотя очевидно, что их значения должны быть меньше, чем |B_max|. Корректный анализ и интерпретация экспериментальных данных [21] для образцов с различной концентрацией дислокаций выполнена в работе [18]. Полученные в [18] результаты позволили авторам не только корректно описать температурные зависимости решеточной теплопроводности, термоэдс, вкладов в нее: ${\alpha }_{drag}^{t2}:{\alpha }_{drag}^{t1}:{\alpha }_{drag}^L:{\alpha }_{drag}^{}=0.78:0.18:0.04:1$ но и определить константу связи электронов со и сдвиговыми волнами и учесть их влияние на электрон-фононную релаксацию в кристаллах калия. Оказалось, что при низких температурах вклад в релаксацию электронов на сдвиговых волнах для электросопротивления в кристаллах калия в 4 раза превышал вклад продольных фононов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано влияние анизотропии упругой энергии на термоэдс увлечения в благородных металлах Au, Ag и Cu при низких температурах. Показано, что максимальные значения термоэдс увлечения в совершенных кристаллах не зависят от деталей спектра электронов, от констант электрон-фононного взаимодействия, а определяются упругими модулями второго порядка, плотностью кристалла и концентрацией электронов. Для таких кристаллов термоэдс увлечения может быть выражена через теплоемкость, что позволило определить вклады фононных мод.

Показано, что доминирующую роль в термоэдс увлечения в кристаллах благородных металлов играет медленная t₂-мод, которая обеспечивает 67–68% максимальных значений термоэдс, а быстрая поперечная мода дает 27–31%. Тогда как вклад продольных фононов ничтожно мал, и для кристаллов Au, Ag и Cu он составляет 2, 4 и 5% соответственно.

Таким образом, квазипоперечные фононы вносят доминирующий вклад в термоэдс увлечения благородных металлов. Этот вывод подтверждается анализом температурной зависимости электросопротивления благородных металлов, для которых вклад продольных фононов оказался менее 3% (см. [1–3]). Поэтому оценки кинетических коэффициентов в металлах, основанные на предположении о доминирующей роли продольных фононов в электрон-фононной релаксации и пренебрежении упругой анизотропии для фононов являются некорректными.

Проанализированы температурные зависимости термоэдс увлечения в деформированных образцов серебра, исследованных в [11], и определены эффективные концентрации дислокаций. Вывод о доминирующей роли квазипоперечных фононов в термоэдс деформированных образцов серебра остается справедливым – их вклад составляет 92–93%.

Работа выполнена в рамках государственного задания МИНОБРНАУКИ России (тема “Функция”, № AAAA-A19-119012990095-0).

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Об авторах

И. Г. Кулеев

Автор, ответственный за переписку.
Email: kuleev@imp.uran.ru
Россия, ул. С. Ковалевской, 18, Екатеринбург, 620108

И. И. Кулеев

Email: kuleev@imp.uran.ru
Россия, ул. С. Ковалевской, 18, Екатеринбург, 620108

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Угловые зависимости изоэнергетических поверхностей (10–5 с/см) для кристаллов: Au (кривые 1, 2, 3), Ag (кривые 1а, 2а, 3а). Для продольных – кривые 1, 1а и 1b, быстрых – кривые 2, 2а и 2b и медленных поперечных фононов – кривые 3, 3а и 3b: (а) для волновых векторов в плоскости грани куба; (б) для волновых векторов в диагональной плоскости.

Скачать (54KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Температурная зависимость термоэдс серебра [11], а также аппроксимация экспериментальных данных кривыми 1, 2, 3, 4 и 5.

Скачать (16KB)

Метаданные