Probing the ionosphere with pulses from the pulsar B2016+28 at a frequency of 324 MHz

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

Среда между наземными радиотелескопами и космическими радиоисточниками оказывает сильное влияние на распространение излучения от этих источников. Взаимодействие радиоволн с неоднородностями среды вызывает целый ряд эффектов, влияющих на результаты интерферометрических измерений со сверхдлинными базами (РСДБ): рефракцию, которая приводит к изменению направления распространения излучения и, тем самым, смещению видимого положения источника, и рассеяние, вызывающее размытие изображения компактных источников и флуктуации их яркости — мерцания.

Одной из основных научных задач наземно-космического радиоинтерферометра РадиоАстрон [1] являлись наблюдения пульсаров. Эти наблюдения проводились в основном на частоте 316 МГц. Поскольку излучающие области пульсаров не разрешаются даже на максимальных проекциях базы РадиоАстрона, то при интерпретации результатов этих наблюдений пульсары можно считать точечными источниками, а наблюдаемая структура изображения полностью определяется влиянием среды. При этом в процессе наблюдений на частотах ниже 1 ГГц основные искажения возникают при прохождении излучения через ионизованные компоненты среды: межзвездную плазму, плазму солнечного ветра и ионосферу.

Описание основных эффектов, вызываемых рассеянием излучения пульсаров на неоднородностях межзвездной плазмы (временная и частотная модуляция потока, затягивание импульсов и т.п.), можно найти в обзорах Рикетта [2, 3]. Основные параметры межзвездных мерцаний — полоса декорреляции Δf_dif и характерное время мерцания Δt_dif — определяются характеристиками межзвездной среды на луче зрения, меняются в широких пределах для разных объектов и для ряда пульсаров показывают заметную переменность.

Основной эффект, вызываемый влиянием неоднородностей плазмы солнечного ветра на распространение излучения компактных радиоисточников, это межпланетные мерцания, т.е. флуктуации потока, вызванные рассеянием. Описание результатов наблюдений межпланетных мерцаний и сделанных на их основе выводов о параметрах флуктуаций электронной плотности в солнечном ветре можно найти в работах [4, 5].

Существенное влияние на результаты РСДБ наблюдений на низких частотах оказывают фазовые искажения, возникающие при прохождении радиоволн через ионосферу. Изучение этих искажений необходимо для корректной интерпретации наблюдательных данных об астрономических объектах, а также позволяет получить информацию о процессах, происходящих в ионосфере над телескопами, участвующими в наблюдениях.

Ионосферные эффекты, влияющие на распространение радиоволн, изучались во многих публикациях различными методами. Обзор работ по этой тематике можно найти, например, в работе [6]. Применение РСДБ к рассматриваемой проблеме описано Чжи-Ханом и Йонгом [7], Хобигером, Кондо и Шухом [8] и Хейнкельманном, Хобигером и Шмидтом [9]. В работе Журавлева с соавторами [10] можно найти более современный обзор публикаций, касающихся влияния ионосферы на распространение радиосигналов.

В контексте наземно-космических РСДБ наблюдений влияние ионосферной и межпланетной плазмы впервые обсуждалось Денисоном и Бусом [11] еще в 1987 г. при обсуждении международной программы создания наземно-космического радиоинтерферометра. Они рассмотрели целесообразность установки на борту космического телескопа приемника диапазона 327 МГц в связи с искажениями, вызываемыми неоднородностями в ионосфере и в солнечном ветре.

Были выделены три типа ионосферных вариаций: медленные суточные изменения, движущиеся ионосферные возмущения, и быстрые случайные флуктуации электронной плотности, и изучено влияние, оказываемое зависимостью фазовых искажений от частоты и от времени на амплитуду функции видности. Расчеты показали, что поскольку в рассматриваемом диапазоне ионосферные искажения слабо зависят от частоты, то при наблюдениях в зените вызываемой ими частотной декорреляцией можно пренебречь в полосе частот до 18 МГц в дневное время и в полосе до 58 МГц в ночное время. По приведенным в [11] оценкам медленные суточные вариации электронной плотности в ионосфере дают размытие функции видности по частоте интерференции в пределах 20 мГц, а вклад случайных флуктуаций пренебрежимо мал (<<1 радиана). Заметное влияние на амплитуду функции видности могли бы оказать, по мнению авторов, только движущиеся ионосферные возмущения, которые возникают при определенных геофизических явлениях, связанных с большим энерговыделением (магнитные бури, грозовые штормы и проч.). Характерное время этих возмущений составляет от нескольких минут до десятков минут.

Также в работе [11] было изучено влияние неоднородностей солнечного ветра, ответственных за межпланетные мерцания, на результаты РСДБ наблюдений. Оценка искажений фазы флуктуациями плотности межпланетной плазмы для использованной в этой работе конфигурации наземно-космического интерферометра дала значение ˆ0.3 рад при наблюдениях в антисолнечной полусфере.

В рамках проекта РадиоАстрон [1] проведены многочисленные РСДБ наблюдения пульсаров с наземно-космическими базами, и их результаты подтвердили предсказания Денисона и Буса. Шишов с соавторами [12] при наблюдениях пульсара В1919+21 на базе Грин Бэнк-Вестерборк обнаружили заметные периодические вариации фазы гармоник кросс-спектра с характерным периодом ≈ 70 с. По их оценкам, эти вариации не оказывают существенного влияния на результаты измерения функции видности на наземно-космических базах.

Журавлев с соавторами [10] целенаправленно оценили влияние ионосферы на результаты РСДБ наблюдений пульсара В0950+08 с наземно-космическим интерферометром РадиоАстрон. Авторы обнаружили значительные синхронные получасовые вариации полного содержания электронов (ПСЭ) в ионосфере на межконтинентальном расстоянии между станциями Аресибо и Вестерборк. Оказалось, что значения ПСЭ в обнаруженных структурах примерно в два раза превышают значения ПСЭ вне этих структур. По предварительному анализу, обнаруженные структуры наблюдались во время геомагнитной бури.

Попов с соавторами [13] обнаружили заметные квазипериодические вариации фазы сцинтилей в кросс-спектре пульсара В0329+54 на базе между космическим радиотелескопом и 110-м радиотелескопом обсерватории Грин Бэнк с характерными временными масштабами 12 и 10 минут и амплитудами до 6.9 радиан. Наблюдения проводились в диапазоне частот 316–332 МГц в часовых сеансах 26, 27, 28 и 29 ноября 2012 г. с постепенно возрастающими проекциями базы в 60, 90, 180 и 240 тысяч километров. В двух сеансах из четырех обнаружены квазипериодические фазовые вариации. Авторы связывают эти изменения с влиянием перемещающихся ионосферных возмущений среднего масштаба. Измеренная амплитуда соответствует вариациям вертикального полного содержания электронов в ионосфере около 0.1×10¹⁶ м^–2. Такие изменения заметно ограничили бы время когерентного интегрирования при РСДБ-исследованиях компактных радиоисточников.

В настоящей работе мы продолжаем анализ влияния ионосферных возмущений на результаты наземно-космической радиоинтерферометрии, используя данные, полученные при наблюдениях пульсара B2016+28 в проекте РадиоАстрон.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ, НАБЛЮДЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РЕДУКЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результаты интерферометрических наблюдений межзвездного рассеяния обычно представляются в виде динамического кросс-спектра

$Z=⟨{\tilde{E}}_A\left(f,t\right){\tilde{E}}_B^{*}\left(f,t\right)⟩$, (1)

где ${\tilde{E}}_A(f,t)$ и ${\tilde{E}}_B(f,t)$ — Фурье-компоненты электрических полей сигналов, принимаемых на станциях A и B, верхний индекс * означает комплексное сопряжение, а ⟨...⟩ — усреднение по времени. Ионосферные эффекты не влияют на амплитуду поля сигнала, так что источником информации о них может служить только фаза кросс-спектра.

Из (1) видно, что фаза Z равна разности фаз принимаемых на станциях сигналов. Если все наблюдения проводятся с поверхности Земли, то разделить вклады в вариации фазы кросс-спектра, относящиеся к разным телескопам, можно только с привлечением дополнительной информации. Такое разделение становится тривиальным в том случае, когда одно из плеч интерферометра вынесено в космос, так как в этом случае фазовые искажения зависят только от состояния ионосферы над наземной станцией.

В настоящей работе использованы результаты наблюдений, проведенных 22 мая 2015 г. в полосе 316–332 МГц. Полное описание эксперимента приведено в работе [14], там же путем анализа динамического спектра, полученного на наземном телескопе, рассчитаны значения полосы декорреляции Δf_dif = 43 ± 2 кГц и времени мерцания Δt_dif = 2125 с. Ионосферные вариации фазы оценивались путем обработки измерений, полученных на базе КРТ-Аресибо в левой круговой поляризации.

2.1. Корреляционная обработка и предварительное усреднение сигнала

При корреляционной обработке, которая проводилась с помощью описанного в работе [15] коррелятора АКЦ ФИАН, полоса разбивалась на 4096 каналов шириной Δ^cf ≈ 3.91 кГц, а интервал по времени выдачи данных коррелятора (время опроса) был равен периоду пульсара и составлял Δ^ct ≈ 0.56 с при полной продолжительности наблюдений 55 мин. Накопление результата корреляции (время интегрирования) осуществлялось в двух окнах в периоде пульсара: в «сигнальном» окне, включающем основной импульс, и в «шумовом» окне вне импульса, которое использовалось для оценки вклада шумов системы в наблюдаемый сигнал; длительность каждого окна составляла 28 мс. Авто-спектр, полученный в шумовом окне на телескопе в Аресибо, использовался для очистки обрабатываемых данных от помех. Частотные каналы с номерами 992–1048 и 1472–1548, в которых на Аресибо регистрировался интенсивный, сильно переменный сигнал вне импульса, были полностью исключены из обработки.

Далее для увеличения отношения сигнал/шум полученные на выходе коррелятора динамические кросс-спектры были усреднены по времени с продолжительностью интервала усреднения Δ^at = 16Δ^ct ≈ 8.96 с и по частоте с полосой усреднения Δ^af = 8Δ^cf ≈ 31.3 кГц. Ниже для краткости для области усреднения динамического кросс-спектра будет использоваться термин «пиксель». Усредненный кросс-спектр в сигнальном окне представляет собой функцию Z ^(a)(j, k), где j = 1...512 и k = 1...325 — номера интервалов усреднения по частоте и времени соответственно. Результаты вычисления Z^(a) проиллюстрированы на верхнем графике рис. 1.

 

Рис. 1. Верхний график — наблюдаемый динамический кросс-спектр на базе RA-AR. Для каждой точки кросс-спектра усредненное комплексное значение Z^(a)(f,t) отображается в точку единичного цветового круга так, как это проиллюстрировано на нижнем графике, |Z^(a)|_max — максимальное значение модуля кросс-спектра

 

На рисунке цвет каждого пикселя определяется фазой кросс-спектра arg (Z(a)), а яркость — его модулем |Z ^(a)|. Горизонтальные черные полосы соответствуют межскановым промежуткам, а вертикальные — частотам, выброшенным из обработки из-за помех на наземной станции. Размеры пикселя выбраны так, чтобы выполнялись неравенства Δ^af < Δf_dif и Δ^at < Δt_dif и усреднение не искажало заметным образом картину переменности динамического кросс-спектра, вызванную межзвездными мерцаниями.

Для оценки ошибок, вносимых шумами системы, описанный выше алгоритм предварительного усреднения был применен к динамическому кросс-спектру, полученному при корреляции сигнала вне импульса пульсара. Статистический анализ полученного таким образом шумового кросс-спектра системы показал, что его действительная и мнимая части, как и следовало ожидать при нормальном функционировании аппаратуры, являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. Среднеквадратичное отклонение этих случайных величин, обозначенное ниже как σ(t, f), не зависит от времени t, но заметно меняется с частотой f (см. рис. 2).

 

Рис. 2. Зависимость шума системы σ от частоты

 

2.2. Вариации фазы в сцинцилях

Общая картина распределения яркости в приведенном на рис. 1 динамическом кросс-спектре аналогична распределению яркости в динамическом авто-спектре, полученном в [14] по измерениям в Аресибо: в обоих спектрах наблюдается ряд сцинцилей — областей повышенной яркости — с временем жизни, сравнимым с продолжительностью сеанса, и практически не дрейфующих по частоте.

Сцинцили, наблюдаемые в динамических спектрах, являются одним из проявлений микроструктуры дисков рассеяния. Поскольку наблюдения на больших наземно-космических базах могут разрешать спеклы (элементы микроструктуры) в диске рассеяния, вклады индивидуальных спеклов в наблюдаемый кросс-спектр могут иметь разные фазы. Соответственно, фаза функции видности может быть различна для сцинцилей, формируемых излучением разных спеклов.

То, что фаза Z ^(a) действительно сильно меняется от cцинциля к сцинцилю, легко видеть на рис. 1. Более тщательный анализ показывает также, что внутри почти всех сцинцилей фаза слабо зависит от частоты. Исключением являются несколько наиболее протяженных по частоте сцинцилей. По-видимому, эти протяженные сцинцили являются наложением двух или более случайно совпавших по частоте сцинцилей, которые имеют разную фазу, т. к. формируются излучением различных спеклов.

В дальнейшем анализе использовались результаты измерений в M = 20 выделенных сцинцилях, которые аппроксимировались прямоугольниками $j_l\left(s\right)\le j\le j_u\left(s\right)$, $k_{\text{l}}s\le k\le k_{\text{u}}s$ в усредненном кросс-спектре. Здесь и далее индекс s = 1,...,M идентифицирует сцинциль.

Для каждого выделенного сцинциля были вычислены усредненные по сечению t = const кросс-спектры

$Z_s\left(k\left(t\right)\right)=\frac{1}{L_s}\sum _{j=j_l\left(s\right)}^{j_u\left(s\right)}{Z}^{\left(a\right)}(j,k)$, (2)

где L_s = j_u(s) – j₁(s) + 1 — протяженность сцинциля s по частоте в пикселях, k(t) — номер интервала усредненения по времени, соответствующего времени t. Поскольку выделялись только сцинцили с малой протяженностью по частоте и фазой кросс-спектра, слабо меняющейся между низко- и высокочастотными границами сцинциля, то внутри сцинциля s изменение фазы кросс-спектра полностью описывается зависимостью Z_s(k), а шум системы σ(f) можно считать постоянным и принять σ(f) = σ_s.

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИОНОСФЕРНОГО ВКЛАДА В ФАЗУ КРОСС-СПЕКТРА

Измереное значение кросс-спектра в сцинциле s может быть представлено в виде Z_s(t) = Z(f_s,t) + z_s(t), где Z — кросс-спектр сигнала, принимаемого антеннами интерферометра, z_s — ошибки измерений, f_s — средняя частота сцинциля. Для дальнейшего анализа представим кросс-спектр в показательной форме Z(t) = |Z(t)| exp (iφ(t)) и аналогично для Z ^(a)(t) и Z_s(t).

Вариации Z вызываются собственной переменностью пульсара, межзвездными и межпланетными мерцаниями и ионосферными возмущениями, причем изменение ионосферного содержания электронов не влияет на | Z(t) |, а собственная переменность пульсара на φ(t). При наблюдениях вблизи зенита, как это имело место в нашем случае на Аресибо, ионосферный сдвиг фазы дается соотношением [16, 17]

${\phi }_{atm}=-8.45\frac{C_e}{{10}^{16} {м}^{-2}}\frac{1 Ггц}{f}\sec \zeta$, (3)

где ζ — зенитный угол пульсара, C_e — полное содержание электронов (ПСЭ) в ионосфере,

$C_e=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{n}_e\left(h\right)dh$, (4)

а n_e(h) — зависимость электронной плотности в ионосфере от высоты.

При наблюдениях, проводимых в узком диапазоне частот, абсолютные измерения ионосферного сдвига фазы принципиально невозможны, поскольку значения φ^(a)(t), которые являются единственным источником информации о переменности C_e, определяются неоднозначно, с точностью до слагаемого 2np, где n — неизвестное целое. Именно эта ситуация имеет место в рассматриваемом случае, так как B/f₀ < 0.05, где B = 16 МГц — ширина полосы, f₀ = 324 МГц — центральная частота.

Если, однако, в качестве измеряемой величины рассматривать не саму фазу φ(t), а ее производную dφ(t)/dt, аппроксимируемую разделенной разностью между двумя последовательными измерениями, то при достаточно малом интервале между измерениями указанная неоднозначность не влияет на результат. Так как значения Z ^(a) измерялись с периодом ≈ 8.96 с, существенно меньшим, чем характерное время изменения φ(t), то 2pn-неоднозначность легко разрешается при измерении dφ(t)/dt.

Поскольку целью описываемых ниже расчетов будет оценка dφ(t)/dt, то основными величинами, фигурирующими в дальнейшем анализе, будут

$\Delta \phi \left(t^{\text{'}},t^{\text{'}\text{'}}\right)=\phi \left(t^{\text{'}}\right)-\phi \left(t^{\text{'}}\right)$ (5)

— изменение фазы истинного кросс-спектра между двумя моментами t′ и t″, и соответствующие непосредственно получаемые из измерений величины

$\Delta {\phi }_s\left(t^{\text{'}},t^{\text{'}\text{'}}\right)={\phi }_s\left(t^{\text{'}\text{'}}\right)-{\phi }_s\left(t^{\text{'}}\right)$. (6)

Далее мы в основном будем рассматривать разность фаз для двух подряд идущих пикселей (t″ и t′= 8.96). Как правило, в этом случае для краткости аргументы t′ и t″ не будут указываться в явном виде.

3.1. Разделение вкладов ионосферы и межзвездной среды в вариации фазы

Поскольку фаза кросс-спектра меняется не только из-за вариаций C_e, но и из-за межзвездного и межпланетного рассеяния, то для дальнейшего анализа представим изменение фазы на частоте сцинциля s в виде

$\Delta \phi \left(f_s\right)=\theta \left(f_s\right)+\eta \left(f_s\right)$, (7)

где θ — сумма вкладов ионосферы и межпланетной плазмы, а η — вклад межзвездной среды.

Природа физических процессов, определяющих значения θ(f_s) и η(f_s), одна и та же — взаимодействие излучения пульсара с флуктуациями коэффициента преломления, вызванными вариациями электронной плотности. Однако количественно решения уравнения переноса излучения, описывающие эти два слагаемых, отвечают двум противоположным асимптотическим режимам. А именно, в используемом нами диапазоне частот межзвездные мерцания пульсара B2016+28 описывается приближением сильного рассеяния, в то время как межпланетные и ионосферные эффекты описываются приближением слабого рассеяния. Для двух указанных режимов рассеяния частотная зависимость свойств рассеяного излучения сильно различается (см., напр., [3]), что и позволяет разделить вклад двух слагаемых в правой части (7).

Сильное рассеяние в межзвездной плазме вызывает глубокую — c амплитудой почти 100% — модуляцию сигнала как функции времени и частоты, что приводит к формированию сцинцилей в динамических авто- и кросс-спектрах пульсаров (см. рис. 1). Индивидуальные сцинцили формируются излучением, приходящим из геометрически разнесенных и физически независимых областей межзвездной среды. Поэтому значения η(f_s) для различных значений индекса s являются независимыми случайными величинами и усреднение по большому числу сцинцилей, наблюдаемых в динамическом кросс-спектре пульсара B2016+28, позволяет уменьшить вклад, вносимый межзвездным рассеянием в измерения Δφ(f_s).

При слабом рассеянии характеристики рассеянного излучения мало меняются внутри сравнительно узкого диапазона частот, используемого в описываемых здесь наблюдениях. Поэтому усреднение по индивидуальным сцинцилям практически не влияет на вклад слагаемого θ(f_s) в сумму (7).

Отделить аналогичным образом влияние рассеяния на неоднородностях солнечного ветра от ионосферного вклада в значение θ(f_s) невозможно, поскольку частотная зависимость слаба для обоих этих эффектов. Следующие соображения показывают, однако, что в рассматриваемой в настоящей работе задаче влиянием межпланетной плазмы можно, по-видимому, полностью пренебречь.

Во-первых, поскольку плотность солнечного ветра убывает примерно как 1/r ² с возрастанием расстояния от Солнца r, то все эффекты, связанные с межпланетным рассеянием, быстро убывают с увеличением углового расстояния наблюдаемого источника от Солнца и становятся крайне слабыми при наблюдениях в антисолнечной полусфере. По техническим ограничениям на ориентацию космического радиотелескопа в проекте РадиоАстрон угловое расстояние между лучом зрения и Солнцем должно быть больше 90°; в нашем случае этот угол составлял ≈ 98°.

Во-вторых, ионосферные флуктуации и переменность, связанная с неоднородностью солнечного ветра, имеют существенно различные временные характеристики. Это различие использовалось, в частности, в работе [18] для разделения ионосферных и межпланетных мерцаний в наблюдениях на телескопе LOFAR. Согласно [19], коэффициент корреляции плотности межпланетной плазмы как функции пространственных координат r близок к exp(–r ²/a²), где a ≈ 250 км на орбите Земли. Это означает, что временная структурная функция флуктуаций, вызванных межпланетной плазмой, в наших данных должна быстро выходить на асимптотическое постоянное значение при задержках ≥ 1 с. Приведенные ниже (рис. 3) результаты показывают монотонный рост структурной функции вплоть до задержек ≈120 c, что свидетельствует о доминирующем влиянии ионосферной составляющей и возможности пренебречь влиянием межпланетных мерцаний в нашем рассмотрении.

 

Рис. 3. Верхний график: зависимость атмосферного вклада в вариацию фазы кросс-спектра φ_atm от времени (сплошная линия), его аппроксимация линейными функциями времени на каждом скане (штриховые линии) и значения ρ — среднеквадратичных отклонений линейной аппроксимации от наблюдений. Нижний график: структурная функция D_φ(τ)

 

В используемом нами диапазоне частот вблизи зенита θ(f) ∝ 1/f и в силу малой относительной ширины полосы отличия θ(f) от θ(f₀) — значения на центральной частоте — не превышают 2.5% во всем диапазоне частот. Поэтому в первом приближении можно считать ионосферный вклад одинаковым для всех сцинцилей. Далее мы будем пользоваться этим приближением и полагать θ(f) = θ.

Используемый далее алгоритм определения ионосферного вклада в вариации фазы состоит из двух шагов: (1) вычисление Δφ_s индивидуально для каждого выделенного сцинциля и (2) оценка θ путем усреднения полученных значений Δφ_s для каждого момента времени t по всей совокупности тех сцинцилей, у которых t входит в период существования.

Скорости изменения фаз индивидуальных сцинцилей легко находятся непосредственно из наблюдательных данных c помощью формул (2) и (6), они оказались заключенными в основном в интервале ±0.1 рад/с. Это соответствует модулю изменения фазы за время Δ^at меньшему, чем 0.9 рад, так что 2p-неоднозначность не влияет на дальнейший анализ.

Для уменьшения погрешностей, вызываемых шумом системы и влиянием межзвездного рассеяния, необходимо усреднение значений Δφ_s, вычисленных для индивидуальных сцинцилей. Процедура усреднения, однако, представляет некоторые трудности и требует применения нестандартного подхода.

3.2. Оценка θ по значениям Δφs

Одним из первоисточников трудностей, возникающих при оценке θ путем усреднения по сцинцилям измеренных значений Δφ_s, является то, что значения | Z | сильно меняются как от сцинциля к сцинцилю, так и в зависимости от времени. Как следствие, влияние шумового компонента на Δφ_s меняется в широких пределах, что необходимо учитывать при усреднении. Если ошибки индивидуальных измерений различаются, то обычный подход состоит в том, что усреднение производится с весами.

В стандартной ситуации оптимальным является приписывание каждому измерению Δφ_s в индивидуальном сцинциле веса v_s = 1/(Δ(Δφ_s)). Здесь и далее Δx обозначает дисперсию случайной величины x.

Однако в нашем случае такой подход не применим. Дело в том, что стандартные статистические методы ориентированы на анализ случайных величин и процессов, принимающих значение в евклидовом пространстве. Так как значение фазы определяется лишь по модулю 2p, то областью значений случайного процесса, описывающего ее переменность, является окружность. Вследствие этого статистический анализ вариаций фазы требует применения специализированных методов. Ниже рассматривается один из возможных подходов к решению этой задачи.

Прежде всего, для фиксированного момента времени изучим влияние шума системы на точность аппроксимации φ(f_s) — фазы истинного кросс-спектра в сцинциле s — значением φ_s = arg(Z_s), где Z_s определено в (6).

Если выполняется условие | Z | >> s_s, т.е. при сигнале в импульсе большем по сравнению с уровнем шума, то Z ≈ Z_s и ошибка определения фазы мала. В этом случае тем фактом, что область значений случайной величины φ(f_s) – φ_s является окружность, а не множество действительных чисел, можно пренебречь, и применить стандартный подход. Дисперсия вносимой шумом ошибки определения фазы в этом пределе дается выражением

$D{\varphi }_s\approx {\sigma }_s^2/\left(L_s{\left|Z_s\right|}^2\right)\ll 1$, (8)

и в выражения для различных взвешенных средних значение Z_s входит с весом

$w_s=L_s{\left|Z_s\right|}^2/{\sigma }_s^2$. (9)

Если условие (8) выполняется для всех сцинцилей, учитываемых при расчете ионосферного сдвига фазы, то применима стандартная процедура усреднения с весами. А именно, можно положить

$\theta =\frac{1}{u}\sum _s{v}_s\Delta {\varphi }_s$, (10)

где

$\frac{1}{v_s\left(t^{\text{'}},t^{\text{'}\text{'}}\right)}=\frac{1}{w_s\left(t^{\text{'}}\right)}+\frac{1}{w_s\left(t^{\text{'}\text{'}}\right)}$ (11)

и

$u\sum _s{v}_s$. (12)

Если же в усреднении участвуют сцинцили, для которых условие (8) не выполняется, то стандартные методы оценки параметров случайных распределений неприменимы. Это проявляется, в частности, в том, что в предельном случае когда Z → 0 и, следовательно, Z_s ≈ z_s, веса, вычисленные в соответствии с (9), не уменьшаются. Как следствие, в усреднении участвуют измерения, содержащие только шум, что уменьшает точность результатов.

Для минимизации влияния измерений с низким отношением сигнал/шум алгоритм вычисления весов должен быть модифицирован. При анализе наблюдений пульсара B0329+54 в [13] эта задача решалась путем отбора для обработки только самых сильных импульсов. В наших обозначениях использованный в указанной работе алгоритм эквивалентен тому, что веса вычисляются по формуле w_s = H(| Z_s | – | Z |_th), где H — функция Хевисайда, | Z |_th — некоторое пороговое значение, обеспечивающее выполнение условия (8).

В наблюдениях, обрабатываемых в настоящей работе, доля измерений, для которых условие (8) выполняется, слишком мала. Поэтому необходимо использовать многочисленные отсчеты с низким уровнем сигнала, компенсируя малую индивидуальную точность каждого отдельного измерения усреднением по их большому числу. Алгоритмически эта задача решается использованием в (10) вместо (9) надлежащим образом выбраной функции w_s(Z_s).

Для выбора w_s(Z_s) можно использовать следующие соображения. При Z_s → ∞, как указано выше, для оптимальной функции w_s(Z_s) должно асимптотически выполняться равенство (9). В противоположном случае малого по сравнению с шумом сигнала, т.е. при выполнении условия

$\left|Z\right|\ll \sigma$ (13)

оптимальным является w_s = 0. Поскольку непосредственно измеряемой величиной является Z_s = Z + z_s, то установить, что условие (13) выполняется, можно только с той или иной степенью вероятности, проверяя гипотезу Z = 0 с помощью какого-либо статистического критерия. При этом для подавления вклада сильно зашумленных измерений с | Z | << s следует в функцию w_s(Z_s) ввести фактор, стремящийся к нулю для тех измерений, у которых используемый критерий принимает проверяемую гипотезу на больших уровнях значимости.

Если гипотеза Z = 0 верна, то Z_s = z_s, сумма

$X_s^2=\frac{1}{{\sigma }_s^2}\sum _{j=1}^{L_s}{\left|Z^{\left(a\right)}\right|}^2=\frac{1}{{\sigma }_s^2}\sum _{j=1}^{L_s}{\left|z^{\left(a\right)}\right|}^2$ (14)

распределена как c²_2Ls, и для проверки гипотезы о малости отношения сигнал/шум мы использовали критерий c². Для расчета весов значений фазы измеренных в индивидуальных сцинцилях использовалось выражение:

$w_s=2\left(\max \left(\mathrm{0,}P\left(X_s^2\right)-1/2\right)\right)L_s|Z_s{|}^2/{\sigma }_s^2$, (15)

где P(X_s²) — вероятность того, что случайная величина с функцией распределения c²_2Lsпринимает значение, меньшее X_s². При этом для X_s² → ∞ асимптотически выполняется равенство (9). Измерения Z_s с настолько малыми значениями X_s², что гипотеза Z = 0 принимается на уровне значимости α = 0.5, считаются не несущими полезной информации. Для них w_s = 0, и тем самым они исключаются из рассмотрения.

После того, как веса w_s индивидуальных измерений φ_s вычислены согласно (15), расчет θ(t) проводится так же, как и в случае применимости стандартного подхода, с помощью уравнений (10).

3.3. Вычисление структурных функций фазы и ее производной

Дальнейшее изучение статистических свойств θ(t) выполнялось методом, близким к использованному в работе [13] и основанном на оценке временнoй структурной функции производной фазы

$D_{\theta }\left(\tau \right)=⟨{\delta }^2\left(t^{\text{'}},t^{\text{'}\text{'}}\right)⟩$, (16)

где $\delta \left(t^{\text{'}},t^{\text{'}\text{'}}\right)=\theta \left(t^{\text{'}\text{'}}\right)-\theta \left(t^{\text{'}}\right)$, а ⟨...⟩ обозначает усреднение по всем парам измерений θ(t″), θ(t′) с $t^{\text{'}\text{'}}-t^{\text{'}}=\tau$. В отличие от [13], усреднение в (16) проводилось с учетом неравноточности измерений θ.

Построить алгоритм усреднения с весами, подобный тому, который описывается уравнениями (10) и (15), в данном случае невозможно по двум причинам. Во-первых, из-за квадратичной зависимости структурной функции от индивидуальных значений θ(t) нельзя воспользоваться аналогией с результатами для линейных статистических моделей. Во-вторых, наблюдаемые различия d(t′, t″) при одних и тех же значениях t″ – t′ = τ, но различных значениях t′ связаны не только с ошибками измерений, но и с реальной переменностью ионосферного вклада в фазу кросс-спектра, причем сколько-нибудь детальное статистическое описание этой переменности отсутствует.

Из-за указанных трудностей при расчете D_θ(τ) веса, приписываемые при усреднении в (16) индивидуальным значениям δ²(t′, t″), выбирались простейшим способом, отражающим качественную зависимость погрешности δ²(t′, t″) от погрешностей θ(t″) и θ(t′). А именно, значению δ²(t′, t″) приписывался вес mi(u(t′), u(t″)), где u(t) определено в (10). Результаты расчетов D_θ(τ) по описаному выше алгоритму показали, что в отличие от аналогичной структурной функции, полученной в [15], здесь не наблюдается явных признаков квазипериодических осцилляций фазы.

Для оценки влияния ионосферных эффектов на функцию видности необходимо рассмотреть поведение фазы, а не ее производной. Поэтому на следующем этапе обработки для каждого скана путем численного интегрирования функции θ(t) = φ′_atm была получена временнáя зависимость атмосферного вклада в вариацию фазы и вычислена соответствующая структурная функция D_φ. Результаты расчетов проиллюстрированы на рис. 3. Поскольку в межскановых промежутках 13.9 < t < 15.5 мин и 33.0 < t < 34.5 мин измерения отсутствуют, то однозначное восстановление фазы на всем интервале невозможно. При построении графика зависимости φ_atm(t) предполагалось, что в межскановых интервалах фаза постоянна. При расчете D_φ(t″ – t′) мы включали в усреднение только те слагаемые (φ_atm(t′) – φ_atm(t″))², для которых оба момента t′ и t″ принадлежат одному и тому же скану, поэтому неоднозначность сдвига фазы между сканами на результат не влияет.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

В нашей работе проанализированы наблюдения пульсара В2016+28, выполненные на радиотелескопе в Аресибо 22 мая 2015 г. в совместном эксперименте с космическим телескопом РадиоАстрон. Так как радиотелескоп в Аресибо является транзитным инструментом, то зенитное расстояние направления на источник не превышало величины в 15°. Наблюдения проводились в ночное время, примерно в 4 часа местного времени, т.е. по крайней мере за 2 часа до восхода солнца. Таким образом, при невозмущенной ионосфере проявление ионосферных эффектов в данном случае должно было быть минимальным.

Структурная функция фазы содержит информацию о статистических свойствах полного содержания электронов в ионосфере, однако изучение влияния ионосферных эффектов на результаты обработки РСДБ наблюдений проще проводить в терминах самой функции φ_atm(t). Этапом такой обработки, следующим за получением кросс-спектра, обычно является расчет зависимости интерферометрической функции видности V(f_res, Dt) от остаточной частоты интерференции f_res и запаздывания Dt. В нашем случае такой расчет проводился отдельно для каждого скана. Для того, чтобы проанализировать влияние ионосферных возмущений на диаграмму “f_res – Dt”, измеренные в каждом скане ионосферные искажения фазы были представлены в виде

${\phi }_{atm}\left(t\right)={\phi }_{lin}\left(t\right)+\left({\phi }_{atm}\right(t)–{\phi }_{lin}(t\left)\right)$, (17)

где φ_lin(t) — наилучшая (в смысле МНК) аппроксимация функции φ_atm(t) линейной функцией времени, и было вычислено среднеквадратичное отклонение линейной аппроксимации от наблюдений $\rho =\sqrt{⟨{\left({\phi }_{atm}\right(t)-{\phi }_{lin}(t\left)\right)}^2⟩}$ (см. рис. 3).

Влияние слагаемых φ_lin(t) и φ_atm(t) – φ_lin(t) в (17) на вид функции V(f_res, Δt) совершенно различно. Эта функция обычно рассчитывается путем двойного Фурье-преобразования от динамического кросс-спектра (обратное преобразование по частоте и прямое преобразование по времени). Так как в используемом нами приближении сдвиг фазы происходит синхронно во всей полосе приема, то искажения, соответствующие линейной аппроксимации, эквивалентны сдвигу V(f_res, Dt) по частоте интерференции без изменения формы и не изменяют внутреннюю структуру пятна рассеяния, выводимую из функции видности на последующих этапах обработки.

В отличие от этого, слагаемое, описывающее нелинейность зависимости ионосферного сдвига фазы от времени, приводит к искажению формы функции V(f_res, Dt), в частности, к «расплыванию» максимума модуля функции видности. Эти искажения тем заметнее, чем выше значение r, и увеличивают погрешность определения структуры пятна рассеяния. Простого способа скомпенсировать ионосферные искажения, описываемые нелинейным слагаемым в (17), путем применения того или иного преобразования функции видности, по-видимому, не существует. Такая коррекция может быть выполнена лишь путем компенсации обнаруженных нами фазовых вариаций до выполнения преобразования Фурье по времени, являющегося составной частью алгоритма вычисления V(f_res, Δt).

На рис. 4 показаны сечения модуля функции видности по f_res при Δt = 0 для трех наблюдательных сканов. Видно, что в первом скане, в котором значение r более чем в два раза превосходит значения для двух других сканов, максимум  несколько шире и ниже. Сравнение амплитуд функции видности для трех сканов обнаруживает различие в пределах 10%.

 

Рис. 4. Сечение диаграммы «остаточная частота интерференции-запаздывание» по частоте интерференции при нулевом запаздывании

 

Таким образом, мы делаем заключение, что ионосферные эффекты в данном эксперименте не должны существенно влиять на измерения амплитуды функции видности в зависимости от проекции базы наземно-космического интерферометра. Такие измерения были представлены в работе Фадеева с соавторами [14]. Они получили значение амплитуды функции видности для этого пульсара на уровне 0.26 при проекциях базы от 89 000 км до 96 000 км и определили угловой диаметр кружка рассеяния 2.1 mas¹.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использованы открытые архивные данные проекта РадиоАстрон, содержащие результаты корреляционной обработки РСДБ наблюдений пульсаров. Мы выбрали часовой сеанс наблюдений пульсара В2016+28, проведенный 22 мая 2015 г. на наземно-космических базах от 60 000 км до 90 000 км. В качестве наземного радиотелескопа был задействован 300-м радиотелескоп в Аресибо. Как было показано в работе [14], этот пульсар имеет медленные межзвездные мерцания с характерным временем больше 30 минут, и это обстоятельство облегчает разделение ионосферных и межзвездных эффектов. Так как 10-м космический радиотелескоп находится далеко за пределами земной ионосферы, то влияние ионосферы сказывается в чистом виде на радиоизлучении пульсара, регистрируемого на наземном телескопе. С помощью оригинальной методики усреднения комплексных кросс-спектров проанализировано временные поведение фазы частотных сцинтилей. Амплитуда этих временных изменений фазы не превышает нескольких радиан за время всего интерферометрического сеанса. Структурная функция фазы показывает, что характерное время фазовых флуктуаций составляет 2–5 минут.

Анализ влияния ионосферных возмущений на результаты наблюдений пульсара показывает, что вызываемые ими искажения модуля функции видности не превышают 10%. Однако обнаруженные нами ионосферные искажения фазы функции видности могут оказаться критическими для задачи построения изображений протяженных радиоисточников по наблюдениям на наземных РСДБ-сетях в метровом диапазоне радиоволн. Метод замыкания фазы, например, окажется неприменим. Нам представляется интересным вариант РСДБ наблюдений в этом диапазоне с использованием пульсара в качестве калибровочного источника.

БЛАГОДАРНОСТИ

Авторы выражают благодарность рецензенту за ценные замечания и обсуждение.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Проект РадиоАстрон осуществлен Астрокосмическим центром Физического института им. П.Н. Лебедева Российской академии наук и Научно-производственным объединением им. С.А. Лавочкина по контракту с Госкорпорацией «РОСКОСМОС» совместно с многими научно-техническими организациями в России и других странах.

¹ mas (milli arc second) — угловая миллисекунда дуги.

About the authors

M. S. Burgin

P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences

Email: mburgin@asc.rssi.ru

Astrospace Center

Russian Federation, Moscow

M. V. Popov

P.N. Lebedev Physical Institute of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: popov069@asc.rssi.ru

Astrospace Center

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files